ôn thi TNPT và DH theo cấu trúc đề thi 2011

- Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: chiều biến thiên của hàm số; cực trị; tiếp tuyến; tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số; tìm trên đồ thị những

Ôn Thi toán 12 Câu I (3 điểm):

- Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số.

- Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm

và đồ thị của hàm số: chiều biến thiên của hàm số; cực trị;

tiếp tuyến; tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số;

tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước; tương

giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường

thẳng);

1 Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số

y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0), y = ax4 + bx2 + c (a ≠0),

và y = ax b

cx d

++ (ac ≠ 0), trong đó a, b, c, d là những số chotrước

Trình bày lời giải cho khảo sát hàm số.

Học sinh phải trình bày đủ 5 bước:

Bước 1: Tập xác định.

Bước 2: Trình bày các giới hạn của hàm số: giới hạn bên phải, giới

hạn bên trái tại điểm gián đoạn (nếu có), giới hạn khi x

dần đến +∞, -∞ đồng thời chỉ ra tiệm cận (nếu có)

Bước 3: y’=? ; y’=0  x=? => y=?

Bước 4: Tóm tắt 3 bước trên qua bảng biến thiên.

Kết luận về tính tăng giảm và cực trị của hàm số

Bước 5: Tìm giao điểm của đồ thì với trục tung, trục hoành (nếu

Ôn Thi toán 12

• Đưa phương trình về dạng f(x) =g(m) (1)

(C ): y=f(x) ; (D) : y=g(m)

• Số điểm chung của (C ) và (D) là số nghiệm của (1)

Chú ý : phân chia các trường hợp biện luận theo y cd , y ct

3 Biện luận số giao điểm của đồ thị với đường thẳng y = mx + n

• Lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với đườngthẳng

• Biến đổi dẫn đến phương trình dạngAx2+Bx C+ =0, (1)

• Số nghiệm của (1) là số giao điểm của đồ thị với đườngthẳng

kiện cx d+ ≠0 vào phương trình (1)

BÀI TẬP

1:Cho hàm số y= − +x3 3x2+1 có đồ thị (C)

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C)

b Dùng đồ thị (C) định k để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt x3−3x2+ =k 0

2: Cho hàm số y = x3 + 3x2 + 1

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m: x3 + 3x2 + 1 =

Ôn Thi toán 12

b Dựa vào đồ thị( )C biện luận theo m số nghiệm của phương

a Khảo sát sự biến thieân và vẽ đồ thị của hàm số (C)

b Dùng đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình:

|x4 – 2x2 + 1| = m

7: Cho hàm số y = 2 1

2

x x

++ có đồ thị (C)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

b Chứng tỏ đường thẳng (d): y = – x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B với mọi m Tìm m để độ dài đoạn AB ngắn nhất

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số

b Một đường thẳng (d) đi qua A(-4 ; 0) có hệ số góc là m Tìm

m để (d) cắt (H) tại hai điểm phân biệt

3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (tại một điểm thuộc đồ thị hàm số, đi qua một điểm cho trước, biết

Ôn Thi toán 12 Cho (C): y = f(x) Gọi k là hsg của tiếp tuyến, A(x 1 ,y 1 ) là

điểm mà tiếp tuyến đi qua, thì ph trình có dạng (d): y = k(x - x 1 ) + y 1

Để (d) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x), thì hệ tiếp xúc

• Tiếp tuyến của đồ thị được cho trước hệ số góc.

Ptrình tiếp tuyến (d) có dạng y = kx + b Sau đó sử dụng hệ tiếp xúc

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số

b Gọi A là giao điểm của đồ thị với trục tung Tìm phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại A

2: Cho hàm số y= − +x3 3x2−1 (C)

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C)

b Viết phuơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(-1;3)

3: Cho hàm số số y = - x3 + 3x2– 2, gọi đồ thị hàm số là ( C)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b Viết ptrình tiếp tuyến với đồ thị ( C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình y” = 0

x có đồ thị là (C)

a Khảo sát hàm số (1)

b Viết ptrình tt của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm P(3;1)

5: Cho hàm số y = x3 +(m -1) x2 –(m +2)x -1 (1)

a Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1

b Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng y = x/3 và tiếp xúc với đồ thị (C) của hàm số

Ôn Thi toán 12

x

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho

b Viết pttt của (C), biết nó song song với dt y= x+4

7: Cho hàm số y= − − +x4 x2 6

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 1

x (C)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b.Tìm trên đồ thị điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đườngtiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho

b Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng

¼

Ôn Thi toán 12

−

= + (C)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b Tìm trên đồ thị (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng

MN, biếtM(-3;0) và N(-1;1)

5 Một số bài toán nâng cao:

Câu 1 Cho hàm số y = 2x4 – 4x2 (1)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

2 Với các giá trị nào của m, phương trình x x2 2− =2 m có

đúng 6 nghiệm thực phân biệt? (B-2009)

Câu 2 Cho hàm số y = 2x 1

x 1

++ (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2 Tìm m để đ thẳng y = -2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm

phân biệt A, B sao cho t-giác OAB có diện tích bằng 3 2010).

