Một số bài hình học giải tích trong kỳ thi tuyển sinh đại học

Viết phương trình mặt cầu tâm I và cắt mặt phẳng P theo một ñường tròn có bán kính bằng 4 Hướng dẫn giải Tọa ñộ ñiểm A thỏa mãn hệ phương trình Gọi N là ñiểm thuộc AC sao cho MN song son

Trang 1

Hình học giải tích trong các kỳ thi tuyển sinh ñại học(ñề chính thức)

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2013:

Dành cho học sinh chọn chương trình chuẩn

1 Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy Cho hình chữ nhật ABCD có ñiểm C thuộc ñường thẳng d: 2x+ + =y 5 0 và A(−4;8) Gọi M là ñiểm ñối xứng của B qua C, N là hình chiếu

vuông góc của B lên ñường thẳng MD Tìm tọa ñộ các ñiểm B và C, biết rằng N(5; 4− )

2 Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz Cho ñường thẳng : 6 1 2

A Viết phương trình mặt phẳng (P) ñi qua A và vuông góc với ñường thẳng ∆ Tìm tọa

ñộ ñiểm M thuộc ∆ sao cho AM = 2 30

ra BN ⊥ AC và CB = CN Vậy B là ñiểm ñối xứng của N qua AC

ðường thẳng BN qua N và vuông góc với AC nên có phương trình x− 3y− = 17 0

Trang 2

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2013:

Dành cho học sinh chọn chương trình nâng cao

1 Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy Cho ñường thẳng ∆ − = :x y 0 ðường tròn (C) có bán kính R= 10 cắt ∆ tại hai ñiểm A và B sao cho AB=4 2 Tiếp tuyến của ñường tròn (C) tại A và B cắt nhau tại một ñiểm thuộc tia Oy Viết phương trình ñường tròn (C)

2 Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz , cho mặt phẳng ( )P : 2x+3y+ − =z 11 0 và mặt cầu ( ) 2 2 2

S x +y + −z x+ y− z− = Chứng minh mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) Tìm tọa ñộ tiếp ñiểm của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S)

Hướng dẫn giải Gọi M là giao ñiểm của tiếp tuyến tại A và B của (C), H là

giao ñiểm của AB và IM Khi ñó M( )0;t với t≥ 0; H là

trung ñiểm của AB Suy ra 2 2

5;3 4

+ + Do ñó mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S)

Gọi M là tiếp ñiểm của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) Suy ra M thuộc ñường thẳng I và vuông góc với mặt phẳng (P) Do ñó: M(1 2 ; 2 3 ;1+ t − + t +t)

Do M thuộc mặt phẳng (P) nên

2 1 2+ t + − +3 2 3t + + − = ⇔ =1 t 11 0 t 1 Vậy M(3;1; 2)

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2013:

Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy Cho hình thang cân ABCD có hai ñường chéo

vuông góc với nhau và AD= 3BC ðường thẳng BD có phương trình x+ 2y− = 6 0 và tam giác ABD có trực tậm H(−3; 2) Tìm tọa ñộ các ñỉnh C và D

2 Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz Cho ñiểm A(3;5; 0) và mặt phẳng

( )P : 2x+3y− − =z 7 0 Viết phương trình ñường thẳng ñi qua A và vuông góc với mặt

phẳng (P) Tìm tọa ñộ ñiểm ñối xứng của A qua (P)

Hướng dẫn giải

Trang 3

Gọi I là giao ñiểm của AC và BD ⇒IB=IC

Mà IB⊥IC nên ∆IBC vuông cân tại I 0

⇒ là trung ñiểm của ñoạn thẳng HC

Do CH ⊥BD và trung ñiểm I của CH thuộc BD nên

tọa ñộ của C là nghiệm của hệ phương trình

ðường thẳng ∆ qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) nhận n =(2;3; 1 − ) làm vector chỉ

phương, nên có phương trình 3 5

x− = y− = z

−Gọi B là ñiểm ñối xứng của A qua (P), suy ra B thuộc ∆ Do ñó B(3 2 ;5 3 ;+ t + t −t)

