Tiểu luận Thuật toán và phương pháp giải quyết vấn đề GIẢI PHÁP CHO BÀI TOÁN SO KHỚP ĐỒ THỊ

Cũng chính từ đó, đòihỏi phải có nhiều phương pháp giải pháp để giải quyết được nhiều yêu cầu hay nhiềuvấn đề đặt ra trong đời sống hàng ngày như công tác lập lịch, tìm đường đi ngắn nhấ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

ĐỀ TÀI :

Giảng viên hướng dẫn: PGS.TS ĐỖ VĂN NHƠN

Sinh viên thực hiện: LÊ KIM NGA

Mã số sinh viên: CH1301040

TPHCM, tháng 01/ 2014

MỤC LỤC

MỤC LỤC 2

LỜI MỞ ĐẦU 4

PHẦN 1 GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ ĐỒ THỊ 5

1 1.Nhắc lại một số định nghĩa: 5

1.1.1.Đồ thị: 5

1.1.2.Bậc của đỉnh: 5

1.1.3.Biểu diễn đồ thị bằng ma trận: 6

1.1.4.Tính liên thông: 6

1 2.Giới thiệu về đẳng cấu đồ thị: 6

1.2.1.Khái quát chung: 6

1.2.2.Khái niệm về đẳng cấu đồ thị: 7

1.2.3.Những ứng dụng của đồ thị đẳng cấu: 8

PHẦN 2 VẤN ĐỀ SO KHỚP ĐỒ THỊ VÀ GIẢI PHÁP 9

2 1.Bài toán so khớp đồ thị (đồ thị đẳng cấu): 9

2.1.1.Phát biểu bài toán: 9

2.1.2.Khảo sát, phân tích và giới hạn vấn đề: 9

2 2.Xây dựng mô hình của bài toán: 10

2.2.1.Mô hình cho DIK: 10

2.2.2.Mô hình cho giả thiết: 10

2.2.3.Mô hình cho mục tiêu: 10

2 3.Xây dựng giải pháp cho bài toán: 10

2.3.1.Giới thiệu ý tưởng: 10

2.3.2.Mô tả chiến lược: 10

2.3.3.Thuật toán: 11

2 4.Chứng minh tính đúng đắn của thuật toán: 12

2 5.Đánh giá độ phức tạp của thuật toán: 13

2 6.Đánh giá thực nghiệm: 13

PHẦN 3 GIỚI THIỆU MỘT THUẬT TOÁN POLYNOMIAL-TIME ÁP DỤNG CHO BÀI TOÁN SO KHỚP ĐỒ THỊ 14

3 1.Mở rộng bài toán so khớp đồ thị phù hợp với thực tế: 14

3 2.Giới thiệu hướng tiếp cận thuật giải: 14

3 3.Các thủ tục sử dụng trong polynomial-time algorithm: 15

3.3.1.Proceduce 3.3.1: 15

3.3.2.Proceduce 3.3.2: 16

3.3.3.Proceduce 3.3.3: 16

3.3.4.Proceduce 3.3.4: 17

3.3.5.Thuật giải: 17

3 4.Ví dụ áp dụng: 17

3 5.Kết quả thực hiện demo: 21

TÀI LIỆU THAM KHẢO 22

LỜI MỞ ĐẦU

Ngày nay, cùng với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học và công nghệ thì khốilượng tri thức thu thập được ngày càng khổng lồ và cần phải được xử lý một cách chínhxác, nhanh và hiệu quả để phục vụ cho các hoạt động của xã hội Cũng chính từ đó, đòihỏi phải có nhiều phương pháp (giải pháp) để giải quyết được nhiều yêu cầu hay nhiềuvấn đề đặt ra trong đời sống hàng ngày như công tác lập lịch, tìm đường đi ngắn nhấttrên bản đồ giao thông, so khớp đồ thị để ứng dụng vào các lĩnh vực như hóa học, sinhhọc, điện tử, … hay nhiều vấn đề khác đã và đang hình thành

