Bài 3. Phương trình bậc 1 với sin và cos ( tiết 2)

Bài dạy: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN... §3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN1.. Phương trình bậc nhất và bậc hai với một hàm số lượng giác: 2.Phương trình bậc nhất đối

Bài dạy: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN

§3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN

1 Phương trình bậc nhất và bậc hai với một hàm số lượng giác:

2.Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx là phương trình có dạng: asinx + bcosx = c trong đó a,b,c là các hằng số và a2  b2  0.

Giải pt: sinx + cosx =1 (1)

Ví dụ 1:

Giải:

sinx cos 2 sin(x+ )

4

Ta có:

1 (1) 2 sin( ) 1 sin( )

 













  

    





2

2

2

x k

k Z

2a 2 c os , 2b 2 sin



Khi đó pt : asinx+bcosx =c 2 2

2 2

sin( ) sin( ) c

a b



Để giải pt: asinx + bcosx =c (1) (a và b khác 0) Ta làm như sau:

Vì : nên có góc sao cho:

2a 2 2b 2 1



asin x b  cos x  a b c  ( os sinx + sin cos )   x  a b  sin( x   ).

Do đó:

2 2 2

2c 2 1 c a b

*Nếu thì PT (1) vô nghiệm

2 2 2

2c 2 1 c a b

*Nếu thì PT (1) luôn có nghiệm

Lưu ý:1

2 2

asin x b cos x a b ( a sinx+ b cos ) x

Biến đổi vế trái:

Lưu ý:2

  2  2 asin x b cos x a b (sin sinx + cos cos ) x

Khi đó:

2 2

asin x b cos x a b ( a sinx+ b cos ) x

Trong phép biến đổi:

Nếu ta chọn số sao cho: 

2a 2 sin , 2b 2 c os

( Vì: )



 a2  b c2 os( x  )

2 2

asin x b cos x a b ( a sinx+ b cos ) x

Ví dụ 2: Giải PT: 3 sinx+ cos x  1 (2)

Giải:

PT (2) 2( 3 sin 1 cos ) 1

sin(x+ ) sin

6 6

k k

 





 









  















2

3

x k

k Z

2( os sinx sin cos ) 1

6



1 sin(x+ )

6 2



 2  5 

(3) 3( sin3 cos3 ) 3

Ví dụ 3: Giải PT: 2sin3x + 5 cos3x 3 (3)

Giải:



2

2 2

asin x b cos x a b ( a sinx+ b cos ) x

k

Ví dụ 4: Giải PT: sin3x - 3 cos3 x  3 sinx+ cos x (4)

Giải

 sin(3  ) s in(x+ )

x





 



 



  



5

24 2

k Z k

x

2( os sin3 sin cos3 ) 2sin(3   )

sin3x - 3 cos3 2 sin3 os3

Ta có



 3 s inx+ cos 2s in(x+ )

6

x

PT (4) 2sin(3 ) 2sin(x+ )

Do đó:







 





3 = -(x+ ) 2

Ví dụ 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: = m (5)3 sinx+ cos x

Giải:

Khi đó (5)  2sin(x+ ) 





3 sinx+ cos 2sin(x+ )

6

x

Ta có:

Vì :  2 2sin(    ) 2  nên pt có nghiệm

6

Ví dụ 6: Tìm GTLN,GTNN của hàm số: 5

3 sin 4 os4

2

Giải

TXĐ: D= R

3 sin 4 os4

2



  2 2sin(4  ) 2 

6

x

    

2

y  

5

2

y  

5 2sin(4 )

6 2

x 

Cách khác : Pt (5) có nghiệm::  m2 ( 3)2 12   4 2 m 2

Ví dụ 7: Giải pt:     

2

3 sinx+ cos 2 (6)

3

x x

Giải:

Do đó pt (6) được thỏa mãn khi và chỉ khi:

2sin(x+ ) 2 sin(x+ ) 1



Vậy: Pt có nghiệm :

3

Ta có:



 3 sinx+cos 2sin(x+ )

6

x



   

2

2 3

 2

3

Củng cố:

2 2

asin x b cos x a b ( a sinx+ b cos ) x

*Các em cần nắm vững các nội dung:

-Cách biến đổi :

-Pt : asinx + bcosx = c có nghiệm khi và chỉ khi: a2  b2  c2.

-Tập giá trị của hàm số: y = asinx +bcosx là : T   a2 b2; a2 b2 