BAITAP DAO HAM

Viết phương trình tiếp tuyến đó.. Chứng minh rằng A là trung điểm đoạn IJ.. Từ đó suy ra cách vẽ tiếp tuyến T.. 3./ Chứng minh rằng diện tích tam giác OIJ không phụ thuộc vào vị trí điểm

Trang 1

GV Lê Văn Thẩn

VẤN ĐỀ 11 : ĐẠO HÀM

A./ KIẾN THỨC CẦN NHỚ :

1./ Định nghĩa đạo hàm tại một điểm : ( ) ( ) ( )

0

0 x

x 0

x x

x f x f lim x

' f

−

=

→ Lưu ý nếu đặt ∆ y = f ( ) ( ) x − f x0 , ∆ x = x − x0 thì

x

x f x x f lim x

y lim x

'

0 x 0

x

−

∆ +

=

∆

=

→

∆

→

2./ Ý nghĩa hình học của đạo hàm : Giả sử hàm số y = f ( ) x có đồ thị (C) Đạo hàm của hàm số y = f ( ) x tại điểm x0 bằng hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm M0( x0; f ( ) x0 ) Khi đó phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm

( )

( x ; f x ) ( ) C

M0 0 0 ∈ có dạng : y − f ( ) x 0 = f ′ ( )( x 0 x − x 0 ) .

3./ Đạo hàm cấp n của hàm số y = f ( ) x : ( )( ) = [ ( −)( ) ] ′

x f x

4./ Ý nghĩa vật lý của đạo hàm : Cho chuyển động có phương trình s = s ( ) t Khi đó :

a./ Vận tốc tại thời điểm t0 là v ( ) t0 = s ' ( t0) b./ Gia tốc tại thời điểm t0 là a ( ) t0 = s ′′ ( t0)

5./ Định nghĩa vi phân : df ( ) x = f ′ ( ) x dx

6./ Ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng : f ( x0 + ∆ x ) ( ) ≈ f x0 + f ′ ( ) x0 ∆ x

7./ Các quy tắc tính đạo hàm :

a./ ( u ± v ) ′ = u ′ ± v ′

• Lưu ý : ( u1 ± u1 ±  ± un) ′ = u1′ ± u2′ ±  ± un′

b./ ( ) u v ′ = u ′ v + v ′; ( ) k u ′ = k u ′

• Lưu ý:( u v w ) ′ = u ′ vw + v ′ w + uv w ′

c./

2

v

v v

u

v











2

v

' v v

1  ′ = −









 d./ Nếu u = u ( ) x có đạo hàm theo x là ′

x

u , y = f ( ) u có đạo hàm theo u là ′

u

f thì y = f [ u ( ) x ] có đạo hàm theo x là

′

x

y được tính bởi ′ = ′ ′

x u

y

8./ Đạo hàm một số hàm số :

Đạo hàm theo x Đạo hàm theo hàm số hợp u = u ( ) x

• ( ) C ′ = 0 ; C là hằng số • ( ) x ′ = 1

• ( ) xn ′ = nxn−1 ( )

x 2

1

x ′ =

• ( x > 0)

• ( sin x ) ′ = cos x • ( cos x ) ′ = − sin x

• ( )

x cos

1 x

tan ′ = 2 ( )

x sin

1 x

cot ′ = − 2

•

• ( ) un ′ = nun − 1 u ′ ( ) 2 u u

u ′ = ′

•

• ( sin u ) ′ = u ′ cos u • ( cos u ) ′ = − u ′ sin u

• ( )

u cos

u u

=

′ ( )

u sin

u u

−

=

′

•

B./ BÀI TẬP :

BT1 : Tính đạo hàm tại điểm x0 bất kỳ thuộc tập xác định của các hàm số sau bằng định nghĩa:

1 x

2 x

f y

+

−

=

1 x

3 x x x f y

2

+

−

=

1 x

2 x x f y

+

−

=

BT2 : Tính đạo hàm của các hàm số sau bằng định nghĩa:

1./ f(x)=

2

x

1

x

+

−

tại điểm x0 = 0 2./ f(x)=

1 x

x2

− tại điểm x0 = 2 3./ f(x)= 2 − x tại điểm x0 = 1

Trang 2

BT3 : Cho hàm số y =3 x Chứng minh rằng ( ) 3 2

x 3

1 x

BT4: Chứng minh hàm số sau liên tục tại điểm x = -3 nhưng không có đạo hàm tại điểm này

y=f(x)=

1 x

3 x 2

x2

−

+

−

BT5: Cho hàm số f(x)=

-1 x nếu









≥

−

<

+

2

x b

ax x

Xác định a,b để hàm số có đạo hàm tại điểm x= -1

BT6: Xét tính liên tục và tính có đạo hàm tại x0

0 x x

y

/

0

= x2 tại 0

x x

1

y

/

1 x

1 x y /

+

−

= tại

BT7 : Định giá trị các tham số a và b để hàm số có đạo hàm tại điểm x0

x

x 1 1

b ax x

f y / 2

; 1 b

ax x

x x

f

y

/

2

=









<

−

≥ +

=









<

+ +

−

≥

=

0 x khi

x 1 x khi

1 x khi

BT8 : Cho Parabol (P): y = x2 Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với (P) thỏa :

1./ Tại điểm (-2;4) 2./ Tại giao điểm của (P) và đường thẳng y = x − 2

BT9: Cho hàm số

x

1

4

1

BT10: Cho hàm số y = x3− x2 + 2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số :

7

1

BT11: Cho hàm số y = f ( ) x = x3; ( ) C

1./ Tại những điểm nào của (C) thì tiếp tuyến của (C) có hệ số góc bằng 1

2./ Liệu có tiếp tuyến nào của (C) mà tiếp tuyến đó có hệ số góc âm ?

BT12 : Cho hàm số y = sin x

1./ Tính đạo hàm của hàm số tại x0 = 0

2./ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x0 = 0

BT13: Cho (C) là đồ thị của hàm số : y = f ( ) x = − x4 + x2 + x Chứng minh rằng tiếp tuyến của (C) tại điểm A(-1;0) cũng là tiếp tuyến của (C) tại một tiếp điểm khác Tìm tọa độ tiếp điểm đó

BT14: Cho (C) là đồ thị của hàm số : y = f ( ) x = x4 + 2 x2 − 1 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) trong mỗi trường hợp sau :

8

1

BT15: Cho (C) là đồ thị của hàm số : y = f ( ) x = x3 + x2 − 2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) trong mỗi trường hợp sau :

Trang 3

BT16: Tìm một điểm trên đồ thị của hàm số

1 x

1 y

−

một tam giác có diện tích bằng 2

3

1 x f

1./ Tìm tọa độ điểm M ∈ ( ) C sao cho hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm M là nhỏ nhất Viết phương trình tiếp tuyến đó

2./ Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến đi qua điềm A(2;-3)

BT18: Một chất điểm chuyển động có phương trình S = t3 − 3 t2 − 9 t + 2, ở đó t > 0, t tính bằng giây (s) và S tính bằng mét (m)

BT19: Cho hypebol (H) có phương trình

x

1

y = 1./ Tìm tiếp tuyến (T) của (H) tại điểm A có hoành độ a ( với a ≠ 0)

2./ Giả sử (T) cắt trục Ox tại điểm I và cắt trục tung tại J Chứng minh rằng A là trung điểm đoạn IJ Từ đó suy ra cách vẽ tiếp tuyến (T)

3./ Chứng minh rằng diện tích tam giác OIJ không phụ thuộc vào vị trí điểm A

BT20: Cho hàm số y = cos2x + m sin x (m là tham số ) có đồ thị (C) Tìm m trong mỗi trường hợp sau :

1./ Tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = π có hệ số góc bằng 1

2./ Hai tiếp tuyến của (C) tại các hòanh độ

4

x = − π

và

3

x = π song song hoặc trùng nhau

BT21: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x0 cho dưới đây :

1 3

x x

y

/

.

1 x

1 x 2 y /

−

+

= tại x0 2

2 x

y

/

3 = − tại x0 = 4 / y = x2 − x + 2 tại x0 = − 3

5./

1

x

1

x

y

+

−

BT22: 1./ Cho h/số f : ( )







>

+

≤

=

1 x khi b ax

1 x khi

2

x x

x ( a

x ( x -1









=

≠

−

=

) 0

) 0 x

1 x

BT23: 1./ Cho hàm số f ( ) x = x − x Tính : f ( ) ( ) 4 ; f ′ 4 , f ( ) ( ) a2 ; f ′ a2 với a là hằng số khác 0

2./ Cho hàm số f ( ) x = x2 − 2 x − 8 Giải bất phương trình f ′ ( ) x ≤ 1

3./ Cho hàm số f ( ) x = x2 − 2 x Giải bất phương trình f ′ ( ) ( ) x ≤ f x

BT24: Tính đạo hàm theo x của các hàm số sau, biết f và g là hai hàm số có đạo hàm trên R.

1./ y = f ( ) x2 2./ y = f ( ) ( ) x2 + g x2 3./ ( )

( ) ( )2 2

2

x g x f

x f y

+

=

BT25: Tính đạo hàm các hàm số sau :

Trang 4

x

4

x

y

/

x

1 x

1 y /

2

2 4

x

x 3 x 4 x y /

x

x x

y

/

.

1 x

x 3 2 x y / 5

−

− +

= 6 / y = ( x + 5 ) (3 4 − x )2

2

x

m m

x x

m

x

y

/

1 = + + + 2 / y = x ( x3 − x + 1 ) 3 / y = ( x2 − 1 )( x2 − 4 )( x2 − 9 )

1 x

x

x 2

x

y

/

3

+ +

−

+

−

=

1 x 2 x

1 x y

/

+ +

+

=

( x2 1 )( 3 x2)

y

)

( x 1 )( x 2 )( x 3 )

y

)

3 x 2 x 1 x y )

x

1

2

x

y

)

a

−

+

=

3 x

x 1 y ) b

+

−

=

1 x

1 x 2 x y ) c

2

+

−

=

x 2

1

x 2 x

1

y

)

d

2

−

+

=

2 x x

5 x 6 x 2 y )

2

+ +

− +

−

=

2 x

3 x 5 x y

2

+

−

− +

=

x cos x

2

sin

y

)

1 x cos

2 x cos x sin y ) c

2

+

−

=

x

sin

x

4

cos

y

)

x tan

x cos x sin y )

x cos

x x 2 sin y

1 x

x

1

y

)

+ +

=

x x x

1 y

) b

=

1 x

1 x y ) c

2 +

+

=

x tg

2

1

4

y

)

d

+

x cos x sin

2 y

) e

+

−

=

20 x x

1 y

)

=

1

x

y

)

a

2+

=

2 x x

1 y

) b

+ +

=

1 x

2 x tan 2 y ) c

−

+ +

=

x 2 cos x 2

sin

y

)

1 x

x 2 cot y )

2 +

=

2

1

x

tan

y

)

x cot x

tan

y

)

x cos 4 x

sin

4

y

)

x cos x

sin

2

y

)

x cos x sin

x cos x sin y ) e

−

+

Trang 5

x sin

x x

x

sin

y

)

x tan 1

x sin y

) b

2

+

x 2 1

cos

y

)

( x x ) ( sin x 1 )

y

)

a = 2 + 3 2 + b ) y = ( x2 − x + 3 ) cos ( sin 2 x )

3 x2sin x

1 y

)

( sin x ) sin ( tan x ) )2

(tan

y

)

x cos x sin y

( x x 1 ) ( x x )

y

)

x 1

x x sin y )

−

+

=

x 2 sin 2

1 x

cos y )

x sin

x 2 cos

x

y

)

x

1 1 x x y ) e

x x sin x tan y













=

x

x cos

sin

y

)

x

1 x

cos

y

)

d

2 +

= e ) y = cot52 x cos ( x + 1 ) ) y = ( sin x + cos 2 x )20

( )20

3

x

2

y

)

3

x

1 x x y )









=

x

1

x

1

y

)

d

3

−

+

=

2 2

2

a x

x y

) e

+

x

1 x y









 +

=

BT39: Cho hàm số f ( ) x = x3 − 2 x2 + mx − 3 Tìm m để :

1./ f ′ ( ) x bằng bình phương của nhị thức bậc nhất 2./ f ′ ( ) x ≥ 0 với mọi x

3./ f ′ ( ) x < 0 với mọi x ∈ ( ) 0 ; 2 4./ f ′ ( ) x > 0 với mọi x > 0.

BT40: Giải các phương trình f ′ ( ) x = 0, biết :

1./ f ( ) x = 3 cos x + sin x − 2 x − 5

5

x cos 5

x 5 sin 3 17

x 17 cos 2 x

3./ f ( ) x = sin 2 x − 2 cos x 4./ f ( ) x = 3 sin x + 4 cos 2 x + 10 x 5./ f ( ) x = cos2x + sin x 6./ f ( ) x = tan x + cot x

BT41: 1./ Tìm a để phương trình f ′ ( ) x = 0 có nghiệm, biết rằng f ( ) x = a cos x + 2 sin x − x + 1

2./ Giải và biện luận phương trình f ′ ( ) x = 0, biết rằng f ( ) x = sin 2 x + 2 ( 1 − 2 m ) cos x − 2 mx

BT42: Cho hai hàm số f ( ) x = sin4 x + cos4x và ( ) cos x

4

1 x

BT43: Chứng minh các công thức sau (n ∈ N , n ≥ 2 ) :

1./ ( sinn x cos nx ) ′ = n sinn − 1x cos ( n + 1 ) x 2./ ( sinn x sin nx ) ′ = n sinn − 1x sin ( n + 1 ) x

BT44: Tính vi phân các hàm số sau :

x

1

x

1

x

3 x

2

1 x

3

− +

=

Trang 6

x

1

x

cos

y

−

= 5./ y = sin x (cos x + sin 2 x ) 6./

x cos

x 2 sin

y =

BT45: Tính đạo hàm đến cấp đã chỉ ra của các hàm số sau :

1./ y = x sin 2 x ( ) y ′′ 2./ y = cos22 x ( ) y ′′ 3./ y = x4 − x3 + x2 − 1 ( ) y ′′ 4./

1

x

1

x

y

−

+

= ( ) y( )n 5./ y = sin x ( ) y( )n 6./ y = cos x ( ) y( )n

10 x

y = + ( ) y( )n

BT46: Tính đạo hàm đến cấp đã chỉ ra của các hàm số sau :

1./ y = sin x ( ) y ′′ 2./ y = sin x sin x ( ) y4 3./ y = ( 4 − x )5 ( ) y( )n

4./

x

2

1

y

+

1 x 2

1 y

+

= ( ) y( )n 6./ y = cos2x ( ) y( )n

BT47: Cho hai số A, B thỏa mãn ( )

1 x

B 1 x

A 1 x

5 x x

−

+ +

=

−

1./ Tìm A, B 2./ Tính f( )n ( ) ( x n ∈ N * )

BT48: Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức tương ứng đã chỉ ra :

3./ y = ( x + x2 + 1 )3; ( 1 + x2) y ′′ + y ′ − 9 y = 0 4./ y = sin x ; y( )n = ( ) − 1n 2 n y

5./ y = A sin ( ω t + ϕ ) + B cos ( ω t + ϕ ); y ′′ + ω2y = 0 6./ y = 2 x − x2 ; y3 y ′′ + 1 = 0

BT49: Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm bằng 0 với mọi x :

1./ y = sin6x + cos6x + 3 sin2x cos2x

3

2 cos x 3

2 cos x 3 cos x 3

cos









 π + +











 π − +











 + π +











 − π

=

BT50: Dùng vi phân để tính gần đúng :

BT51 :1./ Tìm giá trị của a để tồn tại hàm số f ( ) x = 4 x3 − x2cos 2 a + x sin 2 a sin 6 a + 2 a − 1 − a2 ( a là hằng số ) Với giá trị của số a đó, hãy xét dấu của 









′

2

1

2./ Tìm giá trị m để đồ thị hàm số y = 4 x3 − x tiếp xúc với đường thẳng y = mx − 1

BT52 : 1./ Cho các hàm số ( )

2 x

1 x f

2

x x g

hàm số đã cho tại giao điểm của chúng Tìm góc giữa hai tiếp tuyến kể trên

2

1

cách đều tiếp điểm và gốc tọa độ

BT53 : Gọi (P) và (P’) lần lượt là đồ thị của hai h/số y = f ( ) x = − x2 − 2 x + 1 và y = g ( ) x = x2 − 2 x + 3

1./ Vẽ đồ thị (P) và (P’) trên cùng một hệ trục tọa độ

2./ Viết phương trình đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (P) tại điểm A đồng thời cũng là tiếp tuyến của (P’) tại điểm B ( đường thẳng (d) nếu có, được gọi là tiếp tuyến chung của (P) và (P’))

=====&&&=====

Định dạng
Số trang	6
Dung lượng	600,5 KB