TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH ỨNG DỤNG TẬP MỜ VÀ SỐ MỜ TRONG BÀI TOÁN QUYẾT ĐỊNH

Khái niệm phép giao hai tập mờ không cùng nền...8 IV.6.. Định nghĩa phép giao hai tập mờ không cùng nền...9 IV.7... Hàm thuộc biểu thị khái niệm mờ LẠNH được xác định qua hàm thuộc NÓNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

Phan Hữu Phước – CH1301106

TIỂU LUẬN

TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH ỨNG DỤNG TẬP MỜ VÀ SỐ MỜ TRONG BÀI TOÁN QUYẾT ĐỊNH

GIẢNG VIÊN: TS Dương Tôn Đảm

TP HỒ CHÍ MINH – 11/2014

tin TP HCM đã tạo điều kiện cho em được tiếp cận với bộ môn Toán học cho Khoa học Máy tính

Em xin cảm ơn thầy TS Dương Tôn Đảm đã tận tình truyền đạt kiến thức bổ ích hỗ trợ cho em thực hiện bài tiểu luận này

Em cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến quý thầy cô trong Khoa Công nghệ Thông tin cùng các bạn bè thân hữu đã nhiệt tình đóng góp ý kiến, cũng như động viên để

em xây dựng bài tiểu luận của mình

Mặc dù đã rất cố gắng nhưng đề tài khó tránh khỏi những thiếu sót và sai lầm, em mong thầy cô và bạn bè cho ý kiến để bài tiểu luận này ngày càng hoàn thiện hơn Một lần nữa, em xin chân thành cảm ơn!

Tp HCM, tháng 11 năm 2014

Phan Hữu Phước CH1301106

I KHÁI NIỆM TẬP MỜ 2

II TẬP LÁT CẮT CỦA TẬP MỜ 3

III MỘT SỐ KHÁI NIỆM ĐẶC TRƯNG CỦA TẬP MỜ 3

IV CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP MỜ 5

IV.1 Định nghĩa phép hợp hai tập mờ có cùng tập nền 5

IV.2 Phép hợp hai tập mờ không cùng nền 6

IV.3 Khái niệm phép hợp hai tập mờ không cùng nền 6

IV.4 Khái niệm về phép giao hai tập mờ 7

IV.5 Khái niệm phép giao hai tập mờ không cùng nền 8

IV.6 Định nghĩa phép giao hai tập mờ không cùng nền 9

IV.7 Khái niệm về phép bù của một tập mờ 10

IV.8 Tính đối ngẫu của các phép toán 10

V SỐ MỜ 11

V.1 Định nghĩa 11

V.2 Một số dạng số mờ 12

V.3 Phép toán số học trên khoảng 14

V.4 Phép toán số học trên số mờ 14

V.5 Quan hệ thứ tự trên tập số mờ 16

V.6 Nguyên lý mở rộng Zadeh 17

VI ỨNG DỤNG DEMO 17

VII TÀI LIỆU THAM KHẢO 17

I KHÁI NIỆM TẬP MỜ

Định nghĩa 1: Cho một tập vũ trụ U Tập hợp A được xác định bởi đẳng thức

A ={μ A(u )/u :u ∈U , μ A(u ) ∈[0,1]} được gọi là tập hợp mờ trên tập U.

Biến u lấy giá trị trong U được gọi là biến cơ sở và vì vậy U được gọi là tập

tham chiếu hay miền cơ sở Hàm μ A :U →[0,1] được gọi là hàm thuộc và giá trị

μ A(u) tại u được gọi là độ thuộc của phần tử u thuộc về tập mờ A Nếu không gây nhầm lẫn, hàm thuộc μ A cũng được ký hiệu là A (.), nếu biến cơ sở u biểu

thị hiển, hay A (u) , nếu biến u xuất hiện hiển.

