Một số kinh nghiêm giúp học sinh giải một số dạng bài toán phương trình lượng giác ở trường THPT

Trong chương trình giáo dục bộ môn toán đóng một vai trò hết sức quantrọng, góp một phần không nhỏ trong giáo dục và phát triển trí tuệ của học sinh,giúp học sinh phát triển tư duy sáng

A.ĐẶT VẤN ĐỀ

Thực hiện chủ đề năm học : “ Tiếp tục đổi mới quản lý và nâng cao chất lượng

giáo dục” và mỗi Thầy cô giáo là một tấm gương sáng tự học và sáng tạo.Do đó

bản thân mỗi Thầy cô giáo cần cố gắng về chuyên môn , nghiệp vụ sư phạm để

có những bài giảng hay, truyền đạt kiến thức, kỹ năng cho đối tượng học sinh

mà mình phụ trách.Muốn làm được điều đó cần đúc rút kinh nghiệp giảng dạycủa mình sau từng mục, từng tiết dạy, bài dạy để ngày càng nâng cao chất lượnggiáo dục

Nhiệm vụ của ngành giáo dục và đào tạo là : Đào tạo thế hệ trẻ có đủ phẩmchất năng lực, giáo dục phát triển toàn diện trí,thể,mỹ Đào tạo nguồn nhân lực

có trình độ tay nghề cao phục vụ đắc lực cho công cuộc xây dựng và bảo vệ Tổquốc xã hội chủ nghĩa trong thời kỳ công nghiệp hoá- hiện đại hoá đất nước Trong chương trình giáo dục bộ môn toán đóng một vai trò hết sức quantrọng, góp một phần không nhỏ trong giáo dục và phát triển trí tuệ của học sinh,giúp học sinh phát triển tư duy sáng tạo,lôgíc, trực quan, thấy được ứng dụngcủa toán học trong cuộc sống.Toán học có rất nhiều phân môn, lĩnh vực khácnhau, mỗi lĩnh vực có một vai trò và tầm quan trọng riêng, có những đặc trưngriêng biệt Cũng như các vấn đề khác của toán học thì mảng kiến thức vềphương trình ,và bất phương trình có chứa tham số cũng có vai trò hết sức quantrọng trong việc phát huy tư duy sáng tạo và lôgíc của học sinh Người thầy phảicung cấp cho học sinh những kiến thức phổ thông mà còn phải trang bị cho các

em những kỹ năng cơ bản cần thiết Để làm tốt điều này mỗi người thầy phải tựhọc tập nâng cao trình độ chuyên môn và nghiệp vụ sư phạm, đúc kết nhữngkinh nghiệm giảng dạy,từ đó góp phần truyền đạt kiến thức cho học sinh mộtcách hiệu quả nhất, để mỗi tiết học là một niềm đam mê khám phá tri thức đốivới mỗi học sinh

B.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ

Trong nhà trường THPT bộ môn toán đóng vai trò hết sức quan trọng, nếunhư học sinh học tốt bộ môn toán thì có thể học tốt các bộ môn khác.Là mộtmôn học yêu cầu học sinh phải có tư duy lôgíc sáng tạo, phát hiện và giải quyếtvấn đề một cách triệt để.Học sinh phải biết vận dụng lý thuyết vào thực hànhgiải toán Thành công sau mỗi tiết dạy là học sinh có thể vận dụng tốt lý thuyết

để giải một bài toán một cách chính xác khoa học Thực trạng giảng dạy bộ môntoán ở trường THPT thì tất cả các khối lớp đều học bộ môn Toán, là một mônhết sức chủ đạo chiếm một thời lượng nhiều trong phân phối chương trình.Đểhọc tốt bộ môn Toán thì học sinh phải nắm vững những kiến thức cơ bản, và có

kỹ năng cần thiết Các em học sinh không nắm vững kiến thức, kỹ năng dẫn đếnmất gốc gây nên tình trạng chán học, do đó cần khơi dạy niềm đam mê học bộmôn Toán của học sinh là việc làm hết sức cần thiết

