Bài toán quy hoạch tuyến tính với hàm mục tiêu phụ thuộc tham số

Chẳng hạn, với bài toánqui hoạch tuyến tính, có thể các hệ số mục tiêu hay các hệ số ở vế phải hệ ràng buộc hoặc cả hai phụ thuộc tham số.. Đó là bài toánqui hoạch tuyến tính với hệ số m

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THÀNH KIÊN

BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VỚI HÀM MỤC TIÊU PHỤ THUỘC THAM SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN – 2014

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THÀNH KIÊN

BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VỚI HÀM MỤC TIÊU PHỤ THUỘC THAM SỐ

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG

Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TS TRẦN VŨ THIỆU

THÁI NGUYÊN – 2014

Líi cam oan

T¡c gi£

Nguyễn Thành Kiên

Tæi xin cam oan ¥y l  cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa ri¶ng tæi C¡c sè li»u

v  k¸t qu£ nghi¶n cùu n¶u trong luận v«n l  trung thüc, ch÷a tøng ÷ñccæng bè trong b§t ký mët cæng tr¼nh n o kh¡c

LỜI NÓI ĐẦU

Qui hoạch tuyến tính là bài toán tìm cực tiểu (hay cực đại) một hàmtuyến tính với các biến số thỏa mãn các ràng buộc đẳng thức (hay bấtđẳng thức) tuyến tính Ở dạng chung nhất, qui hoạch tuyến tính có thểhiểu là bài toán min{cTx : x ∈ D}, trong đó c ∈ Rn, D ⊂ Rn là mộttập lồi đa diện, nghĩa là tập các nghiệm của một hệ đẳng thức (hay bấtđẳng thức) tuyến tính và x ∈ Rn là véctơ biến cần tìm

Qui hoạch tuyến tính là bài toán tối ưu đơn giản nhất và được ứngdụng rộng rãi trong thực tiễn Đôi khi các hệ số trong bài toán, nói riêng

là các hệ số mục tiêu (như giá cả, lợi nhuận, ), không hoàn toàn đượcxác định trước mà có thể biến động Cũng vậy, trong nhiều bài toán quihoạch toán học, các dữ liệu ban đầu thường phụ thuộc một tham số nào

đó Các bài toán như thế gọi là bài toán qui hoạch tham số (parametricprogramming) Vì thế, để tìm lời giải cho các bài toán loại này ta cầnnghiên cứu qui hoạch tham số

Có nhiều dạng bài toán phụ thuộc tham số Chẳng hạn, với bài toánqui hoạch tuyến tính, có thể các hệ số mục tiêu hay các hệ số ở vế phải

hệ ràng buộc hoặc cả hai phụ thuộc tham số Cũng có thể hệ số của cácbiến trong bài toán phụ thuộc tham số Luận văn này đề cập tới mộtlớp bài toán qui hoạch tham số điển hình, thường gặp Đó là bài toánqui hoạch tuyến tính với hệ số mục tiêu phụ thuộc tuyến tính vào mộttham số, gọi tắt là qui hoạch tuyến tính tham số

Qui hoạch tuyến tính tham số nghiên cứu tính chất của nghiệm tối

ưu phụ thuộc tham số và đề xuất các phương pháp tìm nghiệm tối ưutheo tham số Các nghiên cứu này bắt đầu từ những năm 1950, gần nhưcùng thời với sự ra đời của qui hoạch tuyến tính

Mục tiêu của luận văn này là tìm hiểu và trình bày nội dung bài toánqui hoạch tuyến tính và bài toán vận tải với hàm mục tiêu phụ thuộctuyến tính vào một tham số, tính chất hàm giá trị tối ưu của bài toán,phương pháp giải bài toán với các khoảng giá trị khác nhau của tham số,tìm ví dụ số minh hoạ cho thuật toán giải qui hoạch tuyến tính tham số

và bài toán vận tải tham số và ứng dụng phương pháp qui hoạch tuyếntính tham số tìm các nghiệm tối ưu Pareto (các điểm hữu hiệu) của bàitoán qui hoạch tuyến tính hai mục tiêu

Nội dung luận văn được viết thành ba chương:

Chương 1 "Bài toán qui hoạch tuyến tính tham số" giới thiệutóm tắt về bài toán qui hoạch tuyến tính và phương pháp đơn hình giảiqui hoạch tuyến tính Sau đó tập trung giới thiệu bài toán qui hoạchtuyến tính tham số với các hệ số mục tiêu phụ thuộc tuyến tính vào mộttham số và trình bày thuật toán đơn hình tham số tìm lời giải tối ưucho bài toán với mọi tham số λ ∈ R hoặc λ ∈ t, t, trong đó t và t chotrước Hàm giá trị tối ưuϕ(λ) là một hàm lõm liên tục, tuyến tính từngkhúc (đối với bài toán min) và là hàm lồi liên tục, tuyến tính từng khúc(đối với bài toán max)

Chương 2 "Bài toán qui hoạch tuyến tính hai mục tiêu" giớithiệu vắn tắt về khái niệm tối ưu Pareto trong các bài toán qui hoạchtuyến tính với nhiều hàm mục tiêu và trình bày ứng dụng thuật toánđơn hình tham số vào tìm tập điểm hữu hiệu (tức lời giải tối ưu Pareto)của bài toán tuyến tính hai mục tiêu Thuật toán tham số cho phép tìmđược tất cả các điểm hữu hiệu, tập này tạo nên đường tối ưu Pareto củabài toán

Chương 3 "Bài toán vận tải tham số" trình bày kết quả về bàitoán vận tải tham số, với tham số có mặt ở hàm mục tiêu của bài toán.Nêu thuật toán thế vị tìm lời giải cơ sở tối ưu trong các khoảng tham

số khác nhau và nêu ví dụ số cho thấy hàm giá trị tối ưu của hai bàitoán là hàm lõm liên tục, tuyến tính từng khúc

Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn luận văn này

còn có những thiếu sót nhất định, kính mong quí thầy cô và các bạnđóng góp ý kiến để tác giả tiếp tục hoàn thiện luận văn sau này.

Nhân dịp này tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo TrườngĐại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học -Viện Khoahọc và Công nghệ Việt Nam, đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuậnlợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu

Đặc biệt tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn

GS -TS Trần Vũ Thiệu đã tận tình giúp đỡ để tác giả hoàn thành luậnvăn này

Thái Nguyên, tháng 09 năm 2014

Người thực hiệnNguyễn Thành Kiên

PHÁP ĐƠN HÌNH

1.1.1 Bài toán qui hoạch tuyến tính chính tắc

Qui hoạch tuyến tính là bài toán tìm cực tiểu (hay cực đại) một hàmtuyến tính với các biến số thỏa mãn các ràng buộc đẳng thức hay bấtđẳng thức tuyến tính Bài toán qui hoạch tuyến tính bất kỳ có thể đưa

về dạng chính tắc sau:

mincTx : Ax = b, x ≥ 0 , (1.1)

trong đó A ∈ Rm×n, b ∈ Rm, c ∈ Rn và x ≥ 0 có nghĩa là x ∈ Rn+ Tagiả thiết m 6 n và rank (A) = m, nghĩa là không có ràng buộc thừatrong số các đẳng thức

Ta nhắc lại một số định nghĩa: Hàm f (x) = cTx gọi là hàm mụctiêu (objective function) Tập D = {x ∈ Rn : Ax = b, x > 0} gọi làmiền ràng buộc (constraint set) của bài toán Như đã biết trong giải tíchlồi, D xác định như trên là một tập lồi đa diện (polyhedron) và D cóđỉnh Véctơ x ∈ D, tức là Ax = b, x ≥ 0, gọi là một lời giải chấp nhậnđược (feasible solution) Lời giải chấp nhận được đạt giá trị nhỏ nhấtcủa hàm mục tiêu cTx gọi là một lời giải tối ưu (optimal solution) Mộtđiểm x0 ∈ D gọi là điểm cực biên (extreme point) hay đỉnh (vertex)của tập lồi đa diện D nếu không có đoạn thẳng nào x1, x2 ⊂ D mà

x1 6= x2 và x0 = λx1 + (1 − λ)x2 với 0 < λ < 1 Một lời giải của bàitoán (1.1) mà là điểm cực biên của D gọi là một lời giải cơ sở (basicsolution)

