TỔNG HỢP ĐỀ THI TUYỂN SINH THẠC SĨ TOÁN HỌC ĐẠI HỌC CẦN THƠ 2001-2012LATEX by Mẫn Tiệp∗Ngày 5 tháng 12 năm 2013 Lưu ý a Thời gian làm bài của mỗi đề là 180 phút b Thí sinh không được sử
Trang 1TỔNG HỢP ĐỀ THI TUYỂN SINH THẠC SĨ TOÁN HỌC ĐẠI HỌC CẦN THƠ 2001-2012
LATEX by Mẫn Tiệp∗Ngày 5 tháng 12 năm 2013
Lưu ý
a) Thời gian làm bài của mỗi đề là 180 phút
b) Thí sinh không được sử dụng bất kì tài liệu nào, kể cả Sách giáo khoa (đối với môn Lý luận dạy
e) Câu tô màuđỏcó thể đánh máy không chính xác, vì tác giả chỉ có đề photo rất mờ
f) Mọi ý kiến về các sai sót mắc phải, cũng như những đề thi khác của Đại học Cần Thơ mà tác
giả chưa cập nhật, xin liên hệ email maimantiep@gmail.com
g) Các bạn hoàn toàn được quyền sử dụng file nguồn LATEX của ebook này, nhưng phải ghi rõ độingũ thực hiện
∗ Email: maimantiep@gmail.com
Trang 21 ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH
1 Đề thi môn Giải tích
1.1 Giải tích, đề mẫu 01 (gần với đề Giải tích, năm 2006)
Câu 1 (1,0 điểm) Tính tích phân
K =
˚
V
x y z d x d y d z
vớiV là vật thể giới hạn bởi các mặt x + y = 1 và 0 ≤ z ≤ x y
Câu 2 (2,0 điểm) Tính tích phân đường
1.2 Giải tích, đề mẫu 02 (gần với đề Giải tích, năm 2010, đề 03)
Câu 1 (2,0 điểm) Cho miềnD giới hạn bởi y = x3, y = x ≥ 0 Hãy
• Biểu diễn miền D
Trang 31 ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 1.3 Giải tích, năm 2001
Câu 2 (1,5 điểm) Tính tích phân đường
Câu 5 (2,0 điểm) Chứng minh rằng tập hợp
không mở, không đóng trongC[0,1]
Câu 6 (2,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình
Trang 41.4 Giải tích, năm 2002 1 ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH
C (y + 2x e y )d x + (x + x2e y )d y, vớiC là đường cong nối từ(1;0) tới (2;ln2)
Câu 4 Viết nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y00− 5y0+ 4y = e x
Câu 5 Chứng minh bằng nguyên lí ánh xạ co (dạng mở rộng) rằng phương trình sau có nghiệm duy
———————————HẾT———————————
1.5 Giải tích, năm 2003
Câu 1 Trình bày cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm nhiều biến f : D ⊂ Rn → R trong đó D
là tập đóng giới nội Áp dụng với f (x , y, z ) = x y z và D là hình cầu đơn vị đóng
Câu 2 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
Câu 6 Cho toán tửT : C[−1; 3] → R với T f =
Trang 51 ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 1.6 Giải tích, năm 2004
1.6 Giải tích, năm 2004
Câu 1 Tìm cực trị (nếu có) của hàm số: f (x , y ) = (x2+ y2)e −(x2+y2 )− (x2+ y2)
Câu 2 Tính tích phân đường theo chiều dương của chu tuyến L : I =
Câu 5 Viết nghiệm tổng quát của phương trình vi phân3y00+ y0− 4y = e 2x (x − 1)
Câu 6 ChoA=(x ; y ; z ) ∈ R3: x ≥ 0, x + y + z < 1 Chứng minh rằngA không mở, không đóng
trong R3
Câu 7 Đặt f (x ) = x3
− 2 và T x = x − f (x )
f0(x )
a) Chứng minh rằng có tập hợpD ⊂ (0; +∞) sao cho D là tập đóng và T (D ) ⊂ D
b) Chứng minh rằngT có điểm bất động thỏa mãn phương trình x3− 2 = 0
Câu 8 Chứng minh rằng tồn tại hàm f ∈ C[0; 1] thỏa mãn
Trang 61.8 Giải tích, năm 2005, lần 2 1 ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH
bằng giá trị nhỏ nhất của hàm sốnhiều biến
Câu 3 Tìm miền hội tụ của chuỗi
Trang 71 ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 1.10 Giải tích, năm 2007
Câu 2 Tính tích phân đường
Câu 4 Viết nghiệm tổng quát của các phương trình vi phân sau
1.10 Giải tích, năm 2007, khóa 14
Câu 1 (2,5 điểm) Tích phân bội
Cho một miềnV giới nội bởi các mặt z = 0, y = z , y = x2
và y = 1 Hãya) Biểu diễn miềnV
vớiL là đường nối hai điểm A (−1;1) và B(4;e )
Câu 3 (1,0 điểm) Tính cực trị (nếu có) của hàm số
f (x , y ) = (x − 2)ln x y
Trang 81.11 Giải tích, năm 2009, đề số 02 1 ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH
Câu 4 (1,5 điểm) Viết nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
x = T x có nghiệm trong K M với
• Tính diện tích của miền D
thỏa mãn điều kiện y (0) = 1, y0(0) = 2
Câu 5 (2,0 điểm) Chứng minh rằng phiếm hàm sau tuyến tính liên tục trênC[−1,1]
Trang 91 ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 1.12 Giải tích, năm 2010, đề số 03
không mở, không đóng trongC[0,1]
Câu 6 (2,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình y0= x +1
2cos(x y (x )) ; y (0) = 0 có nghiệm duy
Trang 101.14 Giải tích, năm 2012, đợt 1, đề số 01 1 ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH
Câu 6 Cho toán tửA : C[0,1]→ C[0,1]xác định bởi A x (t ) = x (t ) + x (1 − t ) với x ∈ C[0,1]
Chứng minh A là toán tử tuyến tính liên tục và xác định chuẩn của A
vớiS là biên của nửa trên hình cầu giới hạn bởi các mặt x2+ y2+ z2 = a2 (a > 0) và z = 0 Tích
phân mặt lấy theo phía ngoài củaS
a) Giả sử f liên tục, chứng minh G là tập đóng
b) Giả sửG là tập đóng và (Y ,ρ) là không gian compact, chứng minh f liên tục
Câu 6 Chứng minhK =(x , y, z ) ∈ R3: x + y + z ≤ 1, x ≥ −1, y ≥ −2, z ≥ −3
là tập compact
Câu 7 Cho toán tửA : C[0,1]→ C[0,1]xác định bởi A x (t ) = 2 t x (t ) với x ∈ C[0,1]
Chứng minh A là toán tử tuyến tính liên tục và xác định chuẩn của A
———————————HẾT———————————
www.VNMATH.com
Trang 112 ĐỀ THI MÔN ĐẠI SỐ
2 Đề thi môn Đại số
2.1 Đại số, năm 2009, đề số 01
Câu 1 ChoG là một nhóm giao hoán Chứng minh rằng tập tất cả các phần tử có cấp hữu hạn của G
là một nhóm con củaG Kết quả trên còn đúng khi G không gian hoán hay không? Tại sao?
Câu 2 Giải phương trình sau trong Z488
Câu 4 Trong không gian R4cho các véctơ
u1= (1,2,3,4); u2= (2,1,5,4); u3= (1,4,3,8)GọiW là không gian con của R4 sinh bởiu1; u2; u3
a) Chứng minhB = (u1; u2; u3) là một cơ sở của W
b) Xác định tham sốm để vectơ u = (−1,1,2,m) thuộc W Với giá trị m đó, hãy tìm [u] B
Câu 5 Trong không gian R3cho các véctơ
u1= (1,1,2); u2= (0,1,1); u3= (0,1,2);
và toán tử tuyến tính f (x , y, z ) = (x − y + z , 2x − 3y, 2x − y + 4z )
a) Tìm số chiều và xác định một cơ sở cho mỗi không gian Im(f ), Ker(f )
b) Chứng minhB = (u1; u2; u3) là một cơ sở của R3
và tìm ma trận biểu diễn của f theo cơ sở B
a) Tìm giá trị riêng và xác định cơ sở, số chiều của các không gian riêng củaA
b) Chứng minh A chéo hóa được và tìm một ma trận P khả nghịch sao cho P−1AP là ma trận
chéo TínhA20
———————————HẾT———————————
Trang 122.2 Đại số, năm 2011, đợt 1, đề số 01 2 ĐỀ THI MÔN ĐẠI SỐ
2.2 Đại số, năm 2011, đợt 1, đề số 01
Câu 1 ChoG là nhóm nhân cyclic cấp n sinh bởi x Chứng minh rằng với m , k là hai số nguyên bất
kì ta có< x m >=< x k > khi và chỉ khi UCLN(m,n) = UCLN(k,n)
Câu 2 a) Xét vành Zn các số nguyên đồng dư modulo n Tìm điều kiện của k ∈ N để ánh xạ
f : Z n → Zn định bởi f (x ) = k x là một đồng cấu vành
b) Mô tả tất cả các tự đồng cấu của vành Zp vớip nguyên tố
Câu 3 Cho đa thức với hệ số nguyên
f (x ) = x6+ 7x5+ 10x4
− 35x3− 120x2− 108x − 16
a) Viết khai triển Taylor của f (x ) tại x0= −2
b) Phân tích f (x ) thành tích các đa thức bất khả qui trên Q
Câu 4 Trong không gianR4 cho các vectơ
u1= (1,2,1,−3), u2= (2,3,−2,5), u3= (1,1,0,2);
v1= (2,3,−1,5), v2= (1,2,−2,3), u3= (5,8,−5,13)GọiW là không gian con của R4 sinh bởiu1, u2, u3
a) Chứng minhB1= (u1, u2, u3) là một cơ sở của W
b) Chứng minhB2= (v1, v2, v3) là một cơ sở của W Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B1 sangB2
Câu 5 Trong không gian R3cho các vectơ
———————————HẾT———————————
www.VNMATH.com
Trang 132 ĐỀ THI MÔN ĐẠI SỐ 2.3 Đại số, năm 2012, đợt 1, đề số 03
b) BiếtB = {1; 1 + x ; 1 + x2} là cơ sở của P2(x ) Tìm ma trận của T đối với cơ sở B, từ đó tìm
đa thứcp ∈ P2(x ) sao cho [T (p)]B=
421
c) Chứng minh rằng phép biến đổi tuyến tínhT là chéo hóa được, từ đó tìm cho P2(x ) một cơ sở
C để ma trận của T đối với cơ sở C là ma trận chéo
d) Áp dụng kết quả tìm được ở câu c) để tínhT4(2 + x )
A Phần Đại số đại cương
Câu 3 ChoX là một nhóm nhân Giả sử tồn tại ba số nguyên liên tiếp k , k +1,k +2 sao cho với các
phần tửa , b bất kì của X ta luôn có
(a b ) k = a k b k, (a b ) k+1= a k+1.b k+1 và (a b ) k+2= a k+2.b k+2
Chứng minh rằngX là nhóm giao hoán
Câu 4 ChoX và Y là những nhóm nhân cyclic có cấp lần lượt là m và n Chứng minh rằng X × Y
là một nhóm cyclic khi và chỉ khim và n nguyên tố cùng nhau
Câu 5 ChoX là một vành giao hoán có đơn vị, và P là một ideal của X Chứng minh rằng X /P là
miền nguyên khi và chỉ khiP là ideal nguyên tố
Câu 6 Chứng minh rằng đa thức sau bất khả quy trong Q[x ]
f (x ) = x4+ 5x3
− 2x2− 6x + 3
———————————HẾT———————————
Trang 143 ĐỀ THI MÔN PHƯƠNG PHÁP
3 Đề thi môn Phương pháp
3.1 Phương pháp, năm 2010, đợt 1
Câu 1
a) Theo R Marzano, khi dạy học kiến thức thông báo giáo viên cần thực hiện theo các bước nào?
Áp dụng vào dạy học khái niệm hai vectơ bằng nhau trong chương trình Hình học 10
b) Cho bài toán: “Trong mặt phẳngO x y , cho 4 điểm A (2;2), B(4;4), C (1;a2) và D (−1;a) Tìm
a sao cho tứ giác AB C D là một hình bình hành”
Một học sinh giải như sau:
“AB C D là hình bình hành ⇔−→AB=−−→D C
⇔ a2− a = 2 ⇔ a = −1 hoặc a = 2 Đáp số: a = −1, a = 2”
Hãy phân tích lỗi trên của học sinh
Câu 2 Hãy nêu cách hướng dẫn học sinh tìm cách giải bài toán sau đây: “Giải phương trình:|3−2x | =
x ” (Đại số 10)
Câu 3
a) Trình bày một mô hình dạy học có thể dùng để dạy học khám phá định lý, và cho biết nếu dạyhọc theo mô hình đó thì giáo viên có thể phát triển những năng lực tư duy nào cho học sinhb) Hãy tổ chức quá trình dạy học định lí về điều kiện đủ để hàm số có cực trị (không chứng minhđịnh lí) bằng dạy học khám phá
Câu 4 Cho bài toán: “Trong tập số thực, tìm tham sốm sao cho hệ phương trình sau đây có nghiệm:
¨p
x− 1 +p y − 2 = 1
a) Giải bài toán trên
b) Tổng quát hóa bài toán trên và nêu ra thuật giải
Trang 153 ĐỀ THI MÔN PHƯƠNG PHÁP 3.3 Phương pháp, năm 2011, đợt 2, đề số 03
Câu 2
a) Hãy nêu các ý nghĩa khác nhau của khái niệm hàm số
b) Hãy sử dụng sơ đồ để biểu thị mối liên hệ giữa các khái niệm “giá trị của hàm số”, “giới hạncủa hàm số”, và “hàm số liên tục”
Câu 3 Hãy nêu cách hướng dẫn học sinh tìm tòi lời giải bài toán sau đây:
y
− y =
13
Câu 2 (3.0 điểm):
Trong dạy học định lí toán học, nếu bắt đầu quá trình dạy học bằng phát biểu định lí thì giáo viênlàm thế nào để tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh Áp dụng vào dạy học định lí cosin trongtam giác
Câu 3 (2.5 điểm): Nêu cách hướng dẫn học sinh giải bài toán sau đây:
pa (a − 1) + 2 vô nghiệm với mọia ”
Hãy giải và khái quát hóa bài toán trên theo quan điểm hàm số
———————————HẾT———————————
Trang 163.4 Phương pháp, năm 2012, đợt 1, đề số 02 3 ĐỀ THI MÔN PHƯƠNG PHÁP
3.4 Phương pháp, năm 2012, đợt 1, đề số 02
Câu 1 Nếu dạy học một định lí toán học có khâu nêu giả thuyết thì quá trình dạy học cần được tổ
chức như thế nào? Áp dụng vào dạy học định lí sau đây
“Nếua , b và c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng thì b =a + c
a2+ a + 1≤ 2
⇔ (a2+ a)2
≤ 0 vô líVậy(1) đúng với mọi a ”
Hãy nêu nhận xét về lời giải trên
“Cho cấp số cộng(u n ) Đặt S n = u1+ u2+ + u n
Khi đóS n =n (u1+ u n)
2 ” (Đại số và giải tích 11)bằng dạy học khám phá
Câu 2
a) Khi dạy học khái niệm toán học cho học sinh theo con đường diễn dịch thì giáo viên làm thếnào để tích cực hóa hoạt động nhận thức của học sinh
www.VNMATH.com
Trang 17MỤC LỤC MỤC LỤC
b) Áp dụng vào dạy học khái niệm vectơ pháp tuyến của đường thẳng với định nghĩa như sau:
“Vectơn được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ~ ∆ nếu ~ n 6= ~0 và ~ n vuông góc với vectơ
chỉ phương của∆” (Hình Học 10)
Câu 3 Hãy nêu cách hướng dẫn học sinh tìm tòi lời giải bài toán sau đây:
“Trong tập số thực, giải bất phương trình: 8x+ 2x − 11 + 2p5 x − 1
5 p
Câu 4 Cho bài toán: “Chứng minh rằng đẳng thức sau đúng với mọi số thựcα
3
2=1
2 sin
4α + cos4α + sin6α + cos6α + sin22α”
a) Hãy giải bài toán trên theo quan điểm hàm số
b) Hãy khái quát hóa bài toán trên theo quan điểm hàm số (trình bày cả thuật giải)
c) Anh (Chị) hãy đề xuất hai bài toán kèm theo lời giải chi tiết cùng dạng bài toán trên
———————————HẾT———————————
Mục lục
1.1 Giải tích, đề mẫu 01 2
1.2 Giải tích, đề mẫu 02 2
1.3 Giải tích, năm 2001 3
1.4 Giải tích, năm 2002 4
1.5 Giải tích, năm 2003 4
1.6 Giải tích, năm 2004 5
1.7 Giải tích, năm 2005, lần 1 5
1.8 Giải tích, năm 2005, lần 2 6
1.9 Giải tích, năm 2006 6
1.10 Giải tích, năm 2007 7
1.11 Giải tích, năm 2009, đề số 02 8
1.12 Giải tích, năm 2010, đề số 03 9
1.13 Giải tích, năm 2011, đợt 1, đề số 01 9
1.14 Giải tích, năm 2012, đợt 1, đề số 01 10
2 Đề thi môn Đại số 11 2.1 Đại số, năm 2009, đề số 01 11
2.2 Đại số, năm 2011, đợt 1, đề số 01 12
2.3 Đại số, năm 2012, đợt 1, đề số 03 13
3 Đề thi môn Phương pháp 14 3.1 Phương pháp, năm 2010, đợt 1 14
3.2 Phương pháp, năm 2011, đợt 1 14
3.3 Phương pháp, năm 2011, đợt 2, đề số 03 15
3.4 Phương pháp, năm 2012, đợt 1, đề số 02 16
3.5 Phương pháp, năm 2013, đợt 1, đề số 03 16
Trang 18www.VNMATH.com