SỰ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG MỘT SỐ MÔ HÌNH SINH THÁI HỌC QUẦN THỂ

HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRINH TUAN ANH SỰ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRINH VI PHAN TRONG MỘT SỐ MÔ HÌNH SINH THÁI HỌC QUẦN THỂ Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân

BO GIAO DUC VA DAO TAO

ĐẠT HỌC QUỐC GIÁ HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRINH TUAN ANH

SỰ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRINH VI PHAN

TRONG MỘT SỐ MÔ HÌNH SINH THÁI HỌC QUẦN THỂ

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân

Mã số: 1.01.02

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 1988

Luận án được hoàn thành tại: TRƯỜNG ĐẠI HỌC

KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐHQG HÀ NỘI

Người hướng dẫn khoa học:

GS TS TRAN VAN NHUNG Phan bién 1: PGS TS PHAM HUY DIEN

Phan bién 2: GS PTS VU TUAN

Phan bién 3: GS PTS NGUYEN DINH TRI

Luận án được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp

nhà nước họp tại: Testi 8 HRM TÁC, PHE & be) tư?

vào hồi /7 giờ ¿ï© ngày ¿ 3 tháng È năm 1999

Có thể tìm hiểu luận án tại Thư viện Quốc gia hoặc

Thư viện Trường ĐHKHTN, ĐHQG Hà nội.

Mở đầu

Lý thuyết định tính các phương trình vi phần cũng như

các hệ động lực được khởi xướng từ cuối thế kỷ trước bởi các nhà toán học lỗi lạc A M Liapunov (Nga), H Poincaré (Pháp) và tiếp sau bởi G D Birkhof (Mỹ) Đó là sự chuyển biến toàn diện cả về chất và lượng trong nghiên cứu các

phương trình vi phân - chuyển từ nghiên cứu định lượng

(tính toán) sang nghiên cứu định tính (dáng điệu) Bước

chuyển biến quan trọng này tạo ra khả năng ứng dụng sau

này của các công cụ mới của toán học hiện đại: giải tích hàm, lý thuyết kỳ đị, tôpô vi phân v.v để nghiên cứu các

phương trình vi phân; và ngày nay lý thuyết này đã trở thành một trong các lĩnh vực toán học hiện đại phát triển

nhất Hơn nữa, nó còn mở ra một khả năng tng dụng rộng

rãi trong các linh vực khác: vật lý học, cơ học, kinh tế học,

hoá học, sinh thái học v.v

Nội dung của bản luận án là nghiên cứu định tính một

Số phương trình vi phân có ý nghĩa trong sinh thái học quần

thể

4 0.2 22 Vấn đề sinh thái học lần đầu tiên được đề cập đến bởi

VO “T hà kinh tế học T Malthus (1798) như một bức thông điệp

Am dam: dân số khi không kiểm soát được sẽ tăng theo cấp số nhân Của cải làm ra tăng theo cấp số cộng Do vậy điếun một lúc nào đó dân số sẽ tăng nhanh hơn so với sự tăng trưởng kinh tế và sẽ dẫn đến các nạn đói Tuy rằng

giải pháp cho thảm họa trên của Malthus là tiêu cực - dùng

chiến tranh để kiềm chế sự tăng dân số, nhưng Malthus đã nhắc nhở chúng ta về vấn đề bùng nổ dân số Đến đầu thế kỷ 20 lần đầu tiên một mô hình toán học của động học quần thể được thiết lập - mô hình thú-mồi Lotka-Volterra

1

Mô hình được thiết lập một cách độc lập bởi A J Lotka (1920) trong quá trình nghiên cứu bài toán các phản ứng

hoá học cũng như bài toán các loài cạnh tranh và sau đó bởi

V Volterra (1931) trong một nỗ lực cố gắng giải thích hiện tượng thay đổi theo chu trình của lượng cá đánh bắt được ở,biển Adriatic Và từ đó đến nay đã có rất nhiều mô hình

toán học của các hệ sinh thái học quần thể được các nhà

khoa học đề xuất (xem [43], [49] và các tài liệu tham khảo

cuối luận án)

Mục đích của luận án này là nghiên cứu tính ổn định (theo các nghĩa khác nhau) của một số mô hình động học quần thể Chủ yếu chúng tôi xét trường hợp không ôtõnôm tức là mô hình được mô tả bởi hệ các phương trình vi phân

không ôtõnôm - tổng quát của trường hợp ôtônôm Các vấn

đề mà chúng tôi quan tâm là các nghiệm dương bị chan,

nghiệm tuần hoàn và hầu tuần hoàn dương, tính duy nhất của chúng cùng với các đặc trưng ổn định của nó: ổn định

tiệm cận toàn cục (theo nghĩa Liapunov), tính hút toàn cục

và tính phát triển bền vững (permanence) của hệ

Bản luận án này tổng hợp các kết quả nghiên cứu chính

trong các công trình [1], [2], [3], |4], [6], gồm bốn chương, tổng cộng 82 trang Trong mỗi chương (trừ Chương 2 gồm

