MỘT SỐ MÔ HÌNH BIỂU DIỄN TRI THỨC

Em xin chân thành cám ơn PGS.TS Đỗ Văn Nhơn, và các thầy cô trong trườngĐại học CNTT- ĐHQG TP HCM cùng các bạn bè đã giúp em hoàn thành tốt môn họcnày... Số lượng người phải làm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

_ _

BÀI THU HOẠCH MÔN HỌCBIỂU DIỄN TRI THỨC VÀ SUY LUẬN

ĐỀ TÀIMỘT SỐ MÔ HÌNH BIỂU DIỄN TRI THỨC

GVHD: PGS.TS ĐỖ VĂN NHƠN

MSHV: CH1301002

TP HCM, 03/2014

LỜI MỞ ĐẦU

Mức độ phát triển của các hệ thống dựa trên tri thức của con người đã được mởrộng ngày một nhanh Nó đã thoát khỏi lĩnh vực thông thường, nhu cầu cần có một môhình để biểu diển tri thức cho các chương trình chuyên gia đã trở nên vô cùng cần thiết.Có một điều cần phải biết là lĩnh vực này đang ngày càng trở nên phức tạp vì tính đặc thùcủa ngôn ngữ tự nhiên, do đó cần một hệ thống để có thể giao tiếp với các chuyên giatheo ngôn ngữ của họ là không thể bỏ qua Ngoài ra các công việc như chuẩn đoán ykhoa, phân tích kịch bản, hiểu được ngôn ngữ tự nhiên và chơi trò chơi, tất cả đã từngbước phát triển các mô hình để có thể biểu diển được một phần những tri thức chưa đầyđủ lên trên hệ thống máy tính

Vì tính chất phức tạp cùng với việc các mô hình hiện tại vẫn chưa thể biểu diễnđầy đủ tri thức của con người lên hệ máy tính Do đó ngày càng nhiều công trình nghiêncứu về các mô hình và phương pháp để có thể biểu diễn tri thức để có thể đưa vào ứngdụng thực tế

Trong bài tiểu luận này em sẽ đưa ra một số mô hình để biểu diễn tri thức để giúphiểu rõ hơn cách làm thế nào mà tri thức của con người có thể được biểu diễn trên một hệthống ứng dụng thực tế cũng như hiểu rõ hơn được các đặc trưng cơ bản của từng môhình Vì thời gian và kiến thức có hạn nên bài tiểu luận vẫn còn nhiều hạn chế rất mongđược sự đóng góp ý kiến từ thầy

Em xin chân thành cám ơn PGS.TS Đỗ Văn Nhơn, và các thầy cô trong trườngĐại học CNTT- ĐHQG TP HCM cùng các bạn bè đã giúp em hoàn thành tốt môn họcnày

I./ BIỂU DIỄN TRI THỨC:

1./ Tri thức và biểu diễn tri thức:

“Tri thức là sức mạnh”

Francis BaconNhư danh ngôn nổi tiếng của Francis Bacon, ta có thể thấy tri thức được xem như

là một trong những tài sản lớn nhất của nhân loại, nhưng nó là một cái gì rất mong manh

và khó để ghi lại Ghi lại và biểu diễn tri thức của con người với sự giúp đỡ của máy tính

là một trong những lĩnh vực đã được nghiên cứu rất lâu của khoa học máy tính nhằm mụcđích biểu diễn các kiến thức của con người thành một dạng mà máy tính có thể hiểuđược Đã có nhiều tiếp cận khác nhau về vấn đề này nhưng gặp thất bại trong quá khứ cóthể vì đã không tập trung vào cái quan trọng nhất đó là cách mà tri thức con người đượcbiểu diễn: theo ngôn ngữ tự nhiên

Các mô hình để phần nào có thể biểu diển tri thức con người dựa trên ngôn ngữ tựnhiên lần lượt được đưa ra để giúp con người có thể đưa ra các tri thức của họ theo cáchtự nhiên sao cho máy tính có thể hiểu được Các mô hình này đã được nghiên cứu bởinhiều nhóm chuyên gia và nhiều mô hình lần lượt ra đời mặc dù không phải mô hình nàocũng đủ mạnh để có thể tạo ra ứng dựng thực tế có thể biểu diển được các tri thức trênnhiều lĩnh vực khác nhau

2./ Tầm quan trọng của biểu diễn tri thức lên máy tính:

Chúng ta đang sống trong một thế giới mà máy tính ngày càng trở nên phổ biếnhơn Số lượng người phải làm việc với máy tính trong cuộc sống hàng ngày đã gia tăngmột cách đáng kể trong thập kỷ qua Sẽ không phải quá nếu nói rằng chúng ta không còn

xa thời điểm mà hầu như tất cả mọi người đều phụ thuộc vào máy tính trong cả ngày vàđêm

Tuy nhiên số lượng người được đào tạo về khoa học máy tính lại không theo kịpvới đà phát triển Tỷ lệ người có trình độ về khoa học máy tính chỉ chiếm tỷ lệ rất thấptrên dân số có việc làm Nghĩa là trong khi càng ngày càng nhiều người phải làm việc vớimáy tính trong cuộc sống hàng ngày của họ, tỷ lệ người có trình độ cao trong khoa họcmáy tính lại duy trì với mức rất thấp Kết quả là càng ngày càng nhiều người không có đủkiến thức cụ thể cần thiết trong lĩnh vực khoa học máy tính để có thể giao tiếp được vớimáy tính

Tình trạng này làm tăng lên sự cần thiết của việc liên lạc với máy tính theo cách dễdàng và trực quan nhất mà không cần phải yêu cầu kiến thức chuyên sâu từ người dùng.Tuy nhiên trên thực tế con người và máy tính dùng các loại ngôn ngữ hoàn toàn khác biệtđó là một trong những trở ngại lớn nhất trong việc giao tiếp giữa con người với máy tính.Máy tính sử dụng các ngôn ngữ hình thức như ngôn ngữ lập trình hay ngôn ngữ logictrong khi con người thể hiện họ bằng ngôn ngữ tự nhiên.

Giải pháp đơn giản nhất cho vấn đề này là viết các chương trình máy tính sao chochúng có khả năng xử lý ngôn ngữ tự nhiên sao cho hợp lý nhất Mặc dù đã có nhiềuthành công bước đầu trong lĩnh vực nghiên cứu này, việc xử lý ngôn ngữ tự nhiên trởthành một vấn đề vô cùng khó khăn Từ những cố gắng đầu tiên, một lượng lớn cácnghiên cứu đã trực tiếp làm việc trên vấn đề này trong vài thập kỷ trở lại đây Mặc dùthực tế là có những tiến triển trên một số khía cạnh, máy tính vẫn thất bại trong việc xử lýngôn ngữ tự nhiên một cách tổng quát và đáng tin cậy nhất

Trong khi máy tính thất bại trong việc hiểu ngôn ngữ tự nhiên, thì con người đượcbiết là gặp rất nhiều khó khăn trong việc học ngôn ngữ hình thức Ví dụ rất nhiều ngườisử dụng web thất bại trong việc dùng chính xác các toán tử vô cùng đơn giản trong cáccông cụ tìm kiếm Ngoài ra việc sử dụng các ngôn ngữ logic cũng gặp rất nhiều khókhăn

Nhìn chung, kết quả hiển nhiên là con người và máy tính có thể giao tiếp nhaunhưng không thể dùng ngôn ngữ của hai bên Một số mô hình đã ra đời để giải quyết vấnđề này trên một số khía cạnh nhất định đó là có thể phần nào biểu diễn những tri thức quýgiá của con người lên máy tính và có thể tự phân tích được dựa vào những tri thức đó.Chúng ta hãy cùng đi vào tìm hiểu một số mô hình biểu diễn tri thức phổ biến

II./ MỘT SỐ MÔ HÌNH BIỂU DIỄN TRI THỨC:

1./ Hệ luật dẫn:

a./ Khái niệm:

Hệ luật dẫn bao gồm một tập hợp các quy tắc nếu-thì hợp với nhau tạo thành một

mô hình xử lý thông tin cho một số công việc liên quan đến biểu diễn tri thức Hệ luậtdẫn có một số thuộc tính đặc biệt làm cho nó có tính phù hợp cao để có thể mô hình đượctri thức Từ mô hình ban đầu chỉ dùng để giải quyết vấn đề, hệ luật dẫn đã phát triển lêntrở thành một hình thức có thể mô hình các tri thức của con người và các khía cạnh trongmáy học

Hệ luật dẫn là một mô hình xử lý tri thức, bao gồm một tập hợp các quy tắc (đượcgọi là luật dẫn) Mỗi luật gồm hai phần: phần điều kiện và phần hành động Ý nghĩa củaluật này là khi điều kiện đúng, thì một hành động sẽ được thực thi Hãy xem xét một vídụ đơn giản sau đây với hai luật dẫn để mô tả hành vi của một hệ thống làm ấm

