Các bài toán liên quan tới năng lượng dao động

Năng lượng dao động Xét dao động điều hòa của con lắc lò xo: Khi hòn bi chuyển động từ VT biên đến VTCB: - Li độ giảm dần và vận tốc tăng lên nên Wt giảm và Wđ tăng.. - Khi tính năng lư

BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI NĂNG LƯỢNG DAO ĐỘNG

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Cao Học Toán – Khóa 1 – ĐH Tây Bắc

“ Phương pháp là thầy của các thầy “

Qua tuyển tập 11 chuyên đề dao động cơ, tôi đã nhận được nhiều ý kiến đóng góp quý báu của các bạn học sinh cũng như giáo viên Tôi đã chỉnh sửa và bổ sung đáp án cũng như thêm một số chuyên đề khác

Hôm nay tôi mạn phép gửi tặng các bạn chuyên đề “ Bài toán liên quan tới năng lượng “ có phương pháp,

lời giải và đáp án cụ thể phần trắc nghiệm… Hi vọng sẽ giúp các bạn một phần nào đó  

Tuy đã chỉnh sửa, bổ sung nhưng chắc chắn sẽ không tránh khỏi những sai sót và hạn chế về mặt kiến thức nên có điều gì sai mong được các bạn chỉ giáo … để cuốn tài liệu này hoàn chỉnh hơn Chân thành cám ơn bạn đã quan tâm và ủng hộ

І Năng lượng dao động

Xét dao động điều hòa của con lắc lò xo:

Khi hòn bi chuyển động từ VT biên đến VTCB:

- Li độ giảm dần và vận tốc tăng lên nên Wt giảm và Wđ tăng

- Khi đến VTCB, Wt = 0 nhưng Wđ cực đại

Khi hòn bi chuyển động từ VTCB đến VT biên:

- Li độ tăng dần và vận tốc giảm xuống nên Wt tăng và Wđ giảm

- Khi đến VT biên, Wđ = 0 nhưng Wt cực đại

ІІІ Chênh lệch Wt – W đ

6 W t = nW đ

2 2

2



n v

x



1

2 2





n

n A

x

1

2

2 2





n A

7 W đ = nW t

2 2

2



n v





n A

x

1

2 2 2





n

n A

max max

Nhận xét:

- Từ đồ thị ta thấy rằng cứ sau những khoảng thời gian là Δt = T/4 thì Động năng và Thế năng lại bằng nhau

- Khi Động năng và Thế năng có mối quan hệ với nhau Wd = n.Wt, để tìm li độ hay tìm vận tốc thì ta thực hiện như sau

- Khi tính năng lượng phải đổi khối lượng về kg, vận tốc về m/s, ly độ và biên độ về mét

- Do gốc thế năng chọn tại VTCB xlà li độ của vật dao động

- Khi x = 0 max 1 max2 1 ; min 0

- Khi x A max 1 2; min 0

- Khoảng thời gian ngắn nhất để động năng bằng thế năng là T

2 2

1.2

1.2

2

1

1.2

Tự chứng minh công thức cho Wt = nW và Wđ = nW

Dạng 4 : Tìm li độ, vận tốc, gia tốc hay lực hồi phục dựa vào cơ năng (lấy cơ năng làm trung tâm)

- Khi Động năng và Thế năng có mối quan hệ với nhau Wđ = n.Wt, để tìm li độ hay tìm vận tốc thì ta thực hiện như sau

• Tính li độ thì quy về theo Thế năng:

 ta được gia tốc amax

t

hp max hp

aa

n 1nn

x

FF

t

hp max hp

a

n 1v

Dạng 5: Tính chu kì, tần số, tần số góc của động năng và thế năng

Gọi ' là tần số góc của động năng, thế năng và  là tần số góc của li độ, nhìn vào biểu thức của động năng và thế năng ta thấy

' 2' 2

'2

f f

T T

BÀI TẬP TỰ LUẬN GIẢI MẪU

Bài 1: Một con lắc lò xo có biên độ dao động 5 cm, có vận tốc cực đại 1 m/s và có cơ năng 1 J Tính độ

cứng của lò xo, khối lượng của vật nặng và tần số dao động của con lắc

Bài 2: Một con lắc lò xo có độ cứng k = 150 N/m và có năng lượng dao động là W = 0,12 J Khi con lắc có

li độ là 2 cm thì vận tốc của nó là 1 m/s Tính biên độ và chu kỳ dao động của con lắc

Bài 3: Một con lắc lò xo có khối lượng m = 50 g, dao động điều hòa trên trục Ox với chu kì T = 0,2 s và

chiều dài quỹ đạo là L = 40 cm Tính độ cứng của lò xo và cơ năng của con lắc

Bài 4: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm một vật nặng có khối lượng m gắn vào lò xo có khối lượng

không đáng kể, có độ cứng k = 100 N/m Kéo vật nặng xuống về phía dưới, cách vị trí cân bằng 5 2 cm và truyền cho nó vận tốc 20 2cm/s thì vật nặng dao động điều hoà với tần số 2 Hz Cho g = 10 m/s2, 2 = 10 Tính khối lượng của vật nặng và cơ năng của con lắc

Bài 5: Một con lắc lò xo dao động điều hòa Biết lò xo có độ cứng 36 N/m và vật nhỏ có khối lượng 100 g

Lấy 2 = 10 Xác định chu kì và tần số biến thiên tuần hoàn của động năng của con lắc

1s; f’ =

'

1

T = 6 Hz

Bài 6: Một con lắc lò xo có khối lượng vật nhỏ là 50 g Con lắc dao động điều hòa theo phương trình: x =

Acost Cứ sau khoảng thời gian 0,05 s thì động năng và thế năng của vật lại bằng nhau Lấy 2 = 10 Tính

Bài 7: Một con lắc lò xo gồm lò xo nhẹ và vật nhỏ dao động điều hòa theo phương ngang với tần số góc 10

rad/s Biết rằng khi động năng và thế năng của vật bằng nhau thì vận tốc của vật có độ lớn bằng 0,6 m/s Xác định biên độ dao động của con lắc

HD:

Khi động năng bằng thế năng ta có: W = 2Wđ hay

2

1m2A2 = 2

HD:

Bài 9: Một con lắc lò xo dao động điều hòa với tần số góc  = 10 rad/s và biên độ A = 6 cm Xác định vị trí

và tính độ lớn của vận tốc khi thế năng bằng 2 lần động năng

3

Wt 2

1

kA2 = 2

3.2

Bài 10: Con lắc lò xo gồm vật nhỏ có khối lượng m = 400 g và lò xo có độ cứng k Kích thích cho vật dao

động điều hòa với cơ năng W = 25 mJ Khi vật đi qua li độ - 1 cm thì vật có vận tốc - 25 cm/s Xác định độ cứng của lò xo và biên độ của dao động

2



v

) = 2

1k(x2 +

k

mv2

) =2

1(kx2 + mv2)

Bài 11: Một vật có khối lượng m = 0,5 kg gắn vào lò xo có độ cứng

k =5000 N/ m Hệ dao động với biên độ A = 6 cm

a Tính năng lượng dao động

b Tính động năng lớn nhất của vật, vận tốc lớn nhất của vật

c Định vị trí của vật tại đó động năng của vật bằng ba lần thế năng

A x

       cm

Bài 12: Một quả nặng có khối lượng m = 100 g được treo vào một lò xo Người ta kích thích cho nó dao

động bằng cách truyền cho nó một vận tốc v0 hướng xuống từ VTCB Năng lượng truyền cho quả cầu bằng 0,0125 J Xác định biên độ dao động của quả cầu và vận tốc v0 Lấy g = 9,8 m/ s2 , chu kì T = 0,628 s

Bài 13: Con lắc lò xo thẳng đứng, lò xo có độ cứng k = 100N/m, vật nặng có khối lượng m = 1kg Nâng vật

lên cho lò xo có chiều dài tự nhiên rồi thả nhẹ để con lắc dao động điều hòa Bỏ qua mọi lực cản Khi vật m tới vị trí thấp nhất thì nó tự động được gắn thêm vật m0 = 500g một cách nhẹ nhàng Chọn gốc thế năng là vị trí cân bằng Lấy g = 10m/s2 Hỏi năng lượng dao động của hệ thay đổi một lượng bằng bao nhiêu?

