Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail: hungtetieu1978@gmail.com I.ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài: Bồi dưỡng nhân tài, phát triển nguồn nhân lực nhiệm vụ vô quan trọng mà Đảng Nhà nước giao cho ngành Giáo dục Vì lẽ Bộ Giáo dục & Đào Tạo nói chung, trường THPT nói riêng ln quan tâm đến việc phát hiện, bồi dưỡng học sinh khá, giỏi Trong năm gần số lượng chất lượng giải kì thi học sinh giỏi ngày tăng kết đầu tư, quan tâm cấp quản lí giáo dục Đối với mơn Tốn, mơn học quan trọng việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi xem trọng Chủ đề “Bất đẳng thức” nội dung thiếu việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi Trong kì Đại học – Cao Đẳng, nội dung bất đẳng thức thường nội dung giúp phân loại, chọn lựa học sinh khá, giỏi Đối với hầu hết giáo viên học sinh THPT xem “Bất đẳng thức” nội dung khó dạy, khó học Tuy nhiên học sinh học tốt chủ đề “Bất đẳng thức” phát huy tốt khả tư sáng tạo từ học tốt chủ đề khác, môn học khác Thực tiễn qua q trình dạy học tơi nhận thấy nhiều học sinh khơng thích học chủ đề “Bất đẳng thức” chủ yếu chưa có phương pháp học tập phù hợp cộng với tâm lý ngại sợ học nội dung Bất đẳng thức Bunhiacopxki bất đẳng thức kinh điển Toán học Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki công cụ hay, hữu hiệu để giải nhiều toán liên quan đến bất đẳng thức Học sinh THPT thường yếu kĩ vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki nên việc tăng cường rèn luyện kĩ vận dụng bất đẳng thức cho học sinh việc làm thiết thực Những lí nêu với kết tích cực từ thực tiễn dạy học chủ đề “Bất đẳng thức” thân sở để chọn đề tài nghiên cứu: “Một số phương pháp giúp học sinh vận dụng tốt bất đẳng thức Bunhiacôpxki giải toán” Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail: hungtetieu1978@gmail.com II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Cơ sở lí luận đề tài a Các tính chất bất đẳng thức 1/ a > b b > c ⇒ a > c 2/ a > b ⇒ a + c > b +c Hệ quả: a > b + c ⇔ a - c > b 3/ a > b c > d ⇒ a + c > b + d 4/ a > b ⇔ ac > bc ( c > ); ac < bc ( c < ) 5/ a > b > bà c > d > ⇒ ac > bd 6/ a > b > 0, n nguyên dương ⇒ a n > b n 7/ a > b > 0, n nguyên dương ⇒ n a > nb Hệ quả: a > b ≥ 0: a ≥ b ⇔ a ≥ b ⇔ a ≥ b a 8/ a > b, ab > ⇒ < b 9/ + a > 1, m n nguyên dương, m > n ⇒ a m > a n + < a < 1, m n nguyên dương, m > n ⇒ a m < a n b Bất đẳng thức Bunhiacopxki * Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng đơn giản Cho số thực a, b, c, d ta có bất đẳng thức: (ab + cd ) ≤ ( a + c )(b + d ) (1) Dấu “=” xảy ad = bc * Bất đẳng thức Bunhiacopxki với hai dãy số không âm Cho hai dãy số thực a1,a2,…an b1,b2,…bn ta có: (a1b1+ a2b2 + …+ anbn)2 ≤ (a12 +a22 + …+ an2)(b12 +b22 + …+bn2) (2) a a a n Dấu xẩy ⇔ b = b = = b (với quy ước mẫu tử 0) n c Bất đẳng thức Bunhiacovski mở rộng: Cho m dãy số thực, dãy có n phần tử: Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail: hungtetieu1978@gmail.com a , a , , a   b , b , , b   n n  c1, c2 , , cn  m dãy Khi ta có bất đẳng thức sau: ( a1b1 c1 + a2 b2 c2 + + an bn cn ) m ≤ (a m + a2 + + an ) (b1 + b2 + + bn ) … (c + c m m m m m m m m + + cn ) (3) Dấu đẳng thức xẩy khi: a1: b1:…:c1 = a2: b2:…: c2 =…= an: bn:…: cn Nhận xét: Bằng cách cho m;n giá trị cụ thể ta thu được: + Với m=2; n=2 thì: ( a1b1 + a2 b2) ≤ (a12 + a2) (b12 + b2) 2 Dạng (1) + m=2; n∈ N n>2 ta có bất đẳng thức: ( a1b1 + a2 b2 + + an bn ) ≤ (a12 + a2 + + a2 ) (b12 + b2 + + b2 ) n n ⇒ Dạng (2) + m=3; n=3 ta có: ( a1b1 c1 + a2 b2 c2 + a3 b3 c3) ≤ (a13 + a3 + a3) (b13 + b3 + b3) (c13 + c3 + c3) 3 (4) ………………………………… Thực trạng đề tài: Qua trình thực tiễn dạy học tơi nhận thấy dạy học chủ đề “Bất đẳng thức” nói chung, dạy học bất đẳng thức Bunhiacopxki nói riêng có thực trạng sau: + Đa số học sinh ngại chí “sợ” giải tốn bất đẳng thức Từ tâm lý ngại sợ dẫn đến tình trạng học sinh không tâm học chủ đề Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail: hungtetieu1978@gmail.com “ Bất đẳng thức”, nhiều học sinh gặp toán bất đẳng thức bỏ, khơng chịu tư để giải tốn + Việc áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki học sinh đa số dừng lại mức nhận biết, học sinh thục kỹ sáng tạo vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki vào giải tốn + Nhiều thầy giáo chưa thực quan tâm đầu tư dạy học chủ đề “Bất đẳng thức” nói chung, dạy học bất đẳng thức Bunhiacopxki nói riêng + Bất đẳng thức Bunhiacopxki khơng dạy chương trình SGK, giới thiệu dạng đơn giản (dạng (1)) số tiết theo phân phối chương trình dành cho chủ đề “ Bất đẳng thức” nên ảnh hưởng khơng nhỏ đến việc dạy học chủ đề + Chủ đề “ Bất đẳng thức” thường dành ưu tiên đề bồi dưỡng học sinh khá, giỏi nên khó để giáo viên tổ chức dạy học lớp có nhiều đối tượng học sinh 3.Giải pháp tổ chức thực Khi dạy học chủ đề “bất đẳng thức” cho học sinh tơi dành phần thời lượng chương trình để tập trung rèn luyện kĩ vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho học sinh Tùy theo lực học sinh tập thể học sinh để chuẩn bị giáo án phù hợp Các tập để học sinh vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki tơi soạn theo mức là: Mức độ 1: Dành cho học sinh đại trà, học sinh Các tập chủ yếu dừng mức độ nhận biết, giúp học sinh bước đầu biết cách vận dụng lí thuyết để giải tập Mức độ 2: Dành cho học sinh khá, giỏi Các tập mức thông hiểu, để giải tập học sinh việc phải nắm trắc kiến thức phải biết linh hoạt sử dụng nhiều kiến thức, kĩ toán học khác Mức độ 3: Dành cho học sinh giỏi Các tập mức cao đòi hỏi học sinh phải phát huy tốt tư toán học, để giải tập kiến Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail: hungtetieu1978@gmail.com thức toán học vững vàng học sinh thường phải sử dụng nhiều hoạt động toán học phán đoán, phân tích, biến đổi, so sánh, tổng hợp, khái quát… Với mức độ tập áp dụng vào thực tiễn dạy học thông qua giải pháp cụ thể sau: 3.1.Giải pháp 1: Rèn luyện kĩ vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki chứng minh bất đẳng thức: Ví dụ 1: Bài tập mức độ Cho số dương a, b, c với a, b ≤ c Chứng minh: a (c − b ) + b (c − a ) ≤ c Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ( dạng (1)) cho số ( a ; c − a ) ( c − b ; b ) ta có: ( a(c − b) + b(c − a) ) ≤ c ⇒ đpcm Ví dụ 2: Bài tập mức độ ( Đề thi ĐH - CĐ khối A - năm 2003) Cho x, y, z > thỏa : x + y + z P= x2 + ≤ Cmr: 1 + y2 + + z2 + ≥ x2 y z 82 Lời giải: x Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho số ( x; ) (1; 9) ta có: ( x + ) ≤ 82.( x + ) tương tự ta có: x x 9 ( y + ) ≤ 82.( y + ) ; ( z + ) ≤ 82.( z + ) Cộng vế với vế ta được: y y z z P 82 ≥ 9 1 + + + x+ y+ z ≥ 81( x + y + z ) + 9( + + ) − 80( x + y + z ) ≥ x y z x y z 1 2.9.3 ( x + y + z )( + + ) − 80 ≥ 162 - 80 = 82 ⇒ đpcm x y z Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail: hungtetieu1978@gmail.com Ví dụ 3: Bài tập mức độ a Cho a;b;c ba số dương Chứng minh rằng: b a b c + + ≥1 b + 2c c + 2a a + 2b Cho a;b;c>0;m nguyên dương p;q>0 ( a + b + c ) m−1 am bm cm + + ≥ Chứng minh rằng: N = pb + qc pc + qa pa + qb ( p + q ).3 m−2 Lời giải: a Áp dụng bất đẳng thức (4) Ta có (a+b+c) = (3 a b c a(b + 2c) a + b(c + 2a ) b + c( a + 2b) c ) b + 2c c + 2a a + 2b ≤( a b c + + ) (ab+2ac+bc+2ab+ac+2bc).(a+b+c) b + 2c c + 2a a + 2b Chia hai vế cho: 3(ab+bc+ac).(a+b+c) , ta được: a b c (a + b + c) + + ≥ b + 2c c + 2a a + 2b 3( ab + bc + ac) Hiển nhiên ta có : (a+b+c) ≥ 3( ab + bc + ac) đó: (a + b + c) ≥1 3(ab + bc + ac) Từ suy ra: a b c + + ≥1 b + 2c c + 2a a + 2b (đpcm) Dấu xảy khi: a=b=c Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail: hungtetieu1978@gmail.com Sau cho học sinh giải tập giáo viên nên đặt câu hỏi, dẫn dắt để học sinh hiểu bất đẳng thức câu b thực chất bất đẳng thức tổng quát bất đẳng thức chứng minh ý a b Ta có: (a+b+c) m = m   a b c m pb + qc1.1 + m pc + qa1.1 + m pa + qb1.1 1 ≤       m pb + qc m pc + qa m pa + qb  m− m−2 m−2  N ( pb + qc + pc + qa + pa + qb )( + 1 1) ( + + 1)  +   m− Suy ra: (a+b+c) m ≤ N ( p + q ) ( a + b + c ).3 m−2 Cho nên: ( a + b + c ) m−1 N≥ ( p + q ).3m−2 mà a+b+c > (đpcm) Dấu xẩy khi: a = b = c Nhận xét: Việc tham số hố trở lại thích hợp ta có loại toán mới: m =1;p=1;q=1: a b c ≥ + + b+c c+a a+b m=1; p = 1; q = 2: a b c ≥1 + + b + 2c c + 2a a + 2b m =3; p = 2; q = : abc a 4b 2ab + + b 4c 2bc + + c4a 2ca + (a + b + c) abc ≥ 2abc + p=q=1;m∈ N ∗: am bm cm a+b+c + + ≥   b+c c+a a+b   m −1 Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail: hungtetieu1978@gmail.com Ví dụ : Bài tập mức độ a Cho a,b,c >0 CMR: a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ b+c c+a a+b b Cho a,b,c>0 k1 , k , k tham số dương a2 b2 c2 (a + b + c) + + ≥ b + k1c c + k a a + k 3b (1 + k ) a + (1 + k )b + (1 + k1 )c CMR: Lời giải: a Ta có: ( a + b + c) 2 b c  a  = b+c + c+a + a + b ≤ c+a a+b  b+c  a2 b2 c2 ≤( + + ) (b+c+c+a+a+b) c+a a+b b+c a+b+c a2 b2 c2 ≥ Hay + + b+ c c+a a+b (đpcm) Nhận xét:  Bất đẳng thức chứng minh nhiều cách  Tham số hoá bất đẳng thức câu a ta tốn tổng qt bất đẳng thức câu b b ( a + b + c)   a b c = b + k1c + c + k2a + a + k 3b  ≤ c + k2a a + k 3b  b + k1c    Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail: hungtetieu1978@gmail.com ≤ ( a2 b2 c2 + + ).(a + b + c + k1c + k a + k 3b) b + k1c c + k a a + k 3b Suy (a+b+c) ≤ a2 b2 c2 ( + + ).( (1 + k )a + (1 + k )b + (1 + k1 )c ) b + k1c c + k a a + k 3b Vậy a2 b2 c2 (a + b + c) + + ≥ b + k1c c + k a a + k 3b (1 + k ) a + (1 + k )b + (1 + k1 )c (đpcm) a = b = c Dấu xảy khi:  k1 = k = k 3.2.Giải pháp 2: Rèn luyện kĩ vận dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki giải tốn tìm min, max ; tìm giá trị nhỏ (GTNN), giá trị lớn (GTLN) Ví dụ 5: a Bài tập mức độ Cho a; b > a+b= + Tìm Min biểu thức: S = 4a b b Bài tập mức độ Cho a;b>0; a-b=1 X;Y>0; X+Y= a b ≥a Chứng minh rằng: + b X bY Lời giải: a Do a;b > nên áp dụng bất đẳng thức (1) cho dãy: a ; b a; b ta được: Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail: hungtetieu1978@gmail.com 25   a+ b  ≤ ( + )(a+b) = 4a b 2 a b  25 ≤( + ) 4a b 4 Hay: Suy ra: S= (vì a+b = ) 4 + ≥5 4a b  : a= : b 2 a b    a = ⇔ Dấu xẩy khi: a + b =  b =  a; b >   Vậy MinS = a = ;b=1 b Vận dụng bất đẳng thức (1) cho dãy: ; bY (1 + b ) =    bY  b Hay: Suy ra: (1 + b ) b b Y ; X Y+ b X b   + ( X + Y ) X ≤    bY X   b a  +  ≤   bY X  b b + ≥a X bY ta được: X (do a=1+b) (đpcm) 10 Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail: hungtetieu1978@gmail.com  : Y =  bY   a Dấu xẩy khi:  X + Y = b   X ;Y >   b : X X X =  ⇔ Y = b  Ví dụ : Bài tập mức độ Cho x>1;y>2 x+y= Lời giải: Ta có x+y= 25 Tìm giá trị nhỏ S = + 6( x − 1) y − 25 ⇒ (x-1)+(y-2)= x>1;y>2 nên x-1>0;y-2>0 6 Áp dụng bất đẳng thức(1) cho dãy: ; x − 1; y − 6( x − 1) y − ta được: 49  =  6( x − 1)  Hay x −1 + 49 ≤ S 6 y−2    y − 2 ≤   6( x − 1) + y − ( ( x − 1) + ( y − 2) )      ⇒S ≥7  x −1 y −2 =   25  x = ⇔ Dấu “=” xẩy :  x + y =  y =   x > 1; y >   Vậy MinS=7 x= ;y=3 11 Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail: hungtetieu1978@gmail.com 3.3.Giải pháp 3: Rèn luyện kĩ vận dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình Ví dụ : Bài tập mức độ Giải phương trình: x − + − x = x − 12 x + 14 Lời giải : Giải phương trình: x − + − x = x − 12 x + 14 ⇔ 2x − + − 2x = 3( x − 2) + 2 2 x − ≥ ⇔ 1,5 ≤ x ≤ 2,5 ĐK:  5 − x ≥ Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki cho hai số không âm (1:1) ( x − : − 2x ) ta có: ( 2x − + − 2x ⇒ ) ( ) ( ≤ 12 + 12    2x − + − 2x ≤ 2x − + ) − x  ≤ 2.2 =   Do x − + − x > Dấu “=” xảy ⇔ x − = − x 3( x − 2) + ≥ ) ( ⇔ x=2 dấu”=” xẩy ⇔ x = Vậy pt có nghiệm x = Ví dụ : Bài tập mức độ Giải phương trình: Lời giải: x − + x + = 2( x − 3) + x − x − + x + = 2( x − 3)2 + x − (i) 12 Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail: hungtetieu1978@gmail.com Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho số không âm ( x − ; x – 3) (1 ; 1) ( ta có: ( ) x − + x − 3) ≤ x − + x − ≤ ( 12 + 12 ) ( x − 1) + ( x − 3)    2( x − 1) + 2( x − 3) (ii) x −1 = x − (i)và (ii) xảy khi: ⇔ x2 – 6x + = x – ⇔ x2 – 7x + 10 = ⇔ x=2 x = x = không thoả mãn; x = thoả mãn S = { 5} Ví dụ : Bài tập mức độ Giải phương trình: x Lời giải: x 4 − x − = x − x3 − x − = x − x3 ⇔ x − x − = x ( x − 1) Đ K : x4 ≤ Vì x = khơng phải nghiệm nên phương trình ⇔ Ta có: + x2 ≥ 2 x dấu “=” xảy ⇔ x = x2 − x4 + x = ⇔ x2 = 1 + x2 x (i) Mặt khác: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: ( ( ) − x + x ≤ (12 + 12 ) ( − x + x ) ⇔ 4 ⇒ 2− x + x 4 ) ≤4 − x2 + x ≤ ( 2− x + x ) ≤ 4.2 ( − x + x ) = 16 (ii) 16 = Dấu “=” xảy khi x = Từ (i) (ii) suy phương trình có nghiệm x = 13 Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail: hungtetieu1978@gmail.com Ví dụ 10 Bài tập mức độ Giải phương trình − x + + x + − x = Giải: Đk : -1 x Theo bât đẳng thc Cô-si ta có: − x = (1 − x)(1 + x) 1.(1 + x) − x = 1.(1 − x) ≤ ≤ 1− x 1+ 1+ x ≤ + 1+ x (i) 1+ x = (ii) 1+ 1− x (iii) Tõ (i),(ii),vµ(iii) áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta cã : 1− x2 + 1+ x + − x ≤ 1+ + x + − x ≤ DÊu “=” xÈy vµ chØ : + x = − x = x=o Kiểm tra lại ta thấy x=0 nghiệm phơng trình 3.4.Gii phỏp 4: Rốn luyn k nng vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki giải số tốn hình học Ví dụ 11: Bài tập mức độ x2 y2 Cho elip (E) : + = điểm M, N chuyển động tia 16 Ox, Oy cho MN tiếp xúc với (E) Xác định tọa độ M, N để đoạn MN có độ dài nhỏ Tìm giá trị nhỏ Lời giải : Phương trình tiếp tuyến điểm M ( x0 ; y ) ∈ ( E ) Suy tọa độ M, N M ( x.x0 y y + =1 16 9 16 ;0) N (0; ) x0 y0 2 2 16 x0 y0 (16 + ) ⇒ MN = + = ( + ) 2 x0 y0 x0 y0 16 14 Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail: hungtetieu1978@gmail.com Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki (dạng (1)) ta có : MN ≥ (4 + 3) = 49 Khi MN đạt GTNN với M (2 ;0) N (0; 21) Ví dụ 12 : Bài tập mức độ a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh : A = a b c + + ≥1 2b + 2c − a 2c + 2a − b 2a + 2b − c Lời giải : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho số không âm a ; 2b + 2c − a b ; 2c + a − b b(2c + 2a − b) ; c 2a + 2b − c a (2b + 2c − a ) ; c(2a + 2b − c) ta có : A.(4ab + 4bc + 4ca − a − b − c ) ≥ (a + b + c) Bằng biến đổi tương đương dễ dàng chứng minh : (a + b + c) ≥ ⇒ A ≥ , dấu “=” xảy tam giác 4ab + 4bc + 4ca − a − b − c ABC tam giác Ví dụ 13: Bài tập mức độ Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác ABC.Gọi S; r diện tích bán kính đường trịn nội tiếp tam giác Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 S ≥   b+c c+a a+b  r  15 Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail: hungtetieu1978@gmail.com Lời giải: Gọi p