Những vấn đề trên đều gần giũi với đời sống hàng ngày và được nhiều nhà nghiêncứu tìm hiểu, xây dựng nhiều giải pháp giải quyết khác nhau, tuy nhiên vẫn chưa đạtđược mong muốn vì còn một số hạn chế nhất định, ví dụ như độ phức tạp của thuật toánquá lớn hoặc thời gian, hiệu quả chưa cao, …

Sau thời gian học tập môn Thuật toán và phương pháp giải quyết vấn đề doPGS.TS Đỗ Văn Nhơn hướng dẫn, cùng với thời gian nghiên cứu, tìm hiểu từ các tài

liệu từ các bài báo khoa học, các luận văn trên Internet Em chọn nghiên cứu giải pháp

cho bài toán so khớp đồ thị để làm tiểu luận môn học này.

Nội dung của tiểu luận bao gồm:

Phần 1: Giới thiệu tổng quan về lý thuyết đồ thị

PHẦN 1 GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ ĐỒ THỊ

Lý thuyết đồ thị là một ngành khoa học được phát triển từ lâu nhưng lại có nhiềuứng dụng hiện đại Những ý tưởng cơ bản của nó được đưa ra từ thế kỷ 18 bởi nhà toánhọc Thụy Sĩ tên là Leonhard Euler Ông đã dùng đồ thị để giải quyết bài toán 7 chiếccầu Konigsberg nổi tiếng

Đồ thị cũng được dùng để giải các bài toán trong nhiều lĩnh vực khác nhau Thí

dụ, dùng đồ thị để xác định xem có thực hiện một mạch điện trên một bảng điện phẳngđược không Chúng ta cũng có thể phân biệt hai hợp chất hóa học có cùng công thứcphân tử nhưng có cấu trúc khác nhau nhờ đồ thị Chúng ta cũng có thể xác định xem haimáy tính có được nối với nhau bằng một đường truyền thông hay không nếu dùng môhình đồ thị mạng máy tính Đồ thị với các trọng số được gán cho các cạnh của nó có thểdùng để giải các bài toán như bài toán tìm đường đi ngắn nhất giữa hai thành phố trongmột mạng giao thông Chúng ta cũng có thể dùng đồ thị để lập lịch thi và phân chiakênh cho các đài truyền hình

1 1 Nhắc lại một số định nghĩa:

1.1.1 Đồ thị:

Đồ thị (Graph) là một cấu trúc dữ liệu rời rạc bao gồm các đỉnh và các cạnh nối

các cặp đỉnh này Chúng ta phân biệt đồ thị thông qua kiểu và số lượng cạnh nối giữacác cặp đỉnh của đồ thị

Định nghĩa: Hai đỉnh u và v trong đồ thị (vô hướng) G=(V,E) được gọi là liền kề

nếu (u,v) ∈ E Nếu e = (u,v) thì e gọi là cạnh liên thuộc với các đỉnh u và v Cạnh ecũng được gọi là cạnh nối các đỉnh u và v Các đỉnh u và v gọi là các điểm đầu mút củacạnh e

Định nghĩa: Bậc của đỉnh v trong đồ thị G=(V,E), ký hiệu deg(v), là số các cạnh

liên thuộc với nó, riêng khuyên tại một đỉnh được tính hai lần cho bậc của nó Đỉnh vgọi là đỉnh treo nếu deg(v)=1 và gọi là đỉnh cô lập nếu deg(v)=0

1.1.3 Biểu diễn đồ thị bằng ma trận:

Định nghĩa:Cho đồ thị G=(V,E) (vô hướng hoặc có hướng), với V={v1,v2, ,

vn} Ma trận liền kề của G ứng với thứ tự các đỉnh v1,v2, , vn là ma trận

ij 1 ,

( ) i j n ( , ),

trong đó aij là số cạnh hoặc cung nối từ vi tới vj

Như vậy, ma trận liền kề của một đồ thị vô hướng là ma trận đối xứng, nghĩa là

aji= aji, trong khi ma trận liền kề của một đồ thị có hướng không có tính đối xứng

