Bài giảng Toán kĩ thuật Chương 4 - ĐH Cần Thơ

Nội dung• Định nghĩa biến đổi Laplace • Các tính chất của biến đổi Laplace • Các định lý giới hạn • Các định lý Heaviside • Biến đổi Laplace của hàm tuần hoàn • Tích chập và công thức Du

Chương 4

BIẾN ĐỔI LAPLACE

Nội dung

• Định nghĩa biến đổi Laplace

• Các tính chất của biến đổi Laplace

• Các định lý giới hạn

• Các định lý Heaviside

• Biến đổi Laplace của hàm tuần hoàn

• Tích chập và công thức Duhamel (skip)

• Biến đổi Laplace ngược (reference)

• Ứng dụng phép biến đổi Laplace

• Dạng toán tử của các định luật Ohm trong Lý thuyết mạch

Định nghĩa

• Cho hàm f(t) thỏa mãn các điều kiện Dirichlet với t ≥ 0 Biến đổi Laplace của f(t) là hàm F(s) như sau:

• Khi đó, biến đổi Laplace ngược của hàm F(s)

()

(t F s f t e dt

L

Ví dụ

Biến đổi Laplace của các hàm căn bản

• Vi phân trong miền s

• Tích phân trong miền s

f ( )] 1 [

L

Phép dịch trong miền thời gian

L {f(t-a) u(t-a)} = e-as F(s), a ≥ 0

L -1{e-asF(s)} = f(t-a) u(t-a)

L {f(t) u(t-a)} = e-as L {f(t+a)}, a ≥ 0

Phép dịch trong miền s

L {eatf(t)}=F(s-a)

L -1{F(s-a)} = eat f(t)

Vi phân trong miền thời gian

L {f’(t) } = s L {f(t)} – f(0) = sF(s) – f(0)

L {fn(t)} =snF(s) – sn-1f(0) – sn-2f’(0) - … - sf(n-2)(0) – f(n-1) (0)

Tích Phân Trong Miền Thời Gian

) (

1 )}

( {

1 )

(

0

s

F s

t

f s

dx x f

Vi phân trong miền s

Tích phân trong miền s

( )

( ) s F

t f t

s F t

f

t

n n

n ( )] ( 1 ) [

' )]

(

x

F t

t f

)} ( { )

( )

(

L L

( '

* ) (

) ( ) 0 ( )

(

* ) (

' )

( )

( ).

( )

t g h

t g t

h

t h g

t h t

g t

f s

H s G s s

Ví dụ

Biến đổi Laplace của hàm tuần

hoàn

f(t+T)=f(t), trên đoạn từ [0, ∞) và liên tục từng đoạn trong miền tuần hoàn thì:

01

)

()

()}

t

f s

F t

L

Ví dụ

Biến đổi Laplace ngược

Phương pháp đối chiếu gốc ảnh

Từ các bảng đối chiếu các công thức biến đổi Laplace, ta tìm được f(t)

) ( )

f   →Laplace

)()

F Laplace− →

Ví dụ

Biến đổi Laplace ngược

Các định lý HEAVISIDE

Ví dụ

Biến đổi Laplace ngược

Các định lý HEAVISIDE

Ví dụ

Biến đổi Laplace ngược

Các định lý HEAVISIDE

Ví dụ

Ứng dụng phép biến đổi Laplace

Giải ptvptt hệ số hằng

Ví dụ

Ứng dụng phép biến đổi Laplace

Phân giải bài tốn mạch điện

Phương pháp 1

Phương pháp 2

Ứng dụng phép biến đổi Laplace

Phương pháp 1

Ví dụ

Ứng dụng phép biến đổi Laplace

Phương pháp 2

• Đọc kỹ yêu cầu bài tốn, phân tích các thơng số và sơ đồ mạch điện

• Laplace hĩa các thành phần của mạch điện ta được

mạch điện tương đương trên miền s

• Áp dụng định luật Ohm, viết phương trình mạch điện

Laplace hĩa

• Giải phương trình Laplace hĩa, suy ra kết quả

Laplace hóa các thành phần RLC

Ví dụ

Hết chương 4