Bài tập toán cao cấp - Dùng cho nhóm ngành kinh tế

LỜI NÓI ĐẦUĐ ể giúp sinh viên theo học nhóm ngành kinh tế, tiếp thu tốt phần Giải tích và đại số tuyển tính, chúng tôi soạn thảo cuốn sách Bài Tập Toán Cao Cấp.. Nội dung cuốn sách gồm p

GS TRẦN VẮN HẠO GS NGUYÊN BÁC VẤN

GS NGUYỄN VÃN THÊM - GV NGUYÊN VÃN TẤN

DÙNG CHO NHÓM NGÀNH KINH TẾ

LỜI NÓI ĐẦU

Đ ể giúp sinh viên theo học nhóm ngành kinh tế, tiếp thu tốt phần Giải tích và đại số tuyển tính, chúng tôi soạn thảo cuốn sách Bài Tập Toán Cao Cấp Nội dung cuốn sách gồm phần tóm tắt lý thuyết, lời giải của các bài toán chọn lọc trong giáo trinh Giải tích của GS Nguyễn Bác Văn - GS Nguyễn Văn Thêm và giáo trình Đại số tuyến tính của GS - Trần Văn Hạo - T S Bùi Công Cường Phần bài tập tự giải nhằm giúp sinh viên rèn luyện khả năng vận dụng

lý thuyết đ ể giải các bài toán đặt ra Một số bài tập còn có tác dụng bổ sung, mở rộng thêm phần lý thuyết trong giáo trình.

Chúng tôi hi vọng cuốn sách sẽ giúp ích cho sinh viên trong quá trình học tập và rất mong nhận được những ỷ kiến đóng góp xây dựng của bạn đọc.

Các tác giả

• Tính đạo hàm và đạo hàm riêng.

• Vi phân toàn phần của hàm hai biến

• Cực trị, giá trị lớn n h ấ t và nhỏ nhất

• Khai triển Mac-laurin

• Tính tích phân

• Sự hội tụ của chuỗi số

• Sự hội tụ của chuỗi số nguyên

• Phương trìn h vi phân

3

BT Toản cao cấp

Vấn đề u s ố PHỨC

1 C ách tìm d ạ n g lư ợ n g g iá c củ a số’ phức X+Yi :

(a) Tính m ô-đun r = yỊx2 + y 2

(b) Tính ac-gu-m en 9, nhớ 0 là góc lượng giác với

• Khi X < 0 ta lấy 0 = arctg

khi đó : - X > 0

-X

2 5Phương trìn h xz +x + ^- = 0 có biệt sô" A = -4 , vậyVÃ= 2i hoặc -2i Phương trìn h có 2 nghiệm phức:

X = [ cos ( tt - arctg2) + i sin (x - arctg2)j

Đó- là dạng lượng giác của số phức x \

Phần 1 - Tóm tắt lý thuyết

Gọi u = X 2 th ì u là vô cùng bé và ta có ln(l+u) » u (tương đương), vậy theo quy tắc thay vô cùng bẻ tương đương, ta có:

limx->0

(bỏ bớt X 3 là vô cùng bé bậc cao hơn so với X, xem

số 8 Chương I, Giáo trìn h Giải Tích)

1 C ách tín h đ ạ o h à m r iê n g : Muốn tín h dạo hàm

riêng f y của h àm hai biến f(x,y) ta cứ xem X như m ột

h ằn g số

8

B ĩ Toán cao cấp

Thí du: f(x,y) = eysinx + X3

xem X là hằng số’, ta chỉ việc tính đạo hàm như hàm sô" của một biến y, do đó ta được

CỦA HÀM HAI BIẾN

1 Vi p h â n to à n phẩn: Vi phân (toàn phần) của

hàm hai biến z = f(x,y) tại điểm (xo,yo) là :

dz = fx (x0y0) Ax + fy (x0y0 )Ay

Cần nhd : sự tồn tại các đạo hàm riêng

fx(x0,y0) và fy(x0y0) chưa phải là đủ để hàm số Kx,y) có vi phân toàn phần tại (xo,yo)