HD:

Biên độ dao động ban đầu:

k

mg l

A11   Cơ năng dao động ban đầu: 1 12

2

1

 Cơ năng dao động đã bị giảm một lượng là: WW1W2 0,375J

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM GIẢI MẪU

Dùng dữ kiện sau trả lời câu 1 và 2: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng Di chuyển vật từ VTCB hướng

xuống đến M có li độ x M 2cm rồi thả nhẹ, vật dao động điều hòa với chu kì 0,4s Cho

       với l là độ giãn của lò xo ở VTCB

Lực đàn hồi của lò xo khi vật ở VTCB: F cb  k l ; Lực đàn hồi của lò xo khi vật ở M: F M k l 2

Từ VTCB kéo vật hướng xuống đến M có li độ x M 2cm rồi thả nhẹ  M là vị trí biên A2cm

Lực đàn hồi cực đại: F max k l A; Lực đàn hồi cực tiểu: Fmink l A( Vì A l)

Câu 3: Một con lắc lò xo nằm ngang dao động điều hòa theo phương ngang Lò xo có độ cứng 40N/m Khi

vật m của con lắc đang qua vị trí có li độ x = -2cm thì thế năng của con lắc là:

Câu 4: Một con lắc lò xo dao động điều hòa Trong thời gian 9s, vật thực hiện được 6 dao động toàn phần

Thế năng của lò xo ở con lắc biến thiên với chu kì T Chọn câu đúng: t

Biên độ dao động thay đổi thế nào nếu thế năng của lò xo có giá trị như cũ còn vận tốc của vật tăng gấp 2 lần:

A Tăng 2 lần B tăng 3 lần C tăng 2, 5 lần D tăng 3 lần

Dùng dữ kiện sau trả lời câu 6 và 7: Một con lắc lò xo dao động theo phương thẳng đứng, độ cứng của lò

xo là 25N m/ , vật có khối lượng 200g, cho g10 /m s2 Từ VTCB di chuyển vật đến vị trí lò xo có độ dài

tự nhiên rồi truyền cho vật vận tốc 40cm s / 

Câu 6: Cơ năng của hệ là:

Câu 9: Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo trục x nằm ngang Lò xo có độ cứng 100N/m Khi vật có

khối lượng m của con lắc đi qua vị trí có li độ x4cm theo chiều âm thì thế năng của con lắc đó là:

Dùng dữ kiện sau trả lời câu 10, 11 và 12: Một con lắc lò xo dao động theo phương thẳng đứng với cơ

năng là 72mJ Vật mắc với lò xo có khối lượng 100g, cho g10 /m s2 Khi hệ ở yên thì độ giãn của lò xo

lò xo là l 0 30cm Lấy g 10 m s/ 2 Khi lò xo có chiều dài 28cm, thì vận tốc bằng 0 và lúc đó lực đàn hồi

có độ lớn 2N Năng lượng dao động của vật là

W  kA  J Chọn B Câu 17: Một vật có khối lượng m dao động điều hòa với biên độ A Khi chu kì tăng 3 lần thì năng lượng của

vật thay đổi như thế nào?

A Tăng 3 lần B Giảm 9 lần C Tăng 9 lần D Giảm 3 lần HD:

Khi T tăng 3 lần thì tần số góc giảm 3 lần nên năng lượng giảm 9 lần

A gia tốc bằng nhau, động năng bằng nhau B động năng bằng nhau, vận tốc bằng nhau

C gia tốc bằng nhau, vận tốc bằng nhau D thế năng bằng nhau, vận tốc bằng nhau HD:

Chọn đáp án A

Câu 20: Ở vị trí nào thì động năng của con lắc lò xo có giá trị gấp n lần thế năng của nó ?

A x

n

 

A x

2 A theo chiều dương và tại điểm cách vị trí cân bằng 2cm thì nó

có vận tốc là 40π 3 cm/s Khối lượng quả cầu là m = 100g Năng lượng của nó là

Câu 26: Một con lắc lò xo mà quả cầu nhỏ có khối lượng 500 g dao động điều hoà với cơ năng 10 (mJ) Khi

quả cầu có vận tốc 0,1 m/s thì gia tốc của nó là  3m/s2 Độ cứng của lò xo là:

Câu 27: (ĐH – 2009) Một con lắc lò xo nhẹ và vật nhỏ dao động điều hòa theo phương ngang với tần số

góc 10 rad/s Biết rằng khi động năng và thế năng (mốc ở vị trí cân bằng vật) bằng nhau thì vận tốc của vật

có độ lớn bằng 0,6 m/s Biên độ dao động của con lắc là

Câu 28: (ĐH – 2009) Một con lắc lò xo có khối lượng vật nhỏ là 50 g Con lắc dao động điều hòa theo một

trục cố định nằm ngang với phương trình x Acosωt.Cứ sau những khoảng thời gian 0,05 s thì động năng

và thế năng của vật bằng nhau Lấy π2 10 Lò xo có độ cứng bằng

Câu 29: (ĐH – 2009) Một con lắc lò xo dao động điều hòa Biết lò xo có độ cứng 36 N/m và vật nhỏ có

khối lượng 100 g Lấy π2 10 Động năng của con lắc biến thiên điều hòa với tần số

Câu 30: Một chất điểm dao động điều hòa không ma sát Khi vừa qua khỏi vị trí cân bằng một đoạn s động

năng của chất điểm là 1,8J Đi tiếp một đoạn s nữa thì động năng chỉ còn 1,5J và nếu đi thêm đoạn s nữa thì động năng bây giờ là

s m

= 1,8 (J) (*) ; Wđ2 = W -

2

)2( 2

2

s m

= 1,5 (J) (**)

Lấy (*) – (**) : 3

2

2 2

s m

= 0,3 (J) 

2

2 2

s m

= 0,1 (J)

Wđ3 = W -

2

)3( 2

s

m 

- 82

2 2

s

m 

= 1,8 – 0,8 = 1 (J) Chọn đáp án B

Câu 31: Con lắc lò xo nằm ngang, vật nặng có m = 0,3 kg, dao động điều hòa theo hàm cosin Gốc thế năng

chọn ở vị trí cân bằng, cơ năng của dao động là 24 mJ, tại thời điểm t vận tốc và gia tốc của vật lần lượt là

20 3 cm/s và - 400 cm/s2 Biên độ dao động của vật là

= x2 + 0,03x (2)

Cơ năng của dao động W0 =

2

2 2

A m

 2A2 =

m

W0

2 (3) Thế (1) và (2) vào (3) ta được

10.24

Câu 32: Một lò xo treo thẳng đứng có chiều dài tự nhiên 10cm, đầu dưới gắn vật nặng 200g Từ vị trí cân

bằng, kéo vật thẳng đứng xuống dưới tới khi lò xo dài 17cm rồi buông nhẹ để vật dao động điều hòa với tần

số 10/Hz, lấy g = 10m/s2 Tỉ số giữa động năng và thế năng của vật lúc lò xo dài 15cm là

Chiều dài của lò xo ở vị trí cân bằng lCB = l0 + l = 10 + 2,5 = 12,5 cm Khi lò xo được kéo đến vị trí có

chiều dài l = 17cm rồi thả nhẹ nên biên độ của lò xo là A = l - lCb = 4,5cm, khi lò xo có chiều dài l = 15cm

a Xác định vận tốc, gia tốc của vật tại thời điểm t = 10,225s

b Tính độ dài quãng đường mà vật đi được từ t1 = 5s đến t2 = 10,225s

c Tính tốc độ trung bình trong một chu kì và trong khoảng thời gian từ t1 = 5s đến

g Xác định các khoảng thời gian ngắn nhất vật đi từ VTCB đến vị trí 2cm và từ vị trí 2cm đến vị trí biên

h Tính thời gian khi vật đi qua vị trí cân bằng 3 lần

h Tại thời điểm t, vật có vị trí 3,2cm và đang đi về phía âm Hãy xác định vị trí và vận tốc của vật sau thời gian 0,25s

i Biết vật có m = 500g Xác định lực tác dụng vào vật tại thời điểm t2 = 10,225s

j Biết vật có m = 500g Xác định Eđ, Et, E của vật tại thời điểm t2 = 10,225s

   Mỗi chu kì T vật đi đường quãng đường là 4A, do đó quãng đường mà vậy đi được trong

52 chu kì là S1 = 4A.52 = 832cm Bây giờ ta tính quãng đường mà vật đi được trong ¼ chu kì còn lại Ta xét:

Kết luận: Tổng quãng đường vật đi được là: S = S1 + S2 = 832 + 5,46 = 837,46cm

h Khoảng thời gian khi vật đi qua vị trí cân bằng 3 lần

- Khoảng thời gian vật từ vị trí 2 3 đến VTCB là: 0 T.60 1

- Ta dùng một cách khác, đó là phương pháp lượng giác:

Ta có vận tốc tại thời điểm t là: do vật theo chiều âm nên vận tốc phải âm

+ Li độ: x 4 cos 20 t 0, 25 5 4 cos 20 t 5 5 4 cos 20 t 5 3,2cm

BÀI TẬP TỰ LUẬN TỰ GIẢI

Bài 1: Hai con lắc lò xo A và B có cùng khối lượng vật nặng, chu kỳ và biên độ của hai con lắc có mối quan

hệ TB = 3TA, AB = 2AA Tìm tỉ số cơ năng của con lắc lò xo A và con lắc lò xo B là bao nhiêu?

Bài 2: Con lắc lò xo treo thẳng đứng, đầu dưới treo vật khối lượng m = 100g Khi vật ở vtcb lò xo giãn một

đoạn 2,5cm Từ VTCB kéo vật xuống dưới sao cho lò xo biến dạng một đoạn 6,5cm rồi buông nhẹ Năng lượng và động năng của vật khi nó cách vị trí cân bằng 2cm là bao nhiêu?

Đáp số: W 0, 0845 ,J W d 0, 0765J

Bài 3: Vật dao động điều hòa với tần số f = 2,5Hz Khi vật có li độ 1,2cm thì động năng của nó chiếm 96%

cơ năng toàn phần của dao động Tốc độ trung bình của vật trong một chu kỳ bằng bao nhiêu?

Đáp số: v 60cm/s

Bài 4: Một vật dao động điều hòa trên trục 0x, thực hiện được 24 dao động trong thời gian 12s, vận tốc cực

đại là v20 cm s/ Tìm vị trí tại đó động năng bằng 1/3 lần thế năng ?

Đáp số: 5 3

2

x  

Bài 5: Một lò xo nhẹ có độ cứng K, treo thẳng đứng đầu dưới treo vật khối lượng m = 100g Vật dao động

điều hòa với tần số 5Hz, cơ năng của hệ là E = 0,08J, tỉ số giữa động năng và thế năng tại vị trí vật có li độ

Bài 6: Một vật dao động điều hòa theo phương ngang, vật khối lượng m = 1kg và lò xo khối lượng không

đáng kể và có k = 100N/m Trong quá trình dao động chiều dài của lò xo biến thiên từ 20cm đến 32cm Động năng cực đại của vật là bao nhiêu?

a Tính cơ năng con lắc

b Tính vận tốc của m khi động năng bằng 3 lần thế năng

c Tính khoảng thời gian ngắn nhất giữa những lần động năng bằng thế năng

d Tính tỉ số giữa động năng và thế năng khi t = 1/6s

Câu 1: Một con lắc lò xo nằm ngang có m = 100g và lò xo có k = 16N/m Lúc đầu nén lò xo cho nó đạt độ

dài l1 = 8cm, sau đó thả ra cho vật dao động điều hòa Khi lò xo dãn ra dài nhất thì độ dài l2 = 16cm Lúc vật cách VTCB một đoạn x = 2cm thì động năng của vật bằng:

A 8.10 -3J B 9,6.10 -3J C 7,5.10 -3J D 4.10 -3J

Câu 2: Con lắc lò xo đặt nằm ngang, gồm vật nặng có khối lượng 500g và một lò xo nhẹ có độ cứng 100

N/m, dao động điều hòa Trong quá trình dao động chiều dài của lò xo biến thiên từ 22cm đến 30cm Cơ năng của con lắc là

A.0,16 J B 0,08 J C 80 J D 0,4 J

Câu 3: Một con lắc lò xo dao động điều hoà với biên độ 18cm Tại vị trí có li độ x = 6cm, tỷ số giữa động

năng và thế năng của con lắc là:

A 8 B 3 C 5 D 6

Câu 4: Một con lắc lò xo dao động điều hòa Lò xo có độ cứng k = 40N/m Khi vật m của con lắc đi qua vị

trí có li độ x = -2cm thì thế năng điều hòa của con lắc là:

Câu 6: Một con lắc lò xo dao động điều hoà với tần số góc 2rad/s và biên độ 4 cm Khi động năng của vật

và thế năng đàn hồi của lò xo có giá trị bằng nhau thì vận tốc của vật là:



 Khi thế năng bằng ba lần động năng thì li độ của vật là:

A + 3,46cm B - 3,46cm C A và B đều sai D A và B đều đúng

Câu 9: Một vật có khối lượng m 200g, dao động điều hòa theo phương trình 6 cos 20 2