.(B-Câu 3 Cho hàm số y = x3 – 2x2 + (1 – m)x + m (1), m là số thực

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1

2 Tìm m để đồ thị của hs (1) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 thỏa điều kiện : x12+x22+x23 <4 (A-2010)

Câu 4 Cho hàm số y=x4-(3m+2)x2+3m có đồ thị (Cm)m là tham số

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi

m =0

Ôn Thi toán 12

2 Tìm m để đường thẳng y= - 1 cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm

phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2 (D-2009)

Câu 5: Cho hàm số 2 (1)

x y x

+

=+

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân

biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ O (A-2009)

Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm

Tìm m để đường thẳng D:y=2x+m cắt (C ) tại 2 điểm phân biệtA,B sao cho tiếp tuyến của (C ) tại A, B song song với nhau

Tìm tất cả các điểm M thuộc (C ) sao cho khoảng cách từ M

đến giao điểm 2 đường tiệm cận là ngắn nhất

Câu 7: Cho hàm sốy=x4 −2m2x2 +1 (1)

1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số khi m=1

2) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân

* Cách tìm GTLN-NN liên tục trên (a;b)

- Lập bảng biến thiên của hàm số trên (a;b)

- Dựa vào BBT để kết luận

* Cách tìm GTLN-NN của hàm số f liên tục trên [a,b].

+ Tìm các điểm x1,x2, , xn thuộc (a;b) tại đó đạo

hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm

Ôn Thi toán 12

+ Tính f(x1), f(x2), , f(xn), f(a )và f(b)

+ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên

[ , ] [ , ]

7:Tìm GTNN của hàm số y = x2.ex trên đoạn [-1;1]

9:Tìm GTLN, GTNN của y= ln(x2 +x - 2) trên đoạn [ 3; 6]

Bài tập nâng cao:

1.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

y= − +x x+ − − +x x+

2 Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thoả mãn x + y = 1

Tìm GTLN.GTNN của biểu thức S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy

HD Đặt t=xy t∈[0;1/4]

Ôn Thi toán 12

4 Cho hai số thực x, y thoả mãn x + y = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức A = x4 + y4 HD.đưa về hàm số theo biến x

5 Tìm GTLN- NN của hàm số y x= + 4−x2 (B-2003)

(1 ) (1 )

Ôn Thi toán 12

c b

c

b

a a

c b b

c b c

b a

c b c

b a

a a

a a

log:1

0

0log

a a

a x)' x.ln

x

x)' 1(ln =

a a

a

ln

1)'

)0,0(

x

1

1)'(

a u

u u

a

ln

')'(log =

'.)'(uα =αuα−1u

n n

n

u n

u u

1

')'

2 3

2 3

1

2:

a

b b

a b

a

Ôn Thi toán 12

1 3

1 log 400 3log 45

2

16

log

2: a) Cho log25=a, log23=b Tính log3135 theo a, b.

b) Cho a=log315 Tính log2515

c) Cho biết log 153 =a; log 105 =b tính log 503

3 CMR mỗi hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức tương ứng đã cho.1) y = esinx ; y’cosx – ysinx – y’’ = 0

2) y = ln(cosx) ; y’tanx – y’’ – 1 = 0

3) y = ln(sinx) ; y’ + y’’sinx + tan

Ôn Thi toán 12

Bài 1: Giải phương trình lôgarit sau:

a) log2x + log4x + log8x = 11 b 1 + 2

=15+log x 1+log x3 3

Ôn Thi toán 12

x x

2.1 Giải các phương trình sau:

a log4 x+log2(4x)=5 b log (4.33 x− =1) 2x+1

32

+

−+

++

x

x x

x

f.1 + 2 logx+2 5 = log5( x + 2 ) g

) 2 ( log 2 log

) 2

2.1 Giải các bpt lôgarit sau

a) log0,2 x − log5( x − < 5 ) log 30,2

b) (log )3x 2−4log3x+ ≤3 0 c) log3( x − 3 ) + log3( x − 5 ) < 1

Ôn Thi toán 12

2log

1 Giải phương trình (2) khi m = 2

2.Tìm m để pt (2) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn



HD: đặt t= log x y

8.Giải BPT

2 1 2

Ôn Thi toán 12

HD đưa về tích số và chú ý điều kiện của BPT

13 Giải BPT log (log (93 x 72)) 1

cot(ax b) Ca

sin (ax b) = − + +

+

∫

Ôn Thi toán 12

1 Tìm nguyên hàm

1 Tìm nguyên hàm

2. a) Tìm nguyên hàm của f(x) = (2x-1)2 biết F(0)=3

b) Tìm nguyên hàm của f(x) = 2sinx+ x biết F( = 1

( 2 )3

1f(x)

