luận văn phát triển năng lực toán học của học sinh trung học cơ sở thông qua việc dạy các bài toán thực tiễn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC --- NGUYỄN TIẾN LƯỢNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TOÁN HỌC CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ THÔNG QUA VIỆC DẠY CÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN LUẬN VĂN THẠC SĨ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC -

NGUYỄN TIẾN LƯỢNG

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TOÁN HỌC CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ THÔNG QUA VIỆC DẠY

CÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI – 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC -

NGUYỄN TIẾN LƯỢNG

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TOÁN HỌC CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ THÔNG QUA VIỆC DẠY

CÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

Để hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy côgiáo, hội đồng khoa học, ban giám hiệu và tập thể cán bộ, giảng viên trườngĐại học Giáo dục – Đại học Quốc Gia Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiệnthuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu đề tài.

Trong thời gian qua, ngoài sự nỗ lực của bản thân, đề tài luận văn đượchoàn thành với sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của GS.TS Nguyễn HữuChâu Xin trân trọng gửi tới thầy lời biết ơn chân thành và sâu sắc của tác giả

Tác giả cũng xin cảm ơn sự quan tâm tạo điều kiện của ban lãnh đạo SởGiáo dục – Đào tạo Nam Định và ban giám hiệu cùng các thầy cô công tác tạitrường THCS Nam An, THCS Nam Nghĩa đã tạo điều kiện thuận lợi nhất chotác giả trong quá trình thực hiện đề tài

Lời cảm ơn chân thành của tác giả cũng xin được dành cho người thân,gia đình và bạn bè, đặc biệt là lớp cao học Lý luận và Phương pháp dạy học(bộ môn Toán) khóa 7 trường Đại học Giáo Dục – Đại học Quốc Gia Hà Nội

Vì trong suốt thời gian qua đã cổ vũ động viên, tiếp thêm sức mạnh cho tácgiả hoàn thành nhiệm vụ của mình

Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn này chắc chắn không tránhkhỏi thiếu xót cần góp ý, sửa chữa Tác giả rất mong nhận được những ý kiếnđóng góp quý báu của các thầy giáo, cô giáo và các bạn đồng nghiệp để luậnvăn này được hoàn thiện

Xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, Tháng 05 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Tiến Lượng

DANH MỤC HÌNH

Trang

Hình 1.1 Bảng báo giá cước của hãng Taxi Group 27

Hình 1.2 Mô hình 3D của Twisted Building 32

Hình 1.3 Hình biểu diễn các góc nhìn của tòa nhà 32

Hình 1.4 Hình biểu diễn tầng trệt của tòa nhà 33

Hình 1.5 Bức tường đang xây 35

Hình 2.1 Cửa xoay ba cánh 55

Hình 2.2 Hình biểu diễn nhìn từ phía trên cửa xoay ba cánh 56 Hình 2.3 Hình biểu diễn đường đi của không khí 56

Hình 2.4 Hình ảnh bạn Hoa lát nền nhà 61

Hình 2.5 Giảm giá điện thoại 66

Hình 2.6 Bảng huy động lãi xuất ngân hàng 71

Hinh 2.7 Bảng giá vàng 72

Hình 2.8 Hình ảnh tháp Phổ Minh và tờ tiền có in hình tháp Phổ Minh 80

DANH MỤC SƠ ĐỒ Trang Sơ đồ 1.1 Biểu diễn các thành phần cấu trúc của năng lực 16

Sơ đồ 1.2 Các năng lực chuyên môn trong môn Toán 18

Sơ đồ 1.3 Quy trình toán học hóa trong các bài toán của

PISA 23

Sơ đồ 1.4 Biếu diễn các cấp độ năng lực toán học 25

Sơ đồ 2.1 Quy trình thiết kế và tổ chức dạy học với các bài

Phiếu KS – HS Trường THCS ……….

PHIẾU THU THẬP THÔNG TIN

Em hãy khoanh tròn vào chữ cái trước mỗi đáp án phù hợp với suy nghĩ của

em nhất

1 Môn toán là môn học:

a, Rất hấp dẫn b, Bình thường c, Không hấp dẫn

2 Kiến thức toán em được học:

a, Có thể vận dụng nhiều trong cuộc sống hằng ngày

b, Có vận dụng nhưng không đáng kể

c, Không vận dụng được gì trong cuộc sống

3 Trong quá trình học tập tại nhà trường các em có được thường xuyên tiếp xúc với những bài toán có nội dung thực tiễn không?

a, Thường xuyên b, Không thường xuyên c, Không bao

thực tiễn, các giáo viên không chú trọng đến việc dạy toán gắn với thực tiễn

và các em có nhu cầu cao trong việc học tập môn toán gắn với thực tiễn Ngoài ra với những hiểu biết về chuyên môn của bản thân, chúng tôi cũngnhận thấy rằng, việc dạy toán có nội dung gắn với thực tiễn là rất cần thiếttrong việc tạo động lực cũng như phát triển các năng lực toán học cho các em

Đó chính là lí do chúng tôi chọn đề tài này

Qua quá trình nghiên cứu chúng tôi tìm ra được một số mâu thuẫn cơ bảnsau:

1.1 Mâu thuẫn giữa yêu cầu đòi hỏi nguồn nhân lực chất lượng cao của thời đại với thực tế khả năng đáp ứng hạn chế của giáo dục, đào tạo

Những năm đầu thế kỷ XXI, tình hình kinh tế thế giới phát triển theo một

số xu hướng sau: Xu hướng quốc tế hóa nền kinh tế thế giới Xu hướngchuyển sang nền kinh tế có cơ sở vật chất kỹ thuật mới về chất, một nền vănminh hậu công nghiệp và nền kinh tế trí tuệ đang hình thành và phát triển Xuhướng cải tổ và đổi mới nền kinh tế thế giới Đứng trước tình hình đó, với vaitrò chuẩn bị lực lượng lao động cho xã hội, Giáo dục cũng luôn phải vậnđộng, chuyển biến, đổi mới nhằm đáp ứng tình hình Tuy nhiên, theo quy luậtphát triển tự nhiên, giáo dục luôn bị lạc hậu và phát triển chậm hơn so với sựphát triển chung của xã hội

Để theo kịp xu hướng phát triển chung của thời đại, Giáo dục Việt Namtrong những năm gần đây đã, đang và không ngừng cải tiến, liên tục đổi mới,hướng tới một nền giáo dục tiến bộ, hiện đại, dần theo kịp nền giáo dục tiêntiến của các nước trong khu vực và trên thế giới Điều này phần nào được thểhiện thông qua kết quả cao mà Việt Nam đã đạt được trong hai trương trìnhkhảo sát học sinh mà Việt Nam tham gia khảo sát năm 2013 Một là chươngtrình khảo sát PASEC 10 (chương trình phân tích các hệ thống giáo dụccủa Hội nghị các Bộ trưởng giáo dục các nước sử dụng tiếng Pháp) ViệtNam tham gia chương trình này nhằm đánh giá kết quả học tập của học sinhlớp 2 và lớp 5 trong lĩnh vực Toán và Tiếng Việt vào đầu và cuối năm học,

đồng thời thu thập những thông tin về những nhân tố tác động đến kết quả

học tập của học sinh Hai là chương trình PISA viết tắt của “Programme for

International Student Assesment - Chương trình đánh giá học sinh quốc tế” do

OECD (Tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế thế giới -Organization for

Economic Cooperation and Development) khởi xướng và chỉ đạo Mục tiêu

của chương trình PISA nhằm kiểm tra xem, khi đến độ tuổi kết thúc phần giáodục bắt buộc, học sinh đã được chuẩn bị để đáp ứng các thách thức của cuộcsống sau này ở mức độ nào

Tuy nhiên, đứng trước thành tích đã đạt được, Giáo dục Việt Nam vẫn cònkhông ít những hạn chế Giáo dục vẫn còn nặng về lý thuyết, chưa thật sự chútrọng đến thực tiễn Giáo dục Việt Nam đang tạo ra những thế hệ học sinh,sinh viên được trang bị rất tốt về lý thuyết nhưng lại rất hạn chế về thực hành.Các em có thể giải quyết được những bài toán khó nhưng lại bỡ ngỡ trướcmột vấn đề thực tiễn đơn giản Đa số học sinh sau khi hoàn thành bậc họctrung học phổ thông đều chưa được tư vấn, định hướng trước về một côngviệc cụ thể nào và theo đó càng không được trang bị những kiến thức, kĩ năng

để làm công việc nào đó Chính thực tế này đòi hỏi Giáo dục Việt Nam phảitích cực hơn nữa, tiếp tục tìm tòi, đổi mới nội dung cũng như phương phápgiảng dạy ở tất cả các cấp và các khối, lớp, đưa việc dạy lí thuyết gắn liền vớithực tiễn, lấy lí thuyết làm nền tảng cho hoạt thực tiễn, ngược lại từ thực tiễnxây dựng, hình thành nên lý thuyết, dùng thực tiễn để kiểm tra lý thuyết, khi

đó lý thuyết mới có ý nghĩa với học sinh, đồng thời hình thành cho học sinhnhững năng lực, phẩm chất cần thiết cho lao động và cuộc sống

1.2 Mâu thuẫn giữa Lý luận và Thực tiễn

Căn cứ vào Hiến pháp nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam năm

1992 đã được sửa đổi, bổ sung theo Nghị quyết số 51/2001/QH10 ngày 25tháng 12 năm 2001 của Quốc hội khóa X, kỳ họp thứ 10 Luật giáo dục tại

chương I, điều 3, khoản 2 ghi rõ : “Hoạt động giáo dục phải được thực hiện

theo nguyên lý học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, lý

luận gắn liền với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình

và giáo dục xã hội.”

Trong nguyên lí giáo dục cũng nêu rõ: “Học đi đôi với hành, giáo dục

kết hợp với lao động sản xuất, lí luận gắn liền với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội” [Phạm Viết Vượng,

tr 89] Trong Lí luận dạy học cũng có nguyên tắc: “Đảm bảo sự thống nhất

giữa lí luận và thực tiễn” [Nguyễn Bá Kim, tr 67].

Chính vì vậy, với việc dạy học nói chung và dạy học bộ môn Toán nóiriêng, vai trò của việc vận dụng kiến thức vào thực tế là cấp thiết và mang tínhthời sự

Qua kết quả khảo sát chúng tôi đã nêu ở trên và tìm hiểu qua tài liệu, báochí và một số kênh thông tin khác chúng tôi nhận thấy một thực tế trong dạyhọc môn Toán ở bậc Trung học hiện nay đó là những ứng dụng của Toán họcvào thực tiễn chưa được quan tâm một cách đúng mức và thường xuyên Cónhiều lý do khác nhau nhưng chủ yếu vẫn là để đối phó với các kì thi, giáoviên Toán thường tập trung vào những vấn đề, những bài toán mang đậm tínhchất nội bộ toán học mà ít chú ý nhiều đến những nội dung liên môn và thực

tế Vì vậy mà việc phát triển cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức đã học

để giải quyết các bài toán có nội dung thực tế còn yếu Khi nói về vấn đề “học

phải đi đôi với hành” GV thường đổ lỗi do thiếu thốn về cơ sở vật chất, trang

thiết bị thực hành nhưng thực tế cho thấy khi được cung cấp tương đối đầy đủ

về trang thiết bị thì nhiều giáo viên lại tỏ ra lúng túng trong việc sử dụng, một

bộ phận không nhỏ giáo viên thì lười nhác trong việc sử dụng trang thiết bịvào dạy học Một phần nguyên nhân này là do giáo viên cũng là sản phẩm củamột nền giáo dục cũ, phần khác hình thức giáo dục truyền thống đã ăn sâuvào tiềm thức các thế hệ giáo viên Tiếp nữa là do các hình thức kiểm tra,đánh giá của nước ta chỉ tập trung nhiều vào đánh giá lí thuyết của học sinh

mà ít đánh giá kỹ năng thực hành của họ Do đó cần có các phương pháp, quytrình cụ thể làm thay đổi cách dạy, cách học của giáo viên và học sinh, đưa

học sinh làm quen dần với việc vận dụng lý thuyết để giải quyết những vấn đềthực tiễn.

1.3 Mâu thuẫn giữa Mục tiêu giáo dục với Nội dung, Phương pháp dạy học môn toán hiện nay

Trong chương trình giáo dục phổ thông (2006) đã đề ra mục tiêu môn

toán cấp trung học phổ thông là: “Giúp học sinh giải toán và vận dụng kiến

thức toán học trong học tập và đời sống” [chương trình tr 92] Trong phần

chuẩn kiến thức và kỹ năng môn toán THCS đã xác định về kĩ năng của học

sinh: “Biết vận dụng các kiến thức đã học để trả lời câu hỏi, giải bài tập, làm

thực hành, có kỹ năng tính toán, vẽ hình, dựng biểu đồ…”

Tuy nhiên, chúng ta đều nhận thấy sách giáo khoa hiện vẫn còn nặng vềnội dung, kiến thức, không phù hợp với mục tiêu giáo dục Vì ngại quá tải màkhông dám đào sâu những kiến thức liên quan đến thực tiễn Nhưng lại cónhững chương nặng tính hình thức như chương số phức (Giải tích lớp 12)chẳng hạn, cả một chương phức tạp chỉ để hoàn thiện các loại tập hợp số Trừnhững nhà nghiên cứu chuyên sâu về vật lý, toán học thì trong thực tiễn laođộng và sản xuất không ai cần sử dụng đến số phức cả Trong quá trình giảngdạy của mình các giáo viên cũng thường không quan tâm và hay bỏ qua việcchỉ ra các mối liên hệ giữa nội dung kiến thức và những ứng dụng của nótrong thực tiễn Điều này làm giảm hứng thú và động lực học tập môn toáncủa các em Vì vậy, việc thiết kế và giảng dạy các bài toán xuất phát từ thựctiễn phù hợp với trình độ, nhu cầu của các em cũng như việc lựa chọn nhữngphương pháp giảng dạy thích hợp giúp các em giải quyết chúng là việc làmhết sức thiết thực góp phần giúp phát triển năng lực toán cho học sinh

1.4 Mâu thuẫn giữa quan điểm “Lấy người học làm trung tâm” với việc hiện thực hóa quan điểm này

Trong những năm gần đây, đổi mới giáo dục Việt Nam nhắc nhiều đến

cụm từ “ Lấy người học làm trung tâm” đây là phương pháp dạy học phù

hợp với thời đại Vấn đề này đã có nhiều quan điểm khác nhau, có nhiều

hướng giải quyết nhưng đều đi tới mục tiêu chung là biến quá trình giáo dụcthành quá trình tự giáo dục, quá trình đào tạo thành quá trình tự đào tạo, pháthuy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của người học

Lea và cộng sự (2003) đã đưa ra một số phẩm chất mà người học cần có

để có thể trở thành người học chuẩn mực trong môi trường giáo dục lấy ngườihọc làm trung tâm:

+ Dựa trên nền tảng học năng động chứ không phải thụ động

+ Nhấn mạnh việc học có ý nghĩa và hiểu sâu sắc những vấn đề được học + Tăng cường quyền tự chủ và tự quyết của người học

+ Tăng cường ý thức chịu trách nhiệm của người học

+ Mối liên hệ tương hỗ giữa người dạy và người học

+ Mối quan hệ tôn trọng lẫn nhau giữa thầy và trò

+ Phương pháp tự phản ánh quá trình dạy-học ở cả thầy và trò

John Deway – trong nghiên cứu của mình đã đưa ra 5 điểm cơ bản là:

+ Người học là trung tâm của quá trình giáo dục, có các nhu cầu, sở thích

và năng lực, là cơ sở để người dạy hướng dẫn, hỗ trợ để người học tự khám phá tri thức và thế giới một cách tích cực, chủ động phát triển các năng lực của bản thân.

+ Giáo dục là cơ hội để học sinh khám phá và áp dụng kinh nghiệm vào những tình huống mới.

+ Xây dựng mối quan hệ hợp tác giữa học sinh với giáo viên và giữa học sinh với nhau.

+ Học tập là trách nhiệm cá nhân với nghĩa tự học và học suốt đời.

+ Học tập gắn với thực tiễn cuộc sống, để người học nhúng mình vào cuộc sống thật” [Bích Liễu].

Tuy nhiên, để hiện thực hóa vấn đề này không phải là công việc dễdàng khi mà hàng thế kỉ nay, giáo dục Việt Nam đã quen với việc “ Lấyngười thầy làm trung tâm ”, phương pháp dạy thiên nhiều về thuyết trình,thầy là người làm mẫu và trò học tập làm theo, chúng ta đã tiến hành hàng

loạt các cuộc cải cách, đổi mới trong giáo dục nhưng chúng ta vẫn cần cáccuộc cách mạng mạnh hơn nữa, tiến bộ hơn nữa thay đổi cách nghĩ, cáchlàm của những người làm giáo dục Trong đó gắn việc học của các em vàothế giới thực, dạy cho các em biết tự giải quyết các vấn đề trong đời thực,qua đó các em biết tự bồi dưỡng kiến thức và năng lực cho bản thân.

Với những lí do nêu trên, đề tài “Phát triển năng lực toán học cho học sinh trung học cơ sở thông qua việc dạy các bài toán có nội dung thực tiễn” được chúng tôi lựa chọn để nghiên cứu.

2 Lịch sử nghiên cứu

Trong xu hướng đổi mới phương pháp dạy học ở nước ta, đã có nhiềucông trình nghiên cứu về phát triển năng lực toán học cho học sinh cũng nhưtăng cường liên hệ với thực tiễn thông qua dạy học một số chủ đề của chươngtrình toán phổ thông Điều này chứng tỏ, vấn đề phát triển năng lực toán chohọc sinh và vận dụng kiến thức toán học để giải các bài toán thực tiễn đã thuhút được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu Các công trình đó đã nghiêncứu và đưa ra nhiều biện pháp phát triển năng lực toán cho học sinh cũng nhưđưa ra một hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn đưa vào giảng dạy Tuynhiên, chúng tôi thấy có một số điểm mà các công trình nói trên chưa quantâm:

Thứ nhất, các biện pháp phát triển năng lực toán cho học sinh chủ yếu

xuất phát từ nội bộ môn toán, chưa quan tâm đúng mức năng lực giải quyếtvấn đề từ các vấn đề nảy sinh trong thực tiễn, đời sống

Thứ hai, chưa nhìn nhận đúng thế nào là bài toán thực tiễn, có nhiều bài

toán được cho là thực tiễn nhưng rất thiếu tính thực tiễn [xem chương 1, bàitoán và bài toán thực tiễn]

Thứ ba, việc giải các bài toán thực tiễn có phần tự phát, chưa xây dựng

được quy trình “toán học hóa” để giải các bài toán thực tiễn, cũng như chưa

có phân tích, đánh giá lời giải trong toán học so với thực tiễn

Trên cơ sở đó, luận văn này có cách tiếp cận vấn đề theo hướng giảiquyết triệt để các tồn tại nêu trên.

3 Mục tiêu nghiên cứu

Thiết kế và tổ chức hoạt động dạy học với các bài toán có nội dung thựctiễn phù hợp với điều kiện giáo dục và định hướng đổi mới phương pháp dạyhọc ở Việt Nam góp phần phát triển năng lực toán học cho học sinh trung họcphổ thông

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn của việc dạy học pháttriển năng lực cho học sinh THCS với các bài toán có nội dung thực tiễn

- Thiết kế và tổ chức hoạt động dạy học với các bài toán có nội dungthực tiễn

- Tổ chức thực nghiệm sư phạm để khảo sát thực trạng; đánh giá sự phùhợp của đề tài với điều kiện giáo dục và định hướng đổi mới phương phápdạy học ở Việt Nam; So sánh sự phát triển năng lực toán của học sinh đượcthực nghiệm và học sinh không thực nghiệm

5 Phạm vi nghiên cứu

Một số chủ đề của Số học, Đại số, Hình học phù hợp với chương trình toánTHCS

6 Mẫu khảo sát, địa bàn khảo sát

Các bài toán có nội dung thực tiễn, các bài giảng với các bài toán có nộidung thực tiễn, học sinh các lớp 9A, 9B, 9C trường THCS Nam An, học sinhlớp 9A, 9B, 9C trường THCS Nam Nghĩa và các giáo viên toán trường THCSNam An, giáo viên toán trường THCS Nam Nghĩa, Xã Nghĩa An – Nam Trực– Nam Định

7 Giả thuyết khoa học

Dạy học phát triển năng lực cho học sinh THCS với các bài toán có nộidung thực tiễn có tính cấp thiết và tính khả thi cao, phù hợp với điều kiện giáo

dục và định hướng đổi mới phương pháp dạy học của Việt Nam, đáp ứng yêucầu năng lực toán học của người lao động trong thời đại mới.

8 Phương pháp nghiên cứu

8.1 Phương pháp nghiên cứu tài liệu

- Nghiên cứu những tài liệu về lí luận dạy học môn Toán ở bậc Trung học

- Nghiên cứu chương trình, sách GV, SGK môn Toán, các tài liệu địnhhướng đổi mới phương pháp dạy học ở bậc Trung học

- Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến các bài toán có nội dung thựctiễn, các luận văn, luận án có nội dung phù hợp với hướng nghiên cứu của đềtài

- Thực nghiệm đánh giá giả thuyết

Thực nghiệm giảng dạy để đánh giá tính khả thi của đề tài

Thực nghiệm kiểm tra, so sánh với nhóm đối chứng để đánh giá mứchiệu quả của đề tài

9 Đóng góp của Luận văn

9.1 Về mặt lý luận

Luận văn đã đề xuất một cách thức đổi mới phương pháp dạy học toántrong xu hướng đổi mới của thời đại và nỗ lực đổi mới của toàn ngành hiệnnay

9.2 Về mặt thực tiễn

Luận văn đã chứng tỏ: Thiết kế và tổ chức dạy học với các bài toán cónội dung thực tiễn là một phương pháp khả thi, mang lại hiệu quả trong việc

phát triển một số yếu tố của năng lực toán học cho học sinh THCS, phù hợpvới điều kiện giáo dục nhà trường và định hướng đổi mới phương pháp dạyhọc; đồng thời góp phần đáp ứng yêu cầu đào tạo tiếp cận năng lực cần thiếtcủa người lao động trong thời đại mới.

10 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, các phụ lục và tài liệu tham khảo, Nội dung chính của luận văn được trình bày trong 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn

Chương 2: Thiết kế và tổ chức dạy học với các bài toán có nội dung thực tiễn

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN 1.1 Một số vấn đề lý luận

1.1.1 Bài toán, bài toán thực tiễn

Theo G Polya : “Bài toán là nhu cầu hay yêu cầu đặt ra sự cần thiết

phải tìm kiếm một cách ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay” [Sáng tạo toán học, tr

119]

Như vậy, bài toán được xuất phát từ yêu cầu hay nhu cầu mà ta còn gọi

là vấn đề Tuy nhiên, không phải nhu cầu nào cũng làm nảy sinh bài toán Chỉnhững nhu cầu mà tìm ra được một phương tiện nhằm thỏa mãn nhu cầu đómới trở thành bài toán, còn những nhu cầu mà ta không cần đầu tư một chút

cố gắng nào đã có thể đạt được ngay mục đích thì sẽ không làm nảy sinh bàitoán Ranh giới để một nhu cầu trở thành bài toán hay không phải bài toán làkhông rõ ràng Nhu cầu có thể là bài toán với người này nhưng lại không làbài toán với người khác Điều này phụ thuộc vào trí tuệ, trình độ, cũng nhưvốn kinh nghiệm của mỗi người

Bài toán thực tiễn là bài toán mà nhu cầu cần thỏa mãn được xuất

phát ngay từ trong thực tiễn cuộc sống Ví dụ: “Tính số tiền cần thiết để xây

dựng một bức tường bao xung quanh một ngôi nhà”, “Tính toán giá cước của

xe Taxi và chọn phương án đi tối ưu nhất”… là những bài toán thực tiễn.

Trong chương trình SGK ở bậc phổ thông, cũng như trong nhiều các tài liệutham khảo khác, tồn tại nhiều những bài toán về hình thức giống với nhữngbài toán thực tiễn nhưng về bản chất thì hoàn toàn khác Ta có thể gọi đây lànhững bài toán “ngụy thực tiễn”

Ví du: bài toán: “Trong một buổi lao động trồng cây, một tổ gồm 13học sinh (cả nam và nữ) đã trồng được tất cả 80 cây Biết rằng số cây các bạnnam trồng được và số cây các bạn nữ trồng được là bằng nhau; mỗi bạn nam

trồng được nhiều hơn mỗi bạn nữ 3 cây Tính số học sinh nam và số học sinh

nữ của tổ.”

Về ngôn ngữ bài toán này có vẻ đây là một bài toán thực tiễn Tuynhiên, để tính số học sinh nam và nữ của tổ người ta sử dụng phương phápđếm sẽ hiệu quả, chính xác và tiện lợi hơn nhiều Rõ ràng đây là một bài toán

“phi thực tiễn” chỉ nhằm mục đích đánh đố người giải Các bài toán kiểu như thế này được G Polya gọi là các “bài toán đố bằng lời”.

Về nhiều phương diện, các bài toán thực tế khác xa những bài toánthuần túy toán học Các bài toán thuần túy toán học thường tập trung đề cậptới những vấn đề liên quan đến nội bộ toán học, trong khi đó ở các bài toánthực tiễn chúng ta lại sử dụng một phần kiến thức toán học để giải quyếtnhững yêu cầu cụ thể được đặt ra trong thực tiễn Trong bài toán thuần túytoán học các điều kiện, dữ kiện của bài toán là rất rõ ràng, có lôgíc, nhưngtrong bài toán thực tiễn các dữ kiện, điều kiện của bài toán là không rõ ràng,

có khi bị khuyết thiếu, có khi ta lại phải lược bỏ những điều kiện, dữ kiệnkhông cần thiết Như vậy, giải một bài toán thực tiễn đòi hỏi năng lực giảiquyết vấn đề cao hơn khi giải một bài toán thuần túy toán học Tuy vậy vềmặt lý luận cũng như phương pháp giải quyết hai loại bài toán này về căn bản

là như nhau

Tóm lại, “trong các bài toán thực tế, tất cả đều phức tạp hơn và không

rõ ràng như trong các bài toán thuần túy toán học Đó là điều khác nhau cơ bản giữa hai loại bài toán đó và từ đó dẫn đến nhiều sự khác nhau nữa, tuy nhiên, các lập luận và phương pháp cơ bản để đạt được lời giải thì đều như nhau trong cả hai loại bài toán” [G Polya, Sáng tạo toán học, tr 50].

1.1.2 Quá trình toán học hóa

Do cách lập luận và phương pháp giải bài toán thực tiễn và bài toánthuần túy toán học đều như nhau nên khi giải một bài toán thực tiễn, để đơngiản hóa, người ta thường chuyển nó về bài toán thuần túy toán học rồi giải.Quá trình chuyển một bài toán thực tiễn sang một bài toán thuần túy toán học

gọi là quá trình “ Toán học hóa” (Mathematisation) Thông qua quá trình

toán học hóa này ta có thể biến một bài toán thực tiễn thành nhiều bài toánthuần túy toán học khác nhau cũng như có thể biến mỗi yêu cầu của bài toán

thực tiễn thành một bài toán thuần túy toán học Điều đó phụ thuộc vào tính

phức tạp của bài toán thực tế, bản chất của lĩnh vực thực tế và “tay nghề” củangười thực hiện toán học hóa Do bài toán thực tiễn có dữ kiện và điều kiện làkhông rõ ràng nên khi thực hiện quá trình toán học hóa, nhiều khi chúng tathường phải lý tưởng hóa một số điều kiện cho ẩn Vì vậy, kết quả của bàitoán thuần túy toán học có được không phản ánh chân thực kết quả thực tế Vì

lẽ đó, việc đánh giá, phê phán lời giải của bài toán thuần túy toán học và làmcho nó có ý nghĩa thực tế là một khâu quan trọng trong quá trình toán họchóa Để có quá trình toán học hóa tốt, chúng ta cần xây dựng quy trình đểđảm bảo sự tương ứng chặt chẽ của hai bài toán Trong luận văn này chúng

tôi xin đề cập đến việc sử dụng quy trình “toán học hóa 3 giai đoạn và 5

bước” dựa theo quy trình toán học hóa của PISA – Chương trình đánh giá học

sinh quốc tế do OECD tổ chức

1.1.3 Năng lực (Competence) và năng lực toán (mathematical competence)

1.1.3.1 Năng lực (Competence)

Theo tâm lý học: “Năng lực là tổ hợp những thuộc tính độc đáo của cá

nhân phù hợp với những yêu cầu đặc trưng của một hoạt động nhất định nhằm đảm bảo cho hoạt động đó đạt hiệu quả cao”

Theo nhà tâm lí học Nga V.A.Cruchetxki thì: “Năng lực được hiểu như

là: Một phức hợp các đặc điểm tâm lí cá nhân của con người đáp ứng những yêu cầu của một hoạt động nào đó và là điều kiện để thực hiện thành công hoạt động đó”.

Theo Nguyễn Văn Cường [tr 44]: “Năng lực là khả năng thực hiện có

trách nhiệm và hiệu quả các hành động, giải quyết các nhiệm vụ, vấn đề trong những tình huống khác nhau thuộc các lĩnh vực nghề nghiệp, xã hội

hay cá nhân trên cơ sở hiểu biết, kỹ năng, kỹ xảo và kinh nghiệm cũng như sự sẵn sàng hành động.”

Trong chương trình dạy học định hướng phát triển năng lực, khái niệmnăng lực được sử dụng như sau:

+ Năng lực liên quan đến bình diện mục tiêu dạy học: mục tiêu dạy họccủa môn học được mô tả thông qua các năng lực cần hình thành;

+ Trong các môn học, những nội dung và hoạt động cơ bản được liênkết với nhau nhằm hình thành các năng lực;

+ Năng lực là sự kết hợp của tri thức, hiểu biết, khả năng, mongmuốn

+ Mục tiêu hình thành năng lực định hướng cho việc lựa chọn, đánh giámức độ quan trọng và cấu trúc hóa các nội dung và hoạt động dạy học về mặtphương pháp;

+ Năng lực mô tả việc giải quyết những nhiệm vụ trong các tình huống:

ví dụ như đọc một văn bản cụ thể Nắm vững và vận dụng được các phéptính cơ bản

+ Các năng lực chung cùng với các năng lực chuyên môn tạo thành cơ

sở chung trong việc giáo dục và dạy học;

+ Mức độ đối với sự phát triển năng lực có thể được xác định trong cácchuẩn: Đến một thời điểm nhất định nào đó, HS có thể, cần phải đạt đượcnhững gì

Như vậy, nói đến năng lực là nói đến khả năng tiềm ẩn trong một cáthể, một thứ phi vật chất Song nó thể hiện được qua hành động và đánh giáđược nó qua kết quả của hoạt động Thông thường, một người được gọi là cónăng lực nếu người đó nắm vững tri thức, kĩ năng, kĩ xảo của một loại hoạtđộng nào đó và đạt được kết quả tốt hơn, cao hơn so với trình độ trung bìnhcủa những người khác cùng tiến hành hoạt động đó trong những điều kiện vàhoàn cảnh tương đương Người ta thường phân biệt ba trình độ năng lực:

+ Năng lực là tổng hòa các kỹ năng, kỹ xảo

+ Tài năng là một tổ hợp các năng lực tạo nên tiền đề thuận lợi cho hoạtđộng có kết quả cao, những thành tích đạt được này vẫn nằm trong khuôn khổcủa những thành tựu đạt được của xã hội loài người

+ Thiên tài là một tổ hợp đặc biệt các năng lực, nó cho phép đạt được nhữngthành tựu sáng tạo mà có ý nghĩa lịch sử

1.1.3.2 Mô hình cấu trúc năng lực

Năng lực được định nghĩa theo rất nhiều cách khác nhau, tuỳ thuộc vàobối cảnh và mục đích sử dụng những năng lực đó Các năng lực còn là nhữngđòi hỏi của các công việc, các nhiệm vụ, và các vai trò vị trí công việc Vìvậy, các năng lực được xem như là những phẩm chất tiềm tàng của một cánhân và những đòi hỏi của công việc Từ hiểu biết về năng lực như vậy, ta cóthể thấy các nhà nghiên cứu trên thế giới đã sử dụng những mô hình năng lựckhác nhau trong tiếp cận của mình:

(1) Mô hình dựa trên cơ sở tính cách và hành vi cá nhân của cá nhân

theo đuổi cách xác định “con người cần phải như thế nào để thực hiện được

các vai trò của mình”;

(2) Mô hình dựa trên cơ sở các kiến thức hiểu biết và các kỹ năng được

đòi hỏi theo đuổi việc xác định “con người cần phải có những kiến thức và kỹ

năng gì” để thực hiện tốt vai trò của mình;

(3) Mô hình dựa trên các kết quả và tiêu chuẩn đầu ra theo đuổi việc

xác định con người “cần phải đạt được những gì ở nơi làm việc”.

Để hình thành và phát triển năng lực cần xác định các thành phần vàcấu trúc của chúng Có nhiều loại năng lực khác nhau Việc mô tả cấu trúc vàcác thành phần năng lực cũng khác nhau

Theo quan điểm của các nhà sư phạm nghề Đức, cấu trúc chung củanăng lực hành động được mô tả là sự kết hợp của 4 năng lực thành phần sau:

Sơ đồ 1.1 Biểu diễn các thành phần cấu trúc của năng lực

Các thành phần cấu trúc của năng lực

- Năng lực chuyên môn (Professional competency):

Là khả năng thực hiện các nhiệm vụ chuyên môn cũng như khả năng đánh giákết quả chuyên môn một cách độc lập, có phương pháp và chính xác về mặtchuyên môn Trong đó bao gồm cả khả năng tư duy lô gic, phân tích, tổnghợp, trừu tượng hoá, khả năng nhận biết các mối quan hệ hệ thống và quátrình Năng lực chuyên môn hiểu theo nghĩa hẹp là năng lực, nội dung chuyênmôn“, theo nghĩa rộng bao gồm cả năng lực phương pháp chuyên môn

- Năng lực phương pháp (Methodical competency):

Là khả năng đối với những hành động có kế hoạch, định hướng mục đíchtrong việc giải quyết các nhiệm vụ và vấn đề Năng lực phương pháp bao gồmnăng lực phương pháp chung và phương pháp chuyên môn Trung tâm củaphương pháp nhận thức là những khả năng tiếp nhận, xử lý, đánh giá, truyềnthụ và trình bày tri thức

- Năng lực xã hội (Social competency):

Là khả năng đạt được mục đích trong những tình huống xã hội xã hội cũngnhư trong những nhiệm vụ khác nhau trong sự phối hợp sự phối hợp chặt chẽvới những thành

viên khác

- Năng lực cá thể (Induvidual competency):

Là khả năng xác định, đánh giá được những cơ hội phát triển cũng như nhữnggiới hạn của cá nhân, phát triển năng khiếu cá nhân, xây dựng và thực hiện kếhoạch phát triển cá nhân, những quan điểm, chuẩn giá trị đạo đức và động cơchi phối các ứng xử và hành vi

Mô hình cấu trúc năng lực trên đây có thể cụ thể hoá trong từng lĩnhvực chuyên môn, nghề nghiệp khác nhau Mặt khác, trong mỗi lĩnh vực nghềnghiệp người ta cũng mô tả các loại năng lực khác nhau Ví dụ năng lực của

GV bao gồm những nhóm cơ bản sau: Năng lực dạy học, năng lực giáo dục,

năng lực chẩn đoán và tư vấn, năng lực phát triển nghề nghiệp và phát triển trường học.

Từ cấu trúc của khái niệm năng lực cho thấy giáo dục định hướng pháttriển năng lực không chỉ nhằm mục tiêu phát triển năng lực chuyên môn baogồm tri thức, kỹ năng chuyên môn mà còn phát triển năng lực phương pháp,năng lực xã hội và năng lực cá thể Những năng lực này không tách rời nhau

mà có mối quan hệ chặt chẽ Năng lực hành động được hình thành trên cơ sở

có sự kết hợp các năng lực này

Mô hình năng lực theo OECD:

Trong các chương trình dạy học hiện nay của các nước thuộc OECD, người tacũng sử dụng mô hình năng lực đơn giản hơn, phân chia năng lực thành hai

nhóm chính, đó là các năng lực chung và các năng lực chuyên môn.

Nhóm năng lực chung bao gồm:

• Khả năng hành động độc lập thành công;

• Khả năng sử dụng các công cụ giao tiếp và công cụ tri thức một cách tự chủ;

• Khả năng hành động thành công trong các nhóm xã hội không đồng nhất

Năng lực chuyên môn liên quan đến từng môn học riêng biệt

Ví dụ nhóm năng lực chuyên môn trong môn Toán bao gồm các năng lực sauđây:

Sơ đồ 1.2 Các năng lực chuyên môn trong môn ToánMỗi tổ hợp các năng lực thành phần này tạo nên năng lực toán của mỗi cánhân

1.1.3.3 Năng lực toán (Mathematical competence)

Theo Nguyễn Hữu Châu, năng lực toán: “Là khả năng nhận biết ý

nghĩa, vai trò của kiến thức toán học trong cuộc sống; khả năng vận dụng tư duy toán học để giải quyết các vấn đề của thực tiễn đáp ứng nhu cầu đời sống hiện tại và tương lai một cách linh hoạt; khả năng phân tích, suy luận, lập luận khái quát hoá, trao đổi thông tin một cách hiệu quả thông qua việc đặt

ra, hình thành và giải quyết vấn đề toán học trong các tình huống, hoàn cảnh khác nhau…”

Theo Kơrutecxki thì cấu trúc của năng lực toán học bao gồm những

thành phần sau:

a) Về mặt thu nhận thông tin: Năng lực tri giác hình thức hóa tài liệu

toán học, năng lực nắm cấu trúc hình thức của bài toán

b) Về mặt chế biến thông tin, đó là:

- Năng lực tư duy lôgíc trong phạm vi các quan hệ số lượng và cácquan hệ không gian, các kí hiệu, năng lực suy nghĩ với các kí hiệu toán học

- Năng lực khái quát hóa nhanh chóng và rộng rãi các đối tượng, quan

hệ, các phép toán của toán học Năng lực rút ngắn quá trình suy luận toán học

và hệ thống các phép toán tương ứng, năng lực suy nghĩ với những cấu trúcđược rút gọn.

- Tính mềm dẻo của quá trình tư duy trong hoạt động toán học

- Khuynh hướng đạt tới sự rõ ràng, sự đơn giản, tính tiết kiệm và tínhhợp lí của lời giải

- Năng lực thay đổi nhanh chóng và dễ dàng hướng suy nghĩ, dạng tưduy thuận chuyển qua tư duy nghịch

c) Về mặt lưu trữ các thông tin, đó là trí nhớ toán học tức là trí nhớ khái

quát về các quan hệ toán học, về các đặc điểm điển hình, các sơ đồ suy luận

và chứng minh, về các phương pháp giải toán và các nguyên tắc xem xét cácbài toán ấy

d) Về thành phần tổng hợp chung, đó là khuynh hướng toán học của trí

tuệ Tuy nhiên, cần chú ý rằng tốc độ tư duy, năng lực tính toán, trí nhớ vềcác công thức,…không nhất thiết phải có mặt trong các thành phần của nănglực toán học

* Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành và phát triển năng lực toán:

Yếu tố tự nhiên – sinh học: Năng lực toán của học sinh được di truyền

từ cha mẹ, mà chúng ta hay gọi là năng khiếu toán Thực tế có nhiều học sinh

được thừa hưởng những thuộc tính sinh học (gen), những phẩm chất toán học

từ cha mẹ là những người có năng lực toán học tốt Di truyền tạo ra nhữngđiều kiện ban đầu để học sinh có triển vọng phát triển năng lực toán tốt Tuynhiên, điều đó chỉ tạo nên những tiền đề vật chất cho sự hình thành và pháttriển năng lực toán sau này

Yếu tố môi trường xã hội và giáo dục: Mỗi học sinh đều sống (hoạt

động) trong một môi trường xã hội nhất định Môi trường góp phần tạo nênđộng cơ, mục đích, phương tiện, hành động của cá nhân, trong đó giáo dụcđóng vai trò chủ đạo Chính vì thế, trên thế giới có những nước toán học rấtphát triển, là mỗi trường ươm mầm cho những tài năng toán học xuất chúng

Hay trong một quốc gia, có những địa phương có phong trào học toán vượt

trội so với những nơi khác, mà người ta hay gọi là đất học toán.

