SKKN_ Giải bài toán = cách lập phương trình

Dạng toán này tương đối khó và mới mẻ, nó mang tính trừu tượng rất cao, đòi hỏi học sinh phải có các kiến thức tổng hợp về số học, đại số, hình học, vật lí và phải biết suy luận logic để

PHÒNG GD&ĐT TÂN HIỆP

TRƯỜNG THCS TÂN HIỆP A5

tế hiện nay.

Để thực hiện được mục tiêu đó, trước hết người giáo viên phải biết áp dụng phương pháp dạy học một cách phù hợp giúp học sinh phát triển năng lực tư duy, năng lực giải quyết vấn đề, từng bước rèn luyện cho học sinh hình thành năng lực giải quyết vấn đề một cách có phương pháp Từ đó, đem đến cho học sinh một phong cách học tập thoải mái, tự tin, kích thích hơn nữa niềm say mê tìm tòi – sáng tạo, tính tự học, nghiên cứu nhằm tạo ra những thế hệ tương lai có phẩm chất tốt đẹp, có năng lực, bản lĩnh đáp ứng được những đòi hỏi của xã hội

Dạy Toán thực chất là dạy hoạt động toán Do đó, nên dạy cho học sinh một “toán học” đang hình thành, vận động và phát triển chứ không dạy cho học sinh một “toán học” đã hình thành xong xuôi Giáo viên cần tổ chức các hoạt động học thật tốt để khơi gợi hứng thú, cuốn hút các em tham gia xây dựng lâu đài toán học, không biến học sinh tham quan mà phải đặt các em vào vị trí là người thiết

kế, thi công lâu đài đó

tiểu học; và đến năm học lớp 8 thì các bài toán tìm x mới có tên gọi đúng của nó là phương trình

Trong năm học lớp 8 các em đã được tiếp cận với các bài toán mà khi giải

ta phải lập phương trình Dạng toán này tương đối khó và mới mẻ, nó mang tính trừu tượng rất cao, đòi hỏi học sinh phải có các kiến thức tổng hợp về số học, đại

số, hình học, vật lí và phải biết suy luận logic để tìm mối liên hệ giữa các yếu tố của bài toán, sau đó giải phương trình, phải kiểm tra xem nghiệm của phương trình

có thỏa mãn điều kiện của ẩn không rồi mới kết luận Chính vì thế, việc giúp cho học sinh giải được dạng toán này là một nhiệm vụ rất khó khăn đối với giáo viên

2 Sơ lược lịch sử vấn đề :

Trong quá trình giảng dạy, chấm các bài kiểm tra và qua các tiết dự giờ tôi nhận thấy các em học sinh thường không giải được hoặc không tìm được phương trình trong các bài toán giải bằng cách lập phương trình mặc dù các em nắm được quy tắc chung (các bước giải) Có nhiều em nắm được rất rõ các bước giải nhưng lại không biết vận dụng vào giải bài tập vì các em không biết xuất phát từ đâu để tìm lời giải hoặc chưa biết suy luận để “nối” các đại lượng, các mối quan hệ của bài toán để lập phương trình Có những em chỉ biết giải những bài tập mà giáo viên đã giải trên lớp, khi gặp những bài toán khác thì lại không giải được

Vì vậy, để nâng cao chất lượng giảng dạy, giúp các em học sinh và giáo viên tháo gỡ phần nào khó khăn khi giải dạng bài toán này mạnh dạn thực hiện đề tài này

3 Phạm vi đề tài :

Đề tài được thực hiện ở §6,7 chương III môn Đại số lớp 8 Trong đề tài chỉ

đề cập đến các bài toán thường gặp và được giải bằng cách lập phương trình là:

Dạng 1 Toán về tỉ số và quan hệ giữa các số

Dạng 2 Toán chuyển động

Dạng 3 Toán về công việc, năng suất

Dạng 4 Toán làm chung công việc

II/- THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ :

1/ Thực trạng tình hình

a) Đặc điểm :