Định lý sau nêu một đặc trưng cho lời giải cơ sở của bài toán chínhtắc

Định lý 1.1([2], Định lý 3.4) Ký hiệu A1, A2, , An là các cột của

ma trận A Một lời giải chấp nhận được x ∈ D¯ của bài toán (1.1) là lờigiải cơ sở khi và chỉ khi tập véctơ {Aj : ¯xj > 0} độc lập tuyến tính.Định lý sau cho biết khi nào bài toán qui hoạch tuyến tính có lời giảitối ưu

Định lý 1.2([2], Định lý 3.2) D 6= ∅ và nếu hàm mục tiêu cTx bịchặn dưới trên D thì bài toán (1.1) chắc chắn có lời giải tối ưu

Định lý sau khẳng định lời giải tối ưu đạt được tại một đỉnh của D.Định lý 1.3([2], Định lý 3.6) Qui hoạch tuyến tính chính tắc có lờigiải tối ưu thì cũng có lời giải cơ sở tối ưu

1.1.2 Phương pháp đơn hình

Phương pháp đơn hình do G B Dantzig đề xuất năm 1947 là phươngpháp quen thuộc và hiệu quả để giải các dạng bài toán qui hoạch tuyếntính Hơn nữa, phương pháp đơn hình còn được cải biên, mở rộng đểgiải nhiều bài toán khác như: qui hoạch toàn phương, qui hoạch phântuyến tính, bài toán bù tuyến tính, qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu,

Phương pháp đơn hình cũng có nhiều biến thể khác nhau tùy theo đặcđiểm bài toán cần giải: đơn hình gốc, đơn hình đối ngẫu, đơn hình gốc

- đối ngẫu, đơn hình cải biên, Trong mục này ta sẽ trình bày phươngpháp đơn hình dạng gốc giải qui hoạch tuyến tính chính tắc

Xét bài toán qui hoạch tuyến tính (1.1) Hàm mục tiêu f (x) = cTx

tuyến tính nên nếu f(x) bị chặn dưới trên miền ràng buộc

D = {x ∈ Rn : Ax = b, x > 0}

thì theo các Định lý 1.2 và 1.3, f (x) = cTx đạt cực tiểu tại ít nhất mộtđiểm cực biên của D Vậy chỉ cần tìm điểm cực tiểu trong tập các điểmcực biên của miền ràng buộc D, tức là trong tập các lời giải cơ sở Tabắt đầu từ một lời giải cơ sở

Cho x¯ là một lời giải cơ sở (cách tìm sẽ mô tả sau), ứng với cơ sở B

Ở đây cơ sở B được hiểu là một tập chỉ số với các tính chất:

Ta phân hoạch A = (AB, AN), trong đó AB = {Aj : j ∈ B} là matrận vuông không thoái hóa, lập nên bới m véctơ cột Aj của A với chỉ

số j ∈ B và AN = {Aj : j ∈ N } là ma trận lập nên bởi n - m véctơ Aj

còn lại của A với chỉ số j ∈ N Tương tự, ta viết c = (cB, cN) với cB và

cN là véctơ gồm các thành phần cj của c với j ∈ B và j ∈ N tương ứng.Cách viết x = (xB, xN) có ý nghĩa tương tự Để cho tiện, ta cũng gọi

AB là cơ sở và Aj, j ∈ B, là véctơ cơ sở, còn Aj, j ∈ N, là véctơ ngoài

cơ sở hay véctơ phi cơ sở

Tương ứng với cơ sở B, phương trình Ax = b trở thành ABxB +

ANxN = b Từ đó xB = A−1B (b − ANxN) (nói riêng x¯B = A−1B b ), suy racông thức biểu diễn các biến cơ sở theo các biến ngoài cơ sở

xB = ¯xB − A−1B ANxN

có một cơ sở mới B’ chấp nhận được tốt hơn (hay ít nhất không kém).

