Một dạng phương pháp chứng minh BĐT thuần nhất

Một dạng phương pháp chứng minh BĐT thuần nhất06/01/2006 Nếu nhìn 1 cách tổng quan,toàn bộ chương trình toán phổ thông nhận lí thuyết hàm số làm xương sống,trong hai lĩnh vực bất đẳng th

Một dạng phương pháp chứng minh BĐT thuần nhất

06/01/2006

Nếu nhìn 1 cách tổng quan,toàn bộ chương trình toán phổ thông nhận lí thuyết hàm số làm xương sống,trong hai lĩnh vực bất đẳng thức và giải phương trình thì điều này lại càng được minh chứng rõ ràng hơn Các bdt đặc biệt là ở dạng thuần nhất có thể có rất nhiều cách giải,trong bài viết này tôi

sẽ nêu 1 trong những cách giải đó,sử dụng hàm số và kĩ thuật phương trình 1 cách triệt để,mong qua đó có thể giúp các bạn học phổ thông đơn giản hóa tư duy nhưng vẫn giữ được vẻ đẹp của các

bdt,cũng như sự lãng mạn khi giải bài của các bạn

Chúng ta bắt đầu với 1 bài toán rất đơn giản:

1) Cho

CMR:

Lời giải: Xét hàm số :

Với đk đã cho

Ta có:

Hay là

Như vậy f(x) là hàm đồng biến tức là với x y ta có : f(x) f(y)=0 (ĐPCM) 2) Cho a>b>c>0

CMR:

Lời giải:

Xét hàm số:

Ta có :

Tiếp tục lấy đạo hàm:

Ta có: 0' align=absMiddle border=0>

do a>b>c>0 đã có ở trên

Do nên là hàm đồng biến như vậy

Mà

( Bạn có thể dễ dàng chứng minh theo Cauchy hoặc phân tích f'(b) thành nhân tử )

Như vậy do f'(a) >0 nên f(a) đồng biến hay là f(a)>f(b)=0 như vậy ta có ĐPCM ( chuyển lại VP qua ta trở về BDT cần CM)

3) Cho x,y,z>o CMR:

Lời giải:

Không mất tính tổng quát ta giả sử: x y z

Xét hàm số

Ta có :

Tiếp tục đạo hàm ta có:

Có ngay f"(x)>0 do x y z >0

Như vậy hàm f'(x) là đồng biến vậy thì:

Mặt khác

Như vậy ta có : f'(x) 0 hay là hàm f(x) đồng biến Như vậy

f(x) f(y) mà

như vậy f(x) 0 ta có ĐPCM

Cùng sử dụng 1 đường lối như thế này các bạn có thể thu được lời giải của các bài toán tương tự dưới đây:

1) Olympic Hy Lạp

Cho a,b,c dương

CMR

2) Crux Mathematicorum

Cho a,b,c dương

CMR