Tích phân phiếm hàm trong lý thuyết lợng tử về các plasmon

Trường Đại học sư Phạm Hà Nội Tạp chí Khoa học số năm 2004 Tích phân phiếm hàm trong lý thuyết lượng tử về các plasmon Nguyễn Văn Hợp Khoa Vật lý, Trường ĐSPHN Hà Nội I.. Mở đầu Khí

Trường Đại học sư Phạm Hà Nội Tạp chí Khoa học số năm 2004

Tích phân phiếm hàm trong lý thuyết lượng tử về các plasmon

Nguyễn Văn Hợp

Khoa Vật lý, Trường ĐSPHN Hà Nội

I Mở đầu

Khí điện tử trong vật rắn đã được nghiên cứu từ lâu bằng các phương pháp như : lý thuyết cổ điển, lý thuyết lượng tử hóa lần 2 và lý thuyết hàm Green Các kết quả thu được từ nó đã được ứng dụng nhiều trong các lĩnh vực vật lý chất rắn Tuy nhiên các lý thuyết này không cho ta cách thức giải quyết vấn đề thống nhất và thiết lập được tác dụng hiệu dụng của plasmon với phôtôn và các chuẩn hạt khác trong vật lý chất rắn Trong khuân khổ của bài báo này chúng tôi trình bày một phương pháp mới nghiên cứu về khí điện tử đó là : Phương pháp tích phân phiếm hàm trong lý thuyết lượng tử về các plasmon Nội dung gồm có: tích phân phiếm hàm trong lý thuyết lượng

tử về khí điện tử và tác dụng hiệu dụng của plasmon với trường điện từ

II Tích phân phiếm hàm trong lý thuyết lượng tử về điện tử

Chúng ta nghiên cứu vấn đề trong hình thức luận thời gian ảo Matsubara, hamiltonien tổng có dạng:

) ( )

( ) (τ H τ Hint τ

r d r m r

2 ) , ( )

(

2

τ ψ τ

ψ

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ∇ư

( ) ( , ) ( , ) )

, ( ) , ( )

( 1 2 1 1 1 2 2 2

int τ d r d rψ r τ ψ r τ V r r ψ r τ ψ r τ

Đối với hệ fermion với hamiltonien tương tác dạng (3) hàm phân bố có dạng

[ ][ ]

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

ư

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ +

ư

β

τ τ τ

τ τ τ

0 int 0

) ( exp

) , ( ) ( )

, (

d

d p a d a

D

Da

Z

p

r

r r

chúng ta đưa vào tích phân phiếm hàm phụ thuộc vào hàm trường vô hướng ϕ(rr ,τ)

[ ]

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

ư

=∫ exp ∫ ∫∫ 1 2 ( 1, ) (1 2) ( 2, )

0

τ ϕ τ

ϕ τ

D

và đổi biến tích phân:

) , ( ) , ( ) , ( ) , (1 τ ϕ 1 τ ψ 1 τ ψ 1 τ

) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 2 τ ϕ 2 τ ψ 2 τ ψ 2 τ

ϕ rr → rr + rr rr

áp dụng phép biến đổi Hubbard - Stratonovich ta có:

) , (

)

,

(

) , ( ) , ( )

, ( )

, ( )

, ( exp

1

) , ( ) , ( )

, ( ) , ( exp

2 2 1 1

1

2 2

2 1 1 0

2 1 2

2 1 1 2 1 0

2 2

2 1 1 1 2 0

1

τ ϕ τ

ψ

τ

ψ

τ ψ τ ψ τ

ϕ τ

τ ϕ τ

ϕ τ

ϕ

τ ψ τ ψ τ

ψ τ ψ τ

β β

β

r r r V r

r

r r r r V r r d r d d r

r r V r r d r d d D

I

r r

r r V r r r d r d d

r r r r

r

r r r r r r r r

r r r r r

r r

r r r v r r

ư +

ư +

ư

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

=

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

ư

ư

∫ ∫∫

∫∫

∫

∫

∫ ∫∫

(7

)

thế (7) vào vế trái của (4) và khai triển các hàm :

( ) {i k(r r ) } ( )V k

V r r V

k

r r r r r

r

r

=

( )τ { } ( τ

ϕ , 1 exp i q r c q,

V

r

q

r r r

r

∑

= ) (8)

