Sở Giáo dục và Đào tạoThái Bình Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS năm học 2010-2011 Hướng dẫn chấm và biểu điểm môn toán Gồm 5 trang GV ra đề : Đỗ Vũ Cường – THPT Nguyễn Trói Phạm Qua
Trang 1Sở Giáo dục và Đào tạo
Thái Bình Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS năm học 2010-2011
Hướng dẫn chấm và biểu điểm môn toán
(Gồm 5 trang)
GV ra đề :
Đỗ Vũ Cường – THPT Nguyễn Trói Phạm Quang Thắng – THPT Chuyờn
Bài 1 (3 điểm) Chứng minh rằng:
892 13 2 2011 2010 45
Giải :
(k 1)k k k 1
+) Từ đú:
0.5
1
89 2011
0.5
(k 1) k 2 k 1 k k 1 k 1 k k k 1
2.
+) Từ đú:
2
0.5
2 1
45 2011
Bài 2 (3điểm) Tỡm phần dư của phộp chia đa thức p(x) cho 3
(x 1)(x 1)biết p(x) chia cho x 1 thỡ dư 1, p(x) chia cho 3
x 1 thỡ dư 2
x x 1
Giải:
p(x)(x 1)(x 1)q(x) ax bx cxd (a, b, cR) 0.5
Trang 2
(x 1) (x 1)q(x) a bx cx d a
+) Suy ra p(x) chia cho 3
(x 1) có phần dư là 2
+) Kết hợp với giả thiết suy ra b = 1; c = 1; d – a = 1 0.5 +) Vì p(x) chia cho x – 1 dư 1 nên p(1) = 1 0.5 +) Suy ra a + b + c + d = 1 a = - 1; d = 0 0.5 +) Vậy phần dư cần tìm là: - x3 + x2 + x 0.5
Bài 3 (3 điểm) Giải phương trình:
3 x 1 x 15x 75x 131
Giải:
+) Đặt 3 x 1 y 5 x y 3 15y 2 75y 126 0.5
+) Vậy ta có hệ phương trình:
x y 15y 75y 126 (1)
y x 15x 75x 126 (2)
+) Trừ vế với vế của phương trình (1) và (2):
(x y) x xy y 15 x y 76 0 x2 y 2
x xy y 15(x y) 76 0
+) Khi x = y ta có:
x 15x 74x 126 0 2
(x 7)(x 8x 18) 0
x 8x 18 0
0.5
+) Khi x 2 xy y 2 15(x y) 76 0 2 2
x y 15 x (y 15y 76) 0
x y 30y 225 4y 60y 304
2
3y 30y 79
2 3(y 5) 4 0 y
, phương trình vô nghiệm 0.5 +) Vậy x = 7 là nghiệm duy nhất của phương trình
Bài 4 (3 điểm) Cho a, b, c là 3 số thực dương Chứng minh rằng :
b c 2a c a 2b a b 2c 2
Giải:
+) Áp dụng BĐT Bunhia ta có:
2
b c 2a c a 2b a b 2c b c 2a c a 2b a b 2c
+) Đặt:
b c 2a 4x
c a 2b 4y
a b 2c 4z
Trang 3Nội dung Điểm
+) Suy ra
a 3x y z
b 3y z x
c 3z x y
+) Khi đó a b c 3x y z 3y z x 3z x y
9 1 y z z x x y
4 4 x x y y z z
+) Mà y z z x x y 6
b c 2a c a 2b a b 2c 4 4 4
+) Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh 0.5
Bài 5 (3 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh AB = c, BC = a, CA = b Các góc
A, B, C thỏa mãn C 2A B.
Chứng minh rằng: c2 < 2a2 + b2
Giải:
D
C
+) Vì C 2A B C B ABAC 0.5 +) Gọi D là điểm trên cạnh AB sao cho AC = AD 0.5 +) Ta có: C BCD DCA BCD CDA BCD B BCD 2BCD B
Mà C 2A B suy ra BCD A 0.5 +) Hai tam giác BCD và BAC đồng dạng
Ta có BC BD 2
BC BA.BD
BA BC
0.5
Trang 42 2
BC AB(AB AD) AB AB.AC
2 2 2 b2 c2
c a b.c a
2
2 2 2
c 2a b
+) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b c B C A 0 (vô lý)
Vậy 2 2 2
Bài 6 (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Gọi M là điểm bất kì
thuộc cung BC không chứa điểm A (M không trùng với B và C) Gọi A ', B ', C ' lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên BC, CA, AB
a Chứng minh A ', B ', C ' thẳng hàng
b Chứng minh BC CA AB
MA ' MB ' MC '
Giải:
D
A'
B'
C'
O A
B
C M
+) Tứ giác MA’B’C nội tiếp đường tròn MA ' B ' MCB ' 180 0 (1) 0.5 +) Tứ giác MC’BA’ nội tiếp đường tròn MA 'C ' MBC ' (2) 0.5 +) Tứ giác ABMC nội tiếp đường tròn MCA MBC ' (3) 0.5 a
+) Từ (1), (2), (3) suy ra 0
MA ' B ' MA 'C ' 180 do đó A’, B’, C’ thẳng hàng
b +) Gọi D là điểm đối xứng của C qua O
DMC BA ' M
vì MBC MDC; DMC MA ' B
Suy ra MC CD MA ' MB.MC
MA ' MB 2R
0.5
Trang 5+) Tương tự MB ' MC.MA; MC ' MA.MB
0.5
+) Vậy BC CA AB BC.2R CA.2R AB.2R
MA ' MB ' MC ' MB.MC MC.MA MA.MB
AC.MB AB.MC BC.MA
Luôn đúng theo định lý potoleme 0.5
Bài 7 (2điểm) Cho hình bình hành ABCD và n = 4k + 1 (k nguyên dương) đường thẳng,
mỗi đường thẳng đó chia hình bình hành thành hai hình thang có tỷ số diện tích là m (m
là số dương cho trước) Chứng minh rằng có ít nhất k + 1 đường thẳng trong số n đường thẳng nói trên đồng quy.(Hình bình hành cũng được xem như là hình thang)
Giải:
d
I
P
M
Q N
B
F
J
K L
Gọi d là đường thẳng bất kì trong số n đường thẳng đã cho Gọi M, N, P, Q lần
lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD, DC, CB
Giả sử d cắt AB tại E, d cắt DC tại F Gọi I là giao điểm của d và NQ, h là khoảng
cách giữa hai đường thẳng AB và CD
Ta có : AEFD
EBCF
0.5 m
m 1
, suy ra điểm I cố định
0.5 Tương tự ta tìm được ba điểm J, K, L cố định mà các đường thẳng đã cho đi qua
Theo nguyên lý Dirichlê tồn tại một điểm mà có ít nhất k + 1 đường thẳng đi qua 0.5