Một số bài toán tổng hợp về hàm số

„I HÅC THI NGUY–NTR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC... Möc löcMð ¦u... MÐ †UH m sè l mët trong nhúng ph¦n cì b£n v trång t¥m cõa ch÷ìng tr¼nhto¡n Trung håc phê thæng.. Håc vi¶nL¶ Thà Minh Anh... Bi

„I HÅC THI NGUY–NTR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC

Möc löc

Mð ¦u 2

1 H m sè li¶n töc v  kh£ vi 3 1.1 Giîi h¤n cõa h m sè mët bi¸n sè 3

1.1.1 C¡c ành ngh¾a 3

1.1.2 C¡c t½nh ch§t cõa giîi h¤n 5

1.2 Sü li¶n töc cõa h m mët bi¸n 7

1.2.1 C¡c ành ngh¾a 7

1.2.2 C¡c t½nh ch§t cõa h m li¶n töc tr¶n o¤n 7

1.3 C¡c ành lþ v· h m kh£ vi 8

1.3.1 ành lþ Fecmat 8

1.3.2 ành lþ Rolle 8

1.3.3 ành lþ Lagrange 9

1.3.4 ành lþ Cauchy 10

2 Mët sè b i to¡n têng hñp v· h m sè 11 2.1 B i to¡n têng hñp v· h m bªc hai tr¶n bªc nh§t y = ax 2 + bx + c dx + e 11

2.1.1 B i to¡n: Cho h m sè y = x2 − mx + 1 x − 1 11

2.2 B i to¡n têng hñp y = x2 − mx + 1 x − 1 (∗) 25

2.3 B i to¡n têng hñp v· h m y = ax3 + bx2 + cx + d 30

2.4 Mët sè · thi håc sinh giäi 39

MÐ †U

H m sè l  mët trong nhúng ph¦n cì b£n v  trång t¥m cõa ch÷ìng tr¼nhto¡n Trung håc phê thæng Trong · thi ¤i håc, cao ¯ng v  c¡c ký thiOlympic luæn luæn câ c¡c b i tªp v· h m sè Lþ thuy¸t v· h m sè li¶n töc

v  kh£ vi ÷ñc sû döng r§t rëng r¢i trong c¡c b i tªp công nh÷ c¡c s¡chvi¸t v· h m sè

Möc ½ch cõa · t i luªn v«n l  tr¼nh b y mët sè ành lþ quan trångcõa h m kh£ vi, li¶n töc tø â ¡p döng gi£i mët sè b i tªp têng hñpv· h m sè Luªn v«n tr¼nh b y v  gi£i b i to¡n têng hñp v· h m sè bªchai tr¶n bªc nh§t çng thíi ÷a ra c¡c b i to¡n têng hñp v· h m sè bªc ba.Nëi dung cõa luªn v«n ÷ñc tr¼nh b y trong hai ch÷ìng:

Ch÷ìng 1 tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v  c¡c ành lþ cì b£n v· giîi h¤n,

sü li¶n töc cõa h m mët bi¸n, c¡c ành lþ v· h m kh£ vi

Ch÷ìng 2 gçm 2 ph¦n Ph¦n 1 tr¼nh b y b i to¡n têng hñp v· h m sèbªc hai tr¶n bªc nh¥t vîi líi gi£i chi ti¸t Ph¦n 2 tr¼nh b y c¡c b i to¡ntêng hñp h m bªc 3

Qua ¥y, tæi xin gûi líi c£m ìn s¥u s­c tîi ng÷íi Th¦y, ng÷íi h÷îngd¨n luªn v«n cao håc cõa m¼nh, TS Nguy¹n Minh Khoa - tr÷íng ¤i håc

i»n Lüc Th¦y ¢ d nh nhi·u thíi gian v  t¥m huy¸t º h÷îng d¨n v gi£i quy¸t nhúng th­c m­c cho tæi trong suèt qu¡ tr¼nh tæi l m luªn v«n.Tæi công xin b y tä líi c£m ìn ch¥n th nh tîi c¡c Th¦y Cæ trong hëi çngch§m luªn v«n th¤c s¾, c¡c Th¦y Cæ gi£ng d¤y lîp Cao håc To¡n K6B, gia

¼nh, b¤n b±, çng nghi»p ¢ t¤o nhúng i·u ki»n thuªn lñi nh§t º tæi câthº ho n thi»n khâa håc công nh÷ luªn v«n cõa m¼nh

Th¡i Nguy¶n, th¡ng 9 n«m 2014

Håc vi¶nL¶ Thà Minh Anh

2Vªy ∀ε > 0, ∃δ(ε) = ε

4 ;π

4)

sao cho lim

n→∞xn = 0 Ta câ:

0 ≤ |f (xn)| = |xn.sin 1

xn| ≤ |xn|.V¼ lim

n→∞xn = 0 → lim

n→∞|xn| = 0 ⇒ lim

n→∞f (xn) = 0.Vªy theo ành ngh¾a 2 ta câ: lim

x→1sin 1

x − 1.Nhªn x²t 1.1 ành ngh¾a 1 v  ành ngh¾a 2 l  t÷ìng ÷ìng

V½ dö 1.4 T¼m giîi h¤n mët ph½a cõa h m sè:

f (x) = A, A l  mët sè húu h¤n khi â h m f(x)

l  bà ch°n trong mët l¥n cªn n o â V (x0), tùc l  ∃ mët sè M > 0 saocho: |f(x)| ≤ M, ∀x ∈ V (x0), x 6= x0

Chùng minh i·u ki»n cõa ành lþ £m b£o tçn t¤i mët l¥n cªn V (x0) saocho: 1 > |f(x) − A| ≥ |f(x)| − |A|

⇒ |f (x)| < 1 + |A| vªy 1 + |A| âng vai trá cõa M T½nh ch§t 1 ÷ñc chùngminh

0

f (x) húu h¤n

l  h m y = f(x) x¡c ành ð mët l¥n cªn cõa x0 (câ thº trø ra x0) v  ∀ε > 0

∃ l¥n cªn V (x0) sao cho: |f(x0) − f (x”)| < ε, ∀x0, x” ∈ V (x0); x0, x” 6= x0

2.Tr÷íng hñp 1: 0 < x < π

2, tø h¼nh v³ ta câ: S4AOM < SquatAOM < S4AOT

2 < x < 0, °t x = −t ⇒ 0 < t < π

2.V¼ cosx = cos(−t) = cost;sinx

1.2 Sü li¶n töc cõa h m mët bi¸n

= f (x0) iºm x0 khi â gåi l  iºm li¶n töc cõa y = f(x)

ành ngh¾a 1.6 H m f(x) ÷ñc gåi l  li¶n töc tr¡i (ho°c ph£i) t¤i iºm

x0 n¸u nâ thäa m¢n hai i·u ki»n sau:

i) f(x) x¡c ành t¤i x0 v  l¥n cªn tr¡i ho°c ph£i cõa iºm x0

ii) f(x0 − 0) = f (x0) ho°c f(x0 + 0) = f (x0)

ành ngh¾a 1.7 H m f(x) ÷ñc gåi l  li¶n töc tr¶n o¤n [a, b] n¸u nâ li¶ntöc t¤i ∀x ∈ (a, b) v  li¶n töc ph£i t¤i x = a, li¶n töc tr¡i t¤i x = b

1.2.2 C¡c t½nh ch§t cõa h m li¶n töc tr¶n o¤n

T½nh ch§t 1.7 Cho f(x) l  h m sè li¶n töc tr¶n [a,b] v  f(a).f(b) < 0.Khi â ∃c ∈ (a, b) : f(c) = 0

Chùng minh Khæng gi£m t½nh têng qu¡t ta gi£ thi¸t f(a) < 0; f(b) > 0

°t α0 = a, β0 = b ⇔ f (α0) < 0; f (β0) > 0

°t u0 = α0 + β0

2 , n¸u f(u0) = 0 th¼ c = u0, n¸u f(u0 < 0) th¼ °t

α1 = u0, β1 = β0 cán n¸u f(u0 > 0) th¼ °t α1 = α0, β1 = u0 Ta l¤i x²t[α1, β1] v  câ f(α1).f (β1) < 0

Ti¸p töc qu¡ tr¼nh n y ra væ h¤n ta nhªn ÷ñc 2 d¢y sè αn, βn còng hëi

tö v  câ chung giîi h¤n l  c Tø ¥y ta nhªn ÷ñc f(c) = 0 v  câ i·u ph£ichùng minh

T½nh ch§t 1.8 (Weierstrass 1) N¸u h m sè f(x) li¶n töc tr¶n o¤n [a, b]th¼ nâ s³ bà ch°n tr¶n o¤n §y

T½nh ch§t 1.9 ( Weierstrass 2) N¸u h m sè f(x) li¶n töc tr¶n o¤n [a,b]th¼ nâ ¤t gi¡ trà lîn nh§t, gi¡ trà nhä nh§t tr¶n o¤n §y

T½nh ch§t 1.10 N¸u h m sè f(x) li¶n töc tr¶n o¤n [a, b] v  µ ∈ [m, M]

m = min f (x), M = maxf (x) th¼ ∃ξ ∈ (a, b) : f(ξ) = µ

1.3 C¡c ành lþ v· h m kh£ vi

1.3.1 ành lþ Fecmat

ành lþ 1.1 Gi£ sû h m y = f(x) x¡c ành trong kho£ng (a, b) N¸u f(x)

¤t cüc trà t¤i mët iºm c ∈ (a, b) v  n¸u t¤i c tçn t¤i ¤o h m húu h¤n

f0(c) th¼ f0(c) = 0

1.3.2 ành lþ Rolle

ành lþ 1.2 Cho h m sè y = f(x) x¡c ành li¶n töc tr¶n o¤n [a; b] v kh£ vi trong kho£ng (a;b) gi£ sû f(a) = f(b) khi â tçn t¤i c ∈ (a; b) saocho f0(c) = 0

Chùng minh Theo t½nh ch§