Đó là ý tưởng chính của phương pháp đơn hình để giải qui hoạch tuyếntính chính tắc

Để đơn giản, giả sử rằng B = 1, , m Nếu ma trận A−1B AN =[Zik, i ∈ B, k ∈ N ] thì ∆k = P

i∈B

cizik − ck và công thức (1.2) có thể viếtlại thành

Công thức này cho thấy (với bài toán tìm cực tiểu)

Tiêu chuẩn tối ưu: x¯ là lời giải tối ưu nếu

với zi0 là giá trị biến cơ sở thứ i trong x¯B và A−1B Ak = (zik)i∈B, k =

Do ∆3 = 15 > 0 nên x1 chưa tối ưu Đưa x3 vào cơ sở thay x5 LậpBảng 2.

Lời gỉải cơ sở mới x2 = (0, 0, 30, 10, 0, 30)T với f x2
= −450 <

f x1
= 0 Cơ sở mới B0 = {4, 3, 6} , N0 = {1, 2, 5} Mọi ∆k 6 0

nênx2 tối ưu: Dừng quá trình giải Xuấtxopt = x2 = (0, 0, 30, 10, 0, 30)T

và fmin = −450

THAM SỐ

1.2.1 Nội dung bài toán

Có nhiều dạng bài toán phụ thuộc tham số Chẳng hạn với bài toánqui hoạch tuyến tính, có thể các hệ số mục tiêu hay các hệ số ở vế phải

hệ ràng buộc hoặc cả hai phụ thuộc tham số Cũng có thể hệ số của cácbiến trong bài toán phụ thuộc tham số Chương này xét một trườnghợp đơn giản, thường gặp Đó là bài toán qui hoạch tuyến tính với các

hệ số mục tiêu phụ thuộc tuyến tính vào một tham số Bài toán có dạngnhư sau:

P (λ) min{(c + λd)Tx : Ax = b, x > 0}, (1.3)trong đó A là ma trận cấp m × n, b, c và d lần lượt là các véctơ (cột)với m, n và n thành phần Giả thiêt m 6 n, rank (A) = m Ký hiệu

D = {x ∈ Rn : Ax = b, x > 0} và gọi D là miền ràng buộc của bàitoán Ta cũng giả thiết D 6= ∅.

P (λ) xác định theo (1.3) gọi tắt là bài toán qui hoạch tuyến tínhtham số (Parametric Linear Programming) Tương tự như trong qui

hoạch tuyến tính, véctơ x ∈ D, tức Ax = b, x > 0, gọi là một lời giảichấp nhận được Lời giải chấp nhận được mà là đỉnh của D gọi là mộtlời giải cơ sở, mỗi lời giải cơ sở có một cơ sở tương ứng gồm chỉ số của

m biến cơ sở Lời giải chấp nhận được đạt giá trị nhỏ nhất của hàm mụctiêu (c + λd)Tx gọi là một lời giải tối ưu của P (λ) Nếu lời giải tối ưu

mà là đỉnh của D thì nó được gọi là giải cơ sở tối ưu Cơ sở tương ứngvới lời giải này cũng được gọi là cơ sở tối ưu Tập các giá trị tham số λ

làm cho một cơ sở tối ưu gọi là khoảng tham số tối ưu của cơ sở đó.Mục đích của qui hoạch tham số là tìm nghiệm tối ưu cho P (λ)vớimọi tham số λ ∈ R hay với mọi λ thuộc một khoảng cho trước nào đó

Ký hiệu ϕ(λ) là giá trị tối ưu của P (λ) Có thể thấy

ϕ : λ ∈ R → ϕ(λ) = min

Ax=b, x>0{(c + λd)Tx}

là một hàm lõm (concave function) liên tục, tuyến tính từng khúc, vì

ϕ(λ) là bao dưới của một họ hàm afin f (x, λ) = cTx
+ dTx
λ theo

λ Chú ý, ψ(λ) = maxcTx : Ax = b, x > 0 là một hàm lồi (convexfunction) liên tục, tuyến tính từng khúc, vì lúc đó ψ(λ) là bao trên củamột họ hàm afin theo λ