Trung ñiểm của ñoạn thẳng AB thuộc (P) nên ( ) 10 3

1 Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy Cho tam giác ABC có chân ñường cao hạ từ

Trang 4

Gọi N là ñiểm ñối xứng của M qua AD

Suy ra N∈AC và tọa ñộ của N thỏa mãn hệ phương trình

2 Ta có: AB= −( 2;3; 2) vector chỉ phương của ∆ là u(− 2;1;3)

ðường thẳng vuông góc với AB và ∆ có vector chỉ phương là v= AB u; 

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2013:

1 Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy Cho tam giác ABC có ñiểm 9 3;

B và tâm ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm tọa ñộ ñiểm C

2 Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz , cho các ñiểm A(− − −1; 1; 2 ,) (B 0;1;1) và mặt

phẳng ( )P :x+ + − =y z 1 0 Tìm tọa ñộ hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt phẳng ñi qua A, B và vuông góc với mặt phẳng (P)

Với a= −4⇒ A(−4;5 ,) (B − −5; 2) Ta có BH ⊥AC nên ñường thẳng AC có phương trình

=



 =

 Do C khác A nên C( )4;1

Với a= −5⇒A(− −5; 2 ,) (B −4;5)Ta có BH ⊥ AC nên ñường thẳng AC có phương trình

2x− + =y 8 0 Do ñó C t( ; 2t+8)

Trang 5

1 Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy, cho ñường tròn ( ) ( ) (2 )2

C x− + y− = và

ñường thẳng ∆ :y− = 3 0 Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm của (C), các ñỉnh N và

P thuộc ñường thẳng ∆ , ñỉnh M và trung ñiểm của cạnh MN thuộc ñường tròn (C) Tìm

tọa ñộ ñiểm P

2 Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz Cho ñiểm A(−1;3; 2− ) và mặt phẳng

( )P :x−2y−2z+ =5 0 Tính khoảng cách từ A ñến mặt phẳng Viết phương trình mặt phẳng

ñi qua A và song song với mặt phẳng (P)

b b

1 2.3 2 2 5 2,

Trang 6

1 Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy Cho hình chữ nhật ABCD, các ñường thẳng

AC và AD lần lượt có phương trình là x+ 3y= 0 và x− + =y 4 0; ñường thẳng BD ñi qua

  Tìm tọa ñộ các ñỉnh của hình chữ nhật ABCD

2 Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz Cho mặt phẳng ( )P : 2x+ −y 2z+ =10 0 và

ñiểm I(2;1;3) Viết phương trình mặt cầu tâm I và cắt mặt phẳng (P) theo một ñường tròn

có bán kính bằng 4

Hướng dẫn giải Tọa ñộ ñiểm A thỏa mãn hệ phương trình

Gọi N là ñiểm thuộc AC sao cho MN song song voái

AD Suy ra MN có phương trình là 4 0

3

x− + =y Vì N thuộc ñường thẳng AC nên tọa ñộ của ñiểm N là

nghiệm của hệ phương trình

Gọi I và K lần lượt là giao ñiểm của ∆ với AC và AD

Suy ra tọa ñộ của ñiểm I thỏa mãn hệ phương trình 0

1 Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy Cho ñường thẳng d: 2x− + =y 3 0> viết

phương trình ñường tròn có tâm thuộc ñường thẳng d, cắt trục Ox tại A và B, cắt trục Oy tại

Trang 7

Di I thuộc ñường thẳng d nên tọa ñộ của I có dạng I t( ; 2t+3)

2 2

1 + = 1 2 Do ñó, ( ) ( ) (2 )2

C x+ + y− =Với t= − 3 ta ñược I(− −3; 3) nên d I Ox( , )=3 suy ra bán kính của ñường tròn ( )C là

1 Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy Cho các ñường tròn ( ) 2 2

C x +y = , ñường tròn ( ) 2 2

C x +y − x+ = và ñường thẳng d x: − − =y 4 0 Viết phương trình ñường

tròn có tâm thuộc ( )C2 , tiếp xúc với ñường thẳng d và cắt ñường tròn ( )C1 tại hai ñiểm

phân biệt A và B sao cho AB vuông góc với ñường thẳng d

2 Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz Cho ñường thẳng : 1

ðường tròn ( )C1 có tâm là gốc tọa ñộ O Gọi I là tâm của

ñường tròn ( )C cần viết phương trình , ta có AB⊥OI

12 18 0

I y

Trang 8

Do I thuộc ñường thẳng d nên tọa ñộ của ñiểm I có dạng I(1 2 ; ; 2+ t t − t)

Do A và B thuộc vào mặt cầu (S) nên

1 Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy Cho hình thoi ABCD có AC = 2BD và ñường

tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương trình 2 2

4

x +y = Viết phương trình chính tắc của (E) ñi qua các ñỉnh A,B,C,D của hình thoi biết A thuộc Ox

2 Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz Cho A(0; 0;3 ,) (M 1; 2; 0) Viết phương trình

mặt phẳng (P) qua A và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B,C sao cho tam giác ABC có trọng

tâm thuộc ñường thẳng AM

1 Giả sử ( )E :x22 y22 1(a b 0)

a +b = > > Hình thoi ABCD có 2

AC = BD và A,B,C,D thuộc (E) suy ra OA= 2OB Không mất tính tổng quát ta có thể xem ( ); 0 , 0;

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2012

1 Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy Cho hình vuông ABCD Gọi M là trung ñiểm

của BC, N là ñiểm nằm trên cạnh CD sao cho CN = 2ND Giả sử 11 1;

2 2

  và ñường thẳng AN có phương trình 2x− − =y 3 0 Tìm tọa ñộ của ñiểm A

2 Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz , cho ñường thẳng : 1 2

d + = = −

và ñiểm

Trang 9

(0; 0;3)

I Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt ñường thẳng d tại hai ñiểm phân

biệt A và B sao cho tam giác IAB vuông góc tại I

Gọi H là giao ñiểm của AN và BD Kẻ ñường thẳng qua H

và song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại P và Q

2 Vector chỉ phương của ñường thẳng d là a =(1; 2;1) Gọi H là trung ñiểm của AB suy ra

IH ⊥AB Ta có H là ñiểm thuộc ñường thẳng d nên tọa ñộ của H có dạng

Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy Cho ñường tròn ( ) 2 2

C x +y = Viêt phương trình chính tắc của Elip(E), biết rằng (E) có ñộ dài trục lớn bằng 8 và (E) cắt (C) tại bốn

ñểm phân biệt tạo thành hình vuông

2 Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz , cho ñường thẳng : 1 2

d + = = −

, mặt phẳng ( )P :x+ −y 2z+ =5 0 và ñiểm A(1; 1; 2− ) Viết phương trình ñường thẳng ∆ cắt d và (P) lần lượt tại hai ñiểm M và N sao cho A là trung ñiểm của ñoạn thẳng MN

Do Elíp (E) và ñường tròn (C) cùng nhận Ox và Oy làm trục ñối xứng và các giao ñiển là các ñỉnh của một hình vuông nên Elíp (E) và ñường tròn (C) có một giao ñiểm với tọa ñộ dạng A t t( ); (t > 0)

Trang 10

Do A thuộc ñường tròn (C) nên ta có:

x y

2 M thuộc ñường thẳng d suy ra tọa ñộ của ñiểm M có dạng M(2t−1; ;t t+2)

MN nhận A là trung ñiểm , suy ra N(3 2 ; 2− t − −t; 2−t)

Trích ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng - năm 2012

1 Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy Cho ñường tròn ( ) 2 2

C x +y − x− y+ = và

ñường thẳng 4x− 3y+ =m 0 Tìm ñể ñường thẳng d cắt ñường tròn (C) tại hai ñiểm phân

biệt A và B sao cho 0

120

AIB= , với I là tâm của ñường tròn (C)

2 Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz Cho hai ñường thẳng d d1, 2 có phương trình

1 2: 2 2

m m

ðường thẳng d1 có vector chỉ phương là u1 =(1; 2; 1 − )

ðường thẳng d2 có vector chỉ phương là u2 =(2; 2; 1 − ) Mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng ñi qua

ñiểm I(0; 0;1)∈d1 và có một vector pháp tuyến là u u 1, 2=(0; 1; 2− − )

Phương trình mặt phẳng cần tìm là y+ 2z− = 2 0

Trang 11

Trích ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng - năm 2012

1 Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy Cho tam giác ABC, các ñường thẳng BC,

BB’,B’C’ lần lượt có phương trình là y− = 2 0, x− + =y 2 0, x− 3y+ = 2 0, với B’ và C’

tương ứng là chân ñường cao kẻ từ các ñỉnh B và C của tam giác ABC Biết pr các ñường thẳng AB và AC

2 Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz , cho ñường thẳng : 2 1 1

d − = + = +

mặt phẳng (P): 2x+ −y 2z= 0 ðường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P) vuông góc với

ñường thẳng d tại giao ñiểm của ñường thẳng d và mặt phẳng (P) Viêt pr ñường thẳng ∆

2 0

x y

C y

Nếu C'(−2; 0) thì ñường thẳng AB có phương trình là x− + =y 2 0

2 Gọi I là giao ñiểm của ñường thẳng d và mặt phẳng (P), I(1; 2; 0− )

Mặt phẳng (P) có một vector pháp tuyến là nP =(2;1; 2 − ), ñường thẳng d có một vector chỉ phương là ud = − −( 1; 1;1)

, ñường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P) vuông góc với ñường thẳng d khi

và chỉ khi ∆ có một vector chỉ phương là u∆ =n u P; d

Do ñó phương trình ñường thẳng ∆ là ( )

12

1 Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy Cho tam giác ABC có ñỉnh B(−4;1), trọng tâm ( )1;1

G và ñường thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương trình x− − =y 1 0 Tìm tọa ñộ các ñỉnh A và C

2 Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz Cho ñiểm A(1; 2;3) và ñường thẳng

Trang 12

Gọi D x y( ); là trung ñiểm của AC Ta có: BD= 3GD

( )

;1 2

Ta có EB vuông góc với ñường thẳng d và trung ñiểm I của EB

thuộc d nên tọa ñộ của E là nghiệm của hệ phương trình

ðường thẳng AC ñi qua D và E, có phương trình 4x− − =y 13 0

Tọa ñộ A x y( ); thỏa mãn hệ phương trình

2 Mặt phẳng (P) ñi qua A, vuông góc với ñường thẳng d, có phương trình 2x+ −y 2z+ = 2 0

Gọi B là giao ñiểm của trục Ox với mặt phẳng (P), suy ra ∆ là ñường thẳng ñi qua các ñiểm A,

B B∈Ox, có tọa ñộ B b( ; 0; 0)thỏa mãn phương trình 2b+ =2 0⇒B(−1; 0; 0)

1 2: 2 2

1 Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy Cho ñiểm A( )1; 0 và ñường tròn

( ) 2 2

C x +y − x+ y− = Viết phương trình ñường thẳng ∆ cắt ñường tròn ( )C tại hai

ñiểm phân biệt M và N sao cho tam giác AMN vuông tại A

2 Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz Cho ñường thẳng ( ) 1 3

Trang 13

y y

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2011

1 Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy Cho hai ñường thẳng ( )∆ :x− − =y 4 0 và

ñường thẳng ( )d : 2x− − =y 2 0 Tìm tọa ñộ của ñiểm N thuộc vào ñường thẳng d sao cho

ñường thẳng ON cắt ñường thẳng ∆ tại ñiểm M thỏa mãn OM ON = 8

2 Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz , cho ñường thẳng : 2 1 2

x− y+ − z

mặt phẳng ( )P :x+ + − =y z 3 0 Gọi I là giao ñiểm của ñường thẳng ∆ và mặt phẳng (P)

Tìm tọa ñộ của ñiểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho MI vuông góc với ñường thẳng ∆ và

Trang 14

Vậy có hai ñiểm M thỏa mãn M(5;9; 11− ) và M(− −3; 7;13)

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2011

1 Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy Cho tam giác ABC có ñỉnh 1;1

2

B 

  ðường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xức với các cạnh BC, CA,AB tương ứng với các ñiểm D, E,

F Cho D( )3;1 và ñường thẳng EF có phương trình y− = 3 0 Tìm tọa ñộ ñỉnh A, biết A có tung ñộ dương

2 Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz Cho ñường thẳng : 2 1 5

x+ y− z+

− và hai ñiểm A(−2;1;1 ,) (B − −3; 1; 2) Tìm tọa ñộ ñiểm M thuộc ñường thẳng ∆ sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 3 5

ABC cân tại A;

Suy ra ñường thẳng AD vuông góc với EF, có phương trình x− = 3 0

không thỏa mãn vì A có tung ñộ dương

Với t=2⇒F( )2;3 suy ra phương trình : 4 3 1 0 3;13

M M

1 Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy Cho ñường thẳng ∆ + + = :x y 2 0 và ñường

tròn ( ) 2 2

C x +y − x− y= Gọi I là tâm của ñường tròn (C), M là ñiểm thuộc ∆ Qua M

kẻ các tiếp tuyến MA và MB ñến (C) (A và B là các tiếp ñiểm) Tìm tọa ñộ của ñiểm M

biết rằng tứ giác MAIB có diện tích bằng 10

2 Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz Cho hai ñiểm A(2; 0;1) và B(0; 2;3− ) và mặt phẳng ( )P : 2x− − + =y z 4 0 Tìm tọa ñộ ñiểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA=MB= 3

Trang 15

1 ðường thẳng (C) có tâm I( )2;1 bán kính IA+ 5 Từ giác MAIB có

( )

2; 4 3;1

M M

1 Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy Cho Elip ( ): 2 2 1

và ñiểm A(4; 4; 0) Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết B thuộc (S) và tam giác OAB

là tam giác ñều

Trang 16

Vậy

2 2;

2 2 2;

2 Mặt cầu (S) có tâm I(2; 2; 2), bán kính R= 2 3 Nhận xét O và A cùng thuộc (S)

Tam giác OAB là tam giác ñều, có bán kính ñường tròn ngoại tiếp 4 2

OA

r= =Khoảng cách ( ( ) ) 2 2 2

;

3

d I P = R −r =Mặt phẳng (P) ñi qua O có phương trình dạng: 2 2 2 ( )

Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng khối A-2011:

1 Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy Cho ñường thẳng ( )d :x+ + =y 3 0 Viết

phương trình ñường thẳng ñi qua ñiểm A(2; 4− ) và tạo với ñường thẳng (d) một góc bằng 0

45

2 Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz Cho hai ñiểm A(−1; 2;3 ,) (B 1; 0; 5− ) và mặt

phẳng ( )P +2x+ − − =y 3z 4 0 Tìm tọa ñộ ñiểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho ba ñiểm

Với b = 0 ta có phương trình ñường thẳng ∆ : x− = 2 0

2 A,B,M thẳng hàng khi và chỉ khi M thuộc ñường thẳng AB

Ta có AB=(2; 2; 8 − − =) (2 1; 1; 4 , − − ) M∈AB⇒M(− + 1 t; 2 −t;3 4 − t)

( ) 2( 1 ) (2 ) (3 3 4 ) 4 0 1

Vậy M(0;1; 1− )

Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng khối A-2011

1 Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy Cho tam giác ABC có phương trình các cạnh

là AB x: + 3y− = 7 0,BC: 4x+ 5y− = 7 0,CA: 3x+ 2y− = 7 0 Viết phương trình ñường cao kẻ

từ ñình A của tam giác ABC

Định dạng
Số trang	25
Dung lượng	0,95 MB