Yếu tố nội dung của toán học: Chính trong bản thân môn toán học với

nội dung có đặc tính trừu tượng, logic đã góp phần hình thành và phát triểncác năng lực toán học cho học sinh Việc học tập toán một cách có hệ thống,phương pháp phù hợp là điều kiện quan trọng để học sinh phát triển năng lựctoán một cách bền vững

Yếu tố hoạt động của học sinh: Hoạt động của học sinh đóng vai trò

quyết định trực tiếp đến sự hình thành và phát triển năng lực toán Muốn hìnhthành và phát triển năng lực toán, học sinh cần phải được trực tiếp thao tác,hoạt động với các đối tượng, nội dung toán học một cách tích cực, say mê,cộng với ý chí, nghị lực và sự kiên trì để vượt qua các trở ngại, dần dần chiếmlĩnh các tri thức toán học Trong quá trình hoạt động đó, tùy vào sự nỗ lực củabản thân mà năng lực toán học sẽ được hình thành và phát triển ở các mức độkhác nhau ở mỗi học sinh Điều đó khẳng định, năng lực, tài năng của mỗi

con người chỉ có thể được hình thành “trong hoạt động, thông qua hoạt động

và bằng hoạt động” của mỗi cá nhân.

1.1.3.4 Nội dung và PPDH theo quan điểm phát triển năng lực

Nội dung dạy học theo quan điểm phát triển năng lực không chỉ giới hạn trong tri thức và kỹ năng chuyên môn mà gồm những nhóm nội dung nhằm phát triển các lĩnh vực năng lực:

Học nội dung

chuyên môn

Học phương pháp - chiến lược

Học giao tiếp

Xã hội

Học tự trải nghiệm đánh giá

- Các phươngpháp nhận thứcchung: Thu thâp,

- Làm việc trongnhóm;

- Tạo điều kiệncho sự hiểu biết

về phương diện

xã hội;

- Tự đánh giáđiểm mạnh, điểmyếu;

- XD kế hoạchphát triển cánhân;

- Các phươngpháp chuyênmôn.

- Học cách ứng

xử, tinh thầntrách nhiệm, khảnăng giải quyếtxung đột

- Đánh giá, hìnhthành các chuẩnmực giá trị, đạođức và văn hoá,lòng tự trọng

Năng lực chuyên

môn

Năng lực phương pháp Năng lực xã hội

Năng lực nhân cách

Phương pháp dạy học theo quan điểm phát triển năng lực không chỉ chú

ý tích cực hoá HS về hoạt động trí tuệ mà còn chú ý rèn luyện năng lực giảiquyết vấn đề gắn với những tình huống của cuộc sống và nghề nghiệp, đồngthời gắn hoạt động trí tuệ với hoạt động thực hành, thực tiễn Tăng cường việchọc tập trong nhóm, đổi mới quan hệ GV- HS theo hướng cộng tác có ý nghĩaquan trọng nhằm phát triển năng lực xã hội Bên cạnh việc học tập những trithức và kỹ năng riêng lẻ của các môn học chuyên môn cần bổ sung các chủ đềhọc tập phức hợp nhằm phát triển năng lực giải quyết các vấn đề phức hợp

Theo quan điểm phát triển năng lực, việc đánh giá kết quả học tậpkhông lấy việc kiểm tra khả năng tái hiện kiến thức đã học làm trung tâm củaviệc đánh giá Đánh giá kết quả học tập cần chú trọng khả năng vận dụngsáng tạo tri thức trong những tình huống ứng dụng khác nhau

1.2 Tiếp cận một số phương pháp giải bài toán kinh điển

1.2.1 Đề - Các và quan niệm về phương pháp toàn năng

Rơ-nê Đề-Các (1596 – 1650) là một trong những trí tuệ nhất của nhân

loại Trong các tác phẩm “ Các nguyên tắc chủ đạo của trí tuệ” Đề - Các muốn nêu ra một “phương pháp toàn năng” để giải toán Với lược đồ dưới

đây Đề - Các mong đợi có thể áp dụng được vào mọi dạng bài toán:

Bước 1: Một bài toán dạng bấc kỳ được đưa về một bài toán toán học

Bước 2: Một bài toán toán học dạng bất kỳ được đưa về một bài toán

1.2.2 Quy trình giải một bài toán của G Polya

G Polya (1887-1895) - nhà toán học và sư phạm rất nổi tiếng của Mỹ.Trong tác phẩm “Giải một bài toán như thế nào” [bản dịch, tr 148] đã đưa raquy trình giải một bài toán gồm 4 bước như sau:

Bước 1: Hiểu rõ bài toán.

- Đâu là ẩn? Đâu là dữ kiện? Đâu là điều kiện? Có thể thỏa mãn đượcđiều kiện hay không? Điều kiện có đủ để xác định được ẩn hay không?Hay chưa đủ? Hay thừa? Hay có mâu thuẫn?

- Vẽ hình, sử dụng một kí hiệu thích hợp

- Phân biệt các phần khác nhau của điều kiện Có thể diễn tả các điềukiện đó thành công thức hay không?

Bước 2: Xây dựng một chương trình

- Bạn đã gặp bài toán lần nào chưa?

- Bạn có biết một bài toán nào có liên quan không?

- Xét kĩ cái chưa biết (ẩn) và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc cócùng ẩn hoặc có ẩn tương tự

- Đây là một bài toán có liên quan và bạn đã có lần giải rồi Có thể sửdụng nó không? Có thể sử dụng kết quả của nó không? Hay sử dụngphương pháp? Có cần đưa thêm một số yếu tố phụ thì mới sử dụngđược nó không?

- Có thể phát biểu bài toán theo cách khác không?

- Nếu bạn chưa giải được bài toán đã đề ra, thì hãy giải một bài toán cóliên quan Bạn có thể nghĩ ra bài toán có liên quan dễ hơn không?

- Bạn đã sử dụng mọi dữ kiện hay chưa? Đã sử dụng toàn bộ điều kiệnhay chưa? Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán hay chưa?

Bước 3: Thực hiện chương trình

Khi thực hiện chương trình hãy kiểm tra lại từng bước Bạn đãthấy rõ ràng là mỗi bước đều đúng chưa? Bạn có thể chứng minh nó làđúng không?

Bước 4: Khảo sát lời giải tìm được

- Bạn có thể kiểm tra lại kết quả? Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ quátrình giải toán hay không?

1.2.3 Tiếp cận quy trình toán học hóa trong các bài toán của PISA

1.2.3.1 Hai thế giới và Quy trình toán học hóa trong các bài toán của PISA

Đặc trưng của các bài toán PISA là chứa đựng hai thế giới, thế giớithực tế và thế giới toán học trong mỗi bài toán Các bài toán PISA luôn xuấtphát từ các tình huống thực tiễn thường ngày trong cuộc sống và được giảiquyết bởi các công cụ toán học Việc “dịch mã” từ ngôn ngữ, yêu cầu thực tế

sang ký hiệu, ngôn ngữ toán học, chúng ta gọi là quá trình toán học hóa Quá

trình toán học hóa này trong các bài toán của PISA đi theo một quy trìnhthống nhất như sau:

1.2.3.2 Quy trình 3 giai đoạn toán học hóa [Nguyễn Sơn Hà, tr9]

Giai đoạn thứ nhất Quy trình toán học hóa bắt đầu bằng việc chuyển

bài toán từ thế giới thực sang bài toán của thế giới toán học Quá trình nàybao gồm các hoạt động như: Xác định lĩnh vực toán học phù hợp với một vấn

đề được đặt ra trong thực tế; Biểu diễn vấn đề theo một cách khác, bao gồmviệc tổ chức nó theo các khái niệm toán học và đặt những giả thuyết phù hợp;Hiểu các mối quan hệ giữa ngôn ngữ của vấn đề với ngôn ngữ kí hiệu và hìnhthức cần thiết để hiểu vấn đề một cách toán học; Tìm những quy luật, mốiquan hệ và những bất biến, nhận ra các khía cạnh tương đồng với các vấn đề

đã biết; Chuyển vấn đề sang lĩnh vực toán học, chẳng hạn như thành một môhình toán

Giai đoạn thứ hai Phần suy diễn của quy trình mô hình hóa Một khi

học sinh đã chuyển thể được vấn đề thành một bài toán, toàn bộ quá trình cóthế tiếp tục trong toán học Các em sẽ nỗ lực làm việc trên mô hình của mình

về hoàn cảnh vấn đề, để điểu chỉnh nó, để thiết lập các quy tắc, để xác địnhcác nối kết và để sáng tạo nên một lập luận toán học đúng đắn Phần này củaquá trình toán học hóa bao gồm: Dùng và di chuyển giữa các biểu diễn khácnhau; Dùng ngôn ngữ kí hiệu, hình thức, kĩ thuật và các phép toán; Hoànthiện và điều chỉnh các mô hình toán; Kết hợp và tích hợp các mô hình; Lậpluận; Tổng quát hóa

Giai đoạn thứ ba Giai đoạn cuối cùng trong việc giải quyết một vấn đề

liên quan đến việc phản ánh về toàn bộ quá trình toán học hóa và các kết quả

Ở đây, học sinh phải giải thích các kết quả với một thái độ nghiêm túc ở tất cảcác giai đoạn của quá trình, nhưng nó đặt biệt quan trọng ở giai đoạn kết luận.Những khía cạnh của quá trình phản ánh và công nhận này là: Hiểu lĩnh vực

và các hạn chế của các khái niệm toán học, phê phán mô hình và các hạn chếcủa nó; Phản ánh về các lập luận toán học, giải thích, lời giải và kiểm tra cáckết quả

1.2.3.3 Quy trình 5 bước toán học hóa

Bước 1 Bắt đầu từ một vấn đề được đặt ra trong thực tế

Bước 2 Tổ chức các vấn đề thực tiễn theo các khái niệm toán học và

xác định các yếu tố toán học tương thích

Bước 3 Dần thoát khỏi thực tiễn thông qua các quá trình: Đặt giả thiết,

khái quát hóa, mô hình hóa theo ngôn ngữ toán, chuyển thành vấn đề của toánhọc

Bước 4 Giải quyết bài toán

Bước 5 Làm cho lời giải bài toán có ý nghĩa theo nghĩa của thế giới

thực, bao gồm việc xác định những hạn chế của lời giải

1.3 Đánh giá năng lực toán của học sinh thông qua một số bài toán có nội dung thực tiễn

1.3.1 Các mức độ của năng lực toán

Chương trình đánh giá học sinh quốc tế PISA đề cập đến 3 cấp độ nănglực toán học gồm cụm tái tạo, cụm liên kết và cụm phản ánh với 6 trình độnăng lực thành phần:

Sơ đồ 1.4 Biếu diễn các cấp độ năng lực toán học

 Cụm tái tạo: Nhớ lại các đối tượng, khái niệm, định nghĩa và tính chất

toán học Thực hiện được một cách làm quen thuộc Áp dụng một thuậttoán tiêu chuẩn Cụm này gồm 2 mức trình độ:

- Trình độ 1: HS biết trả lời câu hỏi về bối cảnh quen thuộc, trong đó cócác thông tin liên quan và câu hỏi được nêu rõ Các em có khả năng xácđịnh thông tin và thực hiện các thủ tục thường lệ theo hướng dẫn trựctiếp trong các tình huống cụ thể Các em biết thực hiện hành động cụthể theo những tác động nhất định.

- Trình độ 2: HS biết diễn giải và nhận biết tình huống trong bối cảnh

mà không cần kết luận trực tiếp Các em biết trích dẫn thông tin liênquan từ một nguồn thông tin và chỉ sử dụng một các trình bày Ở trình

độ này, HS biết sử dụng các thuật toán cơ bản, công thức, phươngpháp, hoặc quy ước Các em có khả năng biện luận trực tiếp và giảithích ý nghĩa kết quả

 Cụm liên kết: Kết nối, tích hợp thông tin ddeeer giải quyết các vấn đề

đơn giản Tạo những kết nối trong các cách biểu đạt khác nhau Đọc và giải thích được các kí hiệu và ngôn ngữ hình thức và hiểu mối quan hệ của chúng với ngôn ngữ tự nhiên Cụm này gồm 2 trình độ:

- Trình độ 3: HS biết thực hành các phương pháp quy định rõ ràng,gồm có việc yêu cầu quyết định tuần tự Các em biết chọn lựa và ápdụng nhiều kế hoạch giải quyết tình huống đơn giản ở trình độ này HSbiết diễn giải và trình bày dựa vào nhiều nguồn thông tin và lí lẽ củachình mình Các em biết xây dựng các đoạn thông tin ngắn báo cáophần trình bày, kết quả và lí do

- Trình độ 4: HS biết làm việc cụ thể với các mô hình cụ thể và nhữngtình huống phức tạp cụ thể có thể liên quan tới khó khăn, hạn chế hoặcnêu lên giả định Các em biết chọn lọc và tích hợp các phần trình bày,gồm có trình bày kí hiệu, liên kết trực tiếp chúng với khía cạnh trongtình huống thực tiễn Ở trình độ này HS biết sử dụng kĩ năng toàn diện

và suy luận hợp lí, cùng với tư duy theo bối cảnh Các em biết xâydựng và giải thích cũng như biện luận dựa vào sự diễn giải, lí luận vàhành động của mình

 Cụm phản ánh: Nhận biết nội dung toán học tron tình huống có vấn đềphải giải quyết Vận dụng kiến thức toán học để giải quyết các vấn đềthực tiễn Biết phân tích, tổng hợp, suy luận, lập luận, khái quát hóatrong chứng minh toán học Cụm này gồm 2 trình độ:

- Trình độ 5: HS biết phát triển và làm việc với các mô hình tình huốngphức tạp, xác định khó khăn và nêu phương án giải quyết Các em cóthể chọn lựa, so sánh và đánh giá các chiến lược phù hợp giải quyết vấn

đề để xử lí nhiều vấn đề phức tạp có liên quan đến các mô hình này Ởtrình độ này, HS biết làm việc có kế hoạch, sử dụng suy nghĩ, tư duy tưduy phát triển và kĩ năng suy luận tốt, trình bày có sự liên kết phù hợp,các đặc điểm biểu trưng và chính thức, có tư duy sâu sắc đối với tìnhhuống này Các em biết suy ngẫm về hành động, xây dựng thuyết trình

và giải thích lí luận

- Trình độ 6: HS biết cách khái niệm hóa, khái quát hóa và sử dụngthông tin dựa vào việc các em tìm hiểu và mô phỏng những tình huốngphức tạp Các em biết kết nối nhiều nguồn thông tin, trình bày và diễngiải linh hoạt thông tin Ở trình độ này, HS có khả năng suy nghĩ và suyluận toán học cao cấp Các em có khả năng áp dụng nhận thức và hiểubiết việc am hiểu các kí hiệu, công thức và mối quan hệ toán học đểxây dựng nhiều phương pháp tiếp cận và chiến lược mới trong việc giảiquyết nhiều tình huống lạ

1.3.2 Một số bài toán thực tiễn và đánh giá các cấp độ năng lực toán

1.3.2.1 Bài toán 1: Giá cước Taxi

Hình 1.1 Bảng báo giá cước của hãng Taxi Group

Câu hỏi 1: Một người đi từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau khoảng

30km sẽ phải trả bao nhiêu tiền nếu sử dụng hãng Taxi này.

Câu hỏi 2: Em hãy tìm một phương án để người này sử dụng hãng Taxi

Group vẫn đi từ địa điểm A đến địa điểm B nhưng số tiền phải trả là ít hơn số

tiền phải trả cho quãng đường dài 30km.

Câu hỏi 3: Em hãy chỉ ra một lí do hợp lí để giải thích tại sao cùng một cung

đường nhưng chiều Sân bay Nội Bài – Hà Nội lại phải trả phí nhiều hơn sovới chiều Hà Nội – Sân bay Nội bài?

Lời giải:

Câu hỏi 1:

Vì người này đi đoạn đường nhỏ hơn 31km nên người đó phải trả

14900 đồng cho mỗi km và 14000 đồng giá mở cửa Vậy số tiền người đó

Vậy để phải trả ít tiền hơn người đó nên cho Taxi chạy sao cho khi đến

B đồng hồ báo chặng đường dài khoảng 31km.

Câu hỏi 3:

Nếu xe đi theo chiều Hà Nội – Sân bay Nội Bài thì cơ hội Taxi này bắtđược khách theo chiều Sân bay Nội Bài – Hà Nội là rất cao như vậy với cùngchi phí đi về xe này được lợi phí khách về Còn nếu xe đi theo chiều Sân bayNội Bài – Hà Nội thì khả năng xe bắt được khách theo chiều ngược lại là rất

ít Chính vì vậy mà giá cước Taxi theo chiều Sân bay Nội Bài – Hà Nội sẽ caohơn

Đánh giá các cấp độ năng lực toán học:

Câu hỏi 1: Đánh giá năng lực học sinh ở cấp độ một (cụm tái tạo) HS

biết dựa vào bảng tính giá cước, thực hiện các phép tính đơn giản để tính số

tiền phải trả cho 30km đường.

Câu hỏi 2: Đánh giá năng lực học sinh ở cấp độ 2 (cụm liên kết) Ở câu

hỏi này ngoài việc đảm bảo năng lực như ở cụm tái tạo, HS còn cần kết nốithông tin có trong bảng giá cước, biết suy luận hợp lí từ đó tính được số tiền

phải trả cho 31km ít hơn so với phải trả cho 30km từ đó lựa chọn phương án đi

thích hợp

Câu hỏi 3: Đánh giá năng lực HS ở cấp độ cao nhất, cấp độ 3 (cụm

phản ánh) Ở câu hỏi này mặc dù HS không cần thức hiện các thao tác tínhtoán nhưng các em phải sử dụng suy nghĩ tư duy phát triển và kĩ năng suyluận tốt Các em phải biết liên kết giữa nội dung có trong thực tiễn với nộidung của bài toán, biết phân tích, tổng hợp suy luận và lập luận để tìm raphương án giải quyết bài toán

1.3.2.2 Bài toán 2 Tỉ lệ tăng dân số (Trích đề thi Giải toán trên MTCT tỉnh

TT Huế - Năm học 2010-2011)

Theo kết quả điều tra dân số, dân số trung bình nước Việt Nam qua một

số mốc thời gian (Đơn vị: 1.000 người):

Câu hỏi 2: Nếu cứ duy trì tỉ lệ tăng dân số như ở giai đoạn 2000-2010 thì đến

năm 2015 và 2020 dân số của Việt Nam là bao nhiêu ?

Để kìm hãm đà tăng dân số, người ta đề ra phương án: Kể từ năm 2010,mỗi năm phấn đấu giảm bớt x% (x không đổi) so với tỉ lệ % tăng dân số năm

trước (nghĩa là nếu năm nay tỉ lệ tăng dân số là a% thì năm sau là (a − x)%).Tính x để số dân năm 2015 là 92,744 triệu người Kết quả chính xác tới 4 chữ

số phần thập phân sau dấu phẩy Nêu sơ lược quy trình bấm phím trên máytính để giải

dân số mỗi năm 2,2434% 2,2082% 1,6343% 1,3109%

Câu hỏi 2: Nếu duy trì tỉ lệ tăng dân số như ở giai đoạn 2000 – 2010 thì:

Đến năm 2015 dân số nước ta sẽ là:

51,3109

SHIFT SOLVE, Hiển thị giá trị của A, ấn phím = Nhập giá trị đầu của A là 0.01 = Cho kết quả: x% 0,1182%

Đánh giá các cấp độ năng lực toán học:

Cả hai câu hỏi, câu hỏi 1 và câu hỏi 2 đều đánh giá năng lực HS ở cấp độ 3(cụm phản ánh) Để giải quyết bài toán này các em cần nhận biết được nộidung toán học trong tình huống có vấn đề Có sự am hiểu về các công thức

(công thức “lãi kép ngân hàng – tăng dân số”), có khả năng suy nghĩ, suy

luận toán học cao cấp HS phải thực hiện quá trình phân tích, tổng hợp kháiquát hóa

1.3.2.3 Bài toán 3: Tòa nhà dạng xoắn (Twisted Building) ([6], tr 107)

Trong kiến trúc hiện đại, các tòa nhà có rất nhiều hình dáng lạ Dưới đây là

hình ảnh mô phỏng trên máy tính của một “ tòa nhà dạng xoắn” và cấu trúc

tầng trệt của nó Điểm la bàn là định hướng của tòa nhà

Hình 1.2 Mô hình 3D của Twisted BuildingTầng trệt của tòa nhà là lối ra, vào chính và các cửa hàng.

Ở phía trên còn có 20 tầng bao gồm các căn hộ

Cấu trúc của mỗi tầng cũng tương tự như tầng trệt nhưng mỗi tầng cóhướng hơi khác một chút so với hướng của tầng dưới nó Phần trục là thangmáy và khoảng không gian trống

Ước tính tổng chiều cao của tòa nhà theo đơn vị mét Hãy giải thíchcách làm của em

Các hình sau biểu diễn các góc nhìn của tòa nhà

Hình 1.3 Hình biểu diễn các góc nhìn của tòa nhà

Câu hỏi 2: Tòa nhà dạng xoắn

Góc nhìn 1 được vẽ theo hướng nào?

Câu hỏi 3: Tòa nhà dạng xoắn

Góc nhìn 2 được vẽ theo hướng nào?

Câu hỏi 4: Tòa nhà dạng xoắn

Mỗi tầng căn hộ có phần “xoắn” tương tự như tầng trệt Tầng trên cùng (tầng

thứ 20 trên tầng trệt) thì vuông góc với tầng trệt

Hình 1.4 Hình biểu diễn tầng trệt của tòa nhàTrên hình vẽ này, hãy trình bày cấu trúc của tầng 10, chỉ ra tầng nàynằm như thế nào so với tầng trệt

+ Cho rằng mỗi tầng cao 4m, thì 20 tầng cao 80m Cộng thêm tầng trệt

10m thì tổng chiều cao tòa nhà khoảng 90m

Mức chưa đầy đủ:

Tính đúng, nhưng chỉ dùng 20 tầng thay vì 21 tầng

+ Mỗi tầng căn hộ cao khoảng 3,5m, ước tính tổng chiều cao là

20 3,5 70m  Không đạt:

Các câu trả lời khác, gồm cả câu trả lời không có lí giải, câu trả lời mà

số tầng sai, câu trả lời ước tính không hợp lí về chiều cao của mỗi tầng (coinhư 4m là chiều cao tối đa và chiều cao tối thiểu 2,3m)

+ Mỗi tầng cao 5m thì chiều cao tóa nhà là 5 21 105m 

+ 60m

+ Không trả lời

Đánh giá các cấp độ năng lực toán học:

Câu hỏi 1, câu hỏi 2, câu hỏi 3: Đánh giá năng lực HS ở cấp độ 2 (cụm liên

kết) Ở các câu hỏi này các em không thể áp dụng các thuật toán tiêu chuẩn