2 Ý n g h ĩa củ a v i p h â n to à n ph ần : khi Ax và Ay

cùng tiến đến 0, th ì dz - Az là vô cùng bé bậc cao

hơn so với vô cùng bé Ạ ax )2 +(Ay)2

Phần 1 - Tóm tắt lý thuyết

3 Á p d ụ n g : Cho hàm hai biến z = yfxỹ.

a) Tính vi p h ân toàn phần tạ i điểm (1,4)

Ax=0,015 ; Ày=0,02 xuất p h á t từ điểm (1,4)

Vì đz-Az r ấ t nhỏ so với Ậ a x ) 1+(Ay)2 , nên ta có

th ể xem như Az « dz (« đọc là xấp xỉ), ở đây

1 K hảo s á t c ự c đ ạ i, c ự c t iể u đ ịa phương:

Nếu dùng đạo h àm cấp m ột, sau k h i th ấy f(xo)=0

10

BT Toán cao cấp

(xem 2.6.3, Chương II, Giáo trình giải tích) ta sẽ khảo sá t tính tăn g giảm của hàm f(x) để xác minh điểm Xo có đúng là điểm cực trị địa phương hay không

2 D ù n g đạo hàm cấp hai:

Sau khi thấy f(x o ) = 0 Xo gọi là điểm dừng, chương II),Nếu f ’(x0) > 0 th ì điểm dừng Xo là điểm cực tiểu địa phương,

Nếu f ’(x0) < 0 thì điểm dừng Xo là điểm cực đại địa phương

3 Tìm g iá trị nhỏ n h ấ t, íớn n h â t của hàm sô f(x) ở tr ê n m ột đ oạn [a,b].

Nếu Kx) liên tục ở trên [a,b] và khả vi (có đạo hàm ) ở trong khoảng (a,b), thì làm như sau:

a) Tìm tấ t cả các điểm dừng tức là tìm các nghiệm ở trong (a,b) của phương trìn h f (x)=0,

• lớn n h ấ t (nhỏ nhất) trong số đó sẽ là giá trị

1 C ôn g th ứ c M ac - L au rin l à c ô n g th ứ c T aylor

k h i a=0 Í2.4.2-2.4.3, chương II, bỏ chứng minh).

Bài tập : số 18 chương II

2 K h ai t r iể n M ac - L au rín v ớ i p h ầ n dư d ạ n g

P eatib (cồn “k h ai triể n Mac - Laurin với p h ần dư

chính xác” lại là công thức Mac - Laurin ở điểm 1)

2.5.3 - 2.5.4 chương II, bỏ chứng m inh

B.ài tập: số 24 chương II.

12

Thay f(x/=cosx, n=2k+l ta được

với

1- — + ^ — (-Ok (2k[7+ có tổng bằng cosx.Tổng riêng Sk (tổng của k số h ạn g đầu) của chuỗi này là

Phần 1 - Tóm ‘tắt lý thuyết

1C2 X4 , ,

S- =1' T Ĩ + 4 - (- l)

k *2k 'k 1 2! ’ 4 (2k)!

Theo công thức M ac-Laurin ta có (câu a):

cpsx - Sk =

x 2 k + 2(2k + 2)i cos[0x + (k + 1)ji] ,

14

BT Toán cao cấp

1 P hư ơng ph áp đ ổ i biên:

'Xem chương III, sô" 5(a), 5(b), 5(c), 5(d) (Thí dụdùng quy tắc đổi biến II)

Xem th í dụ: tính

chương IV

j \ / l - u 2du,0

quy tắc đổi biến II,

0Bài tập : số 49, 50, 51 chương IV

1* Định nghĩa bán kính hội tụ: Một chuỗi luỹ thừa

2 anx bao giờ cũng hội tụ tuyêt đôi với |x| < R và

2 w|anx p h ân kỳ vớiịxị > R, (Ix l là mô đun của sô" phức X ,' hay ỉà trị tuyệt đối của sô' thực x) Số R > 0 gọi là bán kín h hội tụ của chuỗi nguyên 2 ] a nxn Sô"

R tùy thuộc vào chuỗi Xn

• Thí du (a): chuỗi nguyên

2 ^nnxa = l.x + 22x2+ +nnxn+„ phân kỳ với ị x !>0

1

(tức là X 0), vì n |x l - > +00 khi n ~>x (khi |xỊ>0) vậy |n nxn Ị = ( n |x |) n cũng -» +x khi n-> X, điều kiện cần để hội tụ không có

Vậy bán kính hội tụ R=0

X2

(2k + l)(2k + 2) - 0

với mọi giá trị X cố định

x2k

tức là chuỗi T ^ (-l)k x2k hội tụ tuyệt đối với:_ _ „

Ta có : lim

?: n~>ĩo

_ _1

(n + l)(n + 2)1

nlimn->* n + 2 = 1(= 0

Suy từ tiêu chuẩn Cauchy.

