Đề thi thử THPT Quốc gia môn toán năm 2015

Viết phương trình đường thẳng d nằm trong P đồng thời cắt và vuông góc với ∆.. SỞ GD&ĐT HÀ NỘI ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 2 NĂM 2015 HƯỚNG DẪN CHẤM 1 Hướng dẫn chấm chỉ nêu một c

SỞ GD&ĐT HÀ NỘI ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 2 NĂM 2015

Thời gian: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 (2,0 điểể̉m) Cho hàm số 2

1

x y x

− +

=

− Error: Reference source not found (1).

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).

b) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng y= − +x m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.

Câu 2 (1,0 điểm) Giải các phương trình:

a) cos 3x+4sinx−cosx=0 b) 4x−4.2x+ 1− =9 0

Câu 3 (1,0 điểể̉m)

a)Error: Reference source not found Tìm phần ảo của số phức z, biết: z− +(2 i z) = −3 2 i

b) MError: Reference source not foundột lớp học có 16 học sinh nam và 24 học sinh nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 học sinh đi làm trực nhật sao cho trong 5 học sinh được chọn có 2 bạn nữ và 3 bạn nam

Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân

1

0

1 3

I =∫x + xdx

Câu 5 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng 2 1 3

:

− , mặt

phẳng (P): x−2y z+ − =2 0 Tìm tọa độ giao điểm của ∆ và (P) Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) đồng thời cắt và vuông góc với ∆

Câu 6 (1,0 điểm) Cho lăng trụ ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại B, · ' ' ' BAC =600 Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC, góc giữa đường' thẳng AA và mặt phẳng (' ABC bằng ) 60 và 0 7

3

a

AG= Tính theo a thể tích khối lăng trụ và cosin của góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng ( ABB A ' ')

Câu 7 (1,0 điểể̉m) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD Đường tròn (C) ngoại tiếp tam

giác ABC có phương trình(x−2)2+ −(y 3)2 =25. Chân các đường vuông góc hạ từ B và C xuống AC, AB

thứ tự là M(1;0), N(4;0) Tìm tọa độ các điểm A, B, C, D biết tam giác ABC nhọn và đỉnh A có tung độ âm

Câu 8 (1,0 điểể̉m) Giải hệ phương trình:

 + + − + = + − +





 + + − + + + − − =



Câu 9 (1,0 điểể̉m) Cho a, b, x, y là các số dương thỏa mãn 5 5

2; , 4

a + =b x y≤ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2

2 2

P

xy a b

+ +

=

+ -Hết -Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh : Số báo danh :

SỞ GD&ĐT HÀ NỘI ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 2 NĂM 2015

HƯỚNG DẪN CHẤM

1) Hướng dẫn chấm chỉ nêu một cách giải với những ý cơ bản, nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm nhưng vẫn đúng thì cho đủ số điểm từng phần như thang điểm quy định 2) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện với tất cả giám khảo

3) Điểm toàn bài tính đến 0,25 điểm Sau khi cộng điểm toàn bài, giữ nguyên kết quả (không làm tròn) 4) Với các bài hình học (Câu 6 và Câu 7) nếu học sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm

phần đó

1.a - Tập xác định: D=¡ \{1}.

- Giới hạn, tiệm cận:

→+∞= →−∞= − ⇒ = − là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

= +∞ = −∞ ⇒ = là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

0.25

Ta có ' 1 2 0,

( 1)

x

= − < ∀ ∈ ⇒

− hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞;1) và (1;+∞)

0.25

Đồ thị:

4

2

-2

-4

y

x

h y ( ) = 1

g x ( ) = -1

f x ( ) = -x+2 x-1

-1

2

0.25

1.b Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d y: = − +x m và đồ thị (C) là

2 1

x

x m

x

− +

− + =

−

0.25

2 2

0.25

d cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1, hay

2

− − + + ≠





0.25

2 2

m

m

>



2.a cos3x+4sinx−cosx= ⇔ −0 2sin 2 sinx x+4sinx= ⇔0 sin (sin 2x x− =2) 0 0.25

x

x

loai

=



0.25

3.a Giả sử z a bi= + ( ,a b∈¡ Từ giả thiết suy ra)

3

a b

b a

+ = −

 + − + − = − ⇔ + − + − − = − ⇔  − = −



0.25

;

b= − a= − Vậy phần ảo của z là 5

4

3.b Số cách chọn 2 bạn nữ là 2

24

C , số cách chọn 3 bạn nam là 3

16

Vậy số cách chọn được 5 bạn thỏa mãn bài toán là 2 3

24 16 154560

Suy ra

2 2 2

1

1 2

t t dt

I = −

2

4 2

t t

5. Gọi M là giao điểm của ∆ và (P), suy ra tọa độ của M là nghiệm của hệ



 − + − =



0.25

3

1 (3;1;1)

1

x

z

=





⇔ = ⇒

 =



0.25

(P) có VTPT (1; 2;1) nr − , ∆ có VTCP (1; 2; 2)ur − Từ giả thiết suy ra d có một VTCP là

, (2;3; 4)

d

uuur=n ur r= .

0.25

d nằm trong (P) và cắt ∆ nên d đi qua M suy ra phương trình đường thẳng d là:

G

M

B

B'

C' A'

H

N E F

Gọi M là trung điểm BC, góc giữa AA’ và mặt phẳng (ABC) là · A AG' =600, suy ra chiều

3

A G= AG =

0.25

Đặt AB =x x,( > ⇒0) AC=2 ,x BC = 3 x Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông

ABM ta có:

tích của lăng trụ đã cho là: 7 3

'

2

V =A G S = (đvtt)

0.25

Kéo dài CG cắt AB tại N, kẻ GE vuông góc với AB (E thuộc AB), hạ GF vuông góc với A’E

(F thuộc A’E) Ta có '

AB A G

AB A GE AB GF GF ABB A

AB GE

⊥

Qua C kẻ đường thẳng song song với GF cắt tia NF tại H, suy ra H là hình chiếu vuông góc

của C trên (ABB’A’) Hay góc giữa AC và mặt phẳng (ABB’A’) là HAC· .

0.25

Dễ thấy

2 6

a

CH = GF = Xét tam giác AHC vuông tại H, có sin· 21

4 2

CH HAC

AC

Từ đó cos· 22.

8

HAC =

0.25

7.

0.25

Kẻ tiếp tuyến với đường tròn (C) tại A Ta có tứ giác BCMN nội tiếp nên góc

ABC= AMN (cùng bù với góc ·NMC)

2

ABC MAt= = sd AC, suy ra MAt· =·AMN Mà chúng ở vị trí so le trong nên

MN//At, hay IA vuông góc với MN

(I là tâm đường tròn (C)).

Ta có MNuuuur(3;0), (2;3)I ⇒ AI x: =2. A là giao của IA và (C) nên tọa độ điểm A là nghiệm

của hệ:

2

=

0.25

-Pt AN : x y− − =4 0. B là giao điểm (khác A) của AN và (C) suy ra tọa độ của B(7 ;3).

-Pt AM : 2 x y+ − =2 0. C là giao điểm (khác A) của AM và (C) suy ra tọa độ của C(-2 ;6).

D

+ = +

 + = +

0.25

Kiểm tra điều kiện ∆ABC nhọn thỏa mãn, vậy đó là các điểm cần tìm

(Nếu không kiểm tra điều kiện này, trừ 0.25 điểm).

0.25

8 ĐK: y≥1;x≥0;4x2+8x y− + ≥5 0;11+ − −y 8x 4x2≥0 Pt (1) tương đương với

2

x + x− x= − +y y− − y− ⇔ + x− x= − + y− − y−

Xét hàm số ( ) 2 4 3

2

t

f t = + t − t trên khoảng [0;+∞)

0.25

Ta có f t'( ) t 2 3, t 0

t

= + − ∀ > Theo BĐT Cô si, ta có

3

= + + − ≥ − = , suy ra ( )f t đồng biến trên [0;+∞) Vậy pt(1)

tương đương với: f(2 )x = f ( y− ⇔1) 2x= y− ⇔ =1 y 4x2+1

0.25

Thế vào (2) ta được: 8x+ +4 12 8− x =(2x−1)2 (3) Ta có:

2

3

2

≤ ≤ ⇒ − ≤ − ≤ ⇒ − ≤

0.25

Lại có ( )2

8x+ +4 12 8− x =16 2 8+ x+4 12 8− x ≥16⇒ 8x+ +4 12 8− x ≥4

2

⇔ = = ⇔ = ⇒ = KL: Hệ có nghiệm ( ; ) 3;10

2

=  ÷

0.25

9 Áp dụng bất đẳng thức Cô si, ta có: 0.25

5

5

+ + + + ≥ = + + + + ≥ = Suy ra 2a5+2b5+ ≥6 5(a2+b2)⇔a2+ ≤b2 2. Do đó

P

+ +

Xét hàm số ( ) 12,

2

P x

= + + với x∈(0; 4] và y là tham số Ta có

= ≤ = − < ∀ ∈ , vậy P x( ) nghịch biến trên (0;4], suy ra ( ) (4) 5

4

y

y

≥ = + .

0.25

Xét hàm số ( ) 5 ,

4

y

g y

y

= + trên (0;4], ta có '( ) 52 1 5 1 1 0

g y

y

= − + ≤ − + = − < , suy

ra g y( )nghịch biến trên (0;4] nên ( ) (4) 9

4

g y ≥g =

0.25

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng 9

4, đạt được khi a b= =1,x= =y 4. 0.25

HẾT

-SỞ GD&ĐT NGHỆ AN

TRƯỜNG THPT THANH CHƯƠNG III

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015

Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút ,không kể thời gian giao đề

Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y= − +x3 3mx+1 (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1

b) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có 2 điểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O (với O là gốc tọa độ )

Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình sin 2x+ =1 6sinx+cos 2x

Câu 3 (1,0 điểm) Tính tích phân

2 3 2 1

2ln

x

−

Câu 4 (1,0 điểm)

a) Giải phương trình 52 1x+ −6.5x + =1 0

b) Một tổ có 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để làm trực nhật Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ

Câu 5 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A(−4;1;3) và đường thẳng

:

− Viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua A và vuông góc với đường thẳng d Tìm

tọa độ điểm B thuộc dsao cho AB= 27

Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABC có tam giác ABC vuông tại A , AB= AC a= , I là trung điểm của SC, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC là trung điểm H của BC, mặt phẳng (SAB) tạo)

với đáy 1 góc bằng 60o Tính thể tích khối chóp S ABC và tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng

(SAB theo ) a.

Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC cóA( )1; 4 , tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC tại D , đường phân giác trong của ·ADB có phương trình

2 0

x y− + = , điểm M(− 4;1) thuộc cạnh AC Viết phương trình đường thẳng AB

Câu 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình

2 2







Câu 9 (1,0 điểm) Cho , , a b c là các số dương và a b c+ + =3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

=

…….Hết……….

ĐÁP ÁN

1 a (1,0 điểm)

Với m=1 hàm số trở thành: y= − + +x3 3x 1

TXĐ: D R=

2

y = − x + , ' 0y = ⇔ = ±x 1

0.25

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞ −; 1) và (1;+∞), đồng biến trên khoảng (−1;1)

Hàm số đạt cực đại tại x=1, y CD =3, đạt cực tiểu tại x= −1, y CT = −1

lim

→+∞ = −∞, lim

→−∞ = +∞

0.25

* Bảng biến thiên

x –∞ -1 1 +∞

y’ + 0 – 0 +

y

+∞ 3

-1 -∞

0.25

Đồ thị:

0.25

4

2

2

4

B (1,0 điểm)

y = − x + m= − x −m

y = ⇔x − =m

0.25

Đồ thị hàm số (1) có 2 điểm cực trị ⇔PT (*) có 2 nghiệm phân biệt⇔ >m 0 **( )

0.25

Khi đó 2 điểm cực trị A(− m;1 2− m m) , B( m;1 2+ m m) 0.25

Tam giác OAB vuông tại O ⇔OA OBuuuruuur =0 3 1

2

⇔ + − = ⇔ = ( TM (**) )

Vậy 1

2

m=

0,25

2 (1,0 điểm)

sin 2x+ =1 6sinx+cos 2x

2sinx cosx− +3 2sin x=0

sin 0

sin cos 3( )

x

=



⇔  + =

3 (1,0 điểm)

2

Tính

2 2 1

ln x

x

=∫

Đặt u ln ,x dv 12 dx

x

= = Khi đó du 1dx v, 1

= = −

Do đó

2 2 2

1 1

ln

= − +∫

0.25

2

1

J

x

Vậy 1 ln 2

2

4 (1,0 điểm)

a,(0,5điểm)

2 1

5 x+ −6.5x+ =1 0 2

5 5

x

x

 =



⇔ − + = ⇔  =



0.25

0 1

x

x

=



⇔  = − Vậy nghiệm của PT là x=0và x= −1 0.25

b,(0,5điểm)

11 165

Số cách chọn 3 học sinh có cả nam và nữ là 2 1 1 2

5 6 5 6 135

C C +C C =

Do đó xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ là 135 9

5 (1,0 điểm)

Đường thẳng d có VTCP là uuurd = −( 2;1;3)

Vì ( )P ⊥d nên ( )P nhận uuurd = −( 2;1;3) làm VTPT 0.25 Vậy PT mặt phẳng ( )P là : −2(x+ +4) (1 y− +1) (3 z− =3) 0

⇔ − + + − =2x y 3z 18 0 0.25 Vì B d∈ nên B(− −1 2 ;1 ; 3 3t + − +t t)

27

⇔ = ⇔ − + + − + = ⇔7t2−24t+ =9 0

0.25

3 3 7

t

t

=





⇔

 =



Vậy B(−7; 4;6) hoặc 13 10; ; 12

0.25

(1,0 điểm)

j

A

S

H K M

Gọi K là trung điểm của AB ⇒HK ⊥ AB(1) Vì SH ⊥(ABC) nên SH ⊥AB(2)

Từ (1) và (2) suy ra ⇒ AB⊥SK

Do đó góc giữa (SAB)với đáy bằng góc giữa SK và HK và bằng ·SKH =60o

2

a

SH =HK SKH =

0.25

a

Vì IH/ /SB nên IH/ /(SAB Do đó ) d I SAB( ,( ) ) =d H SAB( ,( ) )

Từ H kẻ HM ⊥SK tại M ⇒HM ⊥(SAB) ⇒d H SAB( ,( ) ) =HM 0.25

Ta có 1 2 1 2 12 162

3

4

a HM

,

4

a

7 (1,0 điểm)

K C

A

D

M M' E

Gọi AI là phan giác trong của ·BAC

Ta có : ·AID ABC BAI=· +· ·IAD CAD CAI=· +· Mà ·BAI CAI=· , ·ABC CAD=· nên ·AID IAD=·

⇒ DAI∆ cân tại D ⇒ DE⊥AI

0,25

PT đường thẳng AI là : x y+ − =5 0

0,25

Goị M’ là điểm đối xứng của M qua AI ⇒ PT đường thẳng MM’ : x y− + =5 0

VTCP của đường thẳng AB là uuuuurAM'=( )3;5 ⇒VTPT của đường thẳng AB là nr=(5; 3− )

Vậy PT đường thẳng AB là: 5(x− −1) (3 y− =4) 0 ⇔5x−3y+ =7 0 0,25

8.

(1,0 điểm)

2 2







Đk:

2 2

0

1 0

y

 + − − ≥



− − ≥



 − ≥



Ta có (1)⇔ − +x y 3 (x y y− ) ( + −1) 4(y+ =1) 0

Đặt u= x y v− , = y+1 (u≥0,v≥0)

Khi đó (1) trở thành : u2+3uv−4v2 =0⇔  = −u v u= 4 ( )v vn

0.25

Với u v= ta có x=2y+1, thay vào (2) ta được : 4y2−2y− +3 y− =1 2y

2

4y 2y 3 2y 1 y 1 1 0

⇔ − − − − + − − =

0.25

2

0

1 1

y

− +

1 1

y

y

− +

− − + −

0.25

2

y

− +

Với y=2 thì x=5 Đối chiếu Đk ta được nghiệm của hệ PT là ( )5; 2

0.25

9 (1,0 điểm)

Vì a + b + c = 3 ta có

2

bc

a b a c

Vì theo BĐT Cô-Si: 1 1 2

a b a c+ ≥ a b a c

+ + + + , dấu đẳng thức xảy ra⇔b = c

0,25

Tương tự 1 1

2 3

b a b c

b ca

2 3

c a c b

c ab

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 Vậy max P = 3

2 khi a = b = c = 1.

0,25

SỞ GD - ĐT TP ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG THPT NGUYỄN HIỀN

-(Ngày thi: 12/5/2015)

ĐỀ THI THỬ - KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015

Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút (không tính thời gian phát đề)

Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y = f x ( ) = − x3 3 x2+ 2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0, biết f ''( )x0 = −3.

Câu 2 (1,0 điểm)

1) Giải phương trình ( )2

cosx+ sinx −cosx = + sinx

2) Tìm số phức z sao cho (1 2 )+ i z là số thuần ảo và 2.z z− = 13.

3 log (5x− +3) log x + =1 0.

Câu 4 (1,0 điểm) Giải bất phương trình 2 2

1 1 1

x

x

x − <

−

Câu 5 (1,0 điểm) Tính tích phân 4( )

1

( 1)

I =∫ x ln x+ + dx

Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình chữ nhật và SA = AB = 2a.

Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm M của cạnh AB, mặt bên (SCD)

hợp với đáy một góc 600 Hai đường thẳng MC và BD cắt nhau tại I Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SCD).

Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 2)− , trọng tâm G( )0;1 và trực tâm 1;1

2

 ÷

  Tìm tọa độ của các đỉnh B, C và tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam

giác ABC

Câu 8 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1; 2; 3)− , đường thẳng

1 2 3

:

và mặt phẳng ( ) : 2P x y− +2z+ =4 0 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A

trên mặt phẳng tọa độ (Oyz) và B là giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (P) Viết phương

trình mặt phẳng ( )Q đi qua H và vuông góc với đường thẳng d Tính diện tích mặt cầu đường kính

AB

Câu 9 (0,5 điểm) Một hộp có 5 viên bi màu đỏ, 7 viên bi màu vàng và 8 viên bi màu xanh Cùng

một lần lấy ngẫu nhiên 3 viên bi Tìm xác suất sao cho trong 3 viên bi lấy ra không có viên bi nào là màu đỏ

Câu 10 (1,0 điểm) Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn xy yz zx xyz+ + − =0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F 2x2 y2 2y2 z2 2z2 x2

- HẾT

-Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: số báo danh:

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA 2015

(GỒM 4 TRANG)

Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y= f x( )= −x3 3x2+2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (1 điểm)

Hàm số y= f x( )= −x3 3x2+2.

• Tập xác định: R

• Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: y ' f '(x) 3x= = 2−6x, y ' 0= ⇔ =x 0; x 2=

0,25

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞;0)và (2;+∞) ; nghịch biến trên khoảng ( )0; 2

+ Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCD =2, đạt cực tiểu tại x = 2, yCT = −2

+ Giới hạn: limx→−∞y= −∞; limx→+∞y= +∞ 0,25

2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) (1 điểm)

Gọi M( ; )x y là tiếp điểm.0 0

1

2

0

1 11

y = f  =

 ÷

  ;

'

f   = ÷ −

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M: 9 1 11

y=− x− +

 ÷

Hay là: 9 5