Lưu ý rằng vế phải của định nghĩa A là một tập kinh điển và do đó định nghĩa trên là hoàn chỉnh

Họ tất cả các tập mờ trên miền cơ sở U được ký hiệu là F(U),

F (U )={μ A : U →[0,1]}=[0,1]U

Có nhiều cách biểu diễn hình thực một tập mờ Trong trường hợp U là một tập

hữu hạn, đếm được hay vô hạn liên tục, tập mờ A có thể được biểu diễn bằng các biểu thức hình thức như sau:

Trong trường hợp U hữu hạn, U ={u i :1≤ i≤ n } , ta có thể viết:

A =μ A¿

hay A = ∑

1 ≤ i≤ n

μ A(u i)/u i

Trong trường hợp này, tập mờ được gọi là tập mờ rời rạc

Trong trường hợp U là vô hạn đếm được, U ={u i :i=1,2, … }, ta có thể viết:

1 ≤ i≤ ∞

μ A(u i)/u i

Trong trường hợp U là vô hạn liên tục, U=[a, b], ta có thể viết

A =∫

a

b

μ A(u)/u

Ví dụ 1: Xét tập U gồm 5 người là x1, x2, … , x5 tương ứng có tuổi là 10, 15, 50,

55, 70 và A là tập hợp các ngườ “Trẻ” Khi đó ta có thể xây dựng hàm thuộc

như sau:

μ Trẻ (10)=0.95, μ Trẻ (15)=0.75, μ Trẻ (50)=0.35, μ Trẻ (55)=0.30, μ Trẻ(70)=0.05 và tập mờ

A =0.95

x1 +

0.75

x2 +

0.35

x3 +

0.30

x4 +

0.05

x5

Định nghĩa 2: Tập mờ A có dạng hình thang xác định bởi bộ 4 giá trị (a, b, c, d), ký hiệu A =(a , b , c , d) và được xác định:

μ A={x−a 0 nếu x ≤a

b−a nếu a<x <b

1 nếu b ≤ x ≤ c

d−x

d−c nếu c <x <d

0 nếu x ≥ d

II TẬP LÁT CẮT CỦA TẬP MỜ

Định nghĩa 3: Cho tập mờ A trên tập vũ trụ U và   [0,1] Tập lát cắt  (hoặc

+) của tập A là một tập kinh điển, ký hiệu A α (hoặc A α +¿ ¿), được xác định bằng đẳng thức sau:

Như vậy, mỗi tập mờ A sẽ cảm sinh một họ các tập kinh điển, ta có ánh xạ:

(1*)

Để đơn giản ký hiệu, ta viết họ các tập kinh điển như vậy bằng =

Họ các tập hợp như vậy có tính chất sau:

Định lý 1: Cho A, B  F(U), h là ánh xạ được cho trong (1*) và =

Khi đó:

Mỗi họ như vậy là dãy đơn điệu giảm, nếu  < , thí A α A β;

Nếu A ≠ B thì {A α :0 ≤ α ≤ 1}≠{B α :0 ≤ α ≤ 1}

Nghĩa là tồn tại một song ánh từ họ các tập mờ F(U) vào họ của những họ tập kinh điển P(U) ở dạng (1*).

III MỘT SỐ KHÁI NIỆM ĐẶC TRƯNG CỦA TẬP MỜ

Định nghĩa 4

Giá của tập mờ: Giá của tập mờ A, ký hiệu là Support(A), là tập con của U trên

đó, μ A ≠ 0, Support(A) = {u: μ A (u )> 0}

Độ cao của tập mờ: Độ cao của tập mờ A, kiếu hiệu hight(A), là cận trên đúng của hàm thuộc μ A trên U, hight(A) = sup{μ A (u ): u ∈U}

Tập mờ chuẩn: tập mờ A được gọi là chuẩn nếu hight(A) = 1 Trái lại, tập mờ được gọi là dưới chuẩn

Lõi của tập mờ: lỗi của tập mờ A, ký hiệu Core(A), là một tập con U được xác định như sau:

Core( A )={u ∈U : μ A(u)=hight (A )}

Ví dụ: Giả sử U là tập vũ trụ về số đo nhiệ độ thời tiết, chẳng hạn U=[0,50] tính theo thang độ C Chúng ta sẽ xác định tập mờ biểu thị khái niệm mờ thời tiết NÓNG và LẠNH Trong ví dụ này, ta sử dụng một hàm số mẫu, gọi là S-hàm vì

đồ thị của nó có hình chữ S Chúng ta ký hiệu hàm này là S(u, a, b, c), trong đó

a, b và c là những tham số Nó là hàm từng khúc bậc 2 và được định nghĩa như sau:

S (u , a , b , c )={ 2(u−a c−a 0 nếu u≤ a)2nếu a ≤u ≤ b

1−2(u−c c−a)2

1 nếu c ≤ u

nếu b ≤u ≤ c

Hàm thuộc μ A (u )=S(u , 15, 25,35) là khái niệm thời tiết NÓNG của người Lạng Sơn ở cực Bắc nước ta, còn hàm thuộc μ B (u)=S(u ,25, 35, 45) là khái niệm NÓNG của người Sài Gòn (Xem hình 1)

Với hai tập mờ này, ta có: Support(A) = [15, 50], Support(B) = [25, 50], hight(

A) = Hight(B) = 1, Core(A) = [35, 50] và Core(B) = [45, 50]

Hàm thuộc biểu thị khái niệm mờ LẠNH được xác định qua hàm thuộc NÓNG bằng biểu thức sau:

Hình 1: Hàm thuộc của tập mờ NÓNG và LẠNH

Định nghĩa 5: Lực lượng của tập mờ

Cho A là một tập mờ trên U

Lực lượng vô hướng: lực lượng hay bản số thực của tập A, ký hiệu là Count(A

), được tính theo công thức đếm sau (đôi khi được gọi là sigma count)

, nếu U là tập hữu hạn hay đếm được , néu U là tập vô hạn continuum ở đây

là tổng và tích phân số học Lực lượng mờ: lực lượng hay bản số mờ của tập A là một tập mờ trên tập các số

nguyên không âm N được định nghĩa như sau:

trong đó, được xác định theo công thức sau, với |A t| là lực lượng của tập mức A t, = suppreum{t[0,1]: |A t|=n}

Có thể xem công thức Count(A) là công thức đếm số phần tử trong U

Lưu ý rằng, khác với trường hợp tập kinh điển, dù tập U là vô hạn đếm được hay

vô hạn continuum, thì lực lượng của tập mờ A vẫn có thể là hữu hạn, tùy theo dáng điệu của hàm μ A(u)

IV CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP MỜ

IV.1 Định nghĩa phép hợp hai tập mờ có cùng tập nền

Hợp của hai tập mờ A và B có cùng tập nền X là một tập mờ 𝐴∪𝐵 cũng xác định trên tập nền X , có hàm thuộc 𝜇_(𝐴∪𝐵) (𝑥) thỏa mãn các điều kiện sau:

 μ A∪ B (x ) chỉ phụ thuộc vào μ A ( x ) và μ B ( x ).

 μ B ( x )=0 với mọi x ⇒ μ A∪ B (x )=μ A ( x )

 μ A∪ B (x )=μ B∪ A ( x ) (Tính giao hoán)

 μ(A ∪B )∪C ( x )=μ A ∪(B ∪C ) ( x ) (Tính kết hợp)

 μ A1( x )≤ μ A2( x ) ⇒ μ A1∪B ( x )≤ μ A2∪ B ( x )(Tính không giảm)

Ví dụ về các loại hợp giữa hai tập mờ

 μ A∪ B (x )=max{μ A ( x ) , μ B ( x )}. (Hợp theo max) (2.1)

 μ A∪ B (x )=min{1, μ A (x )+ μ B (x )} (Hợp theo Lukasiewicz) (2.2)

 μ A∪ B (x )=μ A ( x )+ μ B ( x )−μ A ∩ B ( x ) (Hợp trực tiếp) (2.3)

 μ A∪ B(x )= μ A ( x )+ μ B ( x )

1+μ A(x )+ μ B(x ) . (Hợp theo Einstein) (2.4)

 μ A∪ B (x )={max{μ A(x ), μ B(x )}khi min{μ A(x ) , μ B(x )}=0

1 khimin{μ A (x ) , μ B ( x )}≠0 (2.5)

IV.2 Phép hợp hai tập mờ không cùng nền

Hàm thuộc của hợp giữa hai tập mờ A với μ A ( x ) định nghĩa trên nền M và B với

μ B ( x ) định nghĩa trên nền N là một hàm hai biến μ(μ A , μ B):[0,1]2→[0,1] xác định trên nền M × N thỏa mãn các điều kiện:

 μ B=0⇒ μ(μ A , μ B)=μ A

 μ(μ A , μ B)=μ(μ B , μ A) (tính giao hoán)

 μ(μ A , μ(μ B , μ C) )=μ(μ(μ A , μ B), μ C) (tính kết hợp)

 μ(μ A , μ B)≤ μ(μ C , μ D), ∀ μ A ≤ μ C ; μ B ≤ μ D , (tính không giảm)

Một hàm hai biến μ(μ A , μ B):[0,1]2→[0,1] thỏa mãn các điều kiện trên được gọi là

hàm t-đối chuẩn (t-conorm).

IV.3 Khái niệm phép hợp hai tập mờ không cùng nền

Các công thức (2.1) → (2.5) sẽ được mở rộng để áp dụng cho việc xác định hợp của hai tập mờ không cùng nền bằng cách đưa cả hai tập mờ về chung một tập nền là tích của hai tập nền đã cho Chẳng hạn cho tập mờ A (định nghĩa trên tập

nền M),và tập mờ B (định nghĩa trên tập nền N) Hai tập nền M và N độc lập với nhau Tập mờ A như vậy được định nghĩa trên hai tập nền M và M × N, ta ký hiệu A là tập mờ A trên tập nền M × N , tương tự ta ký hiệu B là tập mờ B trên tập nền M × N , khi đó:

 μ A ( x , y )=μ A ( x ) với mọi y ∈ B ,

 μ B ( x , y )=μ B ( x ) với mọi x ∈ A

Sau khi đã đưa hai tập mờ về chung môt nền là M × N, thành A và B thì hàm thuộc μ A∪ B ( x , y ) của tập mờ A ∪B được xác định theo các công thức (2.1) →

(2.5) Cụ thể là:

Hợp hai tập mờ theo luật max

Hợp của hai tập mờ A với hàm thuộc μ A ( x ) (định nghĩa trên tập nền M) và tập mờ

B với hàm thuộc μ B ( x ) (định nghĩa trên tập nền N) theo luật max là tập mờ xác định trên tập nền M × Nvới hàm thuộc:

μ A∪ B ( x , y )=max{μ A ( x , y ) , μ B ( x , y )}

trong đó:

μ A ( x , y )=μ A ( x ) với mọi y ∈ N,

μ B ( x , y )=μ B ( y ) với mọi x ∈ M

Hợp hai tập mờ theo luật Lukasiewicz.

Hợp của hai tập mờ A với hàm thuộc μ A ( x ) (định nghĩa trên tập nền M) và tập mờ

B với hàm thuộc μ B ( x ) (định nghĩa trên tập nền N) theo luật Lukasievicz là tập

mờ xác định trên tập nền M × Nvới hàm thuộc:

μ A∪ B ( x , y )=min{1, μ A ( x , y )+ μ B ( x , y )}

Trong đó:

μ A ( x , y )=μ A ( x ) với mọi y ∈ N,

μ B ( x , y )=μ B ( y ) với mọi x ∈ M

IV.4 Khái niệm về phép giao hai tập mờ

Định nghĩa về phép giao hai tập mờ có cùng tập nền:

Giao hai tập mờ có cùng tập nền X là một tập mờ cũng xác định trên tập X với hàm thuộc thỏa mãn các điều kiện sau:

 μ A ∩ B (x ) chỉ phụ thuộc vào μ A ( x ) và μ B ( x ).

 μ B ( x )=1 với mọi x ⇒ μ A ∩ B (x )=μ A ( x )

 μ A ∩ B (x )=μ B ∩ A ( x ) (Tính giao hoán)

 μ(A ∩ B)∩ C ( x )=μ A ∩ (B ∩ C) ( x ) (Tính kết hợp)

 μ A1( x )≤ μ A2( x ) ⇒ μ A1∩ B ( x )≤ μ A2∩ B ( x ) (Tính không giảm)

Ví dụ về các loại giao giữa hai tập mờ

 μ A ∩ B (x )=min{μ A ( x ), μ B ( x )}. (Giao theo min) (2.6)

 μ A ∩ B (x )=max{0, μ A ( x )+ μ B ( x )−1} (Giao theo Lukasiewicz) (2.7)

 μ A ∩ B (x )=μ A ( x ) μ B ( x ) (Giao trực tiếp – Tích đại số) (2.8)

 μ A ∩ B(x )= μ A ( x ) μ B (x )

2−(μ A(x )+μ B(x ))−μ A(x ) μ B(x ) (Giao theo Einstein)(2.9)

 μ A ∩ B (x )={min{μ A(x) , μ B(x )}khi max{μ A(x ) , μ B(x )}=1

0 khi max{μ A ( x ) , μ B ( x )}≠ 1 (2.10)

IV.5 Khái niệm phép giao hai tập mờ không cùng nền

Các công thức (2.1) → (2.5) sẽ được mở rộng để áp dụng cho việc xác định giao của hai tập mờ không cùng nền bằng cách đưa cả hai tập mờ về chung một tập nền là tập tích của hai tập nền đã cho Chẳng hạn cho tập mờ A (định nghĩa trên tập nền M), và tập mờ B (định nghĩa trên tập nền N) Hai tập nền M và N độc lập với nhau.Tập mờ A như vậy được định nghĩa trên hai tập nền M và M × N, ta ký hiệu A là tập mờ A trên tập nền M × N , tương tự ta ký hiệu B là tập mờ B trên tập nền M × N , khi đó:

 μ A ( x , y )=μ A ( x ) với mọi y ∈ N,

 μ B ( x , y )=μ B ( y ) với mọi x ∈ M

Sau khi đã đưa hai tập mờ về chung môt nền là M × N, thành A và B thì hàm thuộc μ A ∩ B (x , y ) của tập mờ A ∩ B được xác định theo các công thức (2.6) →

(2.10) Cụ thể là:

Giao hai tập mờ theo luật min

Giao của hai tập mờ A với hàm thuộc μ A ( x ) (định nghĩa trên tập nền M) và tập

mờ B với hàm thuộc μ B ( x ) (định nghĩa trên tập nền N) theo luật max là tập mờ xác định trên tập nền M × Nvới hàm thuộc:

μ A∪ B ( x , y )=min{μ A (x , y ) , μ B (x , y )}=min{μ A ( x ), μ B ( y )}

Trong đó:

 μ A ( x , y )=μ A ( x ) với mọi y ∈ N,

 μ B ( x , y )=μ B ( y ) với mọi x ∈ M

Giao hai tập mờ theo luật tích đại số

Giao của hai tập mờ A với hàm thuộc μ A ( x ) (định nghĩa trên tập nền M) và tập

mờ B với hàm thuộc μ B ( x ) (định nghĩa trên tập nền N) theo luật tích đại số là tập

mờ xác định trên tập nền M × Nvới hàm thuộc:

μ A∪ B ( x , y )=μ A ( x , y ) μ B ( x , y )

Trong đó:

 μ A ( x , y )=μ A ( x ) với mọi ∈ N,

 μ B ( x , y )=μ B ( y ) với mọi x ∈ M

IV.6 Định nghĩa phép giao hai tập mờ không cùng nền

Hàm thuộc của giao giữa hai tập mờ A với μ A ( x ) định nghĩa trên nền M và B với

μ B ( x ) định nghĩa trên nền N là một hàm hai biến μ(μ A , μ B):[0,1]2→[0,1] xác định trên nền M × N thỏa các điều kiện:

 μ B=1⇒ μ(μ A , μ B)=μ A

 μ(μ A , μ B)=μ(μ B , μ A) (tính giao hoán)

 μ(μ A , μ(μ B , μ C) )=μ(μ(μ A , μ B), μ C) (tính kết hợp)

 μ(μ A , μ B)≤ μ(μ C , μ D), ∀ μ A ≤ μ C ; μ B ≤ μ D , (tính không giảm)

Một hàm hai biến μ(μ A , μ B):[0,1]2→[0,1] thỏa mãn các điều kiện trên được gọi là hàm

t- chuẩn (t-norm).

IV.7 Khái niệm về phép bù của một tập mờ

Định nghĩa về tập bù của một tập mờ

Tập bù của tập mờ A định nghĩa trên nền X là môt tâp mờ 𝐴^𝐶 cũng xác định trên tập nền X với hàm thuộc thỏa mãn các điều kiện sau:

 μ A C ( x ) chỉ phụ thuộc vào μ A ( x )

 Nếu x ∈ A thì x ∉ A C , hay μ A ( x )=1 ⇒ μ A C ( x )=0

 Nếu x ∉ A thì x ∈ A C , hay μ A ( x )=0 ⇒ μ A C ( x )=1

 Nếu A⊆ B thì A C ⊇B C ,hay μ A ( x ) ≤ μ B ( x ) ⇒ μ A C ( x ) ≥ μ B C ( x)

Do μ A C ( x ) chỉ phụ thuộc vào μ A ( x ) nên ta có thể xem μ A C ( x ) như một hàm của

μ A ∈[0,1], từ đó ta có định nghĩa sau:

Tập bù của tập mờ A định nghĩa trên nền X là một tập mờ A C cũng xác định trên tập nền X với hàm thuộc: c(μ A):[0,1]→[0,1] thỏa điều kiện:

 c(1)=0; c (0 )=1

 ∀ x , y ∈[0,1]; x ≤ y → c ( x )≥ c ( y ), nghĩa là hàm c(x) không tăng

Nếu hàm một biến c( x ) còn liên tục và x < y=¿c ( x )<c ( y) thì phép bù mờ trên còn

gọi là phép bù mờ chặt (strictly).

Một phép bù mờ chặt sẽ là phép bù mờ mạnh (strongly) nếu c

(c ( x ))=x ; ∀ x ∈[0,1]; nghĩa là (A C)C=A

Hàm bù thường dùng là hàm bù chuẩn c s (a )=1−a

Một số hàm bù khác

 Hàm ngưỡng: C ( a)={1 , a≤ t 0 , a> t ;t ∈[0,1]

 Hàm bù Cosin: C ( a)=1

2(1+cos πaa)

 Hàm bù Sugeno : C λ ( a)= 1−a

1+λa ; λ ∈ (−1 , ∞)

IV.8 Tính đối ngẫu của các phép toán

Ta nói rằng t-chuẩn I , và t-đối chuẩn H, đối ngẫu với phép bù mờ C, khi và chỉ khi nó thỏa tính chất:

 𝐶(𝐼(𝛼,𝛽))=𝐻(𝐶(𝛼),𝐶(𝛽))

 𝐶(𝐻(𝛼,𝛽))=𝐼(𝐶(𝛼),𝐶(𝛽))

Khi đó ta nói rằng I,H,C là bộ ba đối ngẫu, ta ký hiệu : < I,H,C > Người ta thường gọi bộ ba đối ngẫu trên là bộ ba De Morgan

Định lý 1: Cho một t-chuẩn I, và phép toán bù C, khi đó một phép toán 2 ngôi G

trên đoạn [0,1], xác định bởi :

𝐺(𝛼,𝛽)=𝐶(𝐼(𝐶(𝛼),𝐶(𝛽))) ∀𝛼,𝛽∈[0,1]

là một t-đối chuẩn, nghĩa là ta sẽ có : < I,G,C >

Định lý 2: Cho một t-đối chuẩn H, và phép toán bù C, khi đó một phép toán 2

ngôi F trên đoạn [0,1], xác định bởi :

𝐹(𝛼,𝛽)=𝐶(𝐻(𝐶(𝛼),𝐶(𝛽))) ∀𝛼,𝛽∈[0,1]

là một t-chuẩn, nghĩa là ta sẽ có : < F,H,C >

Chú ý: Bộ ba đối ngẫu<I,H,C> ,nói trong các định lý trên thỏa luật loại trừ,luật

đối nhưng không thỏa luật phân phối :

𝐻(𝛼,𝐶(𝛼))=1;𝐼(𝛼,𝐶(𝛼))=0;𝐼(𝛼,𝐻(𝛽,𝛾))≠𝐻(𝐼(𝛼,𝛽),𝐼(𝛼,𝛾))

V SỐ MỜ

V.1 Định nghĩa

Tập mờ A với hàm thuộc A(x) xác định từ R vào [0,1], thỏa 3 điều kiện sau được gọi là số mờ:

 A là một tập mờ chính tắc

 A α là một khoảng đóng ∀𝛼∈[0,1]

 Miền xác định của A phải bị chặn

Số mờ là một tập mờ chính tắc vì số mờ a, phải bao gồm chính số thực a,nghĩa là

số thực a trong tập số mờ có giá trị hàm thuộc bằng 1

Vì nhát cắt 𝛼 là một khoảng đóng ∀𝛼∈[0,1], nên mỗi số mờ là một tập lồi

Theo định nghĩa trên nên số mờ có nhiều dạng khác nhau

Hình vẽ dưới đây minh họa những trường hợp đặc biệt của số mờ.