Trường THPT Lê Hồng Phong GV: Nguyễn Văn Khỏi2... Cách giải: Đặt t bằng hàm số lượng giác đã cho đưa về phương trình bậc 2 rồi giải tiếp... III – Phương trình bậc nhất với sin x và cos
Trang 1Trường THPT Lê Hồng Phong GV: Nguyễn Văn Khỏi
I/ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC A/ Đường tròn lượng giác, giá trị lượng
giác:
Bảng giá trị của các góc đặc biệt:
Góc GTLG
00 (0)
300 (6)
450 ( 4
)
600 (3)
900 (2)
2
2 2
3
2
2 2
1
B/ Các hệ thức L ư ợng Giác C ơ Bản:
2 2
2 2
tan cot 1 k ,k Z
2
sin
Hệ quả:
sin2x = 1-cos2x ; cos2x = 1- sin2x tanx= 1
tan
x
x
Sin4x + cos4x = 1 - 2sin2x.cos2x
Sin6x + cos6x = 1 - 3sin2x.cos2x
C/ Giá Trị Các Cung Góc Liên Quan Đặc Biệt:
a Cung đối: và
b Cung bù: và
c Cung sai kém nhau : và
d Cung phụ: và
2
e Cung hơn kém nhau
2
: và
2
D/ Công thức l ư ợng giác
1 Công thức cộng:
cos (a – b) = cosa.cosb + sina.sinb
cos (a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
sin (a – b) = sina.cosb – cosa.sinb
sin (a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
tan(a – b) = 1 tan tantan tan
tan(a + b) = 1 tan tantan tan
sin
2
0
3 2
cos
0
Trang 2Trường THPT Lê Hồng Phong GV: Nguyễn Văn Khỏi
2 Công thức nhân đôi:
sin2a = 2sina.cosa sina.cosa= sin2 1
cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2 sin2a
tan2a = 2
2 tan
1 tan
a a
3 Công thức nhân ba:
sin3a = 3sina – 4sin3a cos3a = 4cos3a – 3cosa
4.Công thức hạ bậc:
cos2a = 1 cos 2
2
a
sin2a = 1 cos 2
2
a
tan2a =1 cos 2
1 cos 2
a a
5 Công thức tính sinx, cosx,tanx theo t=tan
2
x
: sinx = 2 2
1
t t
cosx = 1 22
1
t t
tanx = 2
2 1
t t
cotx =1 2
2
t t
6 Công thức biến đổi tổng thành tích
tan tan sin( ) ( , , )
a b
sin sin
sin sin
7 Công thức biến đổi tích thành tổng
1
2
2
1 sin cos sin( ) sin( )
2
sin cos 1sin( ) sin( )
2
Trang 3II/PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC :
1/ Phương trình lượng giác cơ bản:
2
2
u v k
Chú ý: a/ Nếu cung α thoả
sin
a
thì α gọi là arcsina cung có sin bằng a Khi đó phương
trình sinx = a x arcsina ksin 2 2 k Z
b/ Nếu cung α thoả cos0 a
thì α gọi là arccosa cung có cos bằng a Khi đó phương
trình cos x = a x arccosarccosa k22 k Z
c/ Nếu cung α thoả
tan
a
thì α gọi là arctana cung có tan bằng a Khi đó phương
trình tanx = a x arctana k , k Z
d/ Nếu cung α thoả cot0 a
thì α gọi là arccota cung có cot bằng a Khi đó phương
trình cotx = a x arc cota k , k Z
Một số phương trình đặc biệt:
2
2/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:asinx b cosx c
Phương pháp giải: asinx bcosx c 2a 2 sinx 2b 2 cosx 2c 2
Đặt
sin
cos
a
b
đưa phương trình về dạng:cos(x ) 2c 2
rồi tiếp tục giải
Điều kiện có nghiệm a2 b2 c2
3/Phương trình bậc 2 theo 1 hàm số lượng giác.
Dạng: a t 2 + b.t + c = 0 trong đó t có thể là một trong các hàm sinx, cosx, tanx, cotx
Cách giải: Đặt t bằng hàm số lượng giác đã cho đưa về phương trình bậc 2 rồi giải tiếp.
Trang 4Chú ý: với t = sinx hoặc t = cosx thì có điều kiện t 1.