Bài tập : h ai bài tìm bán kín h hội tụ ở chương chuỗi,

tỷ lệ xem như đã biết

2 Phương trìn h biến p h ân ly : f(x)dx + g(y)dy =0 Giải : Jf(x)dx + Jg(y)dy = c

Thí du : Bài 96 (Phương trìn h vi phân), yy’=4 hay ydy=4dx

3 Phương trìn h đẳng cấp:

P(x,y)dx+Q (x,y)dy=0với P(x,y) và Q(x,y) là các h àm số đẳng cấp cùng bậ^

20

Phần 1 - Tóm tắt lý thuyết

Giải : Đ ặt — = u, đưa về xdu + (2u+l)dx =0, có hai

■ X

nghiệm đặc biệt là: (a) x=0, và (b) u = 2 ^

X

y

2-Không kể hai nghiệm (a), (b) đó ta có thể xem x*0

và (2u+l) * 0, phương trình đưa về biến phân ly:

2u + l X ’nghiệm tổng quát sẽ là

4 Phương trìn h tuyến tính, vế phải 0:

a(x)y’ + b(x)y =0

(a) trước h ế t tìm m ột nghiệm riên g ụ=u(x) của phương trìn h v ế p h ải 0: a(x)u’+b(x)u=0

( b ) sau đ ó đ ặ t y=uv, và tìm nghiệm tổng quát V

c(x)của phương trìn h a(x)uv’=c(x) tức là v' (x) = —7-7-7 -

a(x)u(x)Thí du: bài 99 (Phương trìn h vi phân), giải xy’+2y=x2

6 Phương trìn h Bernoulli: y’=flx)y+g(x)yr (r*0, r* l)

Giải: đ ặ t w=y1"r sẽ đưa về

w’=(l-r)K x)w +(l-r)g(x) là phương trìn h tuyến tín h đối với hàm w(x), giải như điểm 5

Thí du: b à i 101 (phương trìn h vi phân)

7 Phương trìn h vi p h ân cấp hai, d ạn g giảm cấp

y = ±e C3 eCzX hay y = C4e C2X là nghiệm tổng quát.

8 Phương trìn h cấp hai với hệ số' hằng, vế phải 0:y» + py’ + qy =0 (p?q Ịà hằng).

Giải : Trước hết, giải phương trìn h đặc trưng k2+pk+q=0

2

(a) Nếu — - q > 0 , hai nghiệm thực phân biệt là

ki, k2 Nghiệm tổng quát của phươpg trìn h vi phân là

y = C 1e k‘x + C 2e k2X

Thí du (a) bài 103, (b) bài 104, (c) bài 105.

(Y”-6 y ’+13y = 0) Chương phương trìn h vi phân

9 Phương trìn h cấp hai tuyến tin h , v ế phải dạng

hàm mũ: y”+py’+qy = aemx (p, q, a, m là hằng, a T 0).

Giải: Nghiệm tổng quát = m ột nghiệm riêng + nghiệm tổng quát của phương trìn h y”+py+q = 0

Cách tìm m ột nghiệm tiêng:

(a) Nếu m không nghiệm phương trìn h đặc trưng

k 2+pk+q = 0, thì tìm nghiệm riêng dưới dạng Aemx (xác định h ằ n g A);

(b) Nếu m là nghiêm đơn phương trìn h đặc trưng,

th ì tìm nghiệm riêng dưới dạng Axemx;

(c) Nếu m là nghiệm kép, thì tìm nghiệm riên g Ax2emx

24

Thí du (a) : Giải y”-5y’+6y = ex (bài 106 phương trìn h vi phân).