Phương trình,bất phương trình có chứa tham số là một mảng kiến thức quan

trọng trong chương trình toán học phổ thông, nó thường gặp trong các kì thi

tuyển sinh đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏi Mặc dù học sinh được cọ sátphần này khá nhiều song phần lớn các em vẫn thường lúng túng trong quá trìnhtìm ra cách giải Nguyên nhân là vì :Thứ nhất, Phương trình,bất phương trình

có chứa tham số là mảng kiến thức phong phú và khó, đòi hỏi người học phải có

tư duy sâu sắc, có sự kết hợp nhiều mảng kiến thức khác nhau, có sự nhìn nhậntrên nhiều phương diện.Thứ hai, sách giáo khoa trình bày phần này khá đơngiản, các tài liệu tham khảo đề cập đến phần này khá nhiều song chưa địnhhướng mỗi cách làm của bài toán nên khi học, học sinh chưa có sự liên kết, địnhhình và chưa có cái nhìn tổng quát về cách giải Thứ ba, đa số học sinh đều họcmột cách máy móc, chưa có thói quen tổng quát bài toán và tìm ra bài toán xuấtphát, chưa biết được bài toán trong các đề thi do đâu mà có nên khi người ra đềchỉ cần thay đổi một chút là đã gây khó khăn cho các em

II KẾT QUẢ CỦA THỰC TRẠNG :

Trong quá trình giảng dạy học sinh khá giỏi ,ôn thi học sinh giỏi, ôn luyệnthi đại học – cao đẳng , tôi nhận thấy phần phương trình và bất phương trình cóchứa tham số là học sinh tương đối gặp khó khăn trong cách giải, không biếtphải sử lý tình huống như thế nào trên nền kiến thức cơ bản các em đã biết Nếutrang bị cho các em những kỹ năng ,tình huống cơ bản, từ đó giúp mỗi học sinh

tự đúc kết kinh nghiệm riêng cho bản thân mình thì khi có vấn đề mới thì các em

sẽ giải quyết được một các nhanh chóng và cho lời giải tương đối đẹp

Từ thực trạng và kết quả trên, để việc giải phương trình và bất phươngtrình có chứa tham số của học sinh đạt hiệu quả tốt hơn tôi mạnh dạn cải tiến

phương pháp giảng dạy với đề tài :“ Định hướng cách giải phương trìn, bất

phương trình có chứa tham số bằng phương pháp sử dụng đạo hàm,THPT”.

III GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN

Để giúp học sinh khá giỏi giải tốt các giải phương trình và bất phươngtrình có chứa tham số thường gặp trong các kỳ thi đại học- cao đẳng và thi họcsinh giỏi, tôi đã đúc kết thành những dạng toán cơ bản như sau:

1.Dạng 1 Các bài toán về phương trình

Định hướng cho học sinh đưa bài toán về dạng :f x( ) g m( )

Chúng ta thực hiện các bước sau đây :

( )

y g m Do đó số nghiệm của phương trình là số giao điểm của 2 đồ thị

 Tìm tập xác định D

 Tìm đạo hàm y/,rồi giải phương trình y/=0

 Lập bảng biến thiên của hàm số

Bước 3:Kết luận

Dựa vào bảng biến thiên để suy ra kết luận

Chú ý :Nếu hàm số yf x( ) liên tục trên D thì phương trình có nghiệm 

min ( ) ( ) max ( )

x D f x g m x D f x

Ví du1: Tìm m để phương trình x2  2x m (1) có nghiệm x 0;1

Giải

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của hai đồ thị y= f(x)= 2

2

x  x

và y=m

Xét hàm số f(x)= x2 -2x, hàm số này xác định và liên tục trên 0;1

y/=2x-2

/

0 1 y   x Bảng biên thiên Từ bảng biên thiên ta có: ax ( ) 0;1 m f x       = 0; min ( )0;1 f x     =-1 Vậy để phương trình (1) có nghiệm trên 0;1 là: -1≤m≤0 Ví dụ 2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 1 1 2 2 (m 1) log (x 2) (  m 5) log (x 2) m 1 0  (1) có hai nghiệm thõa mãn điều kiện 2 x1 x2  4 Định hướng -Trước hết cho học sinh đưa bài toán về một bài toán tương đương bằng cách đặt ẩn phụ Y - 0 1 +

y - 0 +

y 0

-1

5 1 1

Nhận xét: Bài toán này có thể giải bằng phương pháp sử dụng tam thức bậc 2

theo kiến thức ở lớp 10 nhưng nếu giáo viên định hướng cho học sinh làm theo cách sử dụng đạo hàm sẽ thấy cách này gọn gàng hơn , hợp với kiến thức mà học sinh đã học ở lớp 12 hơn, cho lời giải nhanh chóng và đẹp.

Vì vậy dùng phương pháp đạo hàm của hàm số có lợi thế hơn các phương pháp khác ,có nó chúng ta sẽ giải quyết được một số các bài toán có chứa tham số phức tạp hơn trong các trong các đề thi Chúng ta sẽ xét một số các bài toán sau đây:

  



 có nghiệm 0  t 2 Xét hàm số ( ) 2 2

2

4 ( )

Bài toán quy về tìm điều kiện của m để phương trình 2 1

1

t t

m t

 



 (3)có nghiệm1; 2

t t t

Định hướng : Khi gặp bài toán như thế này chúng ta thường đưa về một bài

toán gọn hơn thông qua một bước đặt ẩn phụ và khi đã đặt ẩn phụ thì cần lưu ýtới điều kiện của ẩn phụ Sau đó ta chuyển bài toán đã cho về một bài toán tươngđương với nó

2 2

2(2 3 2)

(4 3) '( ) 0

1

2 2



- 1

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi

1

14

4 Tìm m để phương trình 2 x2  5x 4 x2  5x m (1) có 4 nghiệm phân biệt

2.Dạng 2 Tìm điều kiên của tham số m để bất phương trình f x( ) g m( ) có nghiệm với x D

Ta thực hiện các bước sau đây:

 Tìm tập xác định D

 Tìm đạo hàm y/,rồi giải phương trình y/=0

 Lập bảng biến thiên của hàm số

Định hướng : -Đặt điều kiện của ẩn số

- Chuyển về bài toán tương đương

-Xác định bài toán thuộc loại nào

-Bài đó được áp dụng kiến thức nào

t m t





Đặt 2

1 ( )

Xét hàm số 2

1 ( )

 Tìm đạo hàm y/,rồi giải phương trình y/=0

 Lập bảng biến thiên của hàm số

Bước 2 Kết luận

 Bất phương trình có nghiệm  min ( ) ( )

Chú ý chung :

Nếu bài toán có thể đặt ẩn phụ t h x ( ).Ta chuyển bài toán từ ẩn x sang ẩn t , từ điều kiện của x chuyển thành điều kiện của t

Ví dụ 1 Tìm m để bất phương trình 9x m.3x m  3 0(1) có ít nhất một

nghiệm

Giải

Đặt t  3x 0

Bất phương trình (1) tương đương với 2

3 0

t  mt m  

 t2  3 m t(  1)



2 3 1 t m t    (2) ( Do t>0) Bài toán quy về tìm m để bất phương trình (2) có ít nhất 1 nghiệm t>0 Xét hàm số y=f(t)= 2 3 1 t t   ,t>0 2 / 2 2 3 ( ) ( 1) t t f t t     / 1 ( ) 0 3 t f t t        Bảng biến thiên : x - -3 -1 0 1 +

y 0 - 1 +

y 3 +

2

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy bất phương trình (2) có ít nhất một nghiệm khi

và chỉ khi min ( )t0 f t m  m 2

Ví dụ 2 (Thi HSG tỉnh Thanh Hóa lớp 12 THPT năm học 2012-2013).

Tìm các giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình sau có nghiệm thực

/

2 2 ( ) 2 f x x x   /

( ) 0 1 f x   x Bảng biến thiên x 0 1 4

f/(x) - 0 +

f(x)

Bất phương trình có nghiệm min ( )0;4 x m f x     m 3 Vậy m 3 thì hệ bất phương trình có nghiệm thực Dạng 4 Tìm điều kiện để bất phương trình dạng f x( ) g m( ) đúng với x D   Ta thực hiện các bước sau đây: Bước 1 Xét hàm số yf x( )  Tìm tập xác định D  Tìm đạo hàm y/,rồi giải phương trình y/=0  Lập bảng biến thiên của hàm số Bước 2 Kết luận  Bất phương trình nghiệm đúng với  x D min ( ) ( ) x D f x g m   Chú ý chung : Nếu bài toán có thể đặt ẩn phụ t h x ( ).Ta chuyển bài toán từ ẩn x sang ẩn t , từ điều kiện của x chuyển thành điều kiện của t Ví dụ 1 Tìm m để bất phương trình 3 3 1 3 2 x mx x      thõa mãn với mọix 1 Giải Biến đổi bất phương trình về dạng -2

3

33 2

3

1

3mx x 2

x

  

4

3m x x

x

Xét hàm số f x( ) x6 24x3 1

x

Miền xác định : D=1;

/

5

x

Giới hạn :xlim ( )  f x 

Bảng biến thiên

:

Bất phương trình nghiệm đúng với x  1 min ( )f x g m( )

 23m

 2

3 m  Vậy bất phương trình nghiệm đúng với x  1 2

3 m  Ví dụ 2 Tìm m để bất phương trình 2 2 2 2 log log 1 x m x  nghiệm đúng với mọi x 0 Giải Đặt 2 2 log t x  t 1 x 1 +

y +

y +

2

Bất phương trình tương đương với

1

t m

t 

Xét hàm số : f t ( )

1

t

t  Miền xác định :D  (1; )

2 ( )

2 ( 1)

t

f t

t







/ ( ) 0 2

f t   t

Giới hạn : xlim ( )  f t 

lim ( )x1 f t



Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có bất phương trình nghiệm đúng với mọi x>0 

min ( )f t g m( )  2m

 m 2

Vậy m 2 thõa mãn điều kiện của bài toán

Ví dụ 3.Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi 1

2

x 

9 x x 2( 1)6 x x ( 1)4 x x 0

Giải

Chia cả 2 vế cho 4 2x2 x ta có

x 1 2 +

y - 0 +

y +
+

2

3 ( ) 2

xx

-2

2

3

2

x x



Đặt t 

2

2

3

2

xx

, do 1

2

x  nên t 1 Bất phương trình (1) 

2 1

m

t

 



 Bài toán quy về tìm m để bất phương trình 2 2 1

2 1

m

t

 



 nghiệm đúng với mọi

1

t 

Xét hàm số ( ) 2 2 1

2 1

y f t

t

 

 ,t 1

2 /

2

( ) (2 1)

f t

t

 





/ ( ) 0 2

f t   t

Bảng biến thiên :

Dựa vào bảng biến thiên ta có bất phương trình có nghiệm mmin ( )t1 f t  m 3

Dạng 5 Tìm điều kiện để bất phương trình dạng f x( ) g m( ) đúng với

x D

 

Ta thực hiện các bước sau đây:

 Tìm tập xác định D

 Tìm đạo hàm y/,rồi giải phương trình y/=0

 Lập bảng biến thiên của hàm số

Bước 2 Kết luận

x - 1 2 +

y - 0 +

4 +

y

3

 Bất phương trình nghiệm đúng với  x D max ( ) ( )

x D f x g m

Chú ý chung :

Nếu bài toán có thể đặt ẩn phụ t h x ( ).Ta chuyển bài toán từ ẩn x sang ẩn t , từ điều kiện của x chuyển thành điều kiện của t

Ví dụ 1

Tìm m để bất phương trình sau

( x  4)(6  x )  x2 2 x m  (1) nghiệm đúng với mọi x [-4,6]

Định hướng

-ĐK ẩn phụ

-Chuyển về bài toán tương đương

Giải

Đặt t = (x4)(6 x)  24 2 x x 2  25 (1  x)2 ,0  t 5

Bất phương trình (1) tương đương với t t 2  24 m

Bài toán quy về tìm m để bất phương trình t t 2  24 m nghiệm đúng với

0  t 5

Xét hàm số f t( )   t2 t 24,0  t 5

/

( ) 2 1

( ) 0

2

f t   t 

Bảng biến thiên :

x 0 1

2  5

f/(x) - 0 +

f(x) 6

97 4



Bất phương trình nghiệmđúng với mọi x [-4,6] khi và chỉ khi

0 5 ( ) 6

t

Ví dụ 2.Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x

4

( 1) 4

m x   x (1)

Giải TXĐ : D=R Bất phương trình (1) 44 1 x m x   Xét hàm số 4 4 ( ) 1 x f x x   4 / 4 2 4 12 ( ) ( 1) x f x x    / 4 1 ( ) 0 3 f x   x Giới hạn x lim 0 Bảng biến thiên : Vậy bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thì 4 ( ) ( ) ( ) 27 Maxf x g m  Maxf x m m Vậy m 4 27 thõa mãn điều kiện của bài toán Nhận xét Sử dụng phương pháp này cho kết quả nhanh,lời giải gọn gàng x +

y 0 +
0

-y 0

- 0

Ví dụ 3 Tìm tất cả các giá trị m để ∀x ∈0;2đều là nghiệm của bất phương trình

2 Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x.

3cos x 5cos3x 36sin x 15cosx36 24 m 12m 0

3.Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm 2

x  x  mx 

C KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT

1 Kết quả nghiên cứu :

Đề tài đã được áp dụng thường xuyên ở các lớp kết quả đạt được tương

đối tốt, học sinh đã giải quyết được rất nhiều bài toán về giải phương trình , bất

phương trình có chứa tham số bằng phương pháp sử dụng đạo hàm, các em

đã thích dần với bài tập loại này , học tập hăng say và tích cực hơn rấtnhiều ,tạo cho các em một niềm tin khi giải toán, góp phần nâng cao kết quả thiđại học và học sinh giỏi cấp tỉnh bộ môn Toán,hạn chế việc học sinh sợ khi phảigiải các phương trình và bất phương trình có chứa tham số đồng thời tạo đượchứng thú cho học sinh góp phần năng cao chất lượng dạy và học phát huy đượctính tích cực của học sinh, khơi nguồn cho các em sự tìm tòi ,sáng tạo trong quátrình giải một bài toán có chứa tham số Đề tài đã được các thành viên trong tổToán – Tin góp ý và đánh giá tốt, đề tài đã được các thầy cô áp dụng rộng rãivới các đối tượng học sinh lớp mình phụ trách, đem lại hiệu quả rất thiết thựctrong giảng dạy bộ môn Toán ở Trường THPT hiện nay So với cách làm cũkhông chỉ giải các phương trình,bất phương trình bình thường , không giúp chocác em thấy được dạng quen thuộc, những kỹ năng cần thiết Nếu trang bị chocác em những kỹ năng cần thiết thì nhìnvào bài toán như vậy các em sẽ địnhhướng được cách giải , giải nhanh và thành thạo

Trong năm học 2009 -2010, 2010 -2011, 2011 -2012, 2012-2013 tôi đãthực nghiệm đề tài của mình ở các lớp ,12 A,12B và12D, 12 E kết quả cụ thểnhư sau :

Loại Loại giỏi Loại

khá

Loại trungbình

Loại yếu