PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TỔ HỢPLÊ HỒNG ĐỨC-LÊ BÍCH NGỌC-LÊ HỮU TRÍ BÀI TẬP Sử dụng tích phân để chứng minh đẳng thức nhị thức Newton Bài 1: Với n là số nguyên dương, chứng minh rằng: a.
Trang 1PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TỔ HỢP
LÊ HỒNG ĐỨC-LÊ BÍCH NGỌC-LÊ HỮU TRÍ
BÀI TẬP
Sử dụng tích phân để chứng minh đẳng thức nhị thức
Newton
Bài 1: Với n là số nguyên dương, chứng minh rằng:
a (ĐHGTVT 2000): 0 1n 2n kn nn n 1
n
n
Giải
Với mọi x, và với n là số nguyên dương, ta có:
(1+x)n=
n
k k n
k 0
C x
Lấy tích phân theo x hai vế của (1), ta được:
t t n n 1 n k 1
k 1 k
n 1 n
n
k 0
t C (1 t) 1
(2)
a Thay t=1 vào (2), ta được:
k
n 1 n
n
k 0
k 1 k k k
C
, ®pcm
b Thay t=-1 vµo (2), ta ® îc:
Trang 2n 0
n
0 2 1 3 2 n 1 n n
Bài 2 : Tính tích phân: I= (1 x) dx
Từ đó chứng minh rằng:
Gi ả i
Ta có:
2
I= (1 x) dx (1 n) d(1 x) [( 1) 1] (1)
n 1 0 n 1 Với mọi
n
n k k k
n
k 0
n
x, và với n là số nguyên d ơng, ta có:
(1-x) ( 1) C x (2) Lấy tích phân theo x hai vế của (2), ta đ ợc:
(1 x) dx ( 1
k k k k k
k 0 k 0
n
0 2 1 3 2 n 1 n
2 x ) C x ( 1) C
k 1 0
2C 2 C 2 C 2 C (3)
Trang 32 3 n 1 n 1
n
n k k
n
k 0
Bài 3: Với n là số nguyên d ơng, chứng minh rằng:
Gi ả i
Với mọi x, và với n là số nguyên d ơng, ta có:
(1+x) C x
t t n n 1 n n 1
k 1 k
n 1
n
(1) Lấy tích phân theo x hai vế của (1), ta đ ợc:
t C (1 t) 1
n
k 0
k k
n 1 1 n
n
k 0
1
2 n
n
0
1 2 n n
n
(2) Thay t=2 vào (2), ta đ ợc:
2 C
3
, đpcm
Bài 4: (ĐHQG TPHCM Khối A 97) Tính tích phân:
I (1 x ) dx, với n N
Từ đó suy ra:
C C ( 1) C 2.4 2n
3 5 2n 1 35 (2n 1
n
2 n 2 n 1
2 n 2 n 1 2 2 n 1 2
n
2 n
)
Gi ả i
Ta xác định tích phân I bằng ph ơng pháp tích phân từng phần, với đặt:
u (1 x ) du 2nx(1 x ) dx
Khi đó:
1
I x(1 x ) 2n (1 x ) x dx 2n (1 x ) [(1 x ) 1] dx
0 2n (1 x ) dx (
2 n 1
n n 1
1
0
1 x ) dx 2n(I I )
2n 1 2n 1 2n 1 3 3.5 (2n 1)
2.4 2n
(1) 3.5 (2n 1)
n k k k 2 n k 2x
2 n k k 2 k k k
k 0 k 0
1 2
0 n n
n
Ta có:
(1-x) ( 1) C x (1 x ) C x (2)
Lấy tích phân x theo hai vế của (2), ta đ ợc:
2 x (1 x ) dx ( 1) C x ( 1) C
2k 1 0
n n n
1) C (3) 2n 1