ψ , 1 expi p r aα p,

V

r

p

r r r

r

∑

( )τ { } ( )τ

ψ , 1 exp i p r aα p,

V

r

p

r r r

r

=

ta có

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ +

ư

ư

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

p k

p a p E d

d p a d k

c k V k c d a

D Da

Dc

I

Z

r

r r r

r r r

τ τ

τ τ τ

τ

β

, )

, ( ,

, exp

1

0 0

( ) ( ) ( ) (

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

ư

∑∫

k

p

p a k p a k V k c d

r

r

r r

r r , 0

, ,

, 2

exp

β

α

τ

τ ) (9)

khai triển hàm mũ ( ) ( ) ( ) (

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

ư

∑∫

k p

p a k p a k V k c d

r

r r

r r

, 0

, ,

, 2

exp

β

α

τ

τ ) , chỉ giữ lại số hạng bậc hai

và tính tích phân phiếm hàm trên các biến fecmion aα(pr ,τ) và aα(pr,τ) ta được

0 2 0

1 ,

0

, ,

, ,

exp βdτc k τV k c k τ V k V k βdτ βdτ c k τ c k τ

Dc

I

Z

Z

k q k

r

ư

ư

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

1 2 2

2

,τ ưτ αα S qưk τ ưτ αα

q

(10) trong đó Sαβ( )pr ,τ là nghiệm của phương trình vi phân

( ) ( ),τ δ δ(τ)

⎢⎣

⎡ +

p S p E d

( ) ε τ ( )αβ

β

n

i

p S e p

S r , = 1 ∑ n r , (11)

p E i p

S

n

r

+

=

ε

δ

αβ

β

π

εn = n2 + 1

mặt khác : o [ ] S eff

e Dc I

Z

Z = ∫ ư do đó

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ n ] ( )n

n k

n

,

r r r

r r

r

ở đây ( ), 2 ( ,ε ω )α1α2 ( ,ε )α2α1

β

Thay (11) vào (14) sau một số phép biến đổi ta thu được kết quả

( ) ( ) [ ( ) ] dq

M

q k M

q k q q n

M k

n n

n

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

+

ư

ư

=

2 4 2

2 2

0 2

2 2

1 2

2

2 ,

ω ω

π

r

(15) trong đó n( )qr là hàm phân bố của khí điện tử trong vật rắn Xét trường hợp khi

( không độ tuyệt đối ) khi đó tất cả các mức trên mức fecmi đều bỏ trống và các mức dưới mức fecmi đều lấp đầy

0

→

T

( )

⎩

⎨

⎧

≤

>

=

F

F

k khiq

k khiq

q n

1

0

r (16)

với kF là bán kính mặt cầu fecmi Trong không gian xung lượng khi đó (15) trở thành

5

3 ,

n

F o

n n

M

k k n M

k k

ω ω

với 2

2

3πF

o

k

n = là mật độ trạng thái ở không độ tuyệt đối Thế (17) vào (14) và đặt

n

k k

ω

α

r

= ; ( ) ( n)

n

k k

ω

α

ư

ư r , r ,

và chú ý ( ) ( ) 2

k k V k

V r = ư r = α

;

n

o F

M

n k

α

2 2

*

5

3 2

1

ư

M

n o

pl

α

ω = (18)

n k

n

M

k k

b

2

,

*

2 2 2 ,

r r

⎫

⎩

⎨

⎧

+ +

ư

ư

với

M

n o

pl

α

ω = gọi là tần số plasma Từ (19) ta thấy tác dụng hiệu dụng này mô tả trạng thái của một chuẩn hạt tự do, trường hợp thì năng lượng của mỗi chuẩn hạt bằng tần số plasma, trong trường hợp mà k

2 2

pl

k <<ω

2 so sánh được với thì năng lượng của mỗi chuẩn hạt phụ thuộc vào vectơ sóng k của nó Như vậy thay cho nghiên cứu phổ năng lượng kích thích của khí điện tử trong vật rắn ta nghiên cưú phổ năng lượng của một hệ các chuẩn hạt mà năng lượng của mỗi chuẩn hạt bằng tần số plasma Theo lý thuyết lượng tử thì hệ chuẩn hạt này chính là hệ các plasmon Như vậy bằng phương pháp tích phân phiếm hàm ta tìm được dễ dàng các kết quả phù hợp các lý thuyết trước

2

pl

ω

Trong trường hợp T ≠0: ( ) pl( ) n ( ) ( n

n k

n

M

k k

b

à β ω

à β ω

, 2 ,

,

*

2 2

2 ,

r r

⎫

⎩

⎨

⎧

+ +

ư

ư

Từ (20) ta suy ra năng lượng của mỗi plasmon không những phụ thuộc vào véc tơ sóng kr

của nó mà còn phụ thuộc vào thế hoá học và nhiệt độ của khí điện tử

III Tác dụng hiệu dụng của plasmon với trường điện từ

Hàm Hamiltonien mô tả tương tác giữa trường điện từ với hệ plasmon có dạng :

γ

int

ˆ ˆ

int

ˆ ˆ

o e

H H

( ) a ( )p M

p p a H

p o

r

r r

2 ˆ

( ) 1 2 ( ) ( ) (1 1 1 2) ( ) ( )2 2

ˆ d r d r r r V r r r r

H V =∫∫ r rψ+ r ψ r r ư r ψ+ r ψ r (24)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a ( )p

M

k A k A e k k p a p

a M

p k A k p a H

k k k

r r r r r r r r r

r r r r r

r r r

2

' '

ˆ ˆ

2 ˆ

' , , ,

(25)

và cũng đưa vào hàm phân bố có dạng :

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

ư

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

ư

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

⎥⎦

⎤

⎢⎣

∂

∂

ư

α

τ τ τ

0 int int

0

ˆ exp ˆ

exp , ,

a

D

Da

Z

o V

pr

r r

áp dụng các phép biến đổi của tích phân phiếm hàm như trong mục hai và chỉ xét trường hợp pr >> kr ta thu được kết quả như sau:

(26 )

( )

( )

2

'

2 ' 2

2 ' '

2

2 '

'

, , '

int

, ' '

' 1

2

1

'

1 2

' 4

, ' ,

m m m

m

m m m

m m m m

k m m

m eff

k k C M p n M p

p p n p p p n

M p n p

p p n k

k V iMe k

A k A

S

ω ω ω

ω

ω ω ω

ω ω ω π

β ω

ω

ư

ư +

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎥

⎦

⎤ + +

+

ư

ư

⎢

⎢

⎣

⎡

+ +

+

ư +

+

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

=

∫

∫

∑ ∑

r r r

r r

r r r r r r

r r r

r r r

r r

r r r

r

r

(27)

Như vậy bằng phương pháp sử dụng kỹ thuật tích phân phiếm hàm ta có thể xây dựng được biểu thức tác dụng hiệu dụng của hệ plasmon với trường điện từ không phụ thuộc vào thời gian r

( )r

A r

Tài liệu tham khảo

1 Nguyễn Văn Hiệu, Những giáo trình chuyên đề vật lý - Tập II Cơ sở lý thuyết lượng

tử các chất rắn -Phần thứ nhất cấu trúc các chất rắn có dạng tinh thể, Trung tâm

khoa học tự nhiên và công nghệ quốc gia - Viện khoa học vật liệu - Viện vật lý Hà Nội (1997)

2 B.Satita, Quantum theory of many - variable systems and fields, World Scientific

(1985)

3 Chales Kittel, Quantum theory of solids, John Willy and Sons ( 1963)

4 Lewis Ryder, Quantum field theory, Syndicate of the Unversity of Cambidge

(1985)

5 Nguyen Van Hieu, Functionl Integral Technicques in Condensed Matter systems,

New York (1994)

Tóm tắt

Một phương pháp mới cho việc nghiên cứu về lý thuyết lượng tử plasmon là hàm phân bố được diễn tả theo tích phân phiếm hàm của trường vô hướng mà có thể được xem như toán tử sinh hạt và huỷ hạt trong lý thuyết lượng tử Phương pháp này cho phép chúng ta thiết lập được hamiltonien tương tác hiệu dụng của plasmon với phôtôn

Summary

functional integral techniques in quantum theory about plasmon

nguyen van hop

The electron gas has been studied long ago by some method: classical theory, second quantization theory and the Green function theory The results received from

symmetrically spherical But the methods do not give us the construction of the interaction Hamiltonian of photons with bosonic quasiparticles - plasmon and other quasiparticles in solids In this report we examine a new method for electron gas : functional integral technique in quantum theory of plasmon We have found all results, which agree with old theories and gave us the construction of the interaction Hamiltonian between plasmons and photons