Trường Tân Hiệp A5 nằm trên đia bàn khá đặc thù về địa lý : giáp gianh giữa hai huyện Tân Hiệp và Châu Thành với diện tích gần 24 km2 người dân sống chủ yếu bằng nghề nông Trong đó, còn một số gia đình không có ruộng đất phải làm thuê, làm mướn

Những năm gần đây tình hình giáo dục trong địa bàn cũng tương đối biến chuyển tốt Người dân đã có những động thái tích cực quan tâm đến giáo dục

Hệ thống trường đang được đầu tư mạnh mẽ Đội ngũ giáo viên trẻ, nhiệt tình công tác và rất quan tâm đến sự tu dưỡng, rèn luyện của các em

Trường học đang được mở rộng cả quy mô đến chất lượng

b) Thuận lợi :

Được sự quan tâm sâu sát của ban giám hiệu, tổ chức công đoàn, đoàn đội

và nhất là tinh thần đoàn kết, sẵn sàng chia sẻ kinh nghiệm chuyên môn cũng như kinh nghiệm công tác của các đồng nghiệp trong nhà trường

Trong những năm gần đây vấn đề dạy - học môn toán đã và đang đổi mới nhất là đổi mới mạnh mẽ về phương pháp dạy học Dạy học tính tư duy logic, suy luận chặt chẽ, tính khoa học, yêu cầu thẩm mỹ trong cách trình bày gọn gàng ngăn nắp của toán học là một nhiệm vụ quan trọng và cũng mang tính cấp thiết của xã hội nhất là trong thế giới đang bùng nổ về khoa học công nghệ

Chương trình sách giáo khoa đã có những bước chuyển mình tích cực rõ rệt, có nhiều đổi mới về nội dung cũng như các kênh thông tin ( kênh hình, kênh chữ) và có nhiều hơn các bài tập mang tính thực tiễn cao giúp các em không tiếp thu kiến thức đơn thuần, giáo điều, xa rời thực tế, xuất phát đúng từ quan điểm nhận thức : “Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng và tư duy trừu tượng đến thực tiễn”

Bản thân nhà trường đã được công nhận trường chuẩn nên phòng học và các trang thiết bị phục vụ cho việc dạy học đã đáp ứng được nhu cầu dạy và học của cả thầy và trò.

2/ Hạn chế, khó khăn :

Giải bài toán bằng cách lập phương trình là bài toán dễ kích thích sự tích cực của học sinh nhưng là một dạng toán khó Đa số các bài toán đều là các bài toán liên quan đến thực tế, các em đã được gặp ở các năm học trước nhưng được giải bằng phương pháp số học, còn ở các bài toán này thì được giải bằng phương pháp đại số; khó ở chỗ muốn giải được bài toán thì đòi hỏi các em phải tổng hợp nhiều kiến thức, kĩ năng như: các em phải biết “dịch” các dữ kiện bài toán sang ngôn ngữ đại số, phải có kiến thức tổng hợp, phải biết suy luận logic để tìm ra được phương trình Vì thế, việc giảng dạy cho học sinh hiểu bài và giải một bài kỹ năng cơ bản quả thật là không phải chuyện đơn giản từ khâu chuẩn bị đến khâu lên lớp

Học sinh lớp 8 ở độ tuổi từ 13-15 tuổi, các em rất tích cực tham gia vào các hình thức học tập; tuy nhiên các em cũng dễ nản chí, mệt mỏi, mất tập trung khi các hoạt động đó khó hoặc không vừa sức của các em Do đó, việc chuẩn bị các bài tập, tổ chức các hoạt động vừa sức cho các em không phải là vấn đề dễ giải quyết

Bên cạnh các em có thái độ học tập nghiêm túc, có tinh thần cầu tiến, có ý thức vươn lên trong học tập thì một số em vẫn chưa nhận thức được vấn đề này thể hiện qua một số việc :

• Làm bài tập về nhà chưa đầy đủ hoặc chưa làm

• Học bài qua loa, không xem kĩ lại các bước giải

• Chưa có nề nếp trong việc chuẩn bị bài

• Tiếp thu bài một cách thụ động, ít chịu suy nghĩ, tìm tòi cách giải quyết vấn đề, cách giải bài tập

• Kỹ năng suy luận, tính toán còn hạn chế.