Phương trình đặc trưng là k2-5k+6 = 0, có 2 nghiệm thực ki = 3, k 2 = 2; vậy Cie3x+C2e2x là nghiệm tổng quát của phương trìn h không vế phải

Vế phải emx (m = 1 không nghiệm phương trình đặc trưng), tìm nghiệm riêng dạng y = Aex : y’ = Aex, y” = Aex, thay vào phương trình đã cho, thấy Aex-5Aex+6Aex = ex vậy 2A = 1 hay A = 1/2 Nghiệmtổng quát phải tìm là : —e x + C je3x + c 2e 2x

10 Phương trìn h cấp hái tuyến tính, vế phải lượng giác: y”+py’+qy = Mcoscox + Nsinox (p, q, M, N, © là hằng)

Giải : Nghiệm tổng quát = một nghiệm riêng + nghiệm tổng quát của phương trình yV p^+ q = 0

Phương trìn h đặc trứng là k 2-4k+4 = 0, có nghiệm

kép ko = 2 Nghiệm tổng quát của phương trìn h

y”-4 y ’+4y = 0 là e2x(Ci + c 2x) v ế phải coscox (<B=1,

ico=i không nghiệm phương trìn h đặc trưng)

Tìm nghiệm riên g dạng y = Acosx + Bsinx:

y’ = - Asinx + Bcosx, y” = - Acosx - Bsinx,

thay vào phương trin h ban dầu, thấy

Phần 1 - Tóm tắt lý thuyết

(3A - 4B)coồx + (4A + 3B)sinx = lcosx + Osinx,

cho bằng nhau hệ số của cosx ở hai vế, hệ số’ của sinx ở h ai v ế ta được

_ 3

Í3 A -4 B = 1

từ ca y rú t ra4A + 3B = 0

A =B25

2x(Ci + C 2X)

11 Phương trìn h cấp h ai tuyến tính, vê phải là đa thức là da thức P(x) bậc n

P(x)=anxn + an_iXn_1 + + aix + a0

(H ằng sô' được coi là đa thức bậc 0)

Y”+py’+qy = P(x) đa thức bậc n (n > 0)

26

e 2x (C iC os3x+C 2sin 3 x ) (theo 8(c)).

Nghiệm tổng quát của phương trìn h ban đầu là

vậy, n h ân m ột ma trậ n với một số), ta thực hiện

n h ân số đó với từng phần tử của ma trậ n :

BT Toán cao cấp

T h ứ t ư : Phép nhân hai ma trận A và B chỉ được

thực hiện khi sô' cột của ma trận đứng trước bằng số dòng của ma trậ n đứng sau

Nếu thực hiện A B thì số cột của A phải bằng sô' dòng của B

Nếu thực hiện B A thì sô' cột của B phải bằng sô' dòng của A

t

Phần tử hàng

i cột j của ma trân tíchCông thức phép nhân 1

Ví dụ : A = 0 -1 5 ; B = 2 -1

Phần 1 - Tóm tắt lý thuyết

thực hiện A B : thực hiện được vì sô" cột của ma trậ n đứng trước A bằng sô" đòng của ma trậ n đứng sau B (cùng bằng 3)

Phần tử dòng 1 cột 1 của A B là-Cn, được tín h bởi: lây dòng 1 của A n h â n với cột 1 của B :

Nếu AB thực h iện được chưa chắc B

hiện được (chẳng h ạ n với A và B như ví dụ trê n thì B A không thực hiện được ! vì sao ?)

• Nếu A và B là các ma trậ n vuông cùng cấp thì

A B và B A đều thực hiện được Nhưng nói chung A B * B A

34

đó viết tiếp 2 cột nữa, cột thứ 4 trùng với cột 1 và cột thứ 5 trùng với cột 2 :

Phẩn 1 - Tóm tắt lý thuyết

A là tổn g của 6 s ố h ạn g, ba số đầu m ang dấu + là

tích của 3 phần tử nằm song song với đường chéo chính aib2c3 và 3 sô" sau m ang dâu - là tích của 3

phần tử nằm song song với đường chéo phụ Cib2a3.