Ôn Thi toán 12 2.2 Đổi biến số :Học sinh chú ý các dạng đổi biến số thường

udv [uv]= − vdu

Ôn Thi toán 12

Các dạng hàm số dưới dấu tích phân thường dùng tích phân từng phần:

4x x dx 6 ∫1 +

0

2).3ln(

x

x

2 ∫2 +

0 2

1 x dx x

1

dx x x

2.5 Tích phân hàm lượng giác:

Ôn Thi toán 12

1

x 0

Câu III (1 điểm):

Hình học không gian (tổng hợp): Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.

C B

Tam giác đều ABC:

* Độ dài đường cao AH=AB 3

1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,

SA vuông góc mp(ABCD) , cạnh SC tạo với mặt phẳng đáy góc

300 Tính thể tích khối chóp

2 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông

tại B , cạnh bên SA vuông góc với đáy Biết SA = BC = a Mặtbên SBC tạo với đáy góc 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC

3 Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA,SB,SC vuông góc với nhau

từng đôi một với SA = 1cm, SB = SC = 2cm Xác định tâm và tínhbán kính của mặt cấu ngoại tiếp tứ diện , tính diện tích của mặt cầu

và thể tích của khối cầu đó

4 Cho hình vuông ABCD cạnh 2a Gọi M,N lần lượt là trung điểm

các cạnh AB và CD Khi quay hình vuông ABCD xung quanh trục

MN ta được hình trụ tròn xoay Hãy tính thể tích của khối trụ trònxoay được giới hạn bởi hình trụ nói trên

5 Cho hình nón tròn xoay có đường cao h=20,bán kính đáy r=25.

aTính diện tích xung quanh hình nón

bTính thể tích khối nón được tạo thành bởi hình nón đó

Ôn Thi toán 12

6.Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cà các cạnh

đều bằng a Tính thể tích của hình lăng trụ và diện tích của mặtcầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a

7 (TN 2006–pb) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình

vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SB bằng

aa 3

1 Tính thể tích của khối chóp S.ABCD

2 Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoạitiếp hình chóp S.ABCD ĐS: 1) V = 1 3

2

3a . 2) IB = IC =

ID = IS

8 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông

tại đỉnh B, cạnh bên SA vuông góc với đáy Biết SA = AB = BC

= a Tính thể tích của khối chóp S.ABC

ĐS: V =a3/6 .( TN 2007–pb)

9 Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a,

cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy Biết ˆBAC = 1200 ,tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a

Câu IV.a (2 điểm):

Nội dung kiến thức: Phương pháp tọa độ trong không gian:

- Xác định tọa độ của điểm, vectơ.

- Mặt cầu.

Ôn Thi toán 12

- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.

- Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.

* Qui tắc ba điểm :

BA OB OA

OB AB OA

=

−

=+

* Trung điểm I của đoạn AB: OA+OB=2OI

* Trọng tâm G của tam giác ABC :

0

3

=++

=++

GC GB GA

OG OC

OB OA

* Trọng tâm G của tam giác ABCD :

0

4

=++

+

=++

+

GD GC GB

GA

OG OD

OC OB

+ b p c

a

m

B PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

1 Toạ độ của điểm và vec tơ

a Tọa độ của điểm và vec tơ:

* Toạ độ điểm : M(x,y,z)= xi y j zkr+ r+ r

* Toạ độ vec tơ: a=(a1,a2,a3)⇔a=a1i +a2 j +a3k

Ôn Thi toán 12

Ôn Thi toán 12

y a x

3.Vị Trí Tương Đối Của 2 Mặt Phẳng:

Ôn Thi toán 12

=>t(Au1+Bu2+Cu3)+Ax0+By0+Cz0+D=0 (1) số nghiệm của

(1) là số điểm chung của d và (P)

