BÀI TẬP LỚN CƠ SỞ ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG-ĐỀ TÀI-KHẢO SÁT PHƯƠNG TRÌNH NYQUIST VÀ MÔ TẢ

 Sơ đồ Bode  Tiêu chuẩn MIKHAILOV Có 2 loại tiêu chuẩn ổn định là tiêu chuẩn đại số và tiêu chuẩn ổn định tân số: _ Tiêu chuẩn ổn định đại số : Tìm điều kiện ràng buộc giữa các hệ số c

Trang 1

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG

LỚP D08KTDT2 BÀI TẬP LỚN CƠ SỞ ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

Đề bài :

KHẢO SÁT PHƯƠNG TRÌNH NYQUIST VÀ MÔ TẢ

Nhóm 3 – Lớp D08KTDT2

PHẠM VŨ MINH TÚ

NGUYỄN HỮU HI P ỆP ĐỖ ĐỨC HẢI

TRẦN LÊ KHÁNH CHI NGUYỄN THỊ NGÂN TRẦN ĐỨC TÙNG

Đ NG QUANG TÙNG ẶNG QUANG TÙNG VŨ ANH THÙY

NGUYỄN CẢNH TOÀN NGUYÊN THU TRANG NINH XUÂN THU N ẬN

Trang 2

I: Đặt vấn đề:

Điều khiển tự động là một lĩnh vực được áp dụng rộng rãi trong nhiều ngành khác nhau Các hệ thống tự động có mặt trong đời sống hàng ngày và trong sản xuất hàng hóa Hệ thống tự động đã giúp ích cho con người tăng năng suất lao động, tăng độ chính xác và tăng độ tin cậy cũng như tăng tính an toàn cho người vận hành Thế nên các phương pháp đánh giá ổn định bền vững là các chủ điểm nghiên cứu quan trọng trong lĩnh vực điều khiển tự động Trong thực

tế phân giải tính ổn định cho hệ thống, người ta có thể dùng phương pháp sau đây mà không cần đến việc giải các phương trình đặt

 Tiêu chuẩn ROUTH và HURWITZ

 Đồ hình quĩ tích nghiệm số

 Tiêu chuẩn NYQUIST

 Sơ đồ Bode

 Tiêu chuẩn MIKHAILOV

Có 2 loại tiêu chuẩn ổn định là tiêu chuẩn đại số và tiêu chuẩn ổn định tân số:

_ Tiêu chuẩn ổn định đại số : Tìm điều kiện ràng buộc giữa các hệ số của phương trình đặc tính

để hệ thống ổn định.Đó là tiêu chuẩn ROUTH và HURWITZ

_ Tiêu chuẩn ổn định tần số: Thông qua đặc tính tấn số của hệ thống để xét tính ổn định Đó là tiêu chuẩn ổn định Nyquist và Mikhailov

Ở đây chúng ta sẽ nghiên cứu về tiêu chuẩn ổn định Nyquist Bằng việc nghiên cứu tiêu chuẩn ổn định Niquist chúng ta sẽ hiểu rõ hơn về phương pháp sử dụng tiêu chuẩn ổn định tần

số trong lĩnh vực điều khiển tự động.

II: Giải quyết vấn đề:

 Định lý Nyquist.

Ta biết rằng một hệ thống mất ổn định nếu như có một cực của hàm truyền đạt nằm bên phải mặt phẳng phức (có phần thực dương) Vì vậy ta chọn một đường cong kín (C) nằm ở nửa dương mặt phẳng phức Đường cong này được gọi đường cong Bromwich

Im

O

Re (C)

Trang 3

Để quan sát sự ổn định của hệ kín, chỉ cần chứng tỏ rằng 1G s H s( ) ( ) 0 không có nghiệm trong đường cong Bromwich, hay đơn gian nhất là vạch quỹ tích của hàm truyền

1G s H s( ) ( ) trong mặt phẳng phức

Theo định lý Cauchy, nếu quỹ tích này không bao gốc toạ độ, khi đó

1G s H s( ) ( ) 0 không có nghiệm trong đường cong Bromwich Cũng có nghĩa là nếu ( ) ( )

G s H s không bao điểm (-1 , 0) thì khi đó 1G s H s( ) ( ) 0 không có nghiệm trong đường cong Bromwich

Từ đó định lý Nyquist phát biểu như sau:

Một hệ thống kín ổn định nếu quỹ tích của hàm truyền hệ mở tương ứng không bao điểm (-1 , j0 ).

Mặt khác, để G(s)H(s) không bao điểm (-1 , j0) thì điều kiện cần và đủ là:

- Số cực và số Zéro của nó nằm trong đường cong Bromwich bằng 0

- Hay là số cực dương bằng số Zéro dương

Điểm (-1 , j0 ) được gọi là điểm tới hạn

 Tiêu chuẩn ổn định tần số - tiêu chuẩn Nyquist.

Tiêu chuẩn Niquist theo đặc tính tần số biên pha:

1 Phát biểu:

“Điều kiện cần và đủ để hệ thống kín ổn định”

- Khi hệ ổn định (hoặc ở giới hạn ổn định) là đặc tính tần số biên – pha của hệ hở W h ( jωω)

không bao điểm (-1,j0)

- Khi hệ thống ổn định là đặc tính tần số biên – pha của hệ thống hở bao điểm (-1,j0) m/2

vòng kín nếu ω biến đổi từ 0 đến ∞ (trong đó m là số nghiệm của phương trình đặc tính

của hệ hở có phần thực dương) “

Trang 4

2.Chứng minh

 Nguyên lý bao và không bao:

_ Nếu một điểm M không rơi vào trong một đường cong kín l, ta nói rằng đường cong l không bao diểm M như hình vẽ a) dưới đây:

Từ điểm M kẻ tiếp 2 đường tiếp tuyến vào đường cong l Từ A1 đến A2 theo mũi tên véc tơ MA

quay 1 góc là -φ còn từ A2 đến A1 theo mũi tên, vec tơ MA quay 1 góc là + φ Do đó đầu mũi A

của vecto MA trượt trên cả đường cong kín l theo chiều mũi tên thì góc quay tổng của MA là

-φ + + φ = 0

_ Nếu một điểm M rơi vào trong một đường cong l, ta nói rằng đường cong kín l bao quanh điểm M, như hình vẽ b)

Nếu véc tơ MA có 1 đầu mút chạy trên cả đường cong theo 1 chiều mũi tên thì góc quay tổng

của MA là 2π.

 Nguyên lý góc quay:

Đối với phương trình đặc tính:

a0p n

+a1p n−1

+… … +a n=0 (1)

Có n nghiệm, nếu thay p = jωω ta có:

a0(jωω− p1) (jωω− p2)… … (jωω−p n)=0 (2) Giả sử trong phương trình (1) có m nghiệm có phần thực dương còn (n-m) nghiệm có phần thực

âm tương ứng các nghiệm phân bố ở bên phải và nêm trái trục ảo như hình dưới đây:

Trang 5

Nếu nghiệm p iở bên trái trục ảo, đối với các vecto ´MX =¿)

Khi ω chạy từ -∞ đế n+ ∞:

∆−∞ ≤ ω≤ ∞ arg( jωω−p i¿)=+π¿ (3)

Nếu nghiệm p jω nằm ở bên phải trục ảo đới với vecto ´NX=( jωω− p i)

Khi ω chạy từ -∞ đế n+ ∞:

∆−∞ ≤ ω≤ ∞ arg( jωω−p i¿)=−π¿ (4)

Phương trình (2) có thể được viết như sau:

a0∏

i =1

n−m

(jωω−p i).∏

jω=1

m

(jωω− p jω)=0

Khi đó: Từ(3) và (4) ta có:

∆−∞ ≤ ω≤ ∞ arg∏

i=1

n−m

(jωω− p i).=+(n−m)π

∆−∞ ≤ ω≤ ∞ arg∏

jω =1

m

(jωω− p jω)=−m π

 Khi hệ hở ổn định:

Xét véc tơ MA trên hình dưới đây:

Trang 6

MA = 1 + OA = 1 + Wh

Vì theo hình 3-3:

W h= B ( p)

D ( p)

¿ nên :¿

MA=1+ B( p)

D( p)=¿

¿ D( p)+B ( p )

D ( p) =

A ( p )

D ( p) ;

Trong đó bậc của B(p) <= bậc của D(p)

D(p) = 0 là phương trình đặc tính hệ hở có bậc n:

W k(p)= W h ( p )

1+W h(p)=

B ( p )

D ( p)+B ( p )=

B ( p )

A ( p)

A(p) = D(p) + B(p) = 0 là phương trình đặc tính hệ kín cũng có bậc n:

Do đó ´MA= A ( p)

D ( p )=

Đa thức đặc tínhhệ kín bậc n Đathực đặc tính hệ hở bậc n (1)

Vecto ´MAnối điểm M (-1,j0) với 1 điểm A chạy trên đường cong W h(jωω), có liên hệ với hệ kín và hệ hở qua biểu thức trên Nếu đặc tính W h(jωω) không bảo điểm M(-1,j0) tức là

Trang 7

∆−∞ ≤ ω≤ ∞ arg MA =0

Khi hệ hở ổn định, phương trình D(p) =0 có nghiệm ở bên trái trục ảo

∆−∞ ≤ ω≤ ∞ arg D ( jωω)=∑

i=1

n

∆−∞ ≤ ω≤ ∞ arg(jωω− p i)=+nπ

Hệ thống kín muốn ổn định, phương trình A(p) = 0 có n nghiệm ở bên trái trục ảo nên:

∆−∞ ≤ ω≤ ∞ arg A ( jωω)=+nπ

Tính góc quay của MA theo công thức (1)

∆−∞ ≤ ω≤ ∞ arg MA =∆−∞ ≤ω ≤ ∞ arg A ( jωω)−∆−∞ ≤ω ≤ ∞ arg D ( jωω) = nπ−nπ =0

¿>(Thỏa mãnđiều kiện)

Vậy khi hệ hở ổn định, hệ kín muốn ổn định đặc tính của W h ( jωω)phải không bao điểm có

tọa độ (-1,j0)

 Khi hệ hở không ổn định:

Trong phương trình đặc tính D(p) = 0 có m nghiệm bên phải trục ảo và (n – m) nghiệm ở bên trái trục ảo Ta có:

∆−∞ ≤ ω≤ ∞ arg D ( jωω)=(n−2m) π

Hệ kín muốn ổn định thì:

∆−∞ ≤ ω≤ ∞ arg A ( jωω)=+nπ

Do đó : ∆−∞ ≤ ω≤ ∞ arg MA =nπ−(n−2 m) π =m2 π

Vì đặc tính W h(jωω) đối xưng qua trục hoành đối với nhánh có ω= 0 -> ∞ và nhánh có ω=

-∞ -> 0 cho nên

∆ 0 ≤ω ≤∞ arg MA=1

2m 2 π=

m

2 vòng tròn

Điều này chứng tỏ đặc tính W h ( jωω) bao điểm M (-1,j0) m/2 vòng kín khi ω= 0 -> ∞

Trang 8

Nhận xét:

Trước khi dùng tiêu chuẩn Nyquist cần phải xét xem hệ hở có ổn định hay không ( có thể sử dụng các tiếu chuẩn đại số để xét độ ổn định)

Đặc tính tần số W h(jωω) thường là đường cong không khép kín vì chỉ chạy từ 0 đến cho nên

nhận dạng việc bao của nó đối với một điểm trong trường hợp phức tạp là rất khó khăn Để dễ dàng ta chuyển sang một cách biểu diễn khác Hình ở dưới đây là trường hợp hệ ổn định nếu hệ

hở ổn định

Ta thấy đặc tính tần W h(jωω) không bao điểm M(-1,j0) nếu giao điểm của W h(jωω) với trục thưc trong khoảng (−∞ ,-1) không có hoặc là số giao điểm chuyển đổi dương C+¿¿ ( tức là

đi từ âm sang dương ) bằng số giao điểm chuyển đổi âm C−¿¿ (tức là đi từ chiều dương sang âm

theo chiều tăng của tần số ) Hay điều kiện không bao của W h(jωω) với M (-1, j0):

C+¿=C

− ¿ ¿ ¿

Nếu không thỏa mãn điều kiện trên thì đặc tính tần số W h(jωω) bao điểm M (-1, j0) có C+¿¿

=3.… ; C−¿¿ = 1 Như hình vẽ sau đây:

Trang 9

Tiêu chuẩn Nyquist – Theo đặc tính tần số Logarit

Theo đặc tính tần số Logarit ta có: L(ω) = 20 lgA(ω)

Vì L(ω) = 20 lgA(ω) nếu A(ω) 1 thì L(ω) 0 Tại sao các giao diểm chuyển đồi thì arg

W h(jωω) = −π Dựa vào kết quả của tiêu chuẩn Nyquist theo đặc tính tần số biên – pha, ta cần xét phạm vi A (ω) ở trong khoảng (−∞ ,-1), khi hệ hở ổn định nếu

C+¿=C

− ¿ ¿ ¿ thì hệ kín ổn định

Qua hình dưới đây, đối chiều đặc tính tần số biên pha với đặc tính tần số Logarit ở trạng thái ổn định và không ổn định của hệ thống

Trên đặc tính tần logarit, các điểm chuyển đổi là giao điểm của φ (ω) với đường thằng −π (kí hiệu là C+¿¿ )

Quy ước: điểm chuyển đồi dương (kí hiệu là C+¿¿ ) là giao điểm của đặc tính φ ,với đường

Trang 10

chuyển đổi âm (kí hiệu là C−¿¿ ) là giao điểm của φ (ω) với đường thằng −π khi ω tăng thì

φ (ω) cắt từ dười lên trên đường thẳng

Phát biểu: điều kiện cần và đủ để hệ thống kín ổn định khi hệ thống hở ổn định là số giao điểm

chuyển đổi âm bằng số giao điểm chuyển đổi âm của đặc tính φ với đường thằng −π trong phạm vi tần số −π để L(ω) >0

III: Minh họa, mô phỏng:

Ta xét VD sau :

 VD 1 : G(s) =

k

Real Axis

Nyquist Diagrams

0 2 4 6 8 10 -1000

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000

Nhận xét: hàm truyền vòng hở có 1 cực nằm bên phải mặt phẳng phức và 1 cực nằm tại gốc tọa độ Biểu

đồ Nyquist không bao điểm A (-1+j0).

Điểm –1 ký hiệu () nằm trên trục thực âm (Real Axis) , điểm 0 nằm trên trục ảo (Imaginary Axis) Kết luận: hệ không ổn định.

Trang 11

GH(s) =

k

( t1s+1 )( t2s+1 ) (k =10, t1 = 1, t

 VD2: GH(s) =

k

( t1s+1 )( t2s+1 ) (k =10, t1 = 1, t

Real Axis

Nyquist Diagrams

-6 -4 -2 0 2 4 6

Nhận xét: hàm truyền vòng hở có 2 cực nằm bên trái mặt phẳng phức Biểu đồ Nyquist không bao điểm

A (-1+j0).

Điểm –1 ký hiệu () nằm trên trục thực âm (Real Axis) , điểm 0 nằm trên trục ảo (Imaginary Axis).

Kết luận: hệ thống ổn định

IV: Kết luận:

Thông qua tiêu chuẩn ổn định Nyquist ta có thể khảo sát được sư ổn định của một hệ thống, dựa trên đường cong Bromwich

Một hệ thống:

- Được gọi là ổn định khi đường đặc tính tần số - pha của hệ hở không bao quanh điểm M (-1,j0)

Trang 12

- Được gọi là không ổn định khi đường đặc tính tần số - pha của hệ bao quanh điểm M (-1,j0)

- Được gọi là nằm trên biên giới ổn định khi đường đặc tính tần số - pha của hệ đi qua điểm M (-1,j0)

Tiêu chuẩn Nyquist được xác định có 2 dạng:

+ Tiêu chuẩn ổn định theo đặc tính tần số biên pha:

Điều kiện cần và đủ để hệ thống kín ổn định”