có n cái định thức cấp n - 1) Ta nên chọn dòng (hay, cộ.t) nào CQ_ nhiều s ố không n h ấ t _đẩJ d i a i triển (mỗi số’ 0 như vậy giúp ta loại bớt m ột định thức cấp n-1) Như vậy, trước khi tính ta nên dùng các tín h ch ất để biến dổi sao cho thu được dòng (hay cột) có nhiều s ố

không n h ấ t sau đó mới tính

N hân với - 3 rồi cộng vào dòng 1

N hân với - 2 rồi cộng vào dòng 3

N hân với - 4 rồi cộng vào dòng 4

-Nhân với 1 cộng vào cột 2

Nhân vđi 13 cộng vào cột 2

- 5 - 2 -6 1

7 - 5 -8 0khai triể n D theo dòng 1 ta được :

3 J

Phương pháp 2: Dùng biến đổi sơ cấp

Để tìm A-1 b ằn g phương pháp này ta làm như sau:

• Viết thêm vào bên phải A m ột m a trậ n đơn vị I cùng cấp với A : (A11)

• Thực h iện các phép biến đổi sơ cấp trê n dòng cho (A Id sao cho cuối cùng đưa được (A II) về ( l|B )

k h i đó B chính là A 1 (Nếu không đưa đươc về (IIB ) trong trường hợp này A là suy biến, không có A 1)

có các p h ần tử trê n đường chéo chính khác 0 bằng cách bỏ đi các dòng hay các cột' có to àn p h ần tử 0 Khi đó ran k của m a tr ậ n cần tìm chính là cấp của

ma trậ n tam giác trên

N hân với -5 cộng vào dòng 2

N hân với 9 cộng vào dòng 3

N hân với -3 cộng vào dòng 5 Đổi chỗ cho dòng 2

Phần 1 - Tóm tắt lý thuyết

Lây cột 1 n h ân (-4) cộng vào cột 4 sau đồ bỏ cột 4 Chia các dòng 3 cho 40, dòng 4 cho (-27), dòng 5 cho (-13) sau đó lấy dòng 3 mới n h â n (-1) cộng vào dòng

p.a = (p.ai, p.a2, p.an) với p là sô' thực

v ấ n để 6 : S ự PHỤ THUỘC TUYẾN TINH V A

Ta có : cho hệ vectơ Xi, x2, xn

với X i = (au, a¡ 2 , a in)và cho kl, k2, , k n là các sô" thực

=> hệ Xi, X2, x3 này là độc lập tuyến tính.

Chú ý : như vậy, trong trường hợp tổng quát, để xác định sự độc lập hay phụ thuộc tuyến tín h của hệ

B T Toán cao cấp

Cơ sở của không gian Rn phải là hệ có n vectơ đôc lập tuyến tính Vậy :

Hệ Xi, x2, Xn là cơ sở của Rn

BT Toán cao cấp

2 Chuyển tọ a độ c ủ a vectơ từ cơ sở n à y san g cơ

sở k h á c :

Nếu trong cơ sở (1) : < U i , u2, un > vectơ X

là X = aiUj + a2U2 + + anun

Thì trong đó cơ sở (2) : <V 1 , v2, ., vn > vectơ

X = XiVx + X2V2 + + xnvn

với (Xi, X2, , x„) = (ab a2, ., an).T

Thí dụ : Tìm tọa độ của vectơ X = (3, 1, 2, -1) đối với cơ sở Ui, u2, u3, u4 với

Ma trậ n chuyển từ cơ sở đơn vị Vx, v2, v3, v4 sang

cơ sở Ui, u2, u3, u4 là :

V ấn đ ề l ô ĩ CHỨNG M INH MỘT T Ậ P H 0 P VỚI 2 P H É P TOÁN I Ầ KHÔNG GIAN T inrỂ N

TÍNH»

Ta phải chứng m inh VỞỊ hai phép to án thỏa m ãn

hệ 8 tiên dề < xem b ài giảng >

Ví dụ : Ta gọi C{ab] là tập hợp tấ t cả các hàm số xác định và liên tục trê n đoan [a,b]

50

B T Toán cao cấp

Với hai phép toán: Phép cộng trên C|a,bi là cộng các hàm sô" như đã biết; phép nhân một sô" thực với một phần tử của C|abi là phép nhân một sô" với một

hàm số như đã biết Khi đó C[a bi là một không gian