2 phần chính mà mỗi phần tương tự như một chương khác) được bố cục như sau: Phần đầu giới thiệu về mô hình, tiếp

theo là các kết quả nghiên cứu chính của chúng tôi, sau đó

là các chứng minh chỉ tiết và cuối cùng chúng tôi nêu những lời nhận xét của bản thân để độc giả dễ so sánh với những nghiền cứu trước đây của các tác giả khác

- Chương 1: Chủ yếu nghiên cứu phương trình Logistic

- phương trình mô tả sự phát triển của quần thể đơn loài

sống trong môi trường hạn chế

- Chương 2: Nghiên cứu hệ ® phương trình cạnh tranh

2

dang Lotka- Volterra (Lotka-Volterra competition equations)

- hệ phương trình mô tả su canh tranh cia n loai

- Chương 3: Chúng tôi xét mồ hình động học di cư qua

lại của quần thể đơn loài sống trong môi trường gồm các

vùng cách biệt Mô hình này có ý nghĩa quan trọng trong việc quản lý động vật hoang dã sống trên các quần đảo hoặc

các vùng đất bị ngăn cách bởi các con sông hay các giải núi

- Chương 4: Chúng tôi nghiên cứu mô hình thú- mồi với ảnh hưởng của vật ký sinh Mô hình này thể biện mối quan hệ qua lại giữa một loài thú và một loài mồi mà trong

nhiều trường hợp vật ký sinh có vai trò trợ giúp quan trọng

cho sự tồn tại của loài thú Ví dụ như vật ký sinh làm chậm bước chạy của những con mồi bị nhiễm nó, do đó thú mới

có nhiều cơ hội bắt được mồi và do vậy mới tồn tại được

Nội dung của luận án đã được trình bày chỉ tiết qua nhiều buổi tại Xêmina Phương trình vi phân của liên Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường ĐHKHTN và Khoa Toán - Tin

học, Trường ĐHSP, ĐHQG Hà nội Một số phần được trình

bay tai Xémina Các phương pháp giải số phương trình vi phân của Khoa Toán - Cơ - Tin học Trường ĐHKHTN Trong quá trình làm và hoàn thành luận án tác giả đã

nhận được rất nhiều sự giúp đỡ quý báu của các cá nhân

và tập thể, do vậy nhân đây tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn

sâu sắc của mình đến các cá nhân và các tập thể đó

Trước hết tôi xin cảm ơn G5 TS Trần Văn Nhung, thầy hướng dẫn, đã dành nhiều tình cảm và nhiều công sức dạy dỗ hướng dẫn tôi làm bản luận án này

Trong khi làm luận án tôi học hỏi được rất nhiều kiến thức bổ ích cũng như nhận được nhiều tình cảm sâu sắc từ

tập thể các thầy cô, thành viên của Xêmina Phương trình vi phân của liên Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường ĐHKHTN

và Khoa Toán - Tin học, Trường ĐHSP, ĐHQG Hà nội Tôi

3

xin cảm ơn các chủ trì Xêmina GS PTS Vũ Tuấn, PGS PTS Nguyễn Thế Hoàn, ŒGS T8 Trần Văn Nhung cùng toàn thể các thầy cô, thành viên của nhóm Xêmina

Xin cảm ơn các thầy cô thành viên của Xêmina Các phương pháp giải số phương trình vi phần của Khoa Toán

- Cơ - Tin học, Trường ĐHKHTN, ĐHQG Hà nội, dưới sự

chủ trì của PGS T8 Phạm Kỳ Anh, đã dành cho tôi nhiều

sự giúp đơ quý báu

Xin cảm ơn các thầy cô trong Bộ môn Toán Sinh thái -

Môi trường, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường ĐH KHTN, ĐHQG Hà nội, đã nhiệt tình giúp đỡ và tạo mọi điều kiện

thuận lợi cho tôi hoàn thành bản luận án này

Xin cảm ơn các Ban Chủ nhiệm các Khoa Toán của hai

Trường: Trường Đại học KHẨN và Trường Đại học SP, ĐHQG Hà nội cùng các thầy cô trong hai Khoa đã giúp đỡ tác giả suốt những năm làm nghiên cứu sinh vừa qua

Xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban Giám hiệu, Phòng Khoa

học Công nghệ và Đào tạo sau đại học, Trường ĐHKHTN,

ĐHQG Hà nội đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu sinh của mình

Xin cảm ơn G5 Abdus Salam, người được giải thưởng

Nobel về Vật lý (1967) và nguyên Giám đốc Trung tâm Vật

ly Ly thuyét (ICTP, Trieste, Italy), đã cấp cho tác giả một năm học bổng học sau đại học tại Trung tâm (1993-1994) Xin cảm ơn các chủ đề tài KT-04-1.3.3 GS TS Trần

Văn Nhung; dé thi KT-04-1.3.5, KT-04-1.3.6 và KT-04-1.3.7

PGS PTS Nguyễn Thé Hoan; va dé tai QT-96-02 PGS

TS Phạm Kỳ Anh đã tài trợ cho tác giả một phần kinh phí nghiên cứu khoa học khi hoàn thành luận an

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè tác giả đã cổ

vũ động viên chia sẻ khó khăn và tạo mọi điều kiện để tác

giả hoàn thành luận án này

Chuong 1

Phuong trinh Logistic

1.1 Phuong trinh Logistic

Ching ta xét phueng trinh Logistic sau

# = z|a(t) — b()z|, (13)

trong đó a,b: R — (0,+00) lién tuc; z € Ry := 0, +oe)

Phương trình (1.1) mô tả sự phát triển của quần thể

đơn loài trong môi trường hạn chế z là mật độ của quần

thể; ø - tốc độ phát triển riêng nội tại của quần thể (the

intrinsic specific growth rate); b - đại lượng đo cường độ

cạnh tranh trong loài (the intensity of intraspecifc compe- tition) do cé sự hạn chế của môi trường Đại lượng a — br được gọi là tốc độ phát triển riêng của quần thể (the spe-

cific growth rate) Các nhà sinh thái học thường quan tâm

đến đại lượng K(f) := a(9)/b() bởi nó thể hiện sức chứa tối

đa của môi trường tại thời điểm ỉ

Thực chất chúng tôi xét dạng tổng quát hơn:

trong đó g:x R, — R là hàm liên tục và thoả mãn:

(91) infrerg(t,0) > 0, supe g(é,0) < +00

(g2) Ton tai eo >0 sao cho g(é,x) liên tục đều trên

Rx [0,c0], ho&c 1a lipsit theo z € [0,eo]} đều theo ¿€ R,

(g3) Tén tai a>O0O sao cho D,g(t,2)<-—a@ với mọi (4,7) €E Rx R,, trong dé D, ki hiéu mét dao ham Dini nao

đó (trong bốn loại) theo biến z

)

1.2 Các kết quả

Định lý 1.1 Nếu (m), (92), (g3) thoả mãn thì phương trình (1.3) có duy nhất nghiệm zÐ(Ð) xác định trên

toàn R và bị chặn trên và dưới bởi các hằng số dương Hơn

nữa, ta có lim ,+e„ |#(Ð — z?()| =0, trong do x(t) IA nghiệm bất kỳ của (1.3) thoả mãn điều kiện ban đầu z(fa) = zo >0

Dinh ly 1.2 Giá sử (g) thoả mãn và

(971) g(Œ.z) là hầu tuần hoàn theo t đều theo +,

(ˆạ) limp seo & fy g(t, 0)dt > 0

hi đó các khẳng định trong Định lý 1.1 van còn hiệu lực và nghiệm z?(‡) là hầu tuần hoàn

Nếu, hơn nữa g(t,+) là T-tuần hoàn (T > 0) theo t, thì z?(£) cũng là T-tuần hoàn

Chú ý:

() Đối với (1.1) ta chỉ cần giả thiết ẳ), b(t) bị chặn trên và dưới bởi các hằng số dương là các điều kiện (0i), (Ø2), (gs) thoả mãn, tức là có các kbằng định của Định

Với mỗi r€l, ta ký hiệu ƒ#,(t,9):=ƒ( +7, (ty) €

Rx Q Bao (hull) của ƒ, H(ƒ), được định nghĩa bởi

H(ƒ) = cHƒ; :r € R},

trong đó bao đóng lấy theo tôpö hội tụ đều trên các tập

con compact cla Rx Vé khdi niém hàm hầu tuần hoàn chúng ta có thể xem tiêu chuẩn Bochner sau đây như là định nghĩa: Hàm liên tục ƒ: lì <x Q —¬ R*” là hầu tuần hoàn theo t đều với € Ô khi và chỉ khi với mọi dãy số {Tm}t_-\ tồn tại dây con {Tm„}fE¡ sao cho dãy các dịch chuyển {ƒr„ }>ị hội