Theo lý thuyết qui hoạch tuyến tính tham số, có tồn tại một số hữuhạn giá trị tham số

−∞ <t−p < < t−1 < t1 < <tq < +∞ p, q > 0, nguyên
sao cho ϕ(λ) là tuyến tính với mọi λ ∈ [tk, tk+1] (−p 6 k < q) hoặcvới mọi λ 6 t−p hoặc với mọi λ > tp Ở đây các giá trị tk được đánh sốsao cho t−1 < 0 6 t1 Đồng thời với mỗi k ∈ [−p, q − 1] tồn tại cơ sở

Bk là tối ưu của bài toán P (λ) với mọi λ ∈ [tk, tk+1] Các giá trị tk gọi

là các điểm gẫy (breakpoints) của hàm ϕ(λ)

Do tính chất nêu trên nên vấn đề đặt ra là tìm các điểm gẫy tk của

ϕ(λ) và các cơ sở tối ưu Bk tương ứng với các điểm gẫy này Như vậy,

ta chỉ cần giải một số hữu hạn bài toán P (λ) với λ là các điểm gẫy

1.2.2 Thuật toán qui hoạch tham số

Sơ đồ thuật toán giải trình bày dưới đây là một biến thể của phươngpháp đơn hình quen biết trong qui hoạch tuyến tính, đã được nhắc lại

ở Mục 1.1.2

Ý tưởng chung của thuật toán tham số là bắt đầu từ một giá trịtùy ý λ ∈ R hoặc λ thuộc khoảng cho trước, chẳng hạn λ0 = t0 Dùngphương pháp đơn hình giải bài toán qui hoạch tuyến tính P (t0) Do giảthiêt D 6= ∅ nên sau một số hữu hạn bước lặp ta thu được lời giải cơ sở

tối ưu của bài toán P (t0) hoặc khẳng định hàm mục tiêu của bài toán

P (t0) không bị chặn dưới trên miền D Xét hai trường hợp

• Trường hợp 1 Giả sử ta thu được lời giải cơ sở tối ưu của P (t0)

là x0 = (x01, x0n , )T với cơ sở tối ưu B0, nghĩa là:

a) B0 ⊂ {1, , n} , |B0| = m;

b) B0 ⊇ {j : x0j > 0}, tức x0k = 0 ∀k ∈/ B0;

c) {Aj : j ∈ B0} độc lập tuyến tính

Véctơ x0 không chỉ là lời giải cơ sở tối ưu của bài toán P(λ) với tham

số λ = t0 đã chọn, mà nó còn là lời giải cơ sở tối ưu của P(λ) với mọitham số λ trong khoảng [t−1, t1] Sử dụng các điều kiện tối ưu trongphương pháp đơn hình, ta xác định khoảng tham số tối ưu [t−1, t1] của

cơ sở B0 như sau

Theo thuật toán đơn hình, ước lượng của véctơ biến xk với k /∈ B0

có thể biểu diễn dưới dạng một hàm tuyến tính phụ thuộc tham số λ

Khi đó x0 vẫn còn là lời giải tối ưu của bài toán P (λ) với mọi λ thỏamãn:

∆ 2 k

+∞, khi ∀∆2

k 6 0 (1.6)

thì tập nghiệm của hệ (1.4) là t−1 6 λ 6 t1

Như vậy, với λ ∈ [t−1, t1] ta có ∆k(λ)6 0 với mọi k /∈ B0 và vì thế

x0 là lời giải tối ưu của P (λ) Nói riêng ta có

∆k(t1) 6 0 ∀k = 1, , n (1.7)Chú ý rằng nếu ∆2k > 0 với mọi k /∈ B0 thì t−1 không bị chặn dưới,

ta đặt t−1 = −∞ còn nếu ∆2k 6 0 với mọi k /∈ B0 thì t1 không bị chặntrên, ta đặt t1 = +∞

Vậy nếu ký hiệu E(B) là khoảng tham số tối ưu của cơ sở tối ưu B, ta

có E (B0) = [t−1, t1] Vì E(B) là miền nghiệm của một hệ bất phươngtrình tuyến tính nên khoảng tham số tối ưu của cơ sở B có thể là mộtđiểm (khi t−1 = t1), một đoạn (khi t−1 < t1), một tia (khi t−1 = −∞

hay t1 = +∞) hoặc toàn bộ đường thẳng Tuy nhiên, với một cơ sở Bbất kỳ có thể E(B) = ∅.

