RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TỪ MỘT BÀI TẬP ĐẠI SỐ CHO HỌC SINH THPT

Phương pháp toạ độ làcông cụ chủ yếu ở chương trình hình học lớp 10 và lớp 12 cho nên việc hướngdẫn học sinh lớp 12 giải bài toán hình học bằng phương pháp này là cần thiết.Ngoài việc gi

LỜI NÓI ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1 Cơ sở lý luận

Trong chương trình toán học ở trường trung học phổ thông, phương pháptoạ độ chiếm một vị trí quan trọng Phương pháp toạ độ được xem là phươngpháp toán học cơ bản và cần thiết, kết hợp với phương pháp tổng hợp ta giảiquyết được các đối tượng trên mặt phẳng và không gian Phương pháp toạ độ làcông cụ chủ yếu ở chương trình hình học lớp 10 và lớp 12 cho nên việc hướngdẫn học sinh lớp 12 giải bài toán hình học bằng phương pháp này là cần thiết.Ngoài việc giúp các em củng cố kiến thức về toạ độ còn giúp các em thấy rõđược ứng dụng to lớn của phương pháp này trong bài toán hình học và là tiền đề

để các em học tốt hơn trong chương trình hình học lớp 12

2.Cơ sở thực tại

Khi dạy Ôn tập chương 3- Hình học 12, tôi có yêu cầu học sinh làm Bài 89,trang 138, sách bài tập hình học 12 nâng cao, các em đã lúng túng và ngạc nhiên

vì đây lại là một bài tập đại số

Thật vậy, nói đến phương pháp toạ độ, mọi người thường hay nghĩ đến cácbài toán của hình học giải tích Thực tế cho thấy nhiều bài toán đại số nếu giảitheo cách nhìn Đại số thì rất khó hoặc phức tạp, nhưng nếu khéo léo chuyểnsang cách nhìn Hình học và vận dụng phương pháp toạ độ vào thì lời giải ngắngọn, dễ hiểu hơn so với các phương pháp khác Sẽ không có nhiều người nghĩrằng phương pháp toạ độ còn cho ta những lời giải hay đối với các bài toán đại

1

số: Giải hệ phương trình giải bất phương trình chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức… Cùng với nhiều phươngpháp khác, phương pháp toạ độ là một trong những phương pháp hữu hiệu đểgiải nhiều bài toán sơ cấp Phương pháp toạ độ dùng để giải quyết các bài toánchứa trong nó “Cái hồn hình học” mà thoạt nhiên ta chưa nhìn thấy nó.

Năm học 2012-2013, tôi được phân công giảng dạy các lớp 12B2, 12B6.Tuy là các lớp ban khoa học tự nhiên, nhưng vẫn còn bộ phận không nhỏ họcsinh tiếp thu bài chậm, kĩ năng làm bài còn kém, tư duy chưa rõ ràng Đặc biệtcác em rất lúng túng khi gặp các bài toán đại số có chứa 3 ẩn số mà số phươngtrình(hoặc điều kiện) liên quan tới ẩn số lại ít Yêu cầu của các bài toán nàythường là: Tìm giá trị của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, cónghiệm hoặc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa 3 biến số Thực tếcho thấy khi các em làm những dạng toán này thường là các em còn lúng túng

và không xét hết các trường hợp của tham số, và còn mắc những sai lầm khôngđáng có Chính vì thế mà mỗi lần lên lớp, bản thân tôi rất trăn trở, làm thế nào

để truyền đạt cho các em dễ hiểu? Dạy cho các em những kĩ năng làm toán cơbản nhất và đặc biệt cần có phương pháp cụ thể cho từng dạng toán để học sinhnắm được bài tốt hơn

Do đó tôi đã mạnh dạn hướng dẫn các em sử dụng phương pháp toạ độtrong không gian vào giải các bài toán Đại số trong chương trình trung học phổthông Đó cũng chính là nhận thức và ý tưởng của tôi khi chọn đề tài:

“KHAI THÁC PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

2

TỪ MỘT BÀI TẬP ĐẠI SỐ TRONG SÁCH HÌNH HỌC.”

II PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

2 Phương pháp điều tra thực tiễn

3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

4 Phương pháp thống kê

III PHẠM VI NGHIÊN CỨU

3

Trong phạm vi đề tài tôi mới chỉ đưa ra: Sử dụng Phương pháp toạ độgiải các bài toán về hệ phương trình 3 ẩn, bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏnhất của biểu thức chứa 3 biến số thông qua một vài ví dụ

sử dụng phương pháp toạ độ trong không gian

Sáng kiến kinh nghiệm có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trong việc dạy và học

Mặc dù đã cố gắng rất nhiều, nhưng các vấn đề đưa ra ít nhiều còn thiếu sót, hạn chế Mong được sự góp ý của các quý thầy cô và bạn đọc

Xin trân trọng cảm ơn!

Hoằng Hoá, tháng 5 năm 2013.

Người viết

Nguyễn Văn Trường

4

NỘI DUNG

Trong hệ trục toạ độ Oxyz

1 Tọa độ của điểm: M x y z ; ;   OM                             xi y j zk                             

, với i (1;0;0); j (0;1;0); k (0;0;1)

Dạng 1: Mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R: x a 2  y b 2 z c 2 R2 (1)

Dạng 2: x2  y2 z2  2ax + 2by + 2cz + d = 0a2 b2 c2  d  0 (2) Khi đó: Mặtcầu tâm I(-a; -b; -c), bán kính R a2 b2 c2  d

7.2.Vị trí tương đối của mặt cầu với đường thẳng:

6

Cho mặt cầu (C) tâm I(a; b; c), bán kính R và đường thẳng  

7.3.Vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng:

Cho mặt cầu (C) tâm I(a; b; c), bán kính R và mặt phẳng

3) d I P ,   R P:   , C tiếp xúc nhau tại điểm H là hình chiếu của I trên(P), (P) gọi là tiếp diện của mặt cầu (C)

7

II SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ

Khi giải bằng phương pháp toạ độ, học sinh cần biết cách phiên dịch yêu

cầu và đề bài của bài toán sang ngôn ngữ toạ độ, sau đó dùng kiến thức toạ độ

để giải toán, cuối cùng là chuyển kết quả từ ngôn ngữ toạ độ sang ngôn ngữhình học Giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh chọn toạ độ véc tơ thích hợp.Bài 1.(Bài tập 89- Ôn tập chương 3 Sách bài tập Hình học 12 nâng cao)

a) Chứng minh: 5x  2 5y  2 5z 2 6 3  với mọi x, y, z ≥ -2/5 và

Trong không gian Oxyz, lấy các điểm A(1; 1; -1), B(-1; 1; 1) và M(x; y; z)Khi đó AB=2 2

Bài 2 Chứng minh rằng: a, b, c  R, ta có: abc(a + b + c)  a4 + b4 + c4

Đường thẳng  qua O và vuông góc với () có phương trình  

2 2

Bài 5.(Trích đề thi vào đại học xây dựng Hà Nội năm 2001).

Cho 3 số x, y, z thoả mãn điều kiện:

Sự có mặt của 3 số x, y, x trong bài toán “gợi” cho ta sử dụng phương pháp toạ

độ Ta xác định hệ toạ độ đề-các vuông góc Oxyz như hình vẽ

12

Ta có min T = OI2 = 3/4 với I là tâm lục giác đều MNPQRS.

Max T đạt được khi H là những điểm M, N, P, Q, R, S của lục giác đềuMNPQRS khi đó: Max T =OM2 mà M(1;0;1/2)  OM2=5/4

Ta có : 0<3/4≤OH2≤5/4<π/2,

Mà trên (0 ; π/2) hàm số cosx nghịch biến nên ta có :

Cos(5/4)≤ cos(x2 + y2 + z2)≤ cos(3/4)

x

y

SA

Hay maxF= cos(3/4) khi H là tâm của lục giác đều MNPQRS tức x= y= z= 1/2 minF= cos(5/4) khi H trùng với một trong các đỉnh của lục giác đềuMNPQRS, chẳng hạn H≡M tức x= 1, y= 0, z= 1/2

Việc định hướng phân tích như trên phục vụ cho việc giải bài tập này cholớp 12 nhằm nêu bật ứng dụng của hình học trong Đại số

Không chỉ sử dụng trong việc giải bất phương trình hay chứng minh bấtđẳng thức, mà trong những bài toán giải hệ nhiều ẩn, nếu ta khéo léo chọn véc tơhay chọn mặt phẳng và mặt cầu, ta sẽ đưa bài toán về xét sự tương giao của mặtcầu với mặt phẳng hoặc đường thẳng

Bài 6 Giải hệ phương trình:

Giải Ở bài này nếu từ (2) và (3) rút y, z theo x rồi thế vào(1) tìm được x, từ đó

suy ra y, z cũng là một cách giải Tuy nhiên nếu ta xem (1) là phương trình mặt cầu, (2) và (3) là phương trình các mặt phẳng thì hệ gồm phương trình (2) và (3) là phương trình của đường thẳng giao tuyến của 2 mặt phẳng Khi đó:

Nghiệm của hệ là tọa độ giao điểm của:

Mặt cầu (S): 2 2 2

x y z  x y z và đường thẳng = (P)∩(Q) với (P): 3x+ 2y- 2z- 8= 0 và (Q): 3x+ 3y- 4z- 12= 0

 qua M(0; 4; 0) và có VTCP u = (-2; 6; 3)

14

  có phương trình tham số:  

2

4 6 3

t t

Nghiệm của hệ phương trình (nếu có) là toạ độ điểm chung của:

Mặt cầu (S):x2 y2 z2  6x 2y 2z  2 0, (S) có tâm I(3; -1; 1) bán kính R = 3

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất ( x = 2; y = -3; z = -1)

Bình luận: Gặp hệ này ít khi học sinh rút thế bởi vì sẽ còn 2 ẩn, và cách làm hình học trên rõ ràng đã giải quyết đơn giản bài toán, cũng với cách

làm này ta còn có thể chứng minh hệ vô nghiệm.

Bài 8 Chứng minh rằng hệ phương trình sau vô nghiệm:

Vậy hệ vô nghiệm

Bài 9.Giải hệ phương trình:

Giải Ở bài này nếu học sinh biến đổi tương đương và kết hợp với phương

pháp thế thì cũng giải được, xong lời giải sẽ dài

Nếu nhìn (1) là phương trình mặt phẳng, (2) là phương trình mặt cầu thì ta

có cách giải 1 dưới đây

dễ thấy nghiệm đó là x = y = z = 1 và nghiệm này cũng thỏa (3)

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x = y = z = 1

Nếu nhìn (2) dưới góc độ bình phương độ dài của véctơ, (1) là tích vô hướng của 2 véctơ, ta có cách giải 2

Bài 10 Tìm m để phương trình sau có đúng một nghiệm:

Giải Rõ ràng nếu ta dùng phương pháp thế thì vẫn còn tới 2 ẩn số, hoặc nếu ta

sử dụng bất đẳng thức để đánh giá ở phương trình (2) thì lời giải vẫn chưa cụ thể

Nhưng nếu để ý, phương trình (1) là phương trình của mặt cầu, phương trình (2)

là phương trình mặt phẳng thì ta thấy rằng:

Nghiệm của hệ phương trình (nếu có) là tọa độ của giao điểm chung giữa

mặt cầu (S): x2 y2 z2  1, (S) có tâm O(0; 0; 0) bán kính R = 1

giá trị của tham số t tương ứng với điểm chung của (1) và  là t = 1

Mục đích thực nghiệm là để kiểm chứng khả năng sử dụng phương pháp

toạ độ vào giải một số bài toán Đại số như hệ phương trình, bất đẳng thức…

19

3 Nội dung thực nghiệm

Đề kiểm tra (thời gian 30 phút)

Bài 1.Giải hệ phương trình

111

Đề kiểm tra như trên là không quá khó và cũng không quá dễ so với trình

độ học sinh Có thể nói với mức độ đề như trên thì sẽ phân hóa được trình độ của

20

học sinh, đồng thời cũng đưa ra cho giáo viên sự đánh giá chính xác về mức độnắm kiến thức của học sinh

Hướng dẫn: Bài 1 Xét hai véc tơ 2 2 2

1cos( , )

Kết quả làm bài kiểm tra của học sinh lớp thực nghiệm (TN) và học sinh lớpđối chứng (ĐC) được thể hiện thông qua bảng sau:

Năm

học

Lớp

Tổng số

Điểm 8 trở lên Điểm từ 5 đến 8 Điểm dưới 5

Số lượng

Tỷ lệ

Số lượng

Tỷ lệ

Số lượng

Tỷ lệ2012-

1 Kết quả nghiên cứu

1.1.Đối với học sinh

Trên đây là những kinh nghiệm mà tôi đúc rút được trong quá trình giảng dạy Toán lớp 12 tại trường THPT Hoằng Hoá 4

Hệ phương trình nhiều ẩn, hệ phương trình có chứa tham số hoặc bài toán min-max là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình môn toán THPT nói chung và trong việc ôn thi Đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi nói

riêng Nhưng đối với học sinh lại là một mảng tương đối khó, đây cũng là phần nhiều thầy cô giáo quan tâm

22

Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học giảng dạy lớp 12,

được học sinh đồng tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng giải hệ phương trình, hệ phương trình chứa tham số và bài toán min-max Các em hứng thú họctập hơn, ở những lớp có hướng dẫn kỹ các em học sinh với mức học trung bình khá trở lên đã có kỹ năng giải các bài tập

Ngoài việc sử dụng phương pháp toạ độ trong không gian trong giải toán Đại

số, tôi còn khuyến khích động viên học sinh tìm tòi việc sử dụng phương pháp toạ độ trong mặt phẳng giải các bài toán về hệ phương trình, bất phương trình, giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức 2 biến

1.2.Đối với giáo viên

- Sáng kiến kinh nghiệm này có thể xem là tài liệu tham khảo cho giáo viên

2.Kiến nghị đề xuất.

2.1.Đối với tổ nhóm chuyên môn nhà trường

- Các tổ chuyên môn nên tăng cường trình bày các chuyên đề trong chương trình bộ môn

- Nhà trường nên tổ chức thêm các buổi trao đổi kinh nghiệm học tập và

giảng dạy

2.2.Đối với Sở giáo dục và đào tạo

Nên giới thiệu phổ biến về các trường phổ thông các sáng kiến kinh

nghiệm có chất lượng để cùng nhau trao đổi và áp dụng thực tế

23

Cuối cùng, tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ toán nhà trường đã góp các ý kiến bổ ích cho bài viết, cảm ơn ban giám hiệu đã tạo điều kiện cho bài viết có chất lượng hơn.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hoá, ngày 15 tháng 05 năm 2013

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác

25