tu đều trên mọi tập dạng Rx 8 với § là tập con compact

của © khi k—rco Trong trường hợp đặc biệt khi ƒ không

phụ thuộc vào ta gọi ƒ là hàm hầu tuần hoàn

Bổ đề 1.3 Giả sử S là tập con compact của Q và với mỗi f* € H(ƒ) phương trình

có duy nhất nghiệm xác định trên toàn R và nằm hoàn toàn

trong S, Khi đó nghiệm duy nhất trong Š của (1.5) là hầu

tuần hoàn

Kết luận

Chúng tôi đã thiết lập được các điều kiện đủ cho sự tồn tại duy nhất của nghiệm (nghiệm hầu tuần hoàn) có tính chất: xác định trên toàn trục số, bị chặn trên và dưới bởi các hằng số dương, và hút toàn cục các nghiệm khác mà có điều kiện ban đầu dương của phương trình Logistic tổng quát Ngoài ra chúng tôi còn chỉ ra một điều kiện đủ cho

sự tồn tại của nghiệm hầu tuần hoàn trong phương trình vi

phân nói chung.

Chương 2

Hệ phương trình cạnh tranh Lotka-Volterra

2.1 Hệ phương trình cạnh tranh Lotka - Volterra

Xét hệ ® phương trình cạnh tranh Lotka-Volterra mô tả

sự cạnh tranh của quần thể + gồm m loài uy, ug, ,Un:

n

ti; = uilbs(t) — Daj (tyuj], 1 <i <n, (2.1)

=A

trong dé n> 2; ai3,0;: R— R la liên tục, bị chặn trên và dưới

bởi các hằng số dương; u¿ € Ry IA mat độ của loài 7

Hệ số ð¡ là tốc độ phát triển riêng nội tại của loài i; ay

- cường độ cạnh tranh trong bản thân loài t; va ai; (i # 7) - cường độ cạnh tranh (ảnh hưởng) của loài 7 đối với loài í

2.2 Nghiệm hầu tuần hoàn dương của hệ œ® phương trình cạnh tranh Lotka-Volterra

số dương Hơn nữa, ta có lìm ,+ee |u(Ð) — tộ(Đ| = 0 với mọi

nghiệm u(£) = (u1(Đ, , ta(Ð) : (Ea) = tại >0, 1<? <n

Ngoài ra nếu aj,ÙÐ;¡ (L<i,j <S n) là hầu tuần hoàn, thì nghiệm u?(£) đó cũng là hầu tuần hoàn

Với g: R—: ïR ta ký hiệu ør = inf¿snø(), gx = sup¿eg9(0-

Hệ quả 2.2 Nếu

n bin > ») aizm(bjm/azjt), 1<i<n, (2.5)

£=L đưi

thì khẳng định trong Định lý 2.1 vẫn đúng

2.3 Bài toán ba loài cạnh tranh

Xét một trường hợp đặc biệt của hệ (2.1), đó là

4, = 2(1 — 2; — a(t)x2 — 8)33],

đa = #2[l — 8()#: — #2 — a(t)z3},

£3 = +a(1T— a(#\ — 8()+a — Z3], (2.21)

9

voia,8:R— R la cdc ham liên tục không âm

2.3.1 Két qua chinh

Dinh ly 2.9

(i) (2.21) 6 it nhadt một nghiệm 2°(t) = (x, (t), za(t), x3(t))

mà các thành phần của nó bị chặn trên và dưới bởi các hằng số dương Đặc biệt, nếu œ, 8 là T-tuần hoàn (hầu tuần hoàn) thì (2.21) có ít nhất một nghiệm T-tuần hoàn (hầu tuần hoàn) mà mỗi thành phần của nó bị chặn dưới bởi các

hằng số dương

() Nếu

sup{a(t) + 8()} < 2 teR

thì nghiệm 2°(t) lA duy nhat va lime + ||z(t) — 2°(t)|| = 0 với bất kỳ nghiệm dương z(t) của (3.21)

Chúng tôi nghiên cứu hệ + phương trình cạnh tranh

Lotka-Volterra và đã thiết lập được một điều kiện đủ cho

sự tồn tại duy nhất của nghiệm xác định trên toàn trục số (và nghiệm hầu tuần hoàn) với các thành phần bị chặn trên

và dưới bởi các hằng số dương, và hút toàn cục các nghiệm

khác mà có các điều kiện ban đầu dương Hơn nữa, chúng

tôi còn nghiên cứu chỉ tiết một trường hợp đặc biệt của bài

toán 3 loài cạnh tranh

10