Luật 1: nếu nhiệt độ < 20 C -> bật chế độ làm ấm

Luật 2: nếu nhiệt độ > 20 C -> tắt chế độ làm ấm

Khi nhiệt độ trong phòng nhỏ hơn 20 C, phần điều kiện của luật 1 đúng, vì thếmáy điều hoà nhiệt độ thực hiện hành động cụ thể theo luật vào bật chế độ làm ấm Khinhiệt độ trên 20 C, luật 2 tương tự sẽ được thực thi và tắt chế độ làm ấm Cùng với nhau,hai nguyên tắc này xác định một quá trình mô tả hành vi của một máy điều hoà nhiệt độ

Một hệ luật dẫn cho mô hình tri thức có nhiều hơn hai luật, thậm chí cả ngàn luật.Hệ thống hoạt động theo kiểu chu kỳ Trước hết một luật có các điều kiện được thoả sẽđược xác định, khi đó luật này sẽ được thực thi Thường hành động này sẽ thay đổi trạngthái hiện tại sang trạng thái khác do đó một luật khác với điều kiện của nó sẽ được thoả,

và vòng quay lại được lặp lại

b./ Mô hình biểu diễn tri thức của hệ luật dẫn:

Mô hình biểu diễn tri thức của hệ luật dẫn gồm có hai thành phần chính (Facts,Rules) Trong đó Facts bao gồm các phát biểu chỉ các sự kiện hay các tác vụ nào đó, cònRules gồm các luật dẫn có dạng “if…then….”

Ví dụ: Một phần cơ sở tri thức của tam giác

o Các yếu tố của tam giác ví dụ cạnh a, b, c; góc A, B, C, chu vi p, diện tích S,

đường cao ha, hb, hc…

→ Đưa vào Facts = {a, b, c, A, B, C, p, S, ha, hb, hc, …}

o Các luật sinh ví dụ: nếu có góc A, góc B thì có góc C,…

→ Đưa vào Rules = {

r1: {A, B} -> {C= pi – A – B}

…

c./ Tổ chức lưu trữ:

Khi tiến hành lưu trữ tuỳ theo cấu trúc của Facts mà ta có thể sữ dụng các cấu trúcdữ liệu phổ biến như struct, frames, classes,…

Ví dụ một tổ chức lưu trữ: hệ thống sẽ lưu hai tập tin dạng text có cấu trúc:Fact.txt và Rule.txt Trong đó cấu trúc của mỗi tập tin như sau:

d./ Cơ chế suy luận trên luật dẫn:

Với một hệ luật dẫn K = {Facts, Rules} cho trước Giả sử ta có một tập sự kiện GT

đã xác định, ta xét một tập sự kiện mục tiêu KL Có thể suy ra được KL từ tập GT không,

và nếu được thì KL được suy ra từ các luật sinh nào?

o Suy diễn tiến:

Là quá trình suy luận xuất phát từ một số sự kiện ban đầu, xác định các sự kiện cóthể được sinh ra từ sự kiện này Ví dụ: Trong ví dụ trên nếu ban đầu ta có các sự kiện A,

B Ta có thể suy ra C nhờ luật R1

Thuật giải suy diễn tiến:

 B1: Ghi nhận các sự kiện giải thiết và mục tiêu của bài toán

 B2: Khởi tạo lời giải là rỗng

 B3: Kiểm tra mục tiêu

If mục tiêu đáp ứng then goto B8

 B4: Nếu mục tiêu chưa nằm trong know tìm luật có thể phát sinh sự kiệnmới

 B5: If không tìm được luật then

Dừng không tìm được lời giải

 B6: If B4 thành công then

Ghi nhận thông tin về luật vào lời giải và sự kiện mới vào giả thiết đượcphát sinh từ các luật

 B7: Goto B4

 B8: Tìm được lời giải trong danh sách luật solution

o Suy diễn lùi:

Là quá trình suy luận ngược xuất phát từ một số sự kiện ban đầu, ta tìm kiếm cácsự kiện đã "sinh" ra sự kiện này Ví dụ: Trong ví dụ trên nếu ban đầu ta cần tìm C Taxem trong các luật sinh ra C để tìm sự kiện nào đã có trong đề bài Nếu tìm được thì kếtthúc còn không tìm được thì lại truy ngược lên đối với các sự kiện đã sinh ra C Ở đâynhờ luật R1 ta tìm ra được sự kiện A, B mà đề bài đã cho trước

