ung dung phuong phap LG hoa de giai toan

Ở chương trình Toán phổthông, phương pháp lượng giác hóa tỏ ra có hiệu quả trong nhiều vấn đề, chẳnghạn: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất, giảiphương tr

MỞ ĐẦU

Lượng giác có rất nhiều ứng dụng trong nhiều môn khoa học nói chung vànói riêng trong các lĩnh vực khác nhau của Toán học Ở chương trình Toán phổthông, phương pháp lượng giác hóa tỏ ra có hiệu quả trong nhiều vấn đề, chẳnghạn: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất, giảiphương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số, các bài toán về dãy số,tính tích phân, giải các bài toán hình học,…

Ở chương trình lớp 12, các em học sinh đã được học cách giải các bài toán tínhtích phân dạng: ∫ 1−x dx2 ; ∫ y2 −1 ; dy ∫ 1+z dz2 Theo thứ tự ta sử dụng

có thể giải quyết được một số bài toán được xem là “của các anh, chị lớp 12”.Đối với học sinh lớp 12 có thêm một công cụ nữa để giải toán

Trong đề tài này chúng ta sẽ tìm hiểu phương pháp lượng giác hóa vào việcgiải quyết các bài toán về bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, giảiphương trình, bất phương trình Thông qua đó giúp các em học sinh rèn luyệncác kỹ năng cơ bản của Toán học, đặc biệt làm cho các em thấy được sự liên hệgiữa các nội dung Toán học, tạo hứng thú cho các em học sinh khi học Toán.Hơn hết, rèn luyện và phát triển các khả năng tư duy cho các em

Đề tài này được hoàn thành vào tháng 5 năm 2009, nhân dịp này tôi xin bày

tỏ lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám Hiệu trường THPT Nghi Lộc 3 đã tạonhiều điều kiện thuận lợi cho tôi trong công tác giảng dạy tại trường Tôi xinchân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong tổ Toán đã giúp đỡ tôi rất nhiềutrong quá trình công tác và đóng góp những ý kiến quý báu cho tôi

Nghi Lộc, tháng 5 năm 2009

Giáo viên: Nguyễn Trung Thành

I CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Dạng 1 Sử dụng điều kiện của biến x ≤a a( >0)

Dạng 2 Hai biến x, y thỏa mãn điều kiện x2 + y2 =a2 (a >0) .

Phương pháp giải: Đặt x =a sin , t y a= cos , t t∈[0;2π].

Ví dụ 2 Cho x, y thỏa mãn x2 + y2 =1. Chứng minh rằng:1 6 6

Vì 0 sin≤ t ≤1, 0≤ c tos ≤1 nên sin32t≥sin , cos2t 32t≥cos2t Suy ra

sin5 sin 2 cos3 os2 sin 3

2sin cos 4cos 3cos 1 2sin 3sin 4sin

16sin 20sin 5sin

Chú ý Bằng phương pháp tương tự ta có thể chứng minh được bắt đẳng thức

sau: Cho x2 + y2 =1, a2 +b2 =1 Chứng minh rằng: x a b( + +) y u v( − ) ≤ 2

Dạng 3 Sử dụng điều kiện của biến x ≥a a ( >0) .

cos cos cos cos cos cos

Ta có sin(α β+ ) = sinαcosβ +cos sinα β ≤ sinα + sinβ

Do đó sin( x z− ) = sin( ( x y− ) (+ y z− ) ) ≤ sin( x y− ) + sin( y z− )

3

Bài toán 1 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có:

3cos cos cos

Bài toán 4 Cho , , 0;

Dạng 5 - Sử dụng điều kiện của biến: , , a b c>0 thỏa mãn a b c abc+ + =

Phương pháp giải: Đặt a=tan ,A b=tan ,B c =tanC , , , 0;

2

A B C  π 

∈ ÷ Khi đó

, ,

A B C là ba góc trong một tam giác nhọn.

- Sử dụng điều kiện của biến: , , a b c>0 thỏa mãn ab bc ca+ + =1.

2

a= A b= B c = C A B C  π 

∈ ÷ Khi đó 2A, 2B, 2C là ba góc trong một tam giác nhọn

a b c+ + =π a+ a+ c=π hay 2a, 2b, 2c là ba góc trong một tam

giác nhọn do đó: tan 2a+tan 2b+tan 2c=tan 2 tan 2 tan 2a b c Do , , 0;

4

a b c  π 

∈ ÷nên: tan 2 , tan 2 , tan 2a b c>0 Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

3 3

tan 2 tan 2 tan 2 3 tan 2 tan 2 tan 2tan 2 tan 2 tan 2 3 tan 2 tan 2 tan 2tan 2 tan 2 tan 2 3 3

3 3.2

3

a= b= c⇔ = =a b c x y z= = = /.