Tiếp theo, ta xét các giá trị tham số λ ở bên phải (λ > t1) và bêntrái (λ 6 t−1) khoảng E(B) = [t−1, t1] Ta tiến hành như sau

Xét bài toán P (λ) với λ > t1 Giả sử s là chỉ số sao cho

t1 = −∆1s/∆2s = min{−∆1k/∆2k : ∆2k > 0}

Khi đó

∆s(t1) = ∆1s + t1∆2s = 0 (1.8)

Có hai khả năng xảy ra:

a Nếu zis 6 0 ∀i ∈ B0 thì do ∆2k > 0 nên với mọi λ > t1 ta có

∆s(λ) = ∆1s + λ∆2s > 0 (1.9)Theo thuật toán đơn hình thìf (x) = cTx → −∞ khit1 < λ → +∞

b Còn nếu ∃i ∈ B0, zis > 0 thì với λ > t1 khi đưa biến xs vào cơ sở

sẽ nhận được lời giải cơ sở mới tốt hơn (với giá trị hàm mục tiêu nhỏhơn)

Lời giải cơ sở x0 ứng với cơ sở B0 không còn tối ưu nữa vì ít nhất đã

có ∆s(λ) > 0 với λ > t1 (do có (1.9)) Giả sử theo thủ tục đơn hình,biến với chỉ số ir ở vị trí r trong B0 bị loại khỏi cơ sở Khi đó ta nhậnđược cơ sở mới B1 = (B0\{ir}) ∪ {s} Ta có

Định lý 1.4 B1 là cơ sở tối ưu của bài toán P (t1)

Chứng minh Theo công thức biến đổi cơ sở thì

tối ưu với λ = t1

Định lý 1.5 Khoảng tham số tối ưu của cơ sở B1 có mút trái là t1.Chứng minh Xét hệ phương trình tuyến tính

Do ir ∈ B0 nên ∆1ir = ∆2ir = 0, zri = 1, vì vậy

(∆1ir)0 = −∆1s/zrs, (∆2ir)0 = −∆2s/rs

Nếu λ là nghiệm của (1.10) thì nói riêng nó phải thỏa mãn ∆0ir(λ)6

0, tức

−∆

1 s

zrs − λ∆

2 s

∆2 s

Xét bài toán P (λ) với λ 6 t−1 Ta làm hoàn toàn tương tự nhưtrên Giả sử h là chỉ số sao cho

thuộc một khoảng có mút phải là t−1 Mút trái của khoảng này đượcxác định theo công thức tương tự như (1.5)

Bằng cách như vậy, ta sẽ thu được mọi lời giải tối ưu của bài toánqui hoạch tham số P (λ) ứng với các khoảng tham số nằm về phía trái

t−1

Nếu trong quá trình giải các bài toán P (λ) với λ > tk hoặc λ < t−k

ta sử dụng "qui tắc tự vựng" để chọn biến loại ra khỏi cơ sở như trongphương pháp đơn hình khắc phục hiện tượng xoay vòng thì bao giờ tacũng di chuyển theo những cơ sở khác nhau Do đó quá trình giải bàitoán như đã trình bày ở trên sẽ kết thúc sau một số hữu hạn bước

• Trường hợp 2 Giả sử bài toán P (t0) có hàm mục tiêu không bịchặn dưới, tức là tồn tại cơ sở B0 và chỉ số k /∈ B0 sao cho

∆k(t0) = ∆1k + t0∆2k > 0 (1.12)

và zik 6 0 ∀i ∈ B0 Xét hai khả năng

a Nếu ∆2k = 0 thì từ (1.12) cho thấy ∆k(λ) = ∆1k > 0 với mọi λ0,

do đó (c + λd)Tx không bị chặn dưới với mọi λ ∈ R, tức P (λ) có trị tối

ưu vô cực với mọi λ: Dừng quá trình giải

b Nếu∆2k 6= 0, đặtt1 = −∆1k/∆2kvà xét bất đẳng thức∆1k+λ∆2k > 0.Nếu ∆2k < 0 thì bất đẳng thức thỏa mãn với mọi giá trị λ < t1 Còn nếu

∆2k > 0 thì bất đẳng thức thỏa mãn với mọi giá trị λ > t1

Giả sử ∆2k < 0 (trường hợp ∆2k > 0 xét tương tự) Khi đó bài toán

P (λ) không giải được với mọi λ < t1, ta xét tiếp với λ > t1 Trước hết

ta giải bài toán P (t1) Có hai khả năng xảy ra:

b1 Nếu tìm được cơ sở tối ưu cho P (t1) thì quá trình tính toán tiếptục theo trường hợp 1 đã xét ở trên

b2 Nếu P (t1) lại không giải được, tức là tồn tại cơ sở B1 và chỉ số

s /∈ B1 sao cho

∆s(t1) = ∆1k + t1∆2k > 0 và zis 6 0 ∀i ∈ B1 (1.13)Xảy ra các khả năng sau:

* Nếu ∆2s = 0 thì ∆s(λ) = ∆1s > 0 với mọi λ, do đó bài toán P (λ)

không giải được trên toàn trục số thực R

* Nếu ∆2s > 0thì ∆s(λ) = ∆1s+ λ∆2s > 0 với mọiλ > t2 = −∆1s/∆2s.Mặt khác, từ (1.13) suy ra t1 > −∆1

s/∆2s = t2 Như vậy bài toán

P (λ) không giải được với mọi λ > t2, nhưng đồng thời nó lại không giảiđược với mọi λ < t1, do đó P (λ) không giải được với mọi λ ∈R.

* Nếu ∆2s < 0 thì ∆s(λ) = ∆1s + λ∆2s > 0 với mọi λ < t2 Từ (1.13)suy ra t1∆2s > −∆1

s , do đó t1 < t2 = −∆1s/∆2s.Tiếp tục xét bài toán P (λ) với λ > t2 bằng cách giải P (t2) Sau một

số hữu hạn bước hoặc sẽ khẳng định bài toán P (λ) không giải được đốivới mọi λ > t2 hoặc tìm được lời giải cơ sở tối ưu cho bài toán P (λ) với







Chọn tham số ban đầuλ = t0 = 0 Ta thêm vào 3 biến bùx5, x6, x7 >

0đưa các ràng buộc về dạng đẳng thức Giải qui hoạch tuyến tính chínhtắc P (t0) với t0 = 0 Cơ sở ban đầu B0 = {5, 6, 7} Quá trình giải

P (t0) được ghi ở các Bảng 1 - 3

∆4 = 4 > 0 Đưa x4 vào cơ sở thay cho x7 ta nhận được Bảng 2

∆2 = 9 > 0 Đưa x2 vào cơ sở thay cho x5 ta nhận được Bảng 3

Cơ sở tối ưu cho P (t0) là B0 = {2, 4, 6} Để tìm khoảng tham số tối

ưu của cơ sở này, trong Bảng 3 ngoài dòng ∆1k, ta tính thêm hai dòng

∆2k và −∆1

k/∆2k Theo (1.5) - (1.6) ta có E (B0) = [−9/2, 2/65] Giátrị tối ưu ϕ(λ) = −(148 + 16λ)/19 với mọi −9/2 6 λ 6 2/65

Tiếp theo, ta tìm lời giải của P (λ) với λ ở bên trái khoảng E (B0) =[−9/2, 2/65] Từ Bảng 3, ta đưa biến x5 (do t−1 = −∆15/∆25) vào cơ sởthay cho x2 ta được cơ sở mới B−1 = {5, 6, 4} (xem Bảng 4) Trongbảng này dòng ∆2k không có phần tử âm nên theo (1.5), B−1 là cơ sở tối

ưu của P (λ) với mọi λ ∈ (−∞; −9/2] Giá trị tối ưu ϕ(λ) = −4 + 0.λ

với mọi λ 6 −9/2

Xét bài toán P (λ) với λ ở bên phải khoảng E (B0) = [−9/2, 2/65].

Từ Bảng 3, ta đưa biến x1 (do t−1 = −∆11/∆21) vào cơ sở thay cho x4 tađược cơ sở mới B1 = {2, 6, 1} (xem Bảng 5) Trong bảng này dòng ∆2k

không có phần tử dương nên theo (1.6), B1 là cơ sở tối ưu của P (λ)vớimọi λ ∈ [2/65, +∞) Giá trị tối ưu ϕ(λ) = −(22 + 47λ)/3 với mọi

Dáng điệu của hàm giá trị tối ưu ϕ(λ) vẽ ở Hình 1.1.

Hình 1.1 Hàm giá trị tối ưu (lõm) ϕ(λ)

• Bài toán tìm cực đại (bài toán max) có thể đưa về bài toán tìmcực tiểu (bài toán min) với cùng hệ ràng buộc, bằng cách đổi dấuhàm mục tiêu Nhưng cũng có thể giải trực tiếp nhờ thay đổi tiêuchuẩn tối ưu (đối với bài toán max): cơ sở B là tối ưu nếu ∆k =

x1 + 4x2 6 30

x1 > 0, x2 > 0, x3 > 0

Thêm vào 3 biến bù x4, x5, x6 > 0đưa ràng buộc về dạng đẳng thức

Ax = b Cơ sở tối ưu của qui hoạch tuyến tính LP(t) tại t = t0 = 0 là

Điều kiện tối ưu đối với các véctơ phi cơ sở hiên tại là

06 t6 1

Chi phí rút gọn (ước lượng) ∆4 = 1 − t = 0 tại t = 1 và sẽ âm với

t > 1

Như vậy cần đưa x4 vào cơ sở khi t > 1 Lúc này x2 bị loại khỏi

cơ sở (xem bảng đơn hình tối ưu tại t0 = 0) Lời giải cơ sở mới xB1

là lời giải tối ưu nhận được tại t1 = 1 nhờ đưa x4 vào cơ sở, nghĩa là

Theo điều kiện tối ưu này, lời giải cơ sở xB1 vẫn còn là tối ưu với mọi

t > 1 Chú ý là điều kiện tối ưu −2 + 2t > 0 tự động "ghi nhớ" xB1 làtối ưu đối với khoảng tham số t > t1 = 1 Nhận xét này sẽ luôn đúngtrong các tính toán với qui hoạch tham số

Lời giải tối ưu đối với toàn bộ khoảng tham số t > 0của bài toán quihoạch tham số P (t) được ghi lại trong bảng dưới đây Giá trị z = ϕ(t)

được tính bằng cách thay thế trực tiếp ϕ(t) = ∆10 + ∆20 × t

Dáng diệu của hàm giá trị tối ưu z = ϕ(t) vẽ ở Hình 1.2

Hình 1.2 Hàm giá trị tối ưu (lồi) z = ϕ(t), t > 0

Tóm lại, chương này đã nhắc lại vắn tắt về bài toán qui hoạch tuyếntính và phương pháp đơn hình giải qui hoạch tuyến tính Sau đó tậptrung giới thiệu bài toán qui hoạch tuyến tính tham số với các hệ sốmục tiêu phụ thuộc tuyến tính vào một tham số và trình bày thuật toánđơn hình tham số tìm lời giải tối ưu cho bài toán tham số với mọi tham

số λ ∈R hoặc λ ∈ [t, ¯t] với t và ¯t cho trước Hàm giá trị tối ưu ϕ(λ) là

một hàm lõm liên tục, tuyến tính từng khúc (đối với bài toán min) và

là hàm lồi liên tục, tuyến tính từng khúc (đối với bài toán max)