Định nghĩa: Cho đồ thị vô hướng G=(V,E), v1, v2, , vn là các đỉnh và e1, e2, ,

em là các cạnh của G Ma trận liên thuộc của G theo thứ tự trên của V và E là ma trận

ij 1 1

Định nghĩa: Đường đi độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, với n là một số nguyên

dương, trong đồ thị G=(V,E) là một dãy các cạnh (hoặc cung) e1, e2, , en của đồ thị saocho e1 = (x0, x1), e2 = (x1,x2), , en = (xn-1,xn), với x0=u và xn=v Khi đồ thị không có cạnh(hoặc cung) bội, ta ký hiệu đường đi này bằng dãy các đỉnh x0, x1, , xn Đường đi đượcgọi là chu trình nếu nó bắt đầu và kết thúc tại cùng một đỉnh Đường đi hoặc chu trìnhgọi là đơn nếu nó không chứa cùng một cạnh (hoặc cung) quá một lần Một đường đihoặc chu trình không đi qua đỉnh nào quá một lần (trừ đỉnh đầu và đỉnh cuối của chutrình là trùng nhau) được gọi là đường đi hoặc chu trình sơ cấp Rõ ràng rằng mộtđường đi sơ cấp là đường đi đơn

Định nghĩa: Một đồ thị (vô hướng) được gọi là liên thông nếu có đường đi giữa

mọi cặp đỉnh phân biệt của đồ thị

Một đồ thị không liên thông là hợp của hai hay nhiều đồ thị con liên thông, mỗicặp các đồ thị con này không có đỉnh chung Các đồ thị con liên thông rời nhau như vậyđược gọi là các thành phần liên thông của đồ thị đang xét Như vậy, một đồ thị là liênthông khi và chỉ khi nó chỉ có một thành phần liên thông

1 2 Giới thiệu về đẳng cấu đồ thị:

1.2.1 Khái quát chung:

Một trong những vấn đề cơ bản nhất của lý thuyết đồ thị là vấn đề đẳng cấu đồthị Cho hai đồ thị (a), (b) Hãy xác định xem chúng có đẳng cấu hay không?

Thông thường, hai đồ thị có thể nhìn hoàn toàn khác nhau trên giấy, nhưng về cơbản là tương tự với góc nhìn toán học Hãy xem ví dụ hai đồ thị trong hình sau:

Hình 1 Ví dụ hai đồ thị

Ta thấy: Hai đồ thị khác nhau khi nhìn trực quan, nhưng chúng là đẳng cấu vìcác đồ thị trên là giống nhau do chúng có cùng số đỉnh là 4, cùng số cạnh là 2 và cáccạnh là đôi một

Nếu ta dán nhãn đỉnh 1 tương ứng với đỉnh a: (1 – a), (2 – b), (3 – c), (4 – d) vànhãn cạnh (a1 – e1), (a2 – e2) thì ta có một ánh xạ f1 tương ứng cho đỉnh và f2 tươngứng cho cạnh như sau:

Hình 2 Minh họa ánh xạ của tập đỉnh và tập cạnh đồ thị (a), (b)

Vì vậy, hai đồ thị được gọi là đẳng cấu với nhau nếu đỉnh của chúng được sắpxếp lại để cấu trúc cạnh tương ứng là giống hệt nhau và để chứng tỏ rằng chúng đẳngcấu thì cũng phải có sự sắp xếp lại tương tự với đỉnh (bằng cách dời đỉnh, dời cạnh )sao cho hai đồ thị này có hình vẽ y hệt nhau trên cơ sở sự hoán vị đỉnh và hoán vị cạnh

1.2.2 Khái niệm về đẳng cấu đồ thị:

Các đơn đồ thị G1 = (V1, E1) và G2 = (V2, E2) là đẳng cấu (Isomorphism) với

nhau nếu tồn tại một song ánh f như sau:

f: V1  V2

v1  v2 = f(v1)Sao cho:

Một số tính chất:

 Các đơn đồ thị đẳng cấu có cùng số đỉnh;

 Các đơn đồ thị đẳng cấu có cùng số cạnh;

 Bậc của các đỉnh của các đơn đồ thị đẳng cấu phải như nhau;