Ví dụ 11 Cho ba số dương a, b, c sao cho a b c abc+ + = Chứng minh:

Từ giả thiết a b c abc+ + = suy ra:

tanA+tanB+tanC =tan tan tanA B C.Điều này chứng tỏ , ,A B C là ba góc trong một tam giác nhọn.

sin sin sin

3sin sin sin sin sin sin

Từ (3), (4) ta suy ra (2) đúng Vậy (1) được chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A B C= = hay a b c= = = 3 /

Ví dụ 12 (Hàn Quốc 1998) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện

Chứng minh Vì x, y, z là ba số thực dương nên ta có thể đặt

tan , tan , tan , , , 0;

2

x = A y = B z= C A B C  π 

∈ ÷

Từ giả thiết: x y z xyz+ + = , suy ra: tanA+tanB+tanC =tan tan tanA B C

Do đó: A, B, C là ba góc trong một tam giác nhọn

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ABC là tam giác đều hay x y z= = = 3 /

Ví dụ 13 (Mỹ 2001) Cho a, b, c là ba số thực không âm thỏa mãn điều kiện

a + + +b c abc= Chứng minh rằng 0≤ab bc ca abc+ + − ≤2 (4)

Chứng minh Chú ý rằng nếu , , a b c>1 thì a2 + + +b2 c2 abc>4 Do đó phải có

ít nhất một số bé hơn hoặc bằng 1 Không mất tính tổng quát giả sử a≤1.Ta có

1cos cos cos cos cos cos 2cos cos cos

2

Vì: a≤1 nên suy ra: cos 1

cos cos cos cos cos cos 2cos cos cos

cos cos cos cos cos 1 2cos

Đối với bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ta cũng áp dụng phươngpháp giải như đã nêu ở phần trước và chúng ta không nhắc lại nữa Sau đây làmột số ví dụ cụ thể.

Ví dụ 1 Biết rằng x2 +y2 =1 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

2 2

Ví dụ 2 (Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2008, khối B) Cho hai số thực x, y thay

đổi và thỏa mãn hệ thức: x2 +y2 =1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Giải Từ x2 +y2 =1, ta có 2 ( )2 2

1 2+ xy+2y = +x y +2y >0 Do đó P xác định với mọi x, y thỏa mãn x2 + y2 =1 Đặt x =sin ,t y=cos ,t t∈ −[ π π; ] Ta có

2 sin 6sin cos

1 2sin cos 2cos

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 3, nhỏ nhất bằng 6− /

Ví dụ 3 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức S a x= + Biết , , , a b x y thỏa mãn hệ điều kiện

( ) ( ) ( )

Giải Từ các điều kiện (1) và điều kiện (2) ta đặt :

3 sin , 3 cos ; 5sin , 5cos , ,

αα

22

2 2

Suy ra 2 7− ≤ ≤S 2 7 Vậy maxS =2 7, minS = −2 7./

Ví dụ 4 (Đề thi HSGQG 1999 - Đề thi giáo viên dạy giỏi Tỉnh Nghệ An chu kỳ

2008-2011) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc a c b+ + = Tìm giá trị

tan tan tan tan tan tan

tan tan tan 1 tan tantan tan

2cos 2cos 3cos

1 os2 1 os2 3 1 sin

3sin 2sin 3 vì sin 1, sin 0

2 2

2 2

496



 + ≥



II GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH.

Nhiều phương trình, hệ phương trình, bất phương trình giải được nhờ phươngpháp lượng giác hóa Dấu hiệu để sử dụng phương pháp này để giải phươngtrình, hệ phương trình, bất phương trình tương tự như phần trước

1 Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình không có tham số

Rất nhiều phương trình, hệ phương trình, bất phương trình đại số được tạo từcác phương trình đại số nhờ các công thức lượng giác, các hằng đẳng thức lượnggiác Ta bắt đầu bằng một phương trình lượng giác đơn giản: sin3t =cost, sửdụng công thức nhân ba và đặt ẩn phụ ta có phương trình đại số sau:

k t

Tương tự như trên, nếu chúng ta xuất phát từ các phương trình lượng giác,biến đổi và đặt ẩn phụ chúng ta sẽ được các phương trình đại số rất hay.

Nhận xét Từ các ví dụ trên ta thấy nhiều phương trình đại số được giải bằng

phương pháp lượng giác hóa Chúng ta cũng có thể sáng tạo ra những phương trình đại số từ các phương trình lượng giác Chặng hạn: Từ phương trình lượng

giác đối xứng: sin3t c+ os3t= 2 sin cost t , nếu ta biến đổi bằng cách áp dụng công thức sin2t c+ os2t =1, ta có ngay phương trình đại số như sau:

222

Giải Từ các phương trình của hệ ta thấy rõ ràng , , x y z ≠ ±1 Thật vậy:

- Nếu x =1 từ phương trình đầu ta có 2 y y+ = vô lí.

- Nếu x = −1từ phương trình đầu suy ra 2 y− + = y vô lí.

Lí luận tương tự cho các trường hợp y = ±1, z= ±1.

Do đó ta có hệ tương đương:

2 2 2

212121

x y

x y z

y z x

(2) luôn đúng với mọi t∈[ ]0;π Vậy nghiệm của (1) là 1− ≤ ≤x 1./

Ví dụ 5 Với m>0, giải bất phương trình:

2

1 tan1

tan 2coscos

1 sin 2cos2sin sin 1 01

sin 12

2 Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình có chứa tham số

Trong phần này chúng ta sẽ dùng phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toàn có tham số Việc giải quyết như vậy thường đưa về việc giải bài toán lượng giác có tham số

Ví dụ 6 Cho hàm số y=4x3+mx. Xác định m để y ≤1 khi x ≤1

Giải Vì x ≤1 nên ta đặt x=cos , a a∈[ ]0;π khi đó y =4cos3a m+ cosa

y= a− a c= a nên y ≤1 Vậy m= −3./.

Ví dụ 7 Giải và biện luận phương trình: m x+ + m x m− = ( 1) (với tham số m).

Giải Điều kiện x ≤m, m≥0

Ví dụ 8 Xác định tham số m để bất phương trình sau có nghiệm

2

m+ x + m− x ≤ (1) Giải Rõ ràng m<0thì (1) vô nghiệm nên ta chỉ cần xét với m>0

Trường hợp 1 m=0 : ( )1 ⇔ x + − x ≤ ⇔ =2 x 0

Trường hợp 2 m>0 : Ta có điều kiện

00

x x

Ví dụ 9 Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m: x y m

Giải Điều kiện , x y≥0

Từ phương trình đầu của hệ ta thấy nếu m<0 thì hệ vô nghiệm, nên ta chỉ cần xét cho trường hợp m≥0

Trường hợp 1 m=0 Hệ đã cho trở thành

0 0

00

−

41

Bài 1 Giải các phương trình:

x +a = y +b = −x b + y a− Bài 5 Tìm m để các phương trình, bất phương trình sau có nghiệm:

Hãy tìm tất cả các giá trị mà tổng S = + +x y z có thể nhận được.

Bài 7 Giải hệ phương trình ( )

( )

2 2

Tôi tin rằng việc giảng dạy đề tài này cho học sinh sẽ giúp các em rèn luyệncác thao tác tư duy: tương tự hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa,…thấy được sựliên hệ chặt chẽ giữa các nội dung toán học khác với lượng giác Đặc biệt sẽ tạođược hứng thú cho các em khi học toán Phương pháp lượng giác hóa còn rấtnhiều ứng dụng khác nữa mà đề tài chưa đề cập đến Với cách làm tương tự, các

em có thể khai thác tốt phương pháp này giải quyết một số bài toán khác như:Chứng minh đẳng thức, các bài toán về dãy số, tính tích phân, các bài toán hìnhhọc…Tôi xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp, các bạn đọc đã quan tâm vàđóng góp ý kiến cho đề tài này

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Hojoo Lee Topic in Inequalities – Theorem and Techniques (2006).

[2] Bộ Giáo Dục Và Đào Tạo Tuyển chọn theo chuyên đề Toán học & Tuổi

trẻ (2005) (quyển 1) NXB Giáo Dục.

[3] Bộ Giáo Dục Và Đào Tạo Đề thi tuyển sinh vào các trường đại học, cao

đẳng và trung học chuyên nghiệp (1996) NXB Giáo Dục.

[4] Nguyễn Thái Hòe Dùng ẩn phụ để giải Toán (2003) NXB Giáo Dục [5] Sở Giáo Dục Và Đào Tạo Nghệ An Kỷ yếu hội thảo Đổi mới cách dạy,

cách học bộ môn Toán Trung học phổ thông (2008).

[6] Phan Huy Khải Toán nâng cao Lượng giác 11 (1999) NXB Đại học Quốc

Gia Hà Nội

[7] Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4 (Nhiều năm) NXB Giáo Dục.

[8] Vũ Dương Thụy, Nguyễn Văn Nho Tuyển tập 200 bài thi vô địch Toán tập

6 Lượng giác (2004) NXB Giáo Dục