4/.Phương trình đẳng cấp bậc 2 theo sinx và cosx:
* Dạng:asin 2 x b sin cosx x c cos 2 x d (1)
* Cách giải:
TH1: Xét xem cosx = 0
2
x k có là nghiệm của (1) hay không ?
TH2: cosx ≠ 0 thay d dsin 2x cos 2x, chia cả 2 vế phương trình chocos x2 , sau đó đặt
tan
t xrồi đưa về phương trình bậc 2 theo biến tanx.
5/Phương trình bậc 2 đối xứng dạng:Asinx cosxBsin cosx xC 0
Cách giải: Đặt
2
t
t x x t x x Đưa phương trình về
phương trình đại số theo t:
0 2
t
At B C
BÀI TẬP:
I – Phương trình lựơng giác cơ bản :
Giải các phương trình sau
1 sin 2x cos 2x 0
2 sin 3x 2 cos 3x 0
3 2
4 sin x 1
4 2 2
sin x sin 2x 1
cos 6
x
x
6 sin 2x = 2cos x
7 sin cot 5 1 cos 9
x
8 tan3x tan 5x
9 ( 2cos x -1 )( sin x + cos x) =1
1 sin
x
x
x
II - Phương trình bậc hai đối với một hàm số lương giác
Giải các phương trình sau
Trang 51 cos 2x 3sinx 2
4 sin x 12 cos x 7
3 2
25 sin x 100 cosx 89
sin 2x cos 2x sin 2 cos 2x x
tan 2
x
6 tan2 3 9
cos
x
x
Trang 6III – Phương trình bậc nhất với sin x và cos x
Giải các phương trình sau
1 sin 3x 3 cos 3x 2
2
x x
3 2 sin17x 3 cos 5x sin 5x 0
4 2 sin (cosx x 1) 3 cos 2x
5 3 sin 4x cos 4x sinx 3 cosx
6 3 cosx sin 2x 3(cos 2x sin )x
7 sinx 3 cosx sinx 3 cosx 2
IV – Phương trình thuần nhất bậc hai ( Đẳng cấp bậc hai ) đối với sin x và cos x
Giải các phương trình
1) 2
2 sin 2x 2 3 sin 2 cos 2x x 3
cos
x
sin 3x 2 cos x
4 sin x 3 3 sin 2x 2 cos x 4
cos x sin x sinx cosx
6) 3
3
x
8) 3
4
9) sin 3x cos3x 2 cosx 0
V – Phương trình đối xứng với sin x và cos x
Giải các phương trình
1 12(sinx cos ) 4 sin cosx x x 12 0
2 sin 2x 5(sinx cos ) 1x 0
3 5(1 sin 2 ) 11(sin x x cos ) 7x 0
4 sin 2 (sin cos ) 1 0
2
x x x
5 5(1 sin 2 ) 16(sin x x cos ) 3x 0
2(sin x cos x) (sin x cos ) sin 2x x 0
7 (sin cos 1)(sin 2 1) 1
x x x
8 sinx cosx 4 sin 2x 1
9 sinx cosx sin 2x 0
10 2(sinx cos )x tanx cotx
11 cotx tanx sinx cosx
12 2 sin 2 1 sin cos
Trang 7VI – Phương trình lượng giác khác
A- phương trình giải bằng cách dặt ẩn phụ
Bài 1 : Giải các phương trình
Trang 81 cot2 1 1 0
sin
x
B- Sử dụng công thức hạ bậc
Bài 2 : Giải các phương trình
1 sin 2x sin 3 2 x cos 2 2 x cos 4 2 x 3 sin 2x sin 2 2 x sin 3 2 x 0
2
x x x 4 8 8 17 2
16
C – Phương trình biến đổi về tích
Bài 3 : Giải phương trình
1 cosx cos 2x cos3x cos 4x 0
2 1 sin x cos3x cosx sin 2x cos 2x
3 2cos 3x cos 2x sinx 0
4 cosx cos3x 2cos 5x 0
5 3 3
cos x sin x sin 2x sinx cosx
6 sin 2x cos 3x sinx 0
tan
1 cos
x x
x
8 3 3
sin x cos x sinx cosx
x x
10 sin x( 1+ cos x) = 1 + cos x + cos 2 x
Trang 10D- Phương trình lượng giác có điều kiện
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1 8cos 3 1
x
1 cos 2
1 cot 2
sin 2
x
g x
x
3
4
cos 4
x
2
cos (1 cot ) 3
3cos
4
x
5 2
3
co s 6x
3
4
11.cos 3 tan5x x sin 7x
x
x
sin 4
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
(Tổng hợp) 1/ cos23x.cos2x – cos2x = 0
2/ 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0
3/ cos4x + sin4x + cos .
4
4
3x -2
3
= 0
4/ 5sinx – 2 = 3(1 – sinx)tan2x
5/ (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx
6/ cotx – 1 = sin 21
tan 1
2
x x
x
sin2x
7/ cotx – tanx + 4sin2x = sin22x
2 cos tan
4
2
sin 2 2 2
x
2 sin 2 1
3 sin 3 cos sin
x
x x
x
với 0 < x < 2
10/ sin23x – cos24x = sin25x – cos26x 11/ cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0 với 0 x14
12/ cosx + cos2x + cos3x = sinx + sin2x + sin3x
13/ 3 sin 2 2 2 sin 2 6 2
14/ cos3x + sin7x = 2 2 cos 92
2
5 4
15/ sin3x + sinx.cosx = 1 – cos3x
Trang 1116/ 2 + cos2x = 2tanx
17/ sinx.cosx + cos2x =
2
1
2
2 4 sin 3 4 2
3
sin x x
19/ sin3x + cos2x =2 ( sin2x.cosx – 1)
20/ 4cosx – 2cos2x – cos2x – cos4x = 0
2
cos
1
2
sin
x
x
22/ cosx + sin2x = 0
23/ 2(cos4x – sin4x) + cos4x – cos2x = 0
24/ (5sinx – 2)cos2x = 3(1 – sinx)sin2x
25/ (2sinx – 1)(2cosx + sinx) = sin2x – cosx
26/ cos3x + 2cos2x = 1 – 2sinxsin2x
4
cos 6
cos 3
28/ sin3x + cos3x = sinx – cosx
29/ x 2 sin x tanx
4 sin
.
30/ 4cos2x – 2cos22x = 1 + cos4x
31/ cos3x.sin2x – cos4x.sinx =
x
3
sin
2
1
32/ (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + 3) = 4sin2x
– 1
33/ cosx.cos7x = cos3x.cos5x
2 cos
cos
2 sin
sin
x x
x x
35/ sinx + sin2x + sin3x = 0
x x
x x
2 tan 8
13 sin
cos
sin
cos
2 2
6 6
37/ cos2x.sin4x + cos 2x = 2cosx(sinx + cosx)
– 1
38/ 3 – tanx(tanx + 2sinx) + 6cosx = 0
39/ cos2x + cosx(2tan2x – 1) = 2
40/ 3cos4x – 8cos6x + 2cos2x + 3 = 0
41/
1 cos 2
4 2 sin 2 cos
)
3
2
x
x
= 1
cos sin
) 1 (cos cos 2
x x
x
x x
43/ cotx = tanx + 2sincos24x x
44/
x
x x
x x
2 sin 8
1 2
cot 2
1 2
sin 5
cos sin 4 4
45/
x
x x
4
cos
3 sin ) 2 sin 2 ( 1 tan
46/ tanx + cosx – cos2x = sinx(1 + tanx.tan )
2
x
47/ sin( cosx) 1 48/ cos3x – sìnx = 3(cos2x - sin3x) 49/ 2cos2x - sin2x + sinx – cosx = 0
50/ sin3x + cos2x = 1 + sinx.cos2x 51/ 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 52/ cos2x + 5sinx + 2 = 0 53/ cos2x.sin2x + cos2x = 2(sinx + cosx)cosx – 1
54/ 8.sin2x + cosx = 3.sinx + cosx 55/ 3cos2x + 4cos3x – cos3x = 0
56/ 1 + cosx – cos2x = sinx + sin2x 57/ sin4x.sin2x + sin9x.sin3x = cos2x 58/ 1 sinx cosx 0 59/ 3 cos 1 sin cos 2 2 sin sin 2 1
x
2
cos 2 sin
2
x
7 sin 4 2
3 sin
1 sin
62/ 2sin22x + sin7x – 1 = sinx
sin 2 2
cos sin ) sin (cos
x
x x x
x
2 tan tan
x
x 65/ cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0