Về mặt kinh tế - xã hội thì tuy đã có những biến chuyển lớn, theo hướng tích cực, đời sống của nhân dân trong vùng khá hơn nhiều nhưng không đồng bộ, vẫn còn đó những hoàn cảnh kinh tế không giống nhau Có những gia đình không

có ruộng phải đi làm thuê, làm mướn sống qua ngày, một số em sống với ông bà,

xa cha mẹ nên không có được sự quan tâm sâu sát trong học tập của các em

Việc học của các em trên thực tế còn khá nhiều trường hợp chưa có động

cơ và thái độ học tập đúng đắn, một số em đến trường chủ yếu là để vui chơi cùng bạn bè, hoặc do gia đình bắt đi học chứ không chú ý đến việc học

Trình độ nhận thức của các em trong lớp rất đa dạng, không đồng đều nên việc tạo ra các “tần số” phát sóng sao cho phù hợp với trình độ “bắt sóng” của các

em là việc làm không hề đơn giản; các em khá giỏi không cảm thấy nhàm chán, các em học yếu không cảm thấy quá sức của mình

Kết quả khảo sát khối lớp 8 năm học 2009 - 2010 như sau :

em chưa nắm được kiến thức cơ bản của bài học trước

Các lỗi mà học sinh thường gặp là :

- Chưa xác định được dạng của bài toán

- Chưa nắm được các bước giải

- Chọn ẩn một cách máy móc nên xác định ẩn một cách tùy tiện, máy móc; điều kiện đưa ra không phù hợp Một số em giải phương trình được nhưng không kết luận được nghiệm của bài toán

- Không đọc kỹ đề bài, không tóm tắt được bài toán nên thể suy luận, tìm mối liên hệ của các đại lượng để “dịch” bài toán sang ngôn ngữ đại số

Vấn đề đặt ra cho tôi lúc này là làm thế nào để giúp các em khắc phục các lỗi trên, giúp các em giải tốt những bài toán “Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình”.

III/- GIẢI PHÁP VÀ KẾT QUẢ :

1 Giải pháp :

Nắm bắt được tình hình học sinh ngại khó khi giải bài toán bằng cách lập phương trình nên tôi đã đưa ra các dạng bài tập khác nhau để phân loại cho phù hợp với khả năng nhận thức của từng đối tượng Các bài tập ở dạng từ thấp đến cao để các em nhận thức chậm có thể làm tốt những bài toán ở mức độ trung bình, đồng thời kích thích sự tìm tòi và sáng tạo của những học sinh khá

Bên cạnh đó tôi thường xuyên hướng dẫn, sửa chữa chỗ sai cho học sinh, lắng nghe ý kiến của các em để điều chỉnh phương pháp dạy học cho phù hợp Học sinh ngoài làm việc cá nhân còn phải tham gia trao đổi nhóm khi cần thiết

Ngoài ra giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh nắm được các kiến thức sau trong khi giải “bài toán bằng cách lập phương trình”

a Phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình

Mặc dù khả năng nhận thức và suy luận của học sinh trong mỗi lớp chưa đồng bộ nhưng khi giải bài toán bằng cách lập phương trình tất cả đều phải dựa vào một quy tắc chung: Đó là các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Cụ thể như sau :

* Bước 1: Lập phương trình (gồm các công việc sau):

• Chọn ẩn số ( ghi rõ đơn vị ) và đặt điều kiện cho ẩn;

• Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;

• Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

* Bước 2: Giải phương trình: Tuỳ từng phương trình mà chọn cách giải cho ngắn gọn và phù hợp

* Bước 3: Trả lời (Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm

nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi kết luận).

b Hướng dẫn học sinh phân tích bài toán.

Phân tích bài toán là việc làm không thể thiếu khi giải toán, nó giúp các em nhận dạng và định hướng cách giải một cách đúng đắn Do đó, giáo viên phải rèn cho học sinh thói quen phân tích bài toán để nó trở thành một kỹ năng giải toán của học sinh

Để học sinh phân tích được bài toán người giáo viên phải hướng dẫn học sinh tìm hiểu đề toán Tìm hiểu đề toán các em sẽ nhận dạng đề, chỉ ra được các đại lượng tham gia vào bài toán, đại lượng nào đã biết, đại lượng nào cần phải đi tìm; sau đó tóm tắt đề bài toán; tiến hành “dịch” sang ngôn ngữ đại số bằng cách suy luận để “nối” các đại lượng đã biết thông qua các đại lượng đã biết Việc phân tích đề toán giúp học sinh rất nhiều trong việc chọn ẩn, đặt điều kiện của ẩn, suy luận, lập luận logic…

• PHÂN LOẠI CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP:

Dạng 1 Toán về tỉ số và quan hệ giữa các số

Dạng 2 Toán chuyển động

Dạng 3 Toán về công việc, năng suất

Dạng 4 Toán làm chung công việc

c Hướng dẫn chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn

Trong các bước giải thì bước chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn là rất quan trọng Thông thường đề bài yêu cầu đi tìm đại lượng nào thì ta đặt đại lượng đó là ẩn số Xác định đơn vị và điều kiện của ẩn phải phù hợp với đại lượng đó

Ví dụ : trong bài toán đi tìm đại lượng là số người, số cây, số quả… nếu đặt

x là đại lượng cần tìm thì điều kiện của x phải là số nguyên dương(Z+), không thể

là số âm hoặc phân số

Hoặc trong bài toán chuyển động, vật A chuyển động nhanh hơn vật B là a km/h (a > 0) Nếu gọi x(km/h) là vật tốc của vật A, y(km/h) là vật tốc của vật B thì điều kiện của x là : x > y > 0 và x > a.

Tuy nhiên trong một số ít bài toán thì cần phải chọn ẩn là một đại lượng trung gian, tìm được đại lượng trung gian thì mới tìm được đại lượng cần tìm của bài toán

d Sử dụng dữ kiện bài toán để lập phương trình

Muốn giải bài toán bằng cách lập phương trình thì điều quan trọng là phải biết cách diễn đạt những mối quan hệ trong đầu bài thành những quan hệ toán học

Nhà bác học vĩ đại Newton nói : “ Muốn giải quyết các vấn đề liên quan đến các

số hoặc các quan hệ trườu tượng thì cần phải phiên dịch bài toán từ ngôn ngữ mẹ

đẻ sang ngôn ngữ đại số”.

Trong các bài toán ta thường gặp các từ nhanh hơn, chậm hơn, đắt hơn, rẻ

hơn, muộn hơn, thêm, bớt …; tương ứng với các phép toán cộng, trừ, nhân, chia

trong đại số Cần suy nghĩ để “phiên dịch” cho đúng

Trong các bài toán ta cũng gặp hai loại tương quan quen thuộc là tương quan tỉ lệ thuận và tương quan tỉ lệ nghịch ( bài toán chuyển động, toán về mua bán, toán về vòi nước chảy, toán về năng suất …)

Do vậy, cần phải lưu ý và quan hệ cơ bản sau :

Nếu một người làm xong một công việc trong x ngày thì trong 1 ngày anh

ta làm xong 1/x công việc

Nếu một vòi nước chảy đầy bể trong x giờ thì trong 1 giờ nó chỉ chảy được 1/x phần của bể

Nếu một người đi một đoạn đường trong x giờ thì trong 1 giờ anh ta chỉ đi được 1/x đoạn đường

