TOÁN HỌC TUỔI TRẺ THÁNG 1 NĂM 2014.pdf

Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên 4; J va J lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác 4CH và BCH.. Khi đó đường thing O4 qua O, nhận 3Ý =3;0làm vectơ pháp tuyến có phương t

XUẤT BẢN TỪ1984 TẠP CHI RA HANG THANG - NĂM THỨ 51 Ề

DÀNH CHO TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VÀ TRUNG HỌC CƠ SỞ

2014 tise: 1878 Giing Vo, Ha NO x ĐT Biên tập: (04) 36121607; ĐT - Fax Phát hành, Trị sự: (04) 35121606

PHUONG TRINH 021A

PUAN NGNBEN

VO HONG PHONG (GV THPT Tién Du 1, Bắc Ninh)

Khi gdp m6t phuong trinh cé chita phần nguyên chúng ta không chỉ:

thấy cái hay trong thuật toán giải phương trình mà còn thấy ở đó những tính chất thú vị của phần nguyên được sit dung Hi vọng bài viết này sẽ đem lại những điển mới lạ và bổ ích cho các bạn

A Một số tính chất của phần nguyên Đẳng thức xảy ra ở BĐT vế trái, vế phải lần

“Trước tiên xin nhắc lại một vài tính chất (TC) lượtlà: [{x,}+{x;}+ + {x,}]=0:

của phân nguyên: Với x, y,ø là các số thực, m,

hiệu [x] là số nguyên lớn nhất không vugt qua *#¢ qua (cita tinh chat 8, 9, 10): Biéu thite

+, đọc là phân nguyên của x, phân lẻ của x là - P=[xị +#;+ +X„~#j~y; — —#„]

1x] =x—[] Khi đó ta có các tính chất sau ~[x]~Is]= =[z]*[i]*D>]+ +y]

1 x—1<[x]<x Hệ quả: 0< {x} <l 11.a) Nếu x>0,y>0 thì [xy]>[xl[y]

2.[x]=n©®n<x<n+l, b) Nếu x<0,y<0 thì [xy]<[xl[y]

Đặc biệt [x]= 0© 0<x< 1 ©) Nếu z<0< y thì [xy]>[x]y]+[x]- 3.[xen]=[x]+n 12.« Nếu ø>0 và ølx] =[y] thì~l < ø—y< ø

«Nếu z<0và a[x]=[y]thì ø~ 1< œ~y<0 Tổng quát: Với ø;;8,;ð 6T; a, > 0;, > 0

bl|xtt|e.+|x+== [nx] ” ” =8I]*/[v;]+ +/,[y,]+ð thì

6 Với x> y thì [x]>[y] đãi + đa + + đu = đi —Wa — cà — đầu

7 Với n>1 thì 0<[n{x)]<n~1 Với n>1 tacó: n[x]< [mx]< -1, Chứng mình SCÁ- Bia Bt a tia tas tag tO,

8 Với m2 I ta.06: nlx] < [mx] < nfx}+ 3 Gid sit [x] =m thi theo TC2 ta có:

+ nlx] =[m] 2 0< (<4 mSx<m+l=>mtnSxen<mendl

+Il=nixlxn=le2=Í<t3<1 4.- Với xe 7, thì —x € Z2 nên ¬x là số nguyên

9 Với m>1,n>1 ta có: lớn nhất không vượt quá x nên

Giả sử [x]<[y] suy ra

9 [mee + ny] =[m[x] + fax} + nly] + nfy})]

~Ði}—z}— — (yạ} <m nên

- khi ø >0 có -1<afx}- {9} <a >-I<ax-y<a

BAY) Bal¥2}- Ba nd

SH ALK} + Oe fy} H+ Og yd Mà VT(* là số nguyên chia hết cho 3 nên

~80}~/Ø,0;}— —,fy,) (0) YTỞ)=VPC)=3, suy ra

vrq=[+t],[x+1,11, „[z+1,7 16 | [T6 °§|***| T6 T§| - Lởigiấi Theo TCI có [x”]>zˆ—1 nên ?

16 z

‘Theo TC6 si 2[z?]]>[x'—x?] Ta có

Do 0<(0)<1 nên 22<VPQ)=22+ 0) <2 3 3 3 VT(Q)2 [x4 -x7] 4 {4-27} 2 x42? ys Eee ome @

Lại có VT(I)eZ nên VT() = VP() =8

Ma|x?-=| 20e>x*-x72> 3

Từ (2) và (3) suy ra VT() > VP() Vậy 'VT(I)=VP() c> dấu “=” xảy ra tại (2) và (3)

nên từ (2) và (3) suy ra VT() < VP() Vậy

'VT() = VP(I) œ dấu “=” xây ra tại (2) và (3)

;se2<l [7]=0 exci

oe} 2° 'Vậy tập nghiệm của PT(*)

[4x] xin 4 < Q); ¬ Sit}4 @ 6) 2I3x]+I6Vx] _7=4týx]I2- vx]

22) let alt Lae

tướng dấu gidi DE TH TOYEN SINH VAO LOP 10 CHUYEN TOAN,

TRƯỜNG THPT CHUYEN HA TINH NAM HOC 2014-2015 (Đề thỉ đăng trên TH&TT Số 448, tháng 10 năm 2014)

Câu 1 Vì ae = —1 < 0 nên PT luôn có hai

nghiệm phân biệt xị,x; Ta có xj —x¡ ~L=0

Câu 4

Cc

a) s Tam giác 4CE cân tại C nên 6ib-s-Š

=8 = AE là phân giác của 54H

‘Tuong ty AF là phân giác của C4 Suy ra 4,

hy, E thẳng hàng (đpem)

« Do C7 phân giéc cha ACE, AACE can tại E

nên Cï là trung trực của 4E, do dé IA = JE, Tương tự /4 = IF Vậy IE=

b) Kí hiệu (C) là đường tròn đường kính EF

Từ câu a) ta có J là tâm đường tròn ngoại tiếp

MEF suy ta ETF =2EAF =90°, do đó ï 6 (C)

Do Cï là trung trực của 4E nên tam giác 74E'

cân tại lạ =>Ï,4E= AEl,=45° suy ra

EI,F =90° hay ï› e (C) Tương tự ñ¡ e (C)

Do đó (C) là đường tròn ngoại tiếp A7727

(Xem tiếp trang 13)

Số 449 (1-2014) Tones 5

b) Hinh thoi ABCD cé dign tích là 18/3 (mét

vuông), tam giác 4D đều Tính chu vi hình thoi

và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

a) Tim m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm

phân biệt Chứng minh răng khi đó tổng của hai

nghiệm không thể là số nguyên

Ð) Tim m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm

xụ,x; thoả mãn điều kiện (xx; — ý #32} =l6

Câu 2

2(I+x/z} = 99

2(1+ ye) =9jy,

2) Cho tam giác 4BC vuông tại 4 với các đường

phân giác trong 8M và CN Chứng mình bắt đẳng

Cau 4 a) Goi ott, y=vVab lần lượt là

trung bình cộng và trung bình nhân của 2 số

dương @ và ở Biết trung bình cộng của x và y

bằng 100 Tính § = j4 +

b) Giả sử hai đại lượng x, y tỉ lệ nghịch (x, y luôn

dương) Nếu x tăng a% thì y giảm m% Tính m

theo a

Câu 5 Hình vuông 4BCD có 4B = 2a, 4C cắt BD

tại J Gọi ( ) là đường tròn ngoại tiếp tam giác

CỊP, BE tiếp xúc với (Œ ) tại E (E khác C), DE

cắt 4B tại F

a) Chứng minh A4BE cân Tính AF theo a

b) BE cắt 4D tại P Chứng minh đường hi TA

tiếp tam giác ABP tiép xúc với CD Tính ®

©) E4 cắt () tại M (M khác E) Tính 4A/ theo a

Fostoria b) Chứng mình rằng nếu e > Ì thì a+evab +e

không thể đồng thời là số nguyên tổ

Câu 4 Cho điểm C thay đôi trên nữa đường tròn đường kính AB = 2 (C # Á, C z B) Gọi H là hình

chiếu vuông góc của C lên 4; J va J lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác 4CH và BCH Các đường thẳng Cï, C/ cắt 4 lần lượt tại M, N

a) Chimg minh ring AN = AC, BM= BC

b) Chimg minh 4 diém M, N, J, J cing nằm trên

một đường tròn và các đường thằng 1⁄2, M1, CH

đồng quy:

©) Tìm giá tị lớn nhất của MAN và giá trị lớn nhất

của diện tích tam gidc CMN theo R

‘Céu 5 Cho 5 số tự nhiên phân biệt sao cho tổng của ba số bắt kì trong chúng lớn hơn tổng của hai

Chuẩn bi chữ kỉ tí

MOT S6 BAI TOAN LIÊN QUAN Tới

TRUC TAM TAM BIÁC

NGUYEN TRUONG SON

(GV THPT Chuyên Lương Văn Tuy, Ninh Bình)

Dé thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng hiện

nay, theo cấu trúc của Bộ GD&ĐT, các bài

Ề tọa độ trong mặt phẳng thường xuyên

lên ĐỂ giải quyết các bài toán này các

thí sinh cần nắm vững một tính chất hình học

phẳng nào đó, điều đó làm cho các thí sinh cảm

thay hing ting Bai viét nay mong muốn giúp

một chút kiến thức nhỏ cho các thí sinh sắp

trực tâm của tam giác Gọi Z, # lần lượt là

chân đường cao hạ từ B, C Mí là trung điểm

của cạnh 8C (h.1)

Nhận xét 1.AH =2IM =2AJ (trong đó J là

trung điểm của đoạn 477)

Hình 1 Nhận xát2 IAL EF

Có nhiều cách chứng mỉnh nhận xét này, có

thé sử dụng nhận xét 1 Sau đây là một cách

khá

=90° nên tứ giác BCEF

nội tiếp đường tròn, do đó 4CB = 4FE

Dựng 4 là tiếp tuyến của đường tròn (2) Khi đó 4CB= BÀ¡ Từ đó PE = BÀI nên Ar / EF Suyra JALEF,

Nhận xét 3 Gọi P là giao điểm thứ hai của đường thẳng Bử/ với đường tròn (7 Khi đó, P

là điểm đối xứng của #ƒ qua đường thẳng AC Nhận xét 4 Gọi Ó là chân đường cao hạ từ đình 4 của A ABC Khi đó # là tâm nội tiếp cia AEFQ

Chứng minh các nhận xét 1, 3, 4 là khá dé dang

I THE DY AP DUNG Thi dy 1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa

d6 Oxy, cho đường tròn (C):x”+y)=25

ngoai tiép tam giác nhọn ABC có chân các

đường cao hạ từ B, C lần lượt là M-I; =3), N(Q; -3) Tim tọa độ các đình của tam giác AIBC biết rằng điễm A có tung độ âm

Lời giải (h.2) Cách 1 Đường tròn (C) có lâm

Ø(0:0), bán kính

#=5 Ta có:

MN =(3;0)

Theo nhén xét 2, tacé OAL MN

Khi đó đường thing O4 qua O,

nhận 3Ý =(3;0)làm vectơ pháp tuyến có

phương trình: x=0 Toa độ điểm 4 là nghiệm của hệ phương trình

Ta thấy 4M =(-l;2),.4N =(2;2)lần lượt là

vectơ chỉ phương của đường thẳng AC, 4B

Phương trình đường thẳng 4C: 2x+ y+5 =0

Phương trình đường thẳng 4B: x— y—5 = 0

Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình:

Cách 2 Giả sử ⁄(4;Ù) là trực tâm A4BC,

Gọi P, Q lan lượt là giao điểm thứ hai của

đường thẳng CH, B#/ với đường tròn (C)

Theo nhận xét 3, P, Q lần lượt là điểm đối

xứng của H qua AB, AC Vay

Từ đó suy ra các điểm A(0;-5), B(5;0),

C(-4:3) thỏa mãn yêu cầu bài toán F

Lời bình: Rõ rằng khi làm theo cách 2 thì điều

kiện tung độ điểm 44 âm là không cần thiết

OThi dy 2 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa

6 Oxy, cho tam giée ABC cb A(-2; -1), true tâm HQ;1), BC =2N5 Goi E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ B, C của tam giác ABC Lập phương trình đường thẳng BC, biết trưng điểm M của BC nằm trên đường thẳng đ:x~2y~ 1= 0 và Mcó tung độ đương

Lời giải Do A/ thuộc đường thẳng đ nên

M(2a+l;a)(a >0) Gọi ï là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 4BC

Taos AH =(4;2),AH =2V5 và 4H =21M, suy ra I(2a—1;a—1),/M = V5 Vi Mla trung, diém BC nén IM L BC Do đc

Thí dụ 3 Trong mặt phẳng với hệ trực tọa độ

Ory, cho tam gidc ABC cân tại A, trực tâm

Ht Gọi D, E lần lượt là chân đường cao kế

từ B, C của tam giác ABC Biắt điễm A nà đường thẳng đ:x-3y-3=

thuộc đường thẳng DE va HI

Do 4 nằm trên đường thẳng 4:x-3y-3=0 nên A@3r+3/) với relR FA=(@t+5;t-3), HA=(Gr+6t-2) Do tam giéc ABC cin tai Anén AH L DE

Tacé AD? = AH? —HD?.Khi dé:

AC? ~ AD? = BC? - BD

Thí dụ 4 Trong mặt phẳng với hệ trục

toa dé Oxy, cho tam giác ABC cân tại A,

hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H(2;2),

biết HE~3 Tìm toa độ đỉnh A của tam giác

ABC biét đinh A thuộc đường thing

Vì tam giác 4BC cân tại 4 nén AH 1 FE

“Xét tam giác vudng HAE ta có:

AE? = AH? ~ HE? =(t~2)?+(+14)?~

© Thí dụ 5 Trong mặt phẳng với hệ trực tọa

độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại đính A Gọi

ÁN là trung điểm của đoạn thẳng AB Gọi

EŒ:D.F| (2 12) dn al chin đường co 3

lạ từ các đỉnh B, C của tam giác ABC Tim

tọa độ của định A biết rằng phương trình

đường thẳng CN là 2x + y~13 =0

Lời giải Gọi G là trọng tâm AABC Do

A.ABC cân tại 4 nên 4G chính là đường trung

trực của đoạn thing EF PT 4G là ~3r+y+l2=0

"Tọa độ điểm Ở là nghiệm của hệ PT:

a=e=7

Khid6 4(7;9), BQs1),C7;-)

© Thí dụ 6 Trong mặt phẳng với hệ trục toa

6 Ory, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I(l;2), bán kính R =5 Chân đường cao

hạ từ B, C của tam giác ABC lần lượt là 11:3), K(0:—1) Viết phương trình đường tròn

ngoại tiếp tứ giác BCHK, biết rằng tưng độ điểm A dương

Tời giật Ta có KH = (3:4)

Theo mhận xét 2, ta có IALHK Do đó đường thẳng 74 có phương trình là:

em A thuộc đường thẳng 74

nên A(1+4/;2—3), với <2,

Ta có Masai 497-2591

=0 Đường thẳng 4C cỏ phương

trình: x+3y-l2=0 Đường thẳng BH có phương trình: 3x ~ y—6 =0 Đường thẳng CK

Phương trình đường tròn ngoại tiếp tử giác > ;

BCHK là: (-š) +) a 2 2) 2

Lời bình: Có tắt nhiều cách xác định tọa độ

tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCHK Ta

có thể xác định tọa độ tâm V đường tròn ngoại

tiếp tam giác 4//K Sau đó suy ra toạ độ tâm

bằng cách sử dụng nhận xét 1

©Thí dụ 7 Viết phương trình ba cạnh

tam giác ABC biết E(-1:-2), F(2,2), O(-1,2)

lượt là chân ba đường cao hạ từ A, B, C của

tam giác ABC

Tời giải Theo nhận xét 4, trực tâm Ởf của tam

giác ABC chinh là tâm đường tròn nội tiếp tam

giác EFQ Do đó, ta tìm tọa độ điểm /# như

Phương trình đường thing AB là =x + y—

Phương trình đường thẳng 4C là 2x + y—

Phuong trình đường thẳng 8C là x + 3y +

II BAI TAP TỰ LUYỆN

1 Trong mặt phẳng với hệ trục toa 49 Oxy, cho

tam giác 4BC với C(-3;0), đường thing đi qua

chân đường cao hạ từ 4, # có phương trình là

?etyt5=0 Viết phương trình đường tròn ngoại

tiếp tam giác ABC biét rằng M(4;1) thuộc đường

tròn đó

2 Trong mặt phẳng với hệ trục toa dé Oxy, cho

tam giác 4BC cân tại 4, gọi M và “(§ 2) in

lượt là chân đường cao hạ từ 4 và B của tam giác

ABC Diém E(-3;0) là điểm đối xứng của M qua

trung điểm A của cạnh 4ð Xác định tọa độ các

đỉnh của A 4BC biết | nằm trên đường thẳng,

ddx+y-2=0

3 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho

tam giác 4BC cân tại 4, đường thẳng 8C có

phương trình 2vty-2=0, Z, Ƒ lần lượtlà chân

10 Ki Số 449 (11-2014)

đường cao ké tir B, C của tam giác 4C BE có

phương trình xty+l=0, điểm M(1;1) thuộc

đường thẳng CF Tìm tọa độ các đỉnh của tam

giác ABC

4 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho

tam giác 4BC nội tiếp đường tròn có bán kính

R=Vi0, o 4 2) là trọng tâm tam giác 45C

Các diém K(4;4),H G1) lần lượt là chân đường cao ha tir 4, B cia tam giée ABC Tim toa độ các đình của tam giác 4BC

5 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác 4BC có chân đường cao hạ từ Ø, C xuống, cạnh đối diện lần lượt làK(-2;2), E(2;2)

Điểm (8 3 2) là hình chiếu vuông góc

của Exuống 8C Tìm tọa độ các đỉnh của

AABC

6, Cho tam giác nhọn 4BC với ÁK, CD là hai

đường cao và # là trực tâm A 4C Biết PT

đường tròn ngoại tiếp tam giác DHK:

(723) + ` =5, trùng điểm của AC là P78)

Tim tog độ các điểm 4, B, C biết ring BC di qua

điểm 0(1;4) và hoành độ điểm D lớn hơn 3

7 Trong mit phiing toa 46 Oxy, cho AABC có A(2 :3), chân hai đường cao kẻ từ 4 va B lin lượt

x„(-7.-D} „(-123

ag 3) (iG i) a

đường tròn ngoại tiếp A48C, E 1a một điểm

thuộc cung nhỏ 4B Kẻ EMLBC, ENLAC Tìm toạ độ điểm E để AN có độ dài lớn nhất

8 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ xy, cho

tam giác 4BC Gọi E(7;1),F| (Bs 2) ia lần lượt là

chân đường cao hạ từ các đỉnh 8, C của tam giác ABC Tim tọa độ của đỉnh 4 biết rằng phương, trình đường thẳng BC là 2x+ y~13=0và điểm

B cb tung độ đương

9 Cho tam giác ABC có trực tâm 71, đường tròn

ngoại tiếp tam giác HBC cé phuong trình:

x +y°=x=5y+4=0 H thuộc đường thẳng A:3x—y—4=0, M2;3) là trung điểm 48

Tim toa độ các đỉnh của tam giác 4BC.

THỨ SỨC TRƯỚC KỈ THI

ĐỂ số

(Thời gian làm bài: 180 phái)

Câu I (2 điển) Cho hàm 88 y= -6249x4m

(m là tham số) có đồ thị (C,,)

a) Khao sat sw biến thiên và vẽ đỗ thị của hàm

số (C) khi m = 0

b) Tìm ø để tồn tại tiếp tuyến với đồ thị

(C,,) đi qua điểm A(3;0) và cắt đường tròn

($) có phương trình (x +1)? +(y-2)? =25

theo một dây cung Ä⁄W có độ dài nhỏ nhất

Câu 2 (I điểm) Giải phương trình

Câu 5 (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa

49 Oxyz, cho mit phing (P):2x+y-z=0

x-4_y_2

Ay 1228 y_ 242

1 2 3

phẳng (7), điểm X trên đường thing A, sao

cho M va N d6i xứng với nhau qua đường

- Tìm điểm 3ƒ trên mặt

thẳng A; Viết phương đường thing A di qua

3, vuông góc với A¡ và tạo với mặt phẳng (P) một góc 30%

Câu 6 (1 điển) Cho hình chóp ÿ.48CD có

đấy ABCD 1a hinh vuéng, SAL (ABCD), SA=a Dign tich tam giác SBC bằng

ay

2 theo @ Goi /, J lan lượt là trung điểm các cạnh S8 và SÐ Tính khoảng cách giữa hai

đường thẳng 47 và C7

Câu 7 (I điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa

4§ Oxy, cho hinh thoi ABCD ¢6 tim 1(2; 1)

- Tinh thé tich khéi chép S.ABCD

và 4C=2ZD Điểm xs2) thuộc đường

thing AB, N(0; 7) thuộc đường thẳng CD Tim tọa độ điểm P biết rằng BP=5B7 và điểm # có tung độ dương

Câu 8 (1 điểm) Giải hệ phương trình

x+3+S~2-jy '+5=y x? + 2x(y-2)4 y?-8y+4=0

Câu 9 (1 điểm) Cho a, b, e là các số thực

dương thỏa mãn 2be=e Tìm giá trị nhỏ

11

cắt nhau tại 2 điểm 4,B với Á(xi;—x, +);

B(xyj—x, +m) trong đó xị,x; là 2 nghiệm

Câu 4 a) Goi số cặp vợ ching la m(n22) Ta

có số lượng cái bắt tay là CŸ, ~n =2m(w—1)

(do mỗi cách chọn 2 người trong 2n người thì

BC =CA= AB nên c°+9=18œe=3 Gọi

G la tam AABC la có G(1;1;)) PT đường

thẳng A đi qua G và vuông góc với ( 4BC) là

x-l -1_z-=l

1 1 1

Ta có $SGS(ABC)=9 = SG= 25 os=3 hoe s = 1 Do vay $(3;3;3);S(-; 1)

Cau 6 Ta 06 0< $B? -Sf? = HB? — H/P < AB?

nén tam gide SAB vudng tai ẩ Đặt HA=HO=x ta có OB=2x Theo định lí côsin ta có BH =xV7,BC=2x/3 Ta có

Gọi 7 là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

SAC thi J 1a trang điểm của AC Do ïïï // ÓC

nên 4gp =4jeo)=ÏE trong đó K,L lần lượt là hình chiếu của /7 trên các đường thẳng

Câu 7 Do tam giác ABC vuông tại 4 có #7 e (C)

và C4 là tiếp tuyến của (C) nên 8 e (C) Ta có

29g 2

AC=^®4€ =-^— nên (C= = nbn BEL Bữ=——“ — ý =3

BỊ =1 Giá sử B8) (b> 0) Kids {

(a-IŸ+# =1 a

(2-27 +7 =3

Câu 8 ĐK: y21;x°-x? +120 PT thir nha

của hệ tương đương với

nén BFM= BAN =90° suy ra EF LFM (dem)

Câu 5 Các số được viết trên bảng là 1, 5, 11,

5 =3b=2e=1 thi P=Š Vậy 8 Liệu

Khi a=36—2e=1 thi P= Vay maxP=—

TRANQUOCLUAT (GV THPT chuyén Ha Tinh)

Ta thấy 201522! = (3.672-1)"* chia 3 dur 1

nên không thể viết được số 20152214,

®Doz=xy+x+ynênz+ ] = (+ 1)0+ I) (1)

"Nếu cộng thêm 1 vào các số được viết trên bảng

thì được dây các số 2, 6, 12, 24, 48, 72,

Các số đầu tiên có dạng 2”.3” nên từ (1) suy

ra các số được viết thêm cộng với 1 cũng có

dạng đó

Mặt khác 2015 + ] = 2016 = 256.63 = 2432.7

nên không thé viết được số 2015

TỪ HỮU SƠN (Sở GD-Đ7 Hà Tĩnh) giới thiệu

TOÁN HỌC

Số44o0i20 — + GTuốitrẻ 13

hơn trong các đề thi H§G Quốc gia cũng như

Quốc tế, nhằm giúp các em học sinh tiếp cận bài

toán này một cách bài bản và chuyên sâu hơn, tôi

xin giới thiệu đến các em một số vấn đề liên

quan Mở đầu là một kĩ năng gốc của bài toán

đếm: cộng hay nhân?

Thí đụ 1 Xác định số lớn nhất thu được khi xóa

i 100 chữ số trong số sau:

123456789101 11213 99100,

trên được tạo thành từ các sô nguyên từ Ì

đến 100 xáp theo thứ tự từ trải sang phải

Loi gid Ta bit dau với một vài phép đếm Có 9

số có 1 chữ số, Từ 10 đến 99, có 99 — 10 + 1 = 90

số có hai chữ số Do đồ, cơn s trên có 9 + 2003

= 192 chữ số Sau khi xóa đi 100 chữ số, ta có

được số gồm 92 chữ số Với bắt cứ hai số có

Ta cần xóa 16 chữ số nữa Không cần nghĩ

nhiều, chỉ cần xóa chuỗi 505152 57 gồm 16

chữ số để thu được số:

.9999958596061 99100 Đừng quá nhanh, bạn ạ Nếu chúng ta để 5 chữ

số 9 đứng đầu, giá trị lớn nhất có thể có của chữ

số tiếp theo là 7, thu được khi xóa chuỗi

505152 565 gồm 15 chữ số Chữ số cuối cùng

cần xóa là 5 trong 58 Do đó, câu trả lời là:

9999978596061 .99100 FT

Thi dy 2 Giáo sư A, B, C và D dang cho sinh

viên E thi vấn đáp về toán tổ hợp Bên giáo sư

đang ngôi thành hàng Vì là đồng chủ tịch của

tiy ban kp thi, giáo sư A và D phải ngôi cạnh

nhau Vì là cỗ vẫn cho sinh viên E, giáo sư C cần

phải là xếp vị trí ngồi cụ thể cho một giáo sư bat

kỳ trước tiên, mà ta phải xếp ốn giáo sư vào các

vi ti ngộ có tương quan với nhau rồi sau đó mới xếp chỗ cho họ Theo điều kiện để bài, giáo sư 4,

D và C có thể ngồi theo một trong các cách sau:

(4, D, OQ), (C, 4, D), (D, A, ©), (C, D, A) Với

mỗi cách xếp chỗ trên, giáo sư B có thể ngồi ở

ghế đầu hoặc cuối Do đó, câu trả lời là

2+2+2+2=8.0

Quy tắc cộng Nếu sự kiện A có thê xảy ra theo a

cách và sự kiện B có thê xảy ra theo b cách thi sie kiện hoặc A hoặc B có thể xây ra theo a + b cách

Có thé dễ dàng áp dụng ÿ tưởng trên cho nh

sự kiện Ta có thể diễn đạt quy ng bang

ngôn ngữ tập hợp Cho S là một tập hợp Nêu A,A,.v4, là một phân hoạch của Š thì

|E|=|44|+|4:|+- +|⁄,|trong đó|X| là ký hiệu

số lượng phân tử của tập hợp X

Thi dy 3 Xác định số lượng hình vuông vẽ được

sao cho mọi đỉnh của hình vuông đều nằm trong

mảng 10 * 10 tạo thành từ các đây điển nhục hình 1 (Các điểm cách đêu nhan)

Tời giải Ta gọi 4 điểm bat ky là một bộ tứ n x n

nếu chúng là các đỉnh của một hình vuông mà các cạnh hình vuông song song với mép của mảng Ta cũng gọi một hình vuông với các đỉnh