Phương pháp tọa độ trong không gian(doc)

Kiến thức cần nhớ: −  Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Vectơ rn≠0 được gọi là vectơ pháp tuyến của mpP nếu giá của n vuơng gĩc với P, viết tắt là r nr⊥ P.. Kiến thức cần nhớ: Vectơ chỉ

CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN

ÔN THI TỐT NGHIỆP

PHƯƠNG PHÁP

TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG

GIAN

(Lưu hành nội bộ)

2011

Tóm tắt lý thuyết TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VECTƠ

 Hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau với ba

vectơ đơn vị , ,i j kr ur ur (ri = rj = kr=1)

 aur=(a a a1; ;2 3)⇔ =aur a i1r+a j2ur+a k3ur;

M( x; y; z) ⇔OMuuuur=xir+y jur+zkur

 Tọa độ của vectơ: cho ur=( ; ; ),x y z vr=( '; '; ')x y z

1 u vr= ⇔ =r x x y'; =y z'; =z'

2 u vr r± =(x x y y z z± '; ± '; ± ')

3 kur=( ; ; )kx ky kz 4 .u v xxr r= '+yy zz'+ '

5 ur⊥ ⇔vr xx'+yy zz'+ ' 0= 6 ur = x2+y2+z2

7 ,u vr rcùng phương⇔[ , ] 0u vr r =r⇔ x: y: z = x’: y’: z’ 9 cos ,( )

u v

u v

u v

=

ur r

r r

r r

 Tích có hướng cho ar=( ; ; ), b ( ; ; )a a a1 2 3 r= b b b1 2 3

2 3 3 1 1 2

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

2 3 3 1 1 2

a a a a a a

b b b b b b

r r r

Nếu (P) có cặp vtcp , bar r (không cùng phương và có giá // (P) hoặc ⊂ (P) )

thì vectơ pháp tuyến của (P) được xác định nuurp =  a br r, 

 Tọa độ của điểm: cho A( xA; yA; zA), B( xB; yB; zB)

1.uuurAB=(x B−x y A; B−y z A; B−z A) 2.AB= (x B−x A)2+(y B−y A)2+(z B−z A)2

3.G là trọng tâm ∆ABC: x G=

3

A B C

;y G=

3

A B C

; z G=

3

A B C

5 ABC là một tam giác⇔AB ACuuur uuur∧ ≠0r khi đó S=1

2 uuur uuurAB AC∧

6 ABCD là một tứ diện⇔uuur uuurAB AC∧ uuurAD≠0, V ABCD=1( )

,

6 ABuuur uuuur uuur∧AC AD ,

(1; 0; 0)

i

r

(0;1; 0)

j

r

(0; 0;1)

k

r

O

z

x

y

Vấn đề 1: Phương trình mặt phẳng.

1 Kiến thức cần nhớ: −

 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Vectơ rn≠0 được gọi là vectơ pháp tuyến của mp(P) nếu giá của n vuơng gĩc với (P), viết tắt là r nr⊥( )P

 Nếu hai vectơ a b khơng cùng phương cĩ giá song song hoặc nằm trên mp(P) thì r r, mp(P) cĩ một vectơ pháp tuyến là: nuurP =  r ra b , 

 Phương trình tổng quát của mp cĩ dạng: Ax+By+Cz+D=0 với A2+B2+C2 ≠0

 Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M x y z cĩ vectơ pháp tuyến ( ; ; )0 0 0

( )

=

uur

; ;

P

n A B C cĩ dạng: A x x( − 0) (+B y y− 0) (+C z z− 0)=0.

Nhớ Để viết phương trình mặt phẳng ta cần tìm:

( )





=



r 0 0 0

điểm ( ; ; ) thuộc mp một VTPT ; ;

2 Các dạng tốn.

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua một điểm M x y z và vuơng gĩc ( ; ; )0 0 0

với đường thẳng d. 

→

=

 uur uur

0 0 0

đi qua ( ; ; )

HD

P d

Nhớ: mặt phẳng vuơng gĩc đường thẳng nhận VTCP của đường thẳng làm VTPT.

 Viết phương trình mp(P) qua điểm A(2;2;−1) và vuơng gĩc với d:

 = +

 = −



 =



1 2 3 2

z

Bài giải→

=

 uur uur

đi qua A(2;2-1)

HD

P d

Điểm

Mặt phẳng (P) qua điểm A(2;2;−1); cĩ vectơ pháp tuyến là uur uurn P =a d =(2; 3;0− )

(P):2(x− −2 3) (y− +2) ( )0 z+ = ⇔1 0 2x− −4 3y+ = ⇔6 0 2x−3y+ =2 0

Bài 2: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(2;2;−1) và vuơng gĩc với đường thẳng d: − = + =

−

x y z Bài giải→

=

 uur uur

đi qua A(2;2-1)

HD

P d

Điểm

Mặt phẳng (P) qua điểm A(2;2;−1); cĩ vectơ pháp tuyến là uur uurn P =a d =(1;2; 2− )

(P):1 − +(x 2 2) (y− −2 2) ( )z+ = ⇔ − +1 0 x 2 2y− − − = ⇔ +4 2z 2 0 x 2y− − =2z 8 0

Nhớ: Mp(P) vuơng gĩc đường thẳng d nhận vectơ uura làm vectơ pháp tuyến. d

Bài 3: Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2).

1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua B vuơng gĩc với AC.

Bài giải→

=

 uur uuur

đi qua B(0;2;0)

HD

P

Điểm

Mặt phẳng (P) qua điểm B(0;2;0); cĩ vectơ pháp tuyến là nuur uuurP =AC= −( 2;0;2)

(P):−2 − +(x 0) (0 y− +2 2) (z−0)= ⇔ −20 x + 2z = 0⇔ −x+z=0

Cần nhớ: Mp(P) vuơng gĩc đường thẳng AC nhận vectơ uuurAC làm vectơ pháp tuyến.

2 Viết phương trình mặt phẳng (P) vuơng gĩc với BC tại B.

Bài giải→

=

 uur uuur

đi qua B(0;2;0)

HD

P

Điểm

Mặt phẳng (P) qua điểm B(0;2;0); cĩ vectơ pháp tuyến là nuur uuurP =BC=(0; 2;2− )

(P):0 − −(x 0 2) (y− +2 2) (z−0)= ⇔ −20 y+4+2z=0⇔ −2y+2z+4=0

Cần nhớ: Mp(P) vuơng gĩc đường thẳng BC nhận vectơ uuurBC làm vectơ pháp tuyến.

Bài 4: Cho hai điểm A(1;1;1), B(3;3;3) Viết phương trình mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

Bài giải→

=

 uur uuur

đi qua là trung điểm I(2;2;2)

HD

P

Điểm

Gọi I là trung điểm của AB⇒I(2;2;2)

Mặt phẳng (P) qua điểm I(2;2;2); cĩ vectơ pháp tuyến là uur uuurn P =AB=(2;2;2)

(P):2 − +(x 2 2) (y− +2 2) (z− = ⇔ 22) 0 y+2y+2z-12=0

Cần nhớ: Mp trung trực của đoạn thẳng AB là mp vuơng gĩc với đoạn thẳng AB tại trung điểm I của đoạn thẳng AB.

Kiến thức khơng được quên

− Trục Ox cĩ VTCP là ri=(1;0;0)

− Trục Oy cĩ VTCP là rj=(0;1;0)

− Trục Oz cĩ VTCP là kr=(0;0;1)

− Mp (Oxy) cĩ VTPT: = = =( )

 

− Mp (Oxz) cĩ VTPT: = = =( )

 

− Mp (Oyz) cĩ VTPT: = = =( )

 

 Trục Ox:

 =

 =



 =



0 0

x t

y

z

;  Trục Oy:

 =

 =



 =



0 0

x

y t z

 Trục Oz:

 =

 =



 =



0 0

x y

z t

 mp(Oxy): z = 0  mp(Oxz): y = 0  mp(Oyz): x = 0

Bài 5: Cho điểm M(1;2;3).

1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Ox.

Bài giải

( )





uur r

ñi qua M(1;2;3)

1;0;0

HD

P

Ñieåm

Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Ox nhận vectơ ri làm vectơ pháp tuyến.

2) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Oy.

Bài giải

( )





uur r

ñi qua M(1;2;3)

0;1;0

HD

P

Ñieåm

Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Oy nhận vectơ rj làm vectơ pháp tuyến.

3) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Oz.

Bài giải→ = =( )

uur r

ñi qua M(1;2;3)

0;0;1

HD

P

Ñieåm

Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Oz nhận vectơ k làm vectơ pháp tuyến.r

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua ba điểm A, B, C 



uur uuur uuur0 0 0

ñi qua A( ; ; )

,

HD

P

Bài 1: Viết phương trình mp(P) qua ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1)

Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;0;0); có vectơ pháp tuyến là =  

uur uuur uuur

,

P

(P):1 − +(x 1 1) (y− +0 1) (z−0) = ⇔ − + + = ⇔ + + − =0 x 1 y z 0 x y z 1 0

Bài 2: Cho hai điểm M(1;1;1), N(1;−1;1) Viết phương trình mp(OMN).

Bài giải→ =  

uur uuuur uuur

ñi qua O, VTPT ,

HD

P

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua một điểm M x y z và ( ; ; )0 0 0

song song với mp(Q) →

=

 uur uur

0 0 0

ñi qua ( ; ; )

HD

P Q

Bài 1: Viết phương trình mp(P) qua A(1;2;3) và song song mp(Q): 2x+2y+z=0 Bài giải→

=



uur uur

ñi qua A(1;2;3)

HD

P Q

Ñieåm

Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;2;3); có vectơ pháp tuyến là uur uurn P =n Q =(2;2;1).

(P):2 − +(x 1 2) (y− +2 1) (z− = ⇔ 2 − +3) 0 x 2 2y− + − = ⇔ 2 +4 z 3 0 x 2y z+ − =9 0

Bài 2: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) Viết phương trình mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song với mp(ABC)

Bài giải→



uur uuuur uuur uuur

ñi qua M

,

HD

P ABC

Ñieåm

Mặt phẳng (P) qua M(1;2;3); có vectơ pháp tuyến là = =  

uur uuuur uuur uuur

,

P ABC

(P): 1 − +(x 1 1) (y− +2 1) (z− = ⇔ − + − + − = ⇔ + + − =3) 0 x 1 y 2 z 3 0 x y z 6 0

Bài 3: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oxy).

Bài giải→ = = =( )

 



uur r r r

ñi qua M(1;2;3)

HD

P

Ñieåm

Bài 4: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oxz).

Bài giải→ = = =( )

 



uur r r r

ñi qua M(1;2;3)

HD

P

Ñieåm

Bài 5: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oyz).

Bài giải→ = = =( )

 



uur r r r

ñi qua M(1;2;3)

HD

P

Ñieåm

Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua hai điểm A, B và

vuông góc với mp(Q) →

=



uur uuur uur

ñi qua A

,

HD

Ñieåm

Bài 1: Viết pt mp(P) qua A(3;1;−1), B(2;−1;4) và vuông góc với (Q): 2x−y+3z−1=0

Bài giải→

=



uur uuur uur

ñi qua A

,

HD

Ñieåm

Mặt phẳng (P) qua điểm A(3;1;−1) Cặp vectơ chỉ phương là:

1; 2;5 ; Q 2; 1;3

uur uuur uur :n P AB n, Q 1;13;5 (P):⇔ −1 − +(x 3 13) ( ) ( )y− +1 5 z+ = ⇔ −1 0 x 13y− + =5z 5 0

Bài 2: Viết pt mp(P) qua 2 điểm A(3;1;−1), B(2;−1;4) và vuông góc với mp(Oxy)

Bài giải→

 

=



uur uuur r

ñi qua A

,

HD

P

Ñieåm

Bài 3: Viết pt mp(P) qua gốc tọa độ, điểm A(1;1;1) và vuông góc với mp(Oyz) Bài giải→

 

=



uur uuur r

ñi qua O

,

HD

P

Ñieåm

Vấn đề 2: Phương trình đường thẳng.

1 Kiến thức cần nhớ:

Vectơ chỉ phương của đường thẳng là vectơ cĩ giá song song với đt hoặc trùng với đt Đường thẳng d qua điểm M x y z cĩ vectơ chỉ phương ( ; ; )0 0 0 auurd =(a b c :; ; )

Cĩ phương trình tham số:

 = +

 = +



 = +



0 0 0

.

Cĩ phương trình chính tắc: − − −

Cần nhớ: Để viết pt đường thẳng ta tìm:

( )





uur0 0 0

điểm ( ; ; ) thuộc đường thẳng một VTCP d ; ;

2 Các dạng tốn.

Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A, B.

Cần nhớ: Đường thẳng AB cĩ vectơ chỉ phương là vectơ uuurAB

Bài 1: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A(1;2;3), B(2;1;4).

Đường thẳng AB qua điểm A(1;2;3); cĩ vectơ chỉ phương là: uuur uuura AB =AB =(1;−1;1).

- Pt tham số của AB là:

 = +

 = −



 = +



1 2 3

.

Bài 2: Cho ba điểm A(1;1;1), B(2;2;2), C(3;6;9) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Viết phương trình đường thẳng OG.

Ta cĩ G(2;3;4) Đường thẳng OG qua điểm O(0;0;0); cĩ vectơ chỉ phương là:

=

uuur uuur

OG

 =

 =



 =



2 3 4

.

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và vuơng gĩc với mp(P) VTCPa = VTPT uurd uurn P

Bài 1: Viết pt đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) và ⊥ (P): x − 2y – z – 1 = 0.

Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3); cĩ vectơ chỉ phương là: uur uura d =n =(1;−2;−1) P

- Pt tham số của d là:

 = +

 = −



 = −



1

2 2 3

.

Cần nhớ: Đường thẳng vuơng gĩc mp nhận VTPT của mp làm VTCP.

Bài 2: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) Viết pt đường thẳng d qua gốc tọa

độ và vuông góc mp(ABC).

Bài giải→



uur uuuur uuur uuur

ñi qua O

,

HD

d ABC

Ñieåm

Đường thẳng d qua O(0;0;0); có vectơ chỉ phương là: = =  

uur uuuur uuur uuur

,

d ABC

- Pt tham số của d là:

 =

 =



 =



x t

y t

z t

Bài 3: Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;2;3) và vuông góc mp(Oxy) Bài giải→

 



uur r r r

ñi qua M ,

HD

d

Ñieåm

 =

 =



 = +



1 2 3

x y

Bài 4: Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;2;3) và vuông góc mp(Oxz) Bài giải→ = = =( )

 



uur r r r

ñi qua M

HD

d

Ñieåm

 =

 = +



 =



1 2 3

x

z

Bài 5: Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;2;3) và vuông góc mp(Oyz) Bài giải→ = = =( )

 



uur r r r

ñi qua M

HD

d

Ñieåm

 = +

 =



 =



1 2 3

y z

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và song song đ thẳng d’ Bài 1: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) và // d’:

 = +

 = −



 = +



1

2 3

3 4

Bài giải→

=

 uur uur'

ñi qua M

HD

d d

Ñieåm

Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) có vectơ chỉ phương là: uur uura d =a =(1;−3;4) d'

- Pt tham số của d là:

 = +  = +

 = + ⇔ = −

 = +  = +



0 0 0

1

2 3

3 4

.

Bài 2: Viết phương trình d qua điểm M(1;2;3) và song song d’: − = + =

−

Bài giải→

=

 uur uur'

ñi qua M

HD

d d

Ñieåm

 = +

 = −



 = +



1

2 3

3 4

.

Bài 3: Cho ba điểm A(1;2;3), B(2;1;−3), C(3;−2;1) Viết phương trình đường thẳng

d qua điểm A và song song với đường thẳng BC.

Bài giải→

=

 uur uuur

ñi qua A

HD

d

Ñieåm

 = +

 = −



 = +



1

2 3

3 4

Bài 4: Viết pt đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) và song song trục Ox.

Bài giải→

=

ñi qua A

HD

d

Ñieåm

 = +

 =



 =



1 2 3

y z

Bài 5: Viết pt đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) và song song trục Oy.

Bài giải→

=

ñi qua A

HD

d

Ñieåm

 =

 = +



 =



1 2 3

x

z

Bài 6: Viết pt đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) và song song trục Oz.

Bài giải→

=

 uur r

ñi qua A

HD

d

Ñieåm

 =

 =



 = +



1 2 3

x y

Các dạng toán khác.

Dạng 1: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.

Bài 1: Tìm giao điểm của đường thẳng d:

 = − +

 = − +



 = −



1 1 2

và mp(P): x + y − 2z – 4 = 0.

Gọi H( x; y; z) là giao điểm của d và (P) Tọa độ H là nghiệm của hệ pt:

 = − +

 = − +



 = −



 + − =



1

1

2

2 –4 0

Ta có −1 + t – 1 + t − 2(−2t) – 4 = 0 ⇔ t = 1 Vậy H(0; 0; −2)

Cần nhớ: Nếu đường thẳng cho ở dạng chính tắc thì ta chuyển về dạng tham số.

Bài 2: Tìm giao điểm của đường thẳng d: + = + =

−

x y z và mp(P):x+y−2z−4=0.

Bài 3: Cho hai điểm A(0;2;1), B(1;−1;3) và mp(P): 2x+y+3z=0 Tìm giao điểm của đường thẳng AB và mp(P).

Bài giải

Pt tham số của AB là:

 = +  = +

 = + ⇔ = −

 = +  = +



0 0 0

0

2 3

1 2

Tương tự t = − 1 ⇒ H(−1; 5; −1)

Bài 4: Cho ba điểm A(1;0;0) B(0;1;0), C(0;0;1) Xác định hình chiếu vuông góc của A lên BC.

 Bước 1: Viết phương trình đường thẳng BC.

 Bước 2: Viết phương trình mp(P) qua A và vuông góc BC.

 Bước 3: Tìm giao điểm H của BC và (P), H chính là hình chiếu của A lên BC.

Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau:

Cần nhớ: Hai đường thẳng d và d’ vuông góc với nhau ⇔a auur uurd d'=0

Bài 1: Cminh hai đường thẳng d:

 =

 = −



 = +



2 3

1 2

x t

, d’:

 =

 = +



 = +



2

2 2

1 2

vuông góc với nhau

Đường thẳng d có vtcp ar=(1; 3;2− ) Đường thẳng d’ có vtcp auur'=(2;2;2) .

Ta có: a ar uur ' 1.2 3.2 2.2 0= − + = Vậy: d ⊥ d’

Bài 2: Cho điểm A(1;−3;2) Chứng minh OA ⊥d:

 =

 = +



 = +



2

2 2

1 2

Bài 3: Chứng minh đường thẳng d:

 =

 = +



 = −



2

2 8

1 9

x

vuông góc với trục Ox

Dạng 3: Chứng minh hai đường thẳng song song với nhau.

Để chứng minh hai đường thẳng song song ta chứng minh hai VTCP cùng phương và một điểm thuộc đường thẳng này nhưng không thuộc đường thẳng kia.

Bài 1: Chứng minh hai đường thẳng d:

 =

 = +



 = +



2 1

x t

// d’:

 =

 = − +



 = − +



2

2 2

3 2

Bài giải

Đường thẳng d qua điểm A(0;2;1) có vectơ chỉ phương: ar=( )1;1;1

Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương: auur'=(2;2;2)

+ Ta chứng minh hai VTCP cùng phương:

Cách 1: ra và a' cùng phương dour 1 1 12 2 2= =

( )

 

2: Do ' =2 a nên và a' cùng phương

Cách 3: Do ,a' 0;0;0 0 nên và a' cùng phương

+ Ta chứng minh điểm A(0;2;1) thuộc d nhưng khơng thuộc d’.

Thế tọa độ điểm A vào pt của d’:

 = − + ⇔ =

 = − +  =

suy ra A khơng thuộc d’ Vậy: d và d’ song song với nhau.

Cần nhớ: Khi thế tọa độ điểm A vào d’  ⇒ ∈



t bằng nhau A d'

ba t không bằng nhau A d'

ba

Đề thi Tốt nghiệp năm 2008.

Cho điểm M(−2;1;−2) và đt d: − = + =

−

x y z CMR: OM song song d.

Đường thẳng OM qua điểm O(0;0;0) cĩ vectơ chỉ phương: OMuuuur= −( 2;1; 2− )

Đường thẳng d cĩ vectơ chỉ phương: auur'=(2; 1;2− )

Ta cĩ: OMuuuur và a cùng phương dor − = =− = −

−

Thế tọa độ điểm O vào pt của d ta cĩ: − = + =

−

0 1 0 1 0

2 1 2 (sai) ⇒ O ∈ d Vậy: OM song song đường thẳng d

Cần nhớ: Khi thế tọa độ điểm O vào d  ⇒ Ο ∈



phân số bằng nhau d phân số không bằng nhau d

ba

Dạng 4: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng:

Ta chứng minh a nr r =0 và một điểm thuộc đường thẳng nhưng khơng thuộc mp.

Bài 1: Chứng minh đường thẳng d:

 = −

 = +



 = −



1 2

2 3

3 6

song song mp(P): 3x + 4y + z – 9 = 0

Đường thẳng d qua A(1;2;3) cĩ vectơ chỉ phương: ar= −( 2;3; 6− )

MP(P) cĩ vectơ pháp tuyến: nr=(3;4;1) Ta cĩ: a nr r = −2.3 3.4 6.1 0+ − = .

Mặt khác điểm A(1;2;3) thuộc d nhưng khơng thuộc (P) Vậy: d // (P).

Cần nhớ: Để chứng minh đt song song mp ta chứng minh tích vơ hướng của VTCP và

VTPT bằng 0 và một điểm thuộc đường thẳng nhưng khơng thuộc mp

Bài 2: Chứng minh đường thẳng d:

 = −

 =



 = −



1 2 9

10 6

y

song song mp(Oyz).

Đường thẳng d qua A(1; 9; 10) cĩ vectơ chỉ phương: ar= −( 2;0; 6− )

MP(Oyz) cĩ vectơ pháp tuyến: rj=(0;1;0) Ta cĩ: r ra j = −2.0 0.1 6.0 0+ − =

Mặt khác điểm A(1;9;10) thuộc d nhưng khơng thuộc (Oyz) Vậy: d // (Oyz).

Chú ý: Ta khơng cần viết pt mp(Oyz) mà ta chỉ cần VTPT của mp(Oyz).

Bài 3: Cho hai điểm A(1;2;3), B(2; 1;3) và mp(P): 2x+2y−3z−9=0 Chứng minh đường thẳng AB song song mp(P).

Đường thẳng AB qua A cĩ vectơ chỉ phương: ra=(1; 1;0− )

MP(P) cĩ vectơ pháp tuyến: nr=(2;2; 3− ) Ta cĩ: a nr r =1.2 1.2 0.( 3) 0− + − =

Mặt khác điểm A(1;2;3) thuộc d nhưng khơng thuộc (P) Vậy: AB song song mp(P).

Dạng 5: Chứng minh đường thẳng d vuơng gĩc với mp(P) :

Ta chứng minh VTCP và VTPT cùng phương với nhau.

Bài 1: CM đt d:

 = +

 = +



 = +



1

2 2

4 3

vuơng gĩc mp(P): 2x+4y+6z+8=0.

Đường thẳng d cĩ vectơ chỉ phương: ar=(1;2;3)

MP(P) cĩ vectơ pháp tuyến: nr=(2;4;6) Ta cĩ: r.=1r hoặc ( r=2r)

2

cùng phương với nhau Vậy: d vuơng gĩc mp(P).

Các bài tốn về tam giác.

Dạng 1: Chứng minh ba điểm A, B, C là ba đỉnh một tam giác.

Ta chứng minh: uuur uuurAB AC khơng cùng phương.,

Cho 3 điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) Cm A, B, C là ba đỉnh một tam giác.

( ) ( )

1;1;0 ; 1;0;1

AB AC Ta cĩ: −1: 1: 0 ≠ −1: 0: 1 hay uuur uuurAB AC,  = ( )1;1;1 ≠r0 nên uuur uuurAB AC khơng cùng phương nên A, B, C là ba đỉnh một tam giác.,

Dạng 2: Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ⇔uuur uuurAB AC cùng ,

phương.

Cho ba điểm A(1;1;1), B(2;2;2), C(9;9;9) Chứng minh A, B, C thẳng hàng.