6 Vị trí tương đối giừa 2 đường thẳng:

d qua M1(x0,y0,z0) có vec tơ chỉ phương uur1

a

d’ qua M2(x0’,y0’,z0’) và có vec tơ chỉ phương uuur2

*d chéo d’ <=> [ , ]u u M Mr uur uuuuuur1 2 1 2 ≠0 *D ≡ D’ 

Ôn Thi toán 12

(α ) : Ax+By+Cz+D = 0 (α’) : A’x+B’y+C’z+D = 0

2 2 2 2 2

|'''

|)

'

,

cos(

C B A C B A

CC BB AA

+++

+

++α

D Cz By Ax M

d

++

+++

=α

e Khoảng cách từ 1 điểmA tới 1 đường thẳng d:

f Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau d và d’:

1.Trong kg Oxyz, cho A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;4)

a Viết phương trình mp α qua ba điểm A, B, C Chứng tỏOABC là tứ diện

b Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện OABC

2 Trong Kg Oxyz cho A(2;0;1), mp (P): 2x− y+z+1=0 vàđường thẳng (d): x=1+t ; y= 2t ; z= 2+t

a.Lập pt mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P)

b Viết pt đ thẳng qua điểm A, vuông góc và cắt đ thẳng (d)

Ôn Thi toán 12

3 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’biết A(0,0,0), B(1;0;0),

b Viết pt mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P)

6 Trong kg Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 – 2x + 2y + 4z – 3

= 0

và hai đường thẳng (∆1) :

21

y1

1x

Ôn Thi toán 12

b Viết pt tổng quát của mp (α) đi qua hai đg thẳng (∆) và (∆’)

c Viết pt đường thẳng (d) vuông góc và cắt cả hai đường (∆) và(∆’)

10 ( Đề thi TN năm 2007- lần 1 - ban KHTN): Trong kg với hệ

tọa độ Oxyz cho điểm M (-1;-1;0) và mặt phẳng (P) : x + y -2z -4

= 0

1 Viết pt mp (Q) đi qua M và song song với mặt phẳng (P)

2 Viết pt tham số của đường thẳng (d) đi qua M và vuông gócvới (P) Tìm tọa độ giao điểm H của đường thẳng (d) với mặtphẳng (P)

11 ( Đề thi TN năm 2008- lần 1 - ban KHTN): Trong kg Oxyz

cho điểm A(3;-2;-2) và mặt phẳng (P): 2x - 2y + z - 1 = 0

Ôn Thi toán 12

1 Viết pt của đg thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mp(P)

2 Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) Viết phươngtrình của mặt phẳng (Q) sao cho (Q) song song với (P) và khoảngcách giữa (P) và (Q) bằng khoảng cách từ điểm A đến (P)

12 ( Đề thi TN năm 2008 - lần 2 - ban KHTN): Trong kg Oxyz

cho các điểm M(1;-2;0), N(-3;4;2) và mặt phẳng (P): 2x + 2y + z-7 =0

1 Viết phương trình đường thẳng MN

2 Tính khoảng cách từ trung điểm của đoạn thẳng MN đến mp(P)

13.( Đề thi TN năm 2009 – ban cb): Trong không gian Oxyz, cho

2.Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d Viết phươngtrình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d

Bài tập nâng cao:

Ôn Thi toán 12

3 Trong kg Oxyz, cho các điểm A (1; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c),

trong đó b, c dương và mặt phẳng (P): y – z + 1 = 0 Xác định b

và c, biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P) và

khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) bằng 1/3 (CB 2010)

B-4 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆:

5.Trong kg Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + z − 3 = 0 và (Q):

x − y + z − 1 = 0 Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc

với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O đến (R) bằng 2 (CB 2010)

D-6 Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng ∆1:

thuộc ∆1 sao cho khoảng cách từ M đến ∆2 bằng 1.(NC D-2010)

7 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các

đỉnh A(1;2;1), B(-2;1;3), C(2;-1;1) và D(0;3;1) Viết phươngtrình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến

(P) bằng khoảng cách từ D đến (P) (CB- B-2009)

8 Trong kg Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 5 = 0 và hai

điểm A(-3;0;1), B(1;-1;3) Trong các đường thẳng đi qua A vàsong song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà

khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất (NC-B-2009)

9 Trong kg Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : 2 x − 2 y − z − 4 = 0 và

mặt cầu (S ) : x2 +y 2 +z 2 −2x − 4y − 6z − 11 = 0.Chứng minhrằng mặt phẳng ( P )cắt mặt cầu (S ) theo một đường tròn Xác

định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó.( CB 2010)

A-10.Trong kg Oxyz cho cho mặt phẳng ( P ) : x − 2y + 2z −1 = 0

và hai đường thẳng ∆1: 1 9

x+ = =y z+

và ∆2: