Tiểu luận môn TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH TÌM HIỂU VỀ LOGIC VỊ TỪ

Nhưng khác với các khoa học khác cũng nghiên cứu về tư duytâm lý học, sinh lý học thần kinh…, logic học nghiên cứu các hình thức và quy luật của tư duy để đảm bảo suy ra các kết luận châ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

Đ

Ề TÀI :

Giảng viên hướng dẫn : PGS.TS NGUYỄN PHI KHỨ

Sinh viên thực hiện: LÊ KIM NGA

Mã số sinh viên: CH1301040

TPHCM, tháng 12/ 2013

MỤC LỤC

MỤC LỤC 2

LỜI MỞ ĐẦU 3

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ LOGIC 5

1 1.Giới thiệu về logic: 5

1 2.Các loại logic: 6

1 3.Logic toán: 6

1.3.1 Logic mệnh đề: 7

1.3.2 Logic vị từ: 7

CHƯƠNG 2 LOGIC VỊ TỪ VÀ ỨNG DỤNG CỦA LOGIC VỊ TỪ TRONG BIỂU DIỄN TRI THỨC 8

2 1.Giới thiệu về logic vị từ: 8

2.1.1 Logic vị từ (Predicate Logic): 8

2.1.2 Vị từ và giá trị chân lý của vị từ: 9

2.1.3 Phép toán vị từ: 9

2.1.4 Ý nghĩa vị từ theo lý thuyết tập hợp và không gian của vị từ: 11

2.1.5 Trọng lượng của vị từ: 11

2.1.6 Các lượng từ, biến bị trói buộc và biến tự do: 12

2.1.7 Các loại công thức trong logic vị từ: 15

2.1.8 Dạng chuẩn tắc của công thức logic vị từ - dạng chuẩn Prenex: 17

2.1.9 Quy tắc và mô hình suy diễn trong logic vị từ cấp 1: 18

2.1.10 Luật suy diễn: 20

2 2.Ứng dụng logic vị từ trong biểu diễn tri thức: 21

2.2.1 Logic và suy diễn: 21

2.2.2 Biểu diễn tri thức bằng logic vị từ: 21

2.2.3 Giới thiệu một số triệu chứng bệnh ở trẻ em dùng Prolog: 24

CHƯƠNG 3 KẾT LUẬN 27

TÀI LIỆU THAM KHẢO 28

LỜI MỞ ĐẦU

Logic học là khoa học xuất hiện rất sớm trong lịch sử Nó xuất hiện vào thế kỷ IVtrước công nguyên, khi sự phát triển của khoa học nói riêng và tư duy nói chung đã đòihỏi phải trả lời câu hỏi: làm thế nào để đảm bảo suy ra được kết luận đúng đắn từ cáctiền đề chân thực?

Từ “Logic” có nguồn gốc từ Hy Lạp “Logos”, có rất nhiều nghĩa, trong đó hai

nghĩa ngày nay được dùng nhiều nhất như sau Thứ nhất, nó được dùng để chỉ tính quy luật của sự tồn tại và phát triển của thế giới khách quan Thứ hai, từ “logic” dùng để chỉ

những quy luật đặc thù của tư duy Khi ta nói “Logic của sự vật là như vậy”, ta đã sửdụng nghĩa thứ nhất Còn khi nói “Anh ấy suy luận hợp logic lắm”, ta dùng nghĩa thứhai của từ logic

Theo quan điểm phổ biến nhất hiện nay thì logic học là khoa học về các hình thức,các quy luật của tư duy Nhưng khác với các khoa học khác cũng nghiên cứu về tư duytâm lý học, sinh lý học thần kinh…, logic học nghiên cứu các hình thức và quy luật của

tư duy để đảm bảo suy ra các kết luận chân thực từ các tiền đề, kiến thức đã có, và đưa

ra các phương pháp để có được các suy luận đúng đắn Để hiểu cặn kẽ hơn về đối tượngcủa logic học, ta phải tìm hiểu các đặc điểm của giai đoạn nhận thức lý tính và trả lờicho câu hỏi thế nào là hình thức và quy luật của tư duy

Luận lý toán học hay luận lý là một lý thuyết phân tích những kỹ thuật của lý luậntrong đời thường Lý thuyết hướng tới việc hệ thống hóa và mã hóa các nguyên tắc của

lý luận, từ đó rút ra được các qui luật của ngôn ngữ

Luận lý toán học được hình thành từ việc nghiên cứu cách sử dụng ngôn ngữ tựnhiên trong lý luận Tuy nhiên, hệ thống này không hàm chứa ý nghĩa của thực tế, nên

nó có tính hình thức

Luận lý toán học từ lâu đã được nghiên cứu và có nhiều công trình Thêm vào đó,luận lý toán học lại có rất nhiều ngành, nhưng có hai dạng cổ điển, phổ biến là luận lýmệnh đề và luận lý vị từ

Sự phát minh logic vị từ là một cuộc cách mạng lớn trong ngành triết học Logic

vị từ đủ mạnh để có thể diễn tả hết mọi lập luận của ngôn ngữ tự nhiên (đặc biệt thôngdụng là logic vị từ bậc nhất) Lợi ích của logic vị từ là chúng ta có thể dễ dàng chứngminh một lập luận tự nhiên là đúng hay sai bằng cách đưa những lập luận ấy về dạnglogic vị từ và chứng minh kết luận có đúng hay không nhờ vào những định lý, tiên đềcủa logic vị từ

Được học tập và được truyền thụ kiến thức về môn Toán học cho khoa học máytính của PGS.TS Nguyễn Phi Khứ, cùng với thời gian nghiên cứu, tìm hiểu từ bài giảng,

các tài liệu và Internet Em chọn nội dung về logic vị từ để tìm hiểu và thực hiện tiểuluận cho môn học này.

Nội dung của tiểu luận được thể hiện qua 3 chương, bao gồm:

Chương 1: Tổng quan về logic

Chương 2: Tìm hiểu về logic vị từ và ứng dụng của logic vị từ trong biểu diễn

tri thức

Chương 3: Kết luận

Do thời gian nghiên cứu có hạn và bản thân em cũng có một số hạn chế nên tiểuluận này chắc chắn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót nhất định Kính mong được sựthông cảm và góp ý của PGS.TS Nguyễn Phi Khứ để hướng nghiên cứu sắp tới của em

sẽ hoàn thiện và đạt hiệu quả hơn Em xin cảm ơn!

Học viên thực hiện

LÊ KIM NGA

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ LOGIC

Logic hay luận lý học, từ tiếng Hy Lạp cổ điển λόγος (logos), nghĩa nguyên thủy

là từ ngữ, hoặc điều đã được nói, (nhưng trong nhiều ngôn ngữ châu Âu đã trở thành có

ý nghĩa là suy nghĩ hoặc lập luận hay lý trí) Logic thường được nhắc đến như là mộtngành nghiên cứu về tiêu chí đánh giá các luận cứ, mặc dù định nghĩa chính xác củalogic vẫn là vấn đề còn đang được bàn cãi giữa các triết gia Tuy nhiên khi môn học

được xác định, nhiệm vụ của nhà logic học vẫn như cũ: làm đẩy mạnh tiến bộ của việc phân tích các suy luận có hiệu lực và suy luận ngụy biện để người ta có thể phân biệt được luận cứ nào là hợp lý và luận cứ nào có chỗ không hợp lý.

Theo truyền thống, logic được nghiên cứu như là một nhánh của triết học Kể từgiữa thế kỉ 19, logic đã thường được nghiên cứu trong toán học và luật Gần đây nhấtlogic được áp dụng vào khoa học máy tính và trí tuệ nhân tạo Là một ngành khoa họchình thức, logic nghiên cứu và phân loại cấu trúc của các khẳng định và các lý lẽ, cả haiđều thông qua việc nghiên cứu các hệ thống hình thức của việc suy luận và qua sựnghiên cứu lý lẽ trong ngôn ngữ tự nhiên Tầm bao quát của logic do vậy là rất rộng, đi

từ các đề tài cốt lõi như là nghiên cứu các lý lẽ ngụy biện và nghịch lý, đến những phântích chuyên gia về lập luận, chẳng hạn lập luận có xác suất đúng và các lý lẽ có liênquan đến quan hệ nhân quả Ngày nay, logic còn được sử dụng phổ biến trong lý thuyết

Các quan tâm về các loại logic khác nhau giải thích rằng logic không phải là đượcnghiên cứu trong chân không Trong khi logic thường có vẻ tự cung cấp sự thúc đẩychính nó, môn học này phát triển tốt nhất khi lý do mà chúng ta quan tâm đến logicđược đặt ra một cách rõ ràng

1 1 Giới thiệu về logic:

 Logic là một ngôn ngữ hình thức cho phép biểu diễn thông tin dưới dạng các kết luận có thể được đưa ra Nói cách khác, logic là một ngôn ngữ để lý luận Nó là một

tập hợp các quy tắc chúng ta sử dụng khi thực hiện suy luận hợp lý

 Logic là một nhánh của triết học và toán học nghiên cứu về nguyên tắc, phươngpháp và tiêu chuẩn hình thức cho sự hợp lệ của suy luận và kiến thức.

 Là khoa học ước lượng các suy luận;

 Các luật của logic xác định ý nghĩa chính xác của một lý luận;

 Logic dùng để: Suy luận trong toán học; Trong Khoa học máy tính: vi mạch,xây dựng chương trình, kiểm chứng chương trình, trí tuệ nhân tạo,

 Logic có hai thành phần: Logic = Syntax + Semantics

 Syntax (Cú pháp): để xác định các mệnh đề (sentences) trong một ngôn ngữ;

 Semantics (Ngữ nghĩa): để xác định “ý nghĩa” của các mệnh đề trong mộtngôn ngữ

 Ví dụ, trong ngôn ngữ toán học:

 x + 1  y là một câu, nhưng x2 + y> không là một câu;

 x + 1  y là Đúng nếu x+1 không nhỏ hơn y

 x + 1  y Đúng trong một không gian khi mà x = 2 và y = 0;

 x + 1  y Sai trong một không gian khi mà x = 0 và y = 3;

 Thuật ngữ: Một mệnh đề là

 Hợp lệ: nếu nó là đúng trong tất cả các trường hợp

 Thoả: nếu nó là đúng trong ít nhất một trường hợp

 Không thỏa: nếu nó là sai trong tất cả các trường hợp

1 2 Các loại logic:

 Propositional Logic (Boolean logic):

 First-Order Logic (first-order predicate calculus)

Logic toán là một ngành con của toán học nghiên cứu các hệ thống hình thức

trong việc mã hóa các khái niệm trực quan về các đối tượng toán học Chẳng hạn tậphợp và số, chứng minh toán học và tính toán Ngành này thường được chia thành cáclĩnh vực con như lý thuyết mô hình (model theory), lý thuyết chứng minh (prooftheory), lý thuyết tập hợp và lý thuyết đệ quy (recursion theory) Nghiên cứu về logictoán thường đóng vai trò quan trọng trong ngành cơ sở toán học (foundations ofmathematics)

Các tên gọi cũ của logic toán là logic ký hiệu (để đối lập với logic triết học) haymeta toán học.

Logic toán không phải là logic của toán học mà là toán học của logic Ngành nàybao gồm những phần của logic mà có thể được mô hình hóa và nghiên cứu bằng toánhọc Nó cũng bao gồm những lĩnh vực thuần túy toán học như: lý thuyết mô hình và lýthuyết đệ quy, trong đó, khả năng định nghĩa là trung tâm của vấn đề được quan tâm.Logic toán được xây dựng trên cơ sở logic mệnh đề và logic vị từ

đề là một hệ thống đóng kín, bao gồm các định nghĩa, các quy tắc và một số tiên đề(nếu là hệ toán logic tiên đề hoá), từ đó nhờ các phép biến đổi đại số mệnh đề người ta

có thể thu được các mệnh đề khác nhau, kết quả có thể đúng hoặc sai tùy thuộc giá trịchân lí của các tiền đề và việc áp dụng các lập luận logic

1.3.2.Logic vị từ:

Cùng với logic mệnh đề, cấu thành cơ sở của logic toán Về thực chất, logic vị từ

là sự mở rộng logic mệnh đề nhờ bổ sung thêm nhiều yếu tố và thành phần mới vàongôn ngữ hình thức hoá của phép toán logic mệnh đề Kết quả, đại số mệnh đề sẽchuyển thành đại số vị từ và hệ toán mệnh đề chuyển thành hệ toán vị từ

Nếu logic mệnh đề cho phép tiến hành các phép biến đổi toán học chính xác vàchặt chẽ đối với các phán đoán thì logic vị từ còn cho phép thực hiện các phép biến đổichính xác và chặt chẽ đối với các khái niệm Do đó, logic vị từ không chỉ chính xác hoá

cơ sở logic của hệ thống phán đoán, mà còn hoàn thiện cơ sở logic của hệ thống kháiniệm

CHƯƠNG 2 LOGIC VỊ TỪ VÀ ỨNG DỤNG CỦA LOGIC VỊ TỪ

TRONG BIỂU DIỄN TRI THỨC

2 1 Giới thiệu về logic vị từ:

2.1.1 Logic vị từ (Predicate Logic):

Môn Logic được nghiên cứu như ngày nay rất khác với môn học đã được nghiêncứu trước đây, và sự khác biệt chính là sự phát minh của logic vị từ (predicated logic orfirst-order logic) Trong khi logic tam đoạn luận của Aristote định ra những dạng thứccho những phần có liên quan với nhau trong mỗi phán đoán, logic vị từ cho phép cáccâu được phân tích thành chủ đề và các luận cứ theo nhiều cách khác nhau, do vậy chophép logic vị từ giải quyết được vấn đề tổng quát hóa nhiều lần – vấn đề đã làm bối rốicác nhà logic học thời trung cổ Với logic vị từ, lần đầu tiên, các nhà logic học đã cókhả năng đưa ra các phép lượng hóa (quantifiers) đủ tổng quát để diễn tả mọi luận cứ cómặt trong ngôn ngữ tự nhiên

Sự khám phá ra logic vị từ thường được coi là công của Gottlob Frege, ngườicũng được xem là một trong những sáng lập viên của ngành triết học phân tích, nhưngdạng phát biểu có hệ thống thông dụng nhất ngày nay của logic vị từ là logic bậc nhất

(first-order logic) được trình bày trong cuốn sách Các nguyên lý về logic lý thuyết

(Grundzüge der theoretischen Logik) của David Hilbert và Wilhelm Ackermann vàonăm 1928 Tính tổng quát có tính phân tích của logic vị từ cho phép hình thức hóa toánhọc và đẩy mạnh nghiên cứu về lý thuyết tập hợp, cho phép sự phát triển của cách tiếpcận của Alfred Tarski đối với lý thuyết mô hình; và không quá lời khi nói rằng nó lànền tảng của logic toán học hiện đại

Hệ thống nguyên thủy của Frege về logic vị từ không phải là bậc nhất mà là bậchai Logic bậc hai được bảo vệ mạnh mẽ nhất bởi George Boolos và Stewart Shapiro(trước các phê phán của Willard Van Orman Quine và những người khác)

Logic vị từ xây dựng chủ yếu dựa vào những ý tưởng của logic mệnh đề để cungcấp một hệ thống mạnh mẽ hơn cho các biểu thức và lý luận

Như chúng ta đã đề cập, một vị từ chỉ là một chức năng với một phạm vi của haigiá trị là sai và đúng

Một vị từ là một khẳng định P(x,y,…) trong đó có chứa một số biến x,y,…Lấy giátrị trong những tập hợp A,B,… cho trước, sao cho:

 Bản thân P(x,y,…) không phải là mệnh đề

 Nếu thay x,y,…bằng những giá trị cụ thể thuộc tập hợp A, B, … cho trước ta

sẽ được một mệnh đề P(x,y,…), nghĩa là khi đó chân trị của P(x,y,…) được gọi là cácbiến tự do của vị từ

Ví dụ 1: Các câu có liên quan tới các biến như: “ x > 3”, “ x + y = 4” rất hay gặp

trong toán học và trong các chương trình của máy tính Các câu này không đúng cũngkhông sai vì các biến chưa được cho những giá trị xác định

Nói cách khác, vị từ có thể được xem là một hàm mệnh đề có nhiều biến hoặckhông có biến nào, nó có thể đúng hoặc sai tùy thuộc vào giá trị của biến và lập luậncủa vị từ

Vi dụ 2: Câu {n là chẵn} là một vị từ Nhưng khi cho n là một số cụ thể là chẵn

2.1.2 Vị từ và giá trị chân lý của vị từ:

 Biểu thức P(x1, x2, …, xn) (n  1 với xi lấy giá trị trên tập Mi ) (i = 1, 2, …, n))được gọi là vị từ n biến xác định trên trường M = M1 x M2 x … x Mn khi và chỉ khibiểu thức P(x1, x2, …, xn) không phải là một mệnh đề hoặc đúng hoặc sai.

 Nếu ta thay biến xi bởi ai  Mi (i = 1, 2, …, n) ta được P(x1, x2, …, xn) là một

mệnh đề hoặc đúng hoặc sai.

 Thường ký hiệu vị từ bởi các chữ P, Q, R, F, … (có thể kèm chỉ số) và gọi là

các biến vị từ

 Vị từ 1 biến được gọi là vị từ cấp 1.

2.1.3 Phép toán vị từ:

2.1.3.1 Các phép toán trên vị từ 1 biến:

Cho vị từ 1 biến P(x) và Q(x) trên trường M

 Phủ định của P(x) ký hiệu P x( ) cũng là một vị từ trên trường M mà khithay x = a  M, ta được mệnh đề P a( )nhận giá trị đúng khi P(a) nhận giá trị sai vàngược lại;

 Hội (^) vị từ P(x) với vị từ Q(x) ta được vị từ P(x) ^ Q(x) trên trường M

mà khi thay x = a  M ta được mệnh đề P(a) ^ Q(a) nhận giá trị đúng khi P(a) và Q(a)nhận giá trị đúng, và sai trong các trường hợp còn lại;

 Tuyển () vị từ P(x) với vị từ Q(x) ta được vị từ P(x)  Q(x) trên trường M

mà khi thay x = a  M ta được mệnh đề P(a)  Q(a) nhận giá trị sai khi P(a) và Q(a)nhận giá trị sai, và đúng trong các trường hợp còn lại;

 Vị từ P(x) suy ra () vị từ Q(x) trên trường M mà khi thay x = a  M ta

được mệnh đề P(a)  Q(a) đúng khi P(a) sai hoặc P(a) và Q(a) đúng Mệnh đề này saikhi giả thiết P(a) đúng còn kết luận Q(a) sai

2.1.3.2 Phép toán vị từ sử dụng các phép toán logic mệnh đề và là sự mở rộng của phép toán mệnh đề để thể hiện rõ hơn các tri thức.

Ví dụ 1: Cần viết câu "nếu hai người thích một người thì họ không thích nhau"

dưới dạng logic vịtừ

Trước khi viết câu trên ta hãy tìm hiểu các câu đơn giản được viết như sau:

"Nam thích Mai" được viết theo phép toán vị từ là: thích (Nam, Mai)

"Đông thích Mai" được viết theo phép toán vị từ là: thích (Đông, Mai)

Tổng quát khẳng định trên được viết như sau:

Thích (X, Z) AND thích (Y, Z) → NOT thích (X, Y)

⇔ (Thích (X, Z) ∧ thích (Y, Z) → ¬thích (X, Y)

Ví dụ 2 : Cho vị từ "Quả bóng màu xanh" Phép toán vị từ cho phép mô tả theo

quan hệ tri thức theo dạng: (quả bóng, xanh)

Cách thể hiện này thuận tiện đối với việc dùng biến và hàm trong xử lý tri thức.Trong lĩnh vực trí tuệ nhân tạo, để lập trình trên các vị từ người ta sử dụng ngôn ngữProlog Đó là một ngôn ngữ cấp cao có đặc điểm gần với ngôn ngữ tự nhiên, do ôngC.Cameraller (Đại học Marseilles, Pháp) và nhóm đồng sự cho ra đời năm 1973

Ví dụ: Vị từ "Quả bóng màu xanh" có thể viết lại: "X màu Y".

Quả bóng, xanh là các hằng được xác định trong không gian của vị từ X, Y làbiến

2.1.3.5 Các vị từ:

Một sự kiện hay mệnh đề trong phép toán vị từ được chia thành hai phần: Vị từ vàtham số Tham số thể hiện một hay nhiều đối tượng của mệnh đề, còn vị từ dùng đểkhẳng định về đối tượng

Ví dụ: Câu "X thích Y" có dạng thích (X, Y).

Thích là vị từ cho biết quan hệ giữa các đối tượng trong ngoặc Đối số là các kýhiệu thay cho các đối tượng của bài toán

2.1.3.6 Hàm:Được thể hiện bằng ký hiệu, cho biết quan hệ hàm số

Ví dụ: Hoa là mẹ của Mai, Đông là cha của Cúc Hoa và Đông là bạn của nhau.

Ta có hàm số được viết để thể hiện quan hệ này

 Mẹ (Mai) = Hoa

 Cha (Cúc) = Đông

 Bạn (Hoa, Đông)

Các hàm được dùng trong vị từ là: Bạn, Mẹ (Mai), Cha (Cúc)

2.1.4 Ý nghĩa vị từ theo lý thuyết tập hợp và không gian của vị từ:

Cho P(x) là vị từ cấp 1 trên trường M ≠ ∅, tập tất cả các điểm x  M mà P(x)đúng, được ký hiệu là EP = { x  M | P(x) đúng}

Ứng với mỗi vị từ P(x) trên trường M, ta có EP M Ngược lại, ứng với mỗi tậpcon EP M có tồn tại vị từ P(x) xác định trên M sao cho E = EP

Gọi EP = { x  M | P(x) đúng} là miền đúng của vị từ P(x) trên trường M, còn

2.1.5 Trọng lượng của vị từ:

Chúng ta cũng thường gặp những câu có nhiều biến hơn Vị từ xuất hiện cũng như

một hàm nhiều biến, khi đó số biến được gọi là trọng lượng của vị từ.

Ví dụ 1: Vị từ P(a, b, c) = {a + b + c = 15} là một vị từ 3 biến trên không gian N.

Ta nói: P có trọng lượng 3

Trong vị từ P(x1, x2, , xn) có trọng lượng là n Nếu gán giá trị xác định cho mộtbiến trong nhiều biến thì ta được một vị từ mới Q(x1, x2, xn) có trọng lượng là (n-1)

Qui luật này được áp dụng cho đến khi n = 1 thì ta có một mệnh đề Vậy, thực chất

2.1.6 Các lượng từ, biến bị trói buộc và biến tự do:

Trong một vị từ có thể xảy ra các điều sau: vị từ đã cho đúng với mọi phần tử trong không gian xác định của nó; cũng có thể chỉ đúng với một số phần tử nào đó

trong không gian xác định của nó, người ta gọi đó là sự lượng hóa hay lượng từ các

hàm mệnh đề

2.1.6.1 Lượng từ tồn tại ():

Câu xác định "Tập hợp những biến x làm cho P(x) là đúng không là tập hợp rỗng"

là một mệnh đề Hay "Tồn tại ít nhất một phần tử x trong không gian sao cho P(x) là

đúng" là một mệnh đề được gọi là lượng từ tồn tại của P(x).

Ký hiệu: ∃x P(x)

2.1.6.2 Lượng từ với mọi ():

Câu xác định "Tập hơp những x làm cho P(x) đúng là tất cả tập hợp E" là một mệnh

đề Hay "P(x) đúng với mọi giá trị x trong không gian" cũng là một mệnh đề được gọi là

lượng từ với mọi của P(x).

∃xP(x) Có ít nhất 1 phần tử x để P(x) là đúng P(x) là sai với mọi phần tử x

Ví dụ 1: Xét trong không gian các số thực, ta có:

Cho P(x) := “ x + 1 > x”, khi đó có thể viết: ∀xP(x)

Cho P(x) := “ 2x = x + 1 ”, khi đó có thể viết: ∃xP(x)

Ví dụ 2: Cho vị từ P(x) = {số nguyên tự nhiên x là số chẵn} Xét chân trị của hai

mệnh đề∀x P(x) và ∃x P(x)

Giải:

∀x P(x) = {tất cả số nguyên tự nhiên x là số chẵn} là mệnh đề sai khi x = 5

∃x P(x) = {hiện hữu một số nguyên tự nhiên x là số chẵn} là mệnh đề đúng khix=10.

Chú ý: Cho P là một vị từ có không gian E Nếu E = {e1, e2, en}, mệnh đề ∀xP(x) là đúng khi tất cả các mệnh đề P(e1), P(e2), P(en) là đúng Nghĩa là ∀x P(x) ⇔P(e1) ∧ P(e2) ∧ ∧ P(en) là đúng

Tương tự, ∃x P(x) là đúng nếu có ít nhất một trong những mệnh đề P(e1),P(e2), P(en) là đúng Nghĩa là ∃x P(x) ⇔ P(e1) ∨ P(e2) ∨ ∨ P(en) là đúng

2.1.6.4 Các định lý:

 Định lý 1: Cho vị từ P(a, b) có trọng lượng là 2 Khi đó:

a) ∀a∀b P(a,b) và ∀b∀a P(a, b) là có cùng chân trị

Nghĩa là: ∀a∀b P(a,b) ↔ ∀b∀a P(a, b)

Ký hiệu: ∀(a,b) P(a,b)

b) ∃a∃b P(a,b) và ∃b∃a P(a, b) là có cùng chân trị

Nghĩa là: ∃a∃b P(a,b) ↔∃b∃a P(a, b)

Ký hiệu: ∃(a,b) P(a,b)

c) Nếu ∃a∀b P(a,b) là đúng thì ∀b∃a P(a,b) cũng đúng nhưng điều ngược

lại chưa đúng Nghĩa là: ∃a∀b P(a,b) →∀b∃a P(a,b)

d) Nếu ∃b∀a P(a,b) là đúng thì ∀a∃b P(a,b) cũng đúng nhưng điều ngược

lại chưa đúng Nghĩa là: ∃b∀a P(a,b) →∀a∃b P(a,b)

 Định lý 2:

¬(∀x P(x)) và∃x (¬P(x) là có cùng chân trị

¬(∃x P(x)) và∀x (¬P(x) là có cùng chân trị

Giải thích:

Phủ định với ∀x P(x) nói rằng: tập hợp những x làm cho P(x) đúng không

là tất cả tập hợp E Vậy nói rằng: hiện hữu ít nhất 1 phần tử x∈E mà ở chúng P(x)

là sai, hay nói rằng: hiện hữu ít nhất 1 phần tử x∈E mà ở chúng P(x) là đúng

¬∃x P(x) nói rằng: tập hợp những x mà ở chúng P(x) là đúng là tập hợprỗng Nghĩa là, tập hợp những phần tử x mà ở chúng P(x) là sai là tập E hay không

có phần tử nào làm P(x) đúng Ta có ∀x (¬P(x))

Ví dụ 1: Phủ định của "Mọi số nguyên n là chia chẵn cho 3“ là "Tồn tại ít

nhất một số nguyên n không chia chẵn cho 3"

Ví dụ 2: Hãy xét phủ định của câu sau đây:

"Tất cả sinh viên trong lớp đều đã học môn Toán rời rạc 2"

Câu này chính là câu sử dụng lượng từ với mọi như sau: ∀xP(x)

Phủ định của câu này là: "Không phải tất cả các sinh viên trong lớp đều đã họcmôn Toán rời rạc 2" Điều này có nghĩa là: "Có ít nhất một sinh viên ở lớp này chưahọc Toán rời rạc 2" Đây chính là lượng từ tồn tại của phủ định hàm mệnh đề ban đầuđược viết như sau: ∃x¬P(x) Ta có: ¬ ∀xP(x) ⇔ ∃x¬P(x)

¬ ∃xP(x) ⇔ ∀x¬P(x)

Phương pháp ứng dụng: Để đạt được phủ định của một mệnh đề xây dựng bằng

liên kết của những biến của vị từ với phương tiện định lượng, người ta thay thế những

định lượng ∀ bởi ∃, và ∃ bởi ∀ và sau cùng thay thế vị từ bằng phủ định của vị từ đó.

 Định lý 3: Cho P và Q là hai vị từ có cùng không gian.

1)Mệnh đề ∀x (P(x) ∧ Q(x)) và (∀x (P(x) ∧ ∀x (Q(x)) là có cùng chân trị.2)Nếu mệnh đề ∃x (P(x) ∧ Q(x)) là đúng thì ta có mệnh đề: (∃x P(x)) ∧ (∃xQ(x)) cũng đúng

3)Mệnh đề ∃x (P(x) ∨ Q(x)) và (∃xP(x) ∨ ∃xQ(x)) là có cùng chân trị.4)Nếu mệnh đề ∀x (P(x) ∨ Q(x)) là đúng thì ta có mệnh đề ∀xP(x) ∨

∀xQ(x) là đúng, nhưng điều ngược lại không luôn luôn đúng

Giải thích:

Nếu P và Q là hai vị từ có cùng không gian E Ta có:

 Tập hợp A⊂E: Tập hợp những phần tử x  E mà ở chúng thì P(x) là đúng

 Tập hợp B⊂E: Tập hợp những phần tử x  E mà ở chúng thì Q(x) là đúng.Nếu P và Q là hai vị từ có cùng không gian E Ta có:

 Tập hợp A⊂E: Tập hợp những phần tử x  E mà ở chúng thì P(x) là đúng

 Tập hợp B⊂E: Tập hợp những phần tử x  E mà ở chúng thì Q(x) là đúng.Khi đó người ta lưu ý rằng, A ∧ B là tập hợp những x  E mà ở chúng mệnh đềP(x) ∧ Q(x) là đúng Trong khi đó A ∨ B là tập hợp những x của E mà ở đó mệnh đềP(x) ∨ Q(x) là đúng

2.1.6.5 Biến bị trói buộc (bound variable) và biến tự do (free variable):

 Biểu thức như P(x) được gọi là có biến tự do x (x không xác định)

 Lượng từ ( hoặc ) tác động lên biểu thức có một hay nhiều biến tự do vàtrói buộc 1 hay nhiều biến khác tạo thành một biểu thức có 1 hay nhiều biến trói buộc

Ví dụ: P(x,y) có 2 biến tự do là x và y;

x P(x,y) có 1 biến tự do và 1 biến trói buộc

“P(x), trong đó x=3” là một cách trói buộc x

 Biểu thức không có biến tự do là mệnh đề thực sự;

 Biểu thức với một hay nhiều biến tự do vẫn còn là vị ngữ (predicate)

Ví dụ: Q(y) = x P(x,y)