Một điều chú ý khác là đôi khi bài toán được phát biểu với nhiều thông tin thừa Cần suy nghĩ để không bị lạc hướng, cố gắng phát hiện liên hệ bản chất toán học của các đại lượng

e Kết luận nghiệm

Trong bài toán “giải bài toán bằng cách lập phương trình”, bước chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn là rất quan trọng, nó quyết định “hình dạng” của phương trình đồng thời thu hẹp phạm vi nghiệm của bài toán thì bước kết luận nghiệm lại mang tính quyết định sự đúng sai của đáp án Dù cho học sinh có tìm được nghiệm của phương trình mà không biết kết luận hay lầm tưởng nghiệm của phương trình là nghiệm của bài toán thì bài giải vẫn chưa hoàn thiện

Do đó, khi đã tìm được nghiệm của phương trình thì phải tiến hành kiểm tra xem nó có phù hợp với điều kiện đặt ra ở bước 1 hay không rồi mới kết luận Ngoài ra, người giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh kiểm tra lại bằng cách thử lại xem kết quả có phù hợp với tất cả các giả thiết của bài toán đưa ra hay không

f Áp dụng vào giải bài toán cụ thể

Dạng 1 Toán về tỉ số và quan hệ giữa các số

Ví dụ : Bài tập 34 SGK toán 8 tập 2 - trang 25

Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 3 đơn vị Nếu tăng cả tử và

mẫu của nó thêm 2 đơn vị thì được phân số mới bằng 1

2 Tìm phân số ban đầu ?

• Phân tích bài toán: Đây là bài toán liên quan đến số mà cụ thể là phân số

trong phân số ta có tử số và mẫu số Như vậy, trong bài toán này các đại lượng đã biết là quan hệ giữa tử số và mẫu số, quan hệ của hai phân số khi tăng cả tử và mẫu số; đại lượng cần phải đi tìm là phân số ban đầu

Muốn tìm phân số ban đầu thì ta chỉ cần tìm được tử hoặc mẫu của phân số vì ta

đã biết quan hệ của tử và mẫu số ( mẫu lớn hơn tử 3 đơn vị) Vì vậy, ta có thể chọn

ẩn là mẫu hoặc tử số; thông thường học sinh sẽ điều kiện của ẩn là thuộc tập hợp

số nguyên Z bởi vì số cần tìm là một phân số hữu tỉ, nhưng ta phải lưu ý là mẫu số

là một số lớn hơn 3 và khi thêm tử và mẫu thêm hai đơn vị thì được một phân số dương nên điều kiện của ẩn phải là số tự nhiên N

• Sử dụng dữ kiện bài toán để lập phương trình

Nếu tăng cả tử và mẫu thêm 2 đơn vị 2

3 2

x x

++ +

Phân số mới 2

5

x x

++

Phân số mới bằng 1

2

2

15

2 =+

+

x x

 Trường hợp gọi x là mẫu số ( x ϵ Z, x > 3 )

Dữ kiện bài toán Ngôn ngữ đại số

Mẫu số lớn hơn tử số của nó là 3 đơn vị nên tử số là

− ++

Phân số mới 1

2

x x

−+

• Trình bày bài giải

 Cách 1:

Giải :

Gọi tử số của phân số ban đầu là x ( điều kiện x > 0, x ∈N)

Mẫu số của phân số ban đầu là x + 3

Phân số ban đầu là

3

+

x x

Phân số mới là

5

22

+

x

x x

2 =+

+

x x

 Cách 2 :

Gọi mẫu số của phân số ban đầu là x ( điều kiện x∈Z, x > 3)

Tử số của phân số ban đầu là x - 3Phân số ban đầu là x 3

Ví dụ 2 : “Một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số của nó là 16, nếu

đổi chỗ hai chữ số cho nhau được một số lớn hơn số đã cho là 18 đơn vị Tìm số

Trong bài toán này vì biết tổng của hai số nên ta chỉ cần đặt ẩn là chữ số hàng chục hoặc chữ số hàng đơn vị Nếu đặt x là chữ số hàng đơn vị thì điều kiện của x là0≤ ≤x 9, còn nếu gọi chữ số hàng chục là x thì điều kiện của x là 0< ≤x 9

và trong cả hai trường hợp thì x phải thuộc tập hợp số tự nhiên N.