 Các đồ thị phải có các chu trình đơn có độ dài như nhau (có cùng cácthành phần)

Đồ thị đẳng cấu còn được ứng dụng trong việc thiết kế mạch điện tử tự động hóanhằm đơn giản hóa và tối ưu mạch điện;

…

PHẦN 2 VẤN ĐỀ SO KHỚP ĐỒ THỊ VÀ GIẢI PHÁP

2 1 Bài toán so khớp đồ thị (đồ thị đẳng cấu):

2.1.1 Phát biểu bài toán:

Cho hai đồ thị Graph A (GA) và Graph B (GB) có một số cạnh và một số đỉnhtương ứng nào đó Vấn đề đặt ra là xác định xem hai đồ thị đã cho có “khớp nhau”(đẳng cấu) hay không?

Ví dụ cho hai đồ thị:

Hình 4 Ví dụ về 2 đồ thị GA và GB

2.1.2 Khảo sát, phân tích và giới hạn vấn đề:

2.1.2.1 Khảo sát và thu thập dữ liệu, thông tin và tri thức (DIK):

1 Tập đỉnh của 2 đồ thị là hữu hạn;

2 Tập cạnh của 2 đồ thị là hữu hạn;

3 Đồ thị có hướng hay vô hướng?

4 Đồ thị có liên thông hay không?

5 Đơn đồ thị hay đa đồ thị?

3 Đơn đồ thị vô hướng;

4 Đồ thị phải liên thông;

5 Không quan tâm đến trọng số;

2.1.2.3 Xác định phạm vi gây giới hạn của vấn đề: Tính liên thông của đồ thị và

 Các đồ thị được biểu diễn dưới dạng ma trận kề;

2.1.2.5 Mô tả giả thiết của vấn đề.

- Đầu vào: Đồ thị GA và GB là các đơn đồ thị vô hướng, liên thông được biểu diễn dưới dạng ma trận kề A, B;

- Đầu ra: Hai đồ thị đã cho là đẳng cấu hay không đẳng cấu

2.1.2.6 Mục tiêu của vấn đề: Kiểm tra được tính đẳng cấu của 2 đồ thị;

2.1.2.7 Các điều kiện hay ràng buộc liên quan:

 Phải là đơn đồ thị vô hướng, liên thông;

 Số đỉnh (>=2) và số cạnh (>=1) của 2 đồ thị phải bằng nhau và hữu hạn;

2 2 Xây dựng mô hình của bài toán:

2.2.1 Mô hình cho DIK:

Được mô hình hóa bằng đơn đồ thị vô hướng Trong đó

 Số đỉnh là số nguyên dương >= 2 và mỗi đỉnh được gán nhãn;

 Cạnh: là một đường nối giữa đỉnh này với đỉnh khác trong đồ thị

 Bậc của đỉnh x: Là tổng số cạnh liên thuộc với với đỉnh x, ký hiệu deg(x)

GA = (VA, EA)

VA = {x1, …, xn}

EA = {e1, …, em}; e  EA liên kết xi và xj

(Tương tự cho GB)

2.2.2 Mô hình cho giả thiết:

Input: 2 đồ thị được biểu diễn dưới dạng ma trận kề A và ma trận kề B

Output: GA và GB là hai đồ thị đẳng cấu với biểu song ánh f tương ứng

hoặc GA và GB không phải là hai đồ thị đẳng cấu

2.2.3 Mô hình cho mục tiêu:

Ma trận A = Ma trận B

2 3 Xây dựng giải pháp cho bài toán:

2.3.1 Giới thiệu ý tưởng:

Để giải bài toán này, em dùng nguyên lý vét cạn để so sánh từng cặp đỉnh giữa

đồ thị GA với mỗi đỉnh trong GB để xác định song ánh, tìm ma trận kề của 2 đồ thị theothứ tự đỉnh tìm được và so sánh xem hai ma trận kề này có bằng nhau hay không? Nếubằng nhau thì kết luận 2 đồ thị GA, GB là đẳng cấu Ngược lại, không đẳng cấu

2.3.2 Mô tả chiến lược:

Bước 1: + Xác định bậc các đỉnh trong mỗi đồ thị và kiểm tra xem có thỏa với các

tính chất của đồ thị đẳng cấu hay không? Nếu không thì kết luận “GA

và GB không đẳng cấu” rồi kết thúc;

+ Sắp xếp thứ tự tăng dần chỉ số của bậc;

+ Đối với mỗi nhóm chỉ số bậc, đưa vào nhãn đỉnh tương ứng của 2 đồ thị

Bước 2: Tìm f bằng cách ghép các đỉnh có cùng bậc tương ứng giữa 2 đồ thị

Bước 3: Lập ma trận kề đối chứng song ánh của từng đồ thị.

+ Nếu 2 ma trận kề bằng nhau hoặc số phép ghép để tìm fvượt quá số hoán vịcủa số đỉnh thì kết luận và kết thúc;

+ Ngược lại, quay lại bước 2

2.3.3 Thuật toán:

 Bước 1: Nhập n là số đỉnh của 2 đồ thị GA, GB và ma trận kề A biểu diễn cho

GA, ma trận kề B biểu diễn cho GB;

 Bước 2: for i:=1 to n do

For j:=1 to n do{

Tính deg( )A i A i j, và lưu vào DA;SortAcc(DA); // Sắp xếp D A tăng dần theo bậc;

Tính deg( )B i B i j, và lưu vào DB;

// D A và D B là các mảng n phần tử chứa giá trị của bậc và nhãn đỉnh

SortAcc(DB); // Sắp xếp D B tăng dần theo bậc;

If not Matching(DA,DB) then {Kết luận không đẳng cấu rồi kếtthúc} // So sánh bậc của 2 đồ thị xem có bằng nhau không;

2 4 Chứng minh tính đúng đắn của thuật toán:

Sử dụng hai đồ thị ở hình 4 để chứng minh tính đúng đắn của thuật toán ở mục 2.3:

Bước 1: Ta có n = 5 (mỗi đồ thị có 5 đỉnh) và ma trận kề tương ứng cho GA, GB

như sau:

Hình 5 Ma trận kề tương ứng của GA và GB Bước 2: Tính bậc của đỉnh là lưu và DA, DB

+ Với GA: deg(A) = 3; deg(B) = 4; deg(C) = 2; deg(D) = 4; deg(E) = 3

 Ta thấy: A = B nên GA và GB là đẳng cấu.

2 5 Đánh giá độ phức tạp của thuật toán:

 Trường hợp tốt nhất: Mỗi đồ thị có 2 đỉnh và 1 cạnh nối giữa 2 đỉnh đó Trong

trường hợp này, độ phức tạp O là một hằng số;

 Trường hợp xấu nhất: Số đỉnh của các đồ thì lớn và bậc của các đỉnh bằng nhau

nhưng không tương ứng đôi một để có thể xây dựng được một hàm f tìm song ánh.

Trường hợp này, độ phức tạp O(n!)

2 6 Đánh giá thực nghiệm:

Với thuận toán trên, nếu cho hai đồ thị cỡ càng nhỏ thì thuật toán mang lại hiệuquả cao hơn Tuy nhiên, trên thực tế, vấn đề so khớp đồ thị không chỉ dừng lại ở đồ thị

cỡ nhỏ và vô hướng có quan tâm đến trọng số (độ dài cạnh), …

Vì vậy, cần có thuật toán tối ưu hơn có thể giải quyết được vấn đề này

Qua tìm hiểu và sưu tầm tài liệu, em xin giới thiệu một thuật toán có thể áp dụnghiệu quả hơn để giải quyết vấn đề so khớp đồ thị phù hợp với thực tiễn Nội dung giảipháp và các thuật toán kèm theo được tóm tắt ở phần 3 của tiểu luận này!

PHẦN 3 GIỚI THIỆU MỘT THUẬT TOÁN POLYNOMIAL-TIME

ÁP DỤNG CHO BÀI TOÁN SO KHỚP ĐỒ THỊ

3 1 Mở rộng bài toán so khớp đồ thị phù hợp với thực tế:

Trên thực tế, việc so khớp đồ thị có thể được thực hiện ở những đồ thị cỡ lớn vàthỏa một số yêu cầu khác như: có hướng, có trọng số, …

Hãy xem một số hình ảnh về dạng đồ thị cỡ lớn:

Hình 6 Đồ thị 17 đỉnh

Hình 7 Đồ thị 30 đỉnh

3 2 Giới thiệu hướng tiếp cận thuật giải:

Một thuật toán là một phương pháp giải quyết vấn đề phù hợp để thực hiện nhưmột chương trình máy tính Trong khi thiết kế các thuật toán, chúng ta thường phải đốimặt với một số phương pháp khác nhau Tuy nhiên, có nhiều vấn đề mà các thuật toánchỉ được biết đến mất quá lâu để tính toán các giải pháp mà với thực tế là vô dụng Ví

dụ, cách tiếp cận ngây thơ của máy tính tất cả n! hoán vị có thể có của các đỉnh n để chothấy rằng một cặp đồ thị GA và GB là không đẳng cấu là không thực tế ngay cả khi dữliệu đầu vào nhỏ

Một thuật toán thời gian đa thức (polynomial-time) là một trong những thuậttoán có số lượng các bước tính toán luôn luôn được bao bọc bởi một hàm đa thức củacác kích thước của đầu vào Vì thế, nó thực sự hữu ích trong thực tế Các lớp của tất cảcác vấn đề mà có thuật toán polynomial-time được ký hiệu là P Nếu đồ thị GA và GB

là đẳng cấu thì chúng phải có các vectơ tần số cùng dấu trong bảng tra cứu 1, 2, ,

n

i i i

Ngược lại, chúng ta sẽ thấy rằng các ma trận dấu hiệu SA* và SB* không thể đượcthể hiện giống hệt nhau khi và chỉ khi các đồ thị và GA GB là không đẳng cấu Do đó,

ta có một thuật toán polynomial-time để giải quyết các vấn đề đồ thị đẳng cấu, cho thấyvấn đề đồ thị đẳng cấu là P

3 3 Các thủ tục sử dụng trong polynomial-time algorithm:

Ý tưởng rút ra từ thuật toán em nghiên cứu được có thể tóm tắt lại như sau:

Bước 1: Tìm độ dài đường đi ngắn nhất từ một đỉnh u đến đỉnh v thuộc đồ thị G (dùng

thuật toán Dijkstra (Procedure 3.3.1);

Bước 2: Dùng thuật toán 3.2.1 để tính toán độ dài đường đi ngắn nhất từ u đến v trong

đồ thị G’ với G’ = G \ uv (Procedure 3.3.2)

Bước 3: Xây dựng ma trận ký hiệu S và ma trận hình thức S* (Procedure 3.3.3)

 Với S là một ma trận gồm u hàng, v cột và Suv = ± duv nuv muv

Trong đó:

 ± là ký hiệu cho biết có đường đi từ u đến v hay không Nếu uv ∈ E thì

ký hiệu “+”, ngược lại, ký hiệu “–“

a(u, v) = 1 nếu uv ∈ E và a( u, v) = ∞ nếu uv ∉ E

Tập Vknown lưu trữ các đỉnh mà khoảng cách ngắn nhất (u, v) đã tìm được và mộtkhoảng cách d’(u, w) cho mỗi đỉnh w ngoài Vknown

 Khởi tạo: Thiết lập Vknown = {u} , d (u, u ) = 0 và d’ (u, w) = a (u, w) cho mỗiđỉnh w bên ngoài Vknown

 Lặp: Chọn đỉnh wmin bên ngoài Vknown sao cho d’(u, wmin) là ngắn nhất Thêm wmin

vào Vknown và cập nhật các khoảng cách d’(u, w) = min { d’(u, w), d (u, w) + a (u,w) } cho mỗi đỉnh w bên ngoài Vknown

 Kết thúc: Lặp cho đến khi Vknown chứa tất cả các đỉnh của G hoặc cho đến khi

d ' (u, w) = ∞ ứng với mỗi đỉnh w bên ngoài Vknown Trong trường hợp cuối,