Tìm các giá trị của m để đồ thị C có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.. Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 1.. Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc các cạnh AB, AC sao cho mặ
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HOÁ
Đề chính thức
Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
Năm học: 2010 – 2011 Môn Toán, Lớp 12 THPT
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề
y x= − m+ x − −m x− − m (C m)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị khi m= −1
2 Tìm các giá trị của m để đồ thị ( C có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau m)
Câu II (6,0 điểm)
1 Giải phương trình :cos 2x+cos 3x−sinx−cos 4x=sin 6x
2 Giải bất phương trình: 2 4 2
6(x − + +3x 1) x + + ≤x 1 0
3 Tìm số thực a để phương trình 9 x 9 3 cos(x )
a πx
+ = có nghiệm thực duy nhất
Câu III (2,0 điểm) Tính tích phân: 2
3 0
sin (sin 3 cos )
x
dx
π
+
Câu IV (6,0 điểm)
1 Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 1 Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc các
cạnh AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Đặt
,
AM =x AN =y Tìm ,x y để diện tích toàn phần của tứ diện DAMN nhỏ nhất.
2 Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng :∆ − + =x y 5 0 và hai elíp
25 16
a b
điểm M thuộc đường thẳng ∆ Tìm toạ độ điểm M sao cho ( )E có độ dài trục lớn nhỏ nhất.2
3 Trong không gian Oxyz cho điểm M(0;2;0) và hai đường thẳng
1
¡ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua
M song song với trục Ox , sao cho (P) cắt hai đường thẳng ∆1 và ∆2 tại lần lượt A, B thoả mãn AB = 1
Câu V (2,0 điểm) Cho các số thực , ,a b c thoả mãn
3
a b c
ab bc ca
+ + =
+ + = −
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P a= 6+ +b6 c6
-Hết -Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Trang 2Gợi ý Câu II 1 Giải phương trình : cos 2x+cos3x−sinx−cos 4x=sin 6x
PT tương đương: cos2x - cos4x - sinx = sin6x - cos3x
2
¢ )
II 2 Giải bất phương trình: 6(x2− + +3x 1) x4+ + ≤x2 1 0
D = R
x = 0 không là nghiệm
x > 0 Chia 2 vế cho x,
2
2
1
2
5
x t
x
t t
≤ ≤
x
II 3 Tìm số thực a để phương trình 9 x+ =9 a3 cos(x πx) có nghiệm thực duy nhất
NX x và 2 - x là nghiệm suy ra ĐK cần x = 1 suy ra a = - 6
Thử lại thấy thỏa mãn
III Tính tích phân: I =2
3 0
sin (sin 3 cos )
x
dx
π
+
HD dùng liên kết: Xét: 2
3 0
s (sin 3 cos )
co x
π
=
+
∫ Sau đó tính tích phân:
I+ J = I J− = → =I
IV 2 Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng :∆ − + =x y 5 0 và hai elíp
25 16
a b
thuộc đường thẳng ∆ Tìm toạ độ điểm M sao cho ( )E có độ dài trục lớn nhỏ nhất.2
(E2) có c2 = a2 - b2 = 9 và qua M(t; t + 5) Vậy tìm t để: 2 ( )2 ( )
5
1 * 9
t t
a a
+
− có a > 0 nhỏ nhất PT(*)
tương đương ( 2 ) 2 2 2( 2 ) ( )
2a −9 t +10a t a a− −34 =0 ** có nghiệm t khi
TH1: 3
2
a= loại
TH2:
2
2
17 0
9 ( )
a
a loai
≥
Trang 3Vậy a= 17 nên t = -17/5 suy ra M(-17/5;8/5)
IV 3 Trong không gian Oxyz cho điểm M(0;2;0) và hai đường thẳng
1
¡ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M song
song với trục Ox, sao cho (P) cắt hai đường thẳng ∆1 và ∆2 tại lần lượt A, B thoả mãn AB = 1
Vì (P) song song Ox suy ra (P): b(y - 2) + cz = 0 Mặt khác b = 0 không thỏa mãn nên (P): y + mz - 2
= 0
(P) giao với hai đường thẳng lần lượt tai
AB = 1 Đặt
( )
1 3
1
4
t VN m
t
=
−
Vậy (P): 4y - z - 8 = 0
4 IV 1 Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 1 Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc
các cạnh AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Đặt
,
AM =x AN =y Tìm ,x y để diện tích toàn phần của tứ diện DAMN nhỏ nhất.
(HSG TP Hà Nội năm 2006 - 2007)
HD: mp(DMN) chứa đường cao DO của tứ diện CM được x + y = 3xy
3
4 x y xy+ + + 6 x +y −xy ≥ xy+ 6 xy
V Cho các số thực , ,a b c thoả mãn
3
a b c
ab bc ca
+ + =
+ + = −
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 6 6 6
P a= + +b c tiếp tục cập nhật