Thuật giải suy diễn lùi:

 B1: Giả sử mục tiêu đúng

 B2: Phát sinh các mục tiêu con

 B3: Kiểm tra các mục tiêu con

If mục tiêu đáp ứng then goto B8

 B4: Tìm luật có thể phát sinh sự kiện mới

 B5: If không tìm được luật then

Dừng không tìm được lời giải

 B6: If B4 thành công then

Ghi nhận thông tin về luật vào lời giải và sự kiện mới vào giả thiết đượcphát sinh từ các luật

 B7: Goto B4

 B8: Tìm được lời giải trong danh sách luật solution

e./ Tối ưu luật:

Tập các luật trong một cơ sở tri thức rất có khả năng thừa, trùng lắp hoặc mâuthuẫn Dĩ nhiên là hệ thống có thể đổ lỗi cho người dùng về việc đưa vào hệ thống nhữngtri thức như vậy Tuy việc tối ưu một cơ sở tri thức về mặt tổng quát là một thao tác khó(vì giữa các tri thức thường có quan hệ không tường minh), nhưng trong giới hạn cơ sở trithức dưới dạng luật, ta vẫn có một số thuật toán đơn giản để loại bỏ các vấn đề này như

o Rút gọn vế phải:

 A  B → A  C sẽ trở thành A  B → C

o Rút gọn vế trái:

 (L1) A, B → C (L2) A → X (L3) X → C sẽ trở thành A → C do đó L1 bị dưthừa có thể loại bỏ

o Phân rã và kết hợp luật:

 A  B → C sẽ trở thành A → C, B → C

o Luật thừa:

 Một luật là thừa nếu có thể suy ra từ luật khác ví dụ A → B, B → C, A → Cthì luật thứ 3 bị thừa

f./ Ưu và khuyết điểm của hệ luật dẫn:

o Ưu điểm:

 Các luật rất dễ hiểu nên có thể dễ dàng dùng để trao đổi với người dùng (vìnó là một trong những dạng tự nhiên của ngôn ngữ)

 Có thể dễ dàng xây dựng được cơ chế suy luận và giải thích từ các luật

 Việc hiệu chỉnh và bảo trì hệ thống là tương đối dễ dàng

 Có thể cải tiến dễ dàng để tích hợp các luật mờ

 Các luật thường ít phụ thuộc vào nhau

 Cơ sở tri thức luật sinh lớn sẽ làm giới hạn khả năng tìm kiếm của chươngtrình điều khiển Nhiều hệ thống gặp khó khăn trong việc đánh giá các hệ dựatrên luật sinh cũng như gặp khó khăn khi suy luận trên luật sinh

2./ Mạng suy diễn tính toán:

a./ Khái niệm:

Một mạng tính toán với các biến giá trị đơn giản là một cặp (M,F) trong đó M ={x1, x2, …,xn} là một tập các biến có giá trị đơn giản (hoặc giá trị không có cấu trúc) và

F = {f1, f2, …., fm} là tập các quan hệ tính toán giữa các biến trọng tập M Mỗi quan hệtính toán f  F có dạng như sau:

o Một phương trình với một số biến trong M hoặc

o Một quy tắc suy luận: u(f)  v(f), với u(f)  M, v(f)  M, và có một công

thức tương ứng để xác định (hoặc tính toán) các biến trong v(f) từ u(f)

 Ta có: M(f) = u(f)  v(f)

Ví dụ: Tam giác ABC có thể được biểu diễn bởi mạng tính toán như sau:

M = {a, b, c, A, B, C, R, S, p}

và F = {

b./ Bài toán trên mạng tính toán:

Cho một mạng tính toán (M, F) Vấn đề phổ biến nhất phát sinh từ các ứng dụngthực tế là tìm ra một giải pháp xác định được tập H ⊆ M từ tập G ⊆ M Vấn đề này đượcviết dưới dạng H  G, H là giả thuyết và G là mục tiêu của vấn đề Để giải quyết vấn đềcần phải trả lời hai câu hỏi sau:

o Q1: Vấn đề có thể được giải quyết dựa trên tri thức K = (M, F)

o Q2: Làm thế nào để đạt được mục tiêu G từ giả thuyết H dựa trên tri thức K =

(M, F) trong trường hợp vấn đề có thể được giải quyết

Ví dụ: Trong tập tri thức K = (M, F) của ví dụ trên giả sử ta có H = { a = 5, b = 4,

A = pi/2} tìm giải pháp cho G = {S, R}

Định nghĩa II.2.b.1:

Cho một mạng tính toán K = (M, F)

(i) Cho mỗi A  M và f ¿ F, ta ký hiệu f(A) = A  M(f) là tập thu được từ

A bằng cách áp dụng f, cho S = [f1, f2, , fk] là một danh sách chứa cácquan hệ trong F, ký hiệu S(A) = fk(fk-1( (f2(f1(A)) )) được dùng để biểuhiện một tập hợp các biến lấy được từ A bằng cách áp dụng các quan hệ f

(ii) Danh sách S = [f1, f2, , fk] được gọi là một giải pháp của vấn đề H  G

nếu G  S(H) Giải pháp S được gọi là giải pháp tốt nhất nếu không có mộtdanh sách con S’ của S sao cho S’ cũng là giải pháp của vấn đề Vấn đềđược xem là có thể giải quyết được nếu nó có một giải pháp

Định nghĩa II.2.b.2:

Cho một mạng tính toán K = (M, F)

Cho A là tập con của M Có thể dễ dàng xác định tồn tại một tập duy nhất A Msao cho bài toán A  A giải được; tập A được gọi là bao đóng của A.

c./ Thuật toán:

 Định lý 1:

Cho một mạng tính toán K = (M, F) Các dòng sau đây tương đương nhau:

(i) Bài toán H  G giải được

(iii) Tồn tại một danh sách các quan hệ S sao cho S(H)  G

Thuật toán 1: Tìm một lời giải cho bài toán H  G

1 Solution  empty; // Solution là dãy các quan hệ sẽ áp dụng

else

Solution_found  false;

3 Repeat

Hold  H;

Chọn ra một f  F chưa xem xét;

while not Solution_found and (chọn được f) do

4 if not Solution_found then

Bài toán không có lời giải;

Solution là một lời giải;

Thuật toán 2: Tìm lời giải tốt nhất từ một lời giải S = [f1, f2, , fk] của bài toán

H  G trên mạng tính toán (M, F)

1 D  f1, f2, , fm;

2 for i = m downto 1 do

if D \ fi là một lời giải then

D  D \ fi;

3 D là một lời giải tốt

Trên mạng tính toán K = (M,F) Có nhiều trường hợp bài toán H  G có một lờigiải S mà trong đó có nhiều quan hệ dẫn tới việc tính toán một số biến thừa Do đó,chúng ta cần xác định các biến thật sự cần thiết trong mỗi bước trong quá trình giải quyếtbài toán Định lý sau đây cho ta thấy làm cách nào để phân tích một lời giải để xác định

ra các biến cần thiế để tính toán trong từng bước

 Định lý 2: Cho một mạng tính toán K = (M, F) Gọi f1, f2, , fm là một lời giải

tốt cho bài toán H  G Đặt : A0 = H, Ai = f1, f2, , fi(H), với mọi i=1, ,m Khiđó có một dãy B0, B1, , Bm-1, Bm, thỏa các điều kiện sau đây:

(1) Bm = G

(2) Bi  Ai , với mọi i=0,1, ,m

(3) Với mọi i=1, ,m, [fi] là lời giải của bài toán Bi-1  Bi nhưng không phải làlời giải của bài toán B  Bi , trong đó B là một tập con thật sự tùy ý của Bi-1

Cho một mạng tính toán K = (M, F) Các dòng sau đây tương đương nhau

(iv) Bài toán H  G giải được

(v) H  G

(vi) Tồn tại một danh sách các quan hệ S sao cho S(H)  G

Ví dụ: Cho mạng tính toán biểu hiện tri thức liên quan đến tam giác trong ví dụtrên Tìm một lời giải cho bài toán {a, B, C}  {S} Từ thuật toán 1 ta có được một lờigiải Sol = [f1, f2, f3, f5, f6] Và lời giải này không phải là lời giải tốt nhất vì có một quanhệ thừa là f5 Từ lời giải Sol thuật toán 2 sẽ cho lời giải mới NewSol = [f1, f2, f9] và quátrình để giải quyết bài toán như sau:

B1: Tính ra A bằng cách áp dụng f1;

B2: Tính ra B bằng cách áp dụng f2;

B3: Tính ra S bằng cách áp dụng f9;

d./ Ưu và khuyết điểm của mạng tính toán:

 Đối với các bài toán mà sử dụng nhiều các đối tượng tính toán bài toán trởnên phức tạp, việc giải quyết bài toán bằng mạng tính toán trở nên khó khăncho người lập trình

3./ Mạng các đối tượng tính toán:

a./ Khái niệm:

Trong rất nhiều bài toán chúng ta thường gặp rất nhiều loại đối tượng Mỗi mộtđối tượng có các thuộc tính và các mối quan hệ bên trong giữa chúng Vì vậy, mạng tínhtoán được mở rộng sao cho mỗi biến là một đối tượng tính toán.

Định nghĩa 1: Một đối tượng tính toán sẽ có những đặc tính sau:

(1) Nó có các thuộc tính giá trị Một tập hợp các thuộc tính này của đối tượng O sẽđược ký hiệu là M(O)

(2) Có các quan hệ tính toán nội bộ giữa các thuộc tính của đối tượng O Chúngđược hiện ra trong các đặc trưng sau đây của đối tượng:

 Cho một tập con A của M(O) Đối tượng O có thể cho chúng ta thấy các thuộctính có thể xác định được từ tập con A

 Đối tượng O sẽ đưa ra giá trị của một thuộc tính

 Nó có thể hiện lên các xử lý bên trong để xác định ra các thuộc tính

Ví dụ: 1 tam giác với các tri thức (công thức, định lý, …) là một đối tượng Cácthuộc tính của đối tượng tam giác là ba góc, 3 cạnh,… Một đối tượng tam giác có thể trảlời một số câu hỏi ví dụ như là “Có không một lời giải cho một bài toán để tính toán diệntích từ một cạnh và hai góc?”

Định nghĩa 2: Quan hệ tính toán f giữa các thuộc tính của một đối tượng cụ thể

được gọi là một quan hệ giữa các đối tượng Mạng các đối tượng tính toán sẽ chứa mộttập hợp các đối tượng tính toán O = { O1, O2, …, On} và một tập các quan hệ tính toán F

= { f1, f2, … fm} Có một số ký hiệu sau đây:

M(fi) = Tập hợp các thuộc tính của đối tượng tính toán trong quan hệ fi

Mi = M  M(Oi), i=1,2, , m Mi là tập hợp các thuộc tính được xem xét củađối tượng Oi.

Cho một mạng các đối tượng tính toán (O,F) Chúng ta quan tâm đến bài toán xácđịnh (hoặc tính toán) các thuộc tính trong tập G từ các đối tượng cho trước trong tập H.Bài toán này được viết dưới dạng H  G

Ví dụ: Trong hình dưới, giả sử AB = AC, giá trị của góc A và cạnh BC được chotrước ABDE và ACFG là hình vuông Tính EG

Bài toán trên có thể được xem làm mạng các đối tượng tính toán như sau:

O = {O1: tam giác ABC với AB = AC, O2: tam giác AEG, O3: hình vuôngABDE, O4: hình vuông ACFG} và F = {f1, f2, f3, f4, f5} gồm các quan hệ sau

Định nghĩa 3: Cho (O, F) là mạng các đối tượng tính toán, M là tập hợp các thuộc

tính có liên quan Giả sử A là một tập con của M

(a) Với mỗi f  F, gọi f(A) là hội của tập hợp A và tập hợp gồm tất cả các thuộctính trong M suy ra từ A bởi f Tương tự như vậy, với mỗi đối tượng tính toán

Oi  O, Oi(A) là hội của tập hợp A và tập hợp bao gồm tất cả thuộc tính (trongM) mà đối tượng Oi có thể xác định từ các thuộc tính trong A

(b) Giả sử D = [t1, t2, …, tm] là một danh sách các yếu tố trong F  O

Ký hiệu Ao = A, A1 = t1(Ao), …., Am = tm(Am-1) và D(A) = Am

Chúng ta có Ao  A1  …  Am = D(A)  M

Một bài toán H  G được gọi là giải được nếu có một danh sách D  F  Osao cho D(A)  B Trong trường hợp này, chúng ta gọi D là một lời giải củabài toán

Solution_found  false;

3 Repeat

Hold  H;

Chọn ra một f  F chưa xem xét;

while not Solution_found and (chọn được f) do

4 if not Solution_found then

beginChọn ra một Oi  O sao cho Oi(A)  A;

if (chọn được Oi) then

begin

H  Oi(H);

Solution  Solution   Oi ;