nửa chu vi tam giác p= S = p.r ⇒ p = Ta có: S r ⇒ a+b+c S a+b+c = r Khi bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: a3 b3 c3 a+b+c + + ≥   b+c c+a a+b   c3 a3 b3 + + ≥ ( a + b + c ) (*) b+c c+a a+b Hay Như ta chuyển tốn hình học sang tốn chứng minh bất đẳng thức, bất đẳng (*) chứng minh sau: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki dạng (4) ta có:  a  b c 3 b + c + c + a + a + b 1 ≤   c+a a+b  b+c  (a + b + c) = a3 b3 c3 ≤( + + ).(b + c + c + a + a + b).3 b+c c+a a+b ⇔ a3 b3 c3 ⇔ ( a + b + c ) ≤ 6.( + + ).(a + b + c) b+c c+a a+b ⇔ a3 + b3 + c3 ≥ ( a + b + c ) ( (*) chứng minh) b+c c+a a+b DÊu b»ng xÈy vµ chØ khi: a = b = c hay tam giác ABC tam giác Từ dó suy điều phải chứng minh 16 Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail: hungtetieu1978@gmail.com 3.5.Một số tập áp dụng Bài tập 1: Giải phương trình: 6x − = + x − x2 x − 1− x x − + x − =x2 - 10x + 27 Bài tập 2: Bài tập 3: 6 x − xy + x = − y  Giải hệ phương trình:  2 x + y =  Bài tập : Cho x>2;y>3 x+y= Tìm Min P= Bài tập 5: 43 y − + 49( x − 2) 7( x − 2)( y − 3) Cho a;b;c > a+b+c=1 CMR: Bài tập 6: a b c + + ≥1 1+ b − a 1+ c − b 1+ a − c Cho a;b;c>0 CMR : Bài tập 7: a 3b ab + + b 3c bc + + c3a ca + ≥ abc(a + b + c) abc + Cho a;b;c độ dài ba cạnh tam giác.Gọi R;r bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp tam giác CMR Bài tập 8: c3  abc  a3 b3 + + ≥   b + c c + a a + b 24  R.r  Cho a;b;c>0 17 Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail: hungtetieu1978@gmail.com CMR: a a + 8bc + b b + 8ac + c c + 8ab ≥1 (Đề thi ÔLympic ) Kết thực nghiệm đề tài Năm học 2012 – 2013 áp dụng giải pháp nêu đề tài vào thực tiễn dạy học, cụ thể lớp 10 A3 – Trường THPT Yên Định nội dung: Chủ đề tự chọn ( Ôn tập bất đẳng thức) Đồng thời với nội dung dạy học đối chứng lớp 10 A7 – Trường THPT Yên Định ( lớp 10 A7 lớp 10 A3 học theo chương trình bản, có lực học tương đương nhau) , lớp dạy học đối chứng không sử dụng giải pháp nêu đề tài Sau nội dung ôn tập cho lớp làm kiểm tra ( nội dung chủ đề “Bất đẳng thức”) kết thống kế sau: Lớp Sĩ 10 số 48 A3 10 A7 45 Giỏi SL 15 % Khá SL 31,2 13,3 % Trung bình SL % Yếu SL % Kém SL % 25 52, 16,7 0 0 10 22, 24 53,3 11, 0 2 Những kết với kết định tính thăm dị, điều tra từ học sinh mạnh dạn khẳng định giải pháp mà đề tài đưa hồn tồn khả thi áp dụng hiệu trình dạy học nói chung, bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng III.KẾT LUẬN 18 Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail: hungtetieu1978@gmail.com Từ kinh nghiệm thực tiễn thân q trình dạy học, giúp đỡ đồng nghiệp, thơng qua việc nghiên cứu tài liệu có liên quan đề tài hoàn thành đạt kết sau đây: + Đề tài nêu lên thực trạng việc dạy học chủ đề “Bất đẳng thức” + Đề tài đề xuất số giải pháp thiết thực việc rèn luyện kĩ vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho học sinh khá, giỏi + Đề tài nêu ví dụ minh chứng điển hình cho giải pháp + Đã đưa số tập áp dụng theo mức độ khó, dễ khác phù hợp với nhiều đối tượng học sinh Mặc dù nhiều cố gắng xong thiếu xót, hạn chế đề tài tránh khỏi mong nhận góp ý thầy giáo, bạn đồng nghiệp Những góp ý sở để tơi hồn thiện đề tài nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn! Xác nhận thủ trưởng đơn vị ……………………………………… Thanh Hóa, ngày 16/05/2013 Tơi xin cam đoan SKKN ……………………………………… viết, không chép nội dung ……………………………………… người khác ……………………………………… Người thực Trịnh Hữu Thực 19 Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail: hungtetieu1978@gmail.com TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học môn Toán, Nxb Đại học sư phạm Phạm Kim Hùng (2008), Sáng tạo bất đẳng thức, Nxb Hà Nội Pơlya G (1976), Tốn học suy luận có lý, Nxb Giáo dục Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng (2007), Đại số 10 nâng cao, Nxb Giáo dục Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Tạ Mân (2007), Hình học 10 nâng cao, Nxb Giáo dục Trần Văn Hạo, Chuyên đề luyện thi đại học - Bất đẳng thức, Nxb Giáo dục Trần Phương, Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Quốc Anh, Vẻ đẹp bất đẳng thức, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội 20 Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail: hungtetieu1978@gmail.com MỤC LỤC I PHẦN MỞ ĐẦU: Lí chọn đề tài Trang 01 II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Cơ sở lí luận đề tài Thực trạng đề tài Giải pháp tổ chức thực 3.1 Giải pháp 1: Rèn luyện kĩ vận dụng bất đẳng thức 01 01 03 03 03 Bunhiacơpxki chứng bất đẳng thức 3.1 Giải pháp 2: Rèn luyện kĩ vận dụng bất đẳng thức 07 Bunhiacơpxki giải tốn tìm min, mác; tìm GTNN, GTLN 3.1 Giải pháp 3: Rèn luyện kĩ vận dụng bất đẳng thức 09 Bunhiacôpxki để giải phương trình… 3.4 Giải pháp 4: Rèn luyện kĩ vận dụng bất đẳng thức 11 Bunhiacôpxki giải số tập hình học 3.5 Một số tập áp dụng Kết thực nghiệm đề tài 13 14 21 Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail: hungtetieu1978@gmail.com III KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Tài liệu tham khảo 15 16 22 Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail: hungtetieu1978@gmail.com 23 Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail: hungtetieu1978@gmail.com 24 ... tượng học sinh 3 .Giải pháp tổ chức thực Khi dạy học chủ đề ? ?bất đẳng thức? ?? cho học sinh dành phần thời lượng chương trình để tập trung rèn luyện kĩ vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho học sinh. .. thực tiễn dạy học nhận thấy dạy học chủ đề ? ?Bất đẳng thức? ?? nói chung, dạy học bất đẳng thức Bunhiacopxki nói riêng có thực trạng sau: + Đa số học sinh ngại chí “sợ” giải toán bất đẳng thức Từ tâm... luyện kĩ vận dụng bất đẳng thức 07 Bunhiacơpxki giải tốn tìm min, mác; tìm GTNN, GTLN 3.1 Giải pháp 3: Rèn luyện kĩ vận dụng bất đẳng thức 09 Bunhiacơpxki để giải phương trình… 3.4 Giải pháp 4: