Trong phần đặc của vật có dòng điện mật độ là j.. Đề 19: Khoảng cách giữa hai bản của một tụ điện phẳng là d, còn diện tích là S.. Khi tách điện môi ra nhưng giữ cho tụ điện cô lập tức
Trang 1Họ và tên: TRƯƠNG VĂN THANH Lớp K2 ĐHSP Vật Lý ( LT) Trường ĐH Hồng Đức Thanh Hoá.
BÀI TẬP ĐIÊN ĐỘNG LỰC HỌC 1
Đề 1 Biêu diên rot, grad, div trong hệ toa độ Đêcac và chưng minh răng :
Rotgrad u = 0 Div rot urA= 0
∂ + ∂ + ∂
ur
Div urA= + +
1. Rot grad u =
= i
y
∂
∂
r
j
z
∂
∂
r
+ k
x
∂
∂
∂ ÷ ∂ ÷ ∂ ÷
−r∂ − ur∂ − ur∂
=
ur
= 0
=
x y x z y z y z z x z y
= 0
Đề 2 Tinh div I R r ur =? Trong đo I r là vector không đôi, R ur là ban kinh vector.
Bai giai:
Ta co: I iI r r = x + r jIy + kI r z và ur R xi y j zk = r + r + r
i j k
I R I I I
x y z
r ur
= r i I z I y ( y − z ) − r j I z I x ( x − z ) + k I y I x r ( x − y )
.
0
div I R I z I y I z I x I y I x
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
r ur
W
Trang 2Đề 3 Tinh div I R M
r ur uur
, Trong đo I va M r # uur là vector không đôi, R ur là ban kinh vector
Bai giai:
Ta co: M uur r = iMx + r jMy + kM r z và ur R xi y j zk = r + r + r
.
M R
uur ur
x y z
i I xM yM I xZ zM
j I xM yM I yZ zM
k I xZ zM I yZ zM
r uuruur
r r r
.
2 2
y y z z x x x x z z y y
x x y y z z
div I R M I M I M I M I M I M I M
I M I M I M IM
r uuruur
W
Đề 4 Tinh:
( )
rot U R ur va rot I R # r ur
Trong đo:
I
r
la vector không đôi va ur R la ban kinh vector.
Bai giai:
a. Ta co: U R U( )R ur = ( )R ( xi y j zk r + r + r )
Trang 3( )
( )
( )
( )
( )
U R R
r
r
r
r
U R R
Măc
khac, ta co: R2 x2 y2 z2 R x ; R y ; R z
( ) 2
−
Từ (1) và (2), ta đươc: rot U R { ( )R ur } = 0 ⇒ W
b Ta co:
x y z
I iI = + jI + kI
và R xi y j zk ur = r + r + r
i j k
I R I I I i I z I y j I z I x k I y I x
x y z
Trang 4( ) ( )
2
x y
i I y I x I z I x
I z I y I z I x I y I x
k I z I x I z I y
i I I j I I k I I
iI jI
r
r
Đề 5 Tinh:
3
PR grad R
urur
Trong đo: ur P la vector không đôi ,R ur la ban kinh vector.
Bai giai:
Ta co:
PR xP yP zP
= + +
urur
3
3
6
3
6
3
3 2 2 3 2 2 3 2 2
PR
i
R
j
R
k
=
urur
r
r
r
( )
6
3 1
3
x y z
z R
PR xi y j zk
PR P
R
urur ur
ur
W
Trang 5Đề 6: Tinh thông lương cua ban kinh
vector ur R qua một măt trụ co ban kinh a
và chiêu cao h,
đăt như hinh vẽ ( Tinh băng công thưc O
– G và băng phương phap trưc tiêp)
Bai giai:
a Tinh băng đinh li O – G:
Đinh li O – G:
Rd S = divRdV
∫ ur ur ∫ ur Ñ
∂
2
Rd S dV π a h
b Tinh trưc tiêp:
( )
1
Ñ
( )
3 3
2
1 1
1
2
2 2 2
cos cos 0
0
S
S
S
Rd S R dS
h
R dS hS h a
R
h
R
ϕ ϕ
π π
=
∫
ur ur
ur ur
#
Từ (1) và (2), ta đươc: 3 2
S
Rd S = π a h ⇒
Ñ
Trang 6Đề 7 Hai vong tron mang, ban kinh cung băng R, tich
điện đêu và xêp đăt như hinh vẽ Điện tich vành ngoài
1
O
là e1
điện tich vành ngoàiO2
là e2
Công cân thiêt
đê đưa điện tich e từ vô cưc đên O1
và O2
lân lươt là
1
A
và A2
Tinh cac điện tich e1
và e2
Bai giai:
- Xet vanh O1:
Thê vô hương tai O1 gây bơi 2 vanh điên tich e1 và e2 vơi khoang cach R và R2 + a2 :
1 11
2
2
1 4
1
4
e R
Edl
e r
ϕ
π ε ϕ
π ε
ur r
Theo nguyên lý chông chât điện trương ta co:
- Thê vông hương tai O1 do
1
e và
2
e gây ra là:
1 4
π ε
+
Vơi ϕ∞ = 0 ⇒ ϕO1 = ϕ1− ϕ ∞ = ϕ1 là hiệu điện thê tai O 1
Điện thê ϕ 1 băng công dich chuyên 1 điện tich dương từ ∞ → O1
( )
1
1 4
π ε
+
- Tương tự đôi vơi vanh
2
O :
( )
1
2 4
π ε
+
Từ (1) và (2), ta đươc:
Trang 7( )
4 4
ea
ea
π ε
π ε
Đề 8 Dung đinh lý O – G đê tinh điện trương ở trong và ngoài một qua câu ban kinh R, tich điện đêu vơi
mât độ điện tich măt ρ =const Hăng số điện môi ở trong và ngoài qua câu đêu băng ε
Bai giai:
- Theo đinh lý O – G ta co: divD
divE
ε ε
=
ur
ur
ur ur
- Xet trong hệ toa độ câu, do điện tich trong qua câu phân bố đêu: E E r ur = ur ( )
2 3 2
1
3
r
r
ρ
ε
ur
- Xet nhưng điện tich ngoài qua câu:
S
Dd S e =
∫ ur ur Ñ
Do D ur cung phương vơi vector phap tuyên cua măt câu, ta co:
3 3
4 4
3
3
S
N
R
r
ρ ε
ε
ur ur
Đề 9 Tinh điện dung cua một tụ điện co chiêu
dài băng d và khoang cach giưa hai ban chưa
hai điện môi khac nhau
Bai giai:
- Theo đinh lý O – G ta co:
Ñ
Vi D r ur = r, nên:
0
∫ ur ur ∫ ur ur
Trang 8( 1 2) 3
.2
S
π
∫
ur ur
p p
Măt khac, ta co: E = − grad ϕ ln 1
2
q
r C d
ϕ
π ε
Vơi
1
1
1 1
ln 2
ln 2
ln 2
R
a
q
a C d
ϕ
π ε
π ε ϕ
π ε
p p
1
2 1
2
ln 2
ln 2
ln 2
R
a
q
a C d
ϕ
π ε
π ε ϕ
π ε
p p
Vây hiệu điện thê giưa hai ban tụ là:
2
2
R
Điện dung cua tụ là:
2
2
C
R a
π ϕ
Đề 10 Một hinh câu ban kinh R, tich điện đêu
trên bê măt ngoài vơi mât độ băng ρ và quay
quanh trục cua no vơi vân tốc ω Tinh cam
ưng từ bên trong hinh câu?
Bai giai:
Ta co:
Trang 9( )
.
dS
µ
δ ω
uuuuuuuuur
Theo đinh lý O – G : n dS dV
V
( ) 2
.
r
Ñ
Từ (1) và (2), ta đươc:
4
3
R
R
π
µ δ
ω
( ) ( ) ( ) ( )
2
3
Đề 11.Một mach dao động gôm cuộn tư cam L và một tụ điện phăng co điện tich môi ban băng S, môi trương
giưa cac ban co độ dày băng d và hăng số điện môi ε Tinh chu kỳ dao động cua mach , cho biêt L = 0.1 H; S
= 500 cm2, d = 1 mm, ε = 2 ε0, R=0
Bai giai:
- Cương độ điện trương do môi ban gây ra: E σ
ε
=
Ta co: E = -grad d
dx
ϕ
ϕ = − → ϕ = −
Điện dụng cua tụ C sẽ là:
C
d d
σ
ϕ
ε
Vi dong điện chay trong L, C, co R=0, coi không co thê điện động ngoai lai :ξ( )n = 0
Ta co:
Trang 10( )
2
2 2
2
0 0
d I
ω ω
• •
Trong đo: Tân số dong:
2
f
s
d
π
ε
Thay số, ta đươc:
( )
2
5 0
10 4 9.10
s
d
ε
π
−
−
−
Đề 12 Chưng minh răng vơi cac song phăng đơn săc, nêu thê vector ur A thoa man phương trinh
0.exp
A A = i kr − ω t
thi cac vector điện trương và từ trương thoa man cac hệ thưc:
.
B i k A = va E i A = ω
#
Bai giai:
- Ta co: B rot A ur = ur
- Trong đo:
0 0 0
.exp exp exp
ω ω ω
r r rr rr
- Ta đươc:
B rot A
B ik A
→ =
Trang 11- Vây phương trinh Macxell dang:
.
A
t
i A
ω
∂
∂
= −
ur
ur
ur
Đề 13: Tính điện dung của một tụ điện hình cầu có bán kính các bản là:
1, 2
R R , khoảng cách giữa hai bản chứa hai điện môi khác nhau.
Bài giải:
- Điện trường bên ngoài quả cầu bán kính R, tích điện đều với mật độ điện tích ρ , hệ số điện môi ε là:
1 3
R r
e r E
r e dien tich hinh cau ban kinh R
π ε
≤
r ur
- Hiệu điện thế giữa hai bản tụ:
2
1 2
1
1 2
2 1
1
4
R
R R
R
R R
e U
π ε
r
- Điện dung của tụ cầu:
1 2
1 2
1 2
2 1
4
4
R R
R R
π ε
π ε
p W
Đề 14 Hai tụ điện có điện dung bằngC C1, 2; điện tích bằng e e1, 2, được mắc song song với nhau Tính và giải thích sự biến đổi điện tích tĩnh điện của chúng?
Bài giải:
- Năng lượng các tụ khi chưa đấu nối với nhau:
1 2
1 2
2
W
2
W
- Năng lượng các tụ khi được đấu nối song song với nhau:
Trang 12( )2
2
W
- Sự biến đổi năng lượng tĩnh điện:
2
1 1 2 2
1 2 1 2
1
0 2
e C e C
C C C C
+
- Vậy năng lượng của hai tụ giảm
Đề 15 Một vật dẫn hình trụ dài vô tận, có một lỗ rỗng hình trụ dài vô tận Trong phần đặc của vật có dòng
điện mật độ là j Tính từ trường trong phần rỗng?
Bài giải:
- Từ trường trong phần rỗng là sự chồng chập của hai từ trường:
Từ trường do hình trụ lớn gây ra
Từ trường do phần trụ rỗng gây ra
- Xét điển M bất kì lắm trong lỗ rỗng
Từ trường do hình trụ lớn gây ra tại M:
1 Áp dụng công thức dòng toàn phần dưới tích phân do dòng điện không đổi:
1
2
2
C
jR
H dl = I = j S ⇒ π RH = j R π ⇒ H =
Ñ
2 Theo công thức Bioxava:
4
j r I
r
π
r r uur
Trang 13Do: H uur1⊥ ( ) r r j r ,
Ta được: 1 1
2
H = j r
Từ trường do hình trụ rỗng gây ra: Với mật độ j thì cảm ứng từ tại M do phần rỗng O gây ra với
1
O M uuuur = r r :
' 2
1 2
H = − j r
ur
- Vậy từ trường tổng hợp tại M là:
1 2
1
2 1
2
uur uur uuur r r r
Đề 16: Viết hình chiếu của vectơ ∆Α lên các trục của hệ tọa độ cầu và hệ tọa độ trụ
Bài Giải
- Hệ tọa độ cầu:
ϕ θ
θ θ θ
ϕ
Α
∂
− Α
∂
∂
− Α
−
∆ Α
=
Α
sin
2 ) (sin sin
2 2
r r
r r
ϕ θ θ
θ θ
Α
∂
−
∂
Α
∂ +
Α
−
∆ Α
=
Α
sin
cos 2 2
sin )
(
r r
r
r
ϕ θ
θ ϕ
θ
ϕ ϕ
Α
∂ +
∂
Α
∂ +
Α
−
∆ Α
=
Α
∆
sin
cos 2
sin
2 sin
)
r r
r
r
- Hệ tọa độ cầu:
ϕ
ϕ
∂
Α
∂
−
Α
−
∆ Α
=
Α
(
r r
r r r
ϕ ϕ
Α
∂ +
Α
−
∆ Α
=
Α
(
r r
r
(∆Α)z = ∆ Α z
Đề 17: Chứng minh rằng các tích phân sau đây bằng nhau:
∫
∫
S n r a
S n a r
) (
)
(
Trong đó a là vectơ không đổi và n là vectơ pháp tuyến của mặt tích phân.
Bài giải:
Nhân tích phân đó với véctơ không đổi bất kì:
Trang 14Như vậy là hai tích phân bằng nhau.
Đề 18: Cường độ điện trường của một điện tích điểm đặt tại gốc tọa độ có dạng: r
r
k
E = 3 , trong đó k là một
hằng số Tính thông lượng của vectơ E qua một mặt cầu bán kính a có tâm trùng với gốc tọa độ
Bài giải:
S
a
k S E S
S là diện tích mặt cầu có bán kính a, Ea là cường độ điện trường tại điểm trên mặt S
Đề 19: Khoảng cách giữa hai bản của một tụ điện phẳng là d, còn diện tích là S Giữa hai bản là một lớp điện
môi dầy đặc Tụ điện được mắc vào một nguồn để có hiệu điện thế là ∆ϕ , sau đó được ngắt đi Hỏi công cần thiết để kéo lớp điện môi ra khỏi tụ điện
Bài giải:
2
2 2
2
1
2
C
C q C
q
d
S
C= ε.
Khi tách điện môi ra nhưng giữ cho tụ điện cô lập tức là điện tích q của các bản không thay đổi, điện dung là
'
2
d
S
như thế từ biểu thức
C
q W
2
2
0
W W
ε
ε
=
0
2 0
1 0
1
2
1 ) ( 1 2
1 )
1
ε
ε ϕ
ε
ε ε
−
=
∆
− +
−
=
−
=
d
S C
W W
W Q
Đề 20: Điện dung lớn nhất của một tụ điện xoay trong máy thu là 100pF Khi điều chỉnh máy, các bản của tụ
điện dịch chuyển sao cho điện dung có thể giảm tối đa còn lại 10pF Giả thiết rằng khi tụ điện tích điện đến hiệu điện thế 300V thì điện dung cực đại Sau đó xoay núm điều chỉnh để tụ điện có điện dung cực tiểu Tính công thực hiện khi xoay núm điều chỉnh đó.(bài 44)
Bài giải:
Công thực hiện bằng biến đổi năng lượng của tụ điện, ta có:
2 2
2
C
W
∆ với C1 và C2 là điện dung của tụ điện lúc đầu và sau khi công đã thực hiện Thay số vào ta
có: -9.3002 4,05.10 6J
2
10).10 -(100
W
Đề 21: Điện tích trên các bản của hai tụ điện có điện dung C1 và C2 là q1 và q2 Chứng minh rằng trong trường hợp không có gì đặc biệt, khi chúng được mắc song song thì năng lượng của hệ giảm
Bài giải:
Tổng năng lượng của hai tụ điện khi đặt riêng rẽ:
2
2 2 1
1 0
2 2 W
¦
C
q C
=
Năng lượng của hệ tụ điện khi mắc song song:
) (
2
) (
W
¦
2 1
2 2 1 1
C C
q q
+
+
=
) (
2
)
( W
¦ W
¦
2 1 2 1
2 1 2 2 1 0
+
−
−
=
−
C C C C
C q C q
Đề 22: Tính độ tự cảm L của một đơn vị chiều dài của một đơn vị chiều dài của một dây gồm hai trụ mỏng
đồng trục, bán kính a và b ( a < b ), không gian giữa chúng chứa đầy một chất có hệ số từ thẩm là µ .
Bài giải:
Từ trường giữa các hình trụ khi có dòng điện I chạy qua bằng:
r
I H
2π
=
Trang 15Năng lượng của từ trường bằng: = ∫ =
a
b I
I dV H B
4
2
π
µ
, ở đây dV = 2π.r.drlà một lớp trụ bán kính r,
bề dày dr và có chiều cao bằng đơn vị Mặt khác ta có:
2
2
LI
W = , từ đó suy ra:
a
b I
2π
µ
=
Đề 23: Một khung dây phẳng quay với vận tốc góc không đổi trong một từ trường đều, trục quay vuông góc
với từ trường Cảm ứng từ của từ trường là B, diện tích của khung dây là S Tính sức điện động cảm ứng của khung dây
Bài giải:
Tại thời điểm t, góc hợp bởi pháp tuyến của khung dây và phương của từ trường là: ϕ = ω t+ ϕ0, với ϕ0 là góctương ứng khi t = 0 Ta có: ξ = − Φ = − [S.Bcos(ω t+ ϕ0)]= S.Bsin(ω.t+ ϕ0)
dt
d dt
d
Đề 24: Một mạch dao động gồm cuộn dây có độ tự cảm L, hai tụ điện C1 và C2 mắc nối tiếp Lúc đóng mạch kín, điện tích ở C1 là Q, còn ở C2 bằng không.Tính cường độ dòng điện trên mạch
Bài giải:
Phương trình cho mạch dao đọng là: 1 1 0
2 1 2
2
=
+
C C dt
I d
L Đây là phương trình vi phân hạng hai hệ số là
hằng số, nghiệm là hàm sin Hai hằng số tích phân được xác định theo điều kiện ban đầu: khi t = 0; I0 = 0 và
1
0 LC
Q
dt
dI
t
=
=
C LC
C C C
C LC
C Q
)
2 1 2
1 1
+
=
Đề 25: Một mạch gồm tụ điện có điện dung C và một cuộn tự cảm L mắc song song ( bỏ qua điện trở của
mạch ) Mắc nối tiếp mạch trên vào một mạch có một nguồn biến thiên tần số góc ω Hỏi với điều kiện nào của tần số ω thì cường độ dòng điện bằng không?
Bài giải:
Điện trở phức của tụ điện và của cuôn tự cảm là: Z i L
C
i
−
hai điện trở này được mắc song song với nguồn có suất điện động là ξ Vậy cường độ trong mạch là: ( 1)
1
2 1
−
=
+
=
L
i Z Z Z
ω
ξ ξ
ξ
Điều
kiện để cho I bằng không là 1− ω 2LC = 0 hay là:
LC
1
2 = ω
Đề 26: Tìm các tần số dao động trong hai mạch liên kết cảm ứng có các điện dung C1, C2 và độ tự cảm L1, L2
tương ứng Hệ số hỗ cảm là L12
Bài giải:
Các phương trình đối với dòng điện của hai mạch là:
0 0
2
2 2 1 2 12 2
2 2
1
1 2 2 2 12 2 1 2 1
= + +
= + +
C
I dt
I d L dt
I d L
C
I dt
I d L dt
I d L
I1, I2 được xác định dưới dạng : I1 = I10e−iωt;I2 = I20e−iωt nhờ vậy hai phương trình trên dẫn tới hai phương trình đại số:
0 1
0 1
20 2 2 2 10
2 12
20
2 12 10 1 2 1
=
− +
−
=
−
−
I L C
I I
I L I L C
ω ω
ω ω
Trang 16[ ( ) ]
( 2 )
12 2 1 2 1
2 / 1 2 12 2 1
2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 , 1
2
4
L L L C C
L C C C
L C L C L C L
−
+
−
± +
= ω
Đề 27: Giữa các bản của một tụ điện hình cầu bán kính r1, r2 có một hiệu điện thế U Không gian giữa các bản
là môi trường đồng nhất với độ dẫn điện là λ Tính điện trở giữa các bản, cường độ dòng điện và công suất tỏa nhiệt ra
Bài giải:
Chia môi trường giữa hai bản tụ điện thành từng lớp Hình cầu đồng tâm với các bản, có bán kính r và bề dày dr Điện trở của lớp đó tỉ lệ nghịch với điện tích và tỷ lệ thuận với dr:
λ
π 2
4 r
dr
dR= , vậy điện trở R là:
= ∫ = ∫2 = −
1 2 1 2
1 1 4
1 4
1
r
dR R
π λ λ
π
1 2
r r
U R
U I
−
=
1 2
2
4
r r
U U
I Q
−
=
Đề 28: Thế của trường tĩnh điện trong chân không là:
<
>
−
=
0 : ,
0 : ,
0
0
x khi ax
x khi ax
ε
ε ϕ
Xác định sự phân bố điện tích tạo ra từ trường
Bài giải:
Phương trinh Poat-xông trong hệ tọa độ Đêcac vuông góc:
0 2
2 2
2 2
2
ε
ρ
−
=
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
z y
nhất vào tọa độ x, vế trái của phương trình trên bằng khôngdẫn dến mật độ điện khối ρ = 0 Điện trường E dễ
dàng tính được là:
<
−
>
=
=
=
0 : ,
0 : ,
; 0
0
0
x khi a
x khi a E
E
ε
ε
Tại mặt phân giới x = 0; mật độ điện mặt bằng:
a D
D1n − 2n = 2
=
σ
Đề 29: Thế của trường tĩnh điện trong chân không là:
<
+
−
>
=
a r khi a
q a
r q
a r khi r q
: , 8
3 8
: , 4
0
3 0
2 0
π ε
π ε
π ε ϕ
Trong đó r là khoảng cách từ gốc tọa độ, a và q là những hằng số.Xác định sự phân bố điện tích tương ứng
Bài giải:
Phương trình Poat-xông trong hệ tọa độ cầu là:
0 2
2 2 2 2
2
1 sin
sin
1 1
ε
ρ ψ
ϕ θ θ
ϕ θ θ θ
∂
∂ +
∂
∂
∂
∂ +
∂
∂
∂
∂
r r
r
r r r
ở đây thế ϕ chỉ phụ thuộc bán kính véctơ r, do đó ta có:
<
=
−
=
∆
−
=
a kh a q
a khir dr
d r dr
d
4 3
, 0
2
2 2
0 0
π
ϕ ε
ϕ ε ρ
Đề 30: Tính lưu số của véctơ [ ]ω.r theo vòng tròn bán kính r0 nằm trong mặt phẳng vuông góc với vectơ ω
không đổi Biết tâm vòng tròn trùng với gốc tọa độ
Bài giải:
Theo định lí Xtốc ta có:∫ [ ]ω.r.d l = ∫ rot[ ]ω.r S , vì r = const
, mà rot[ ]ω.r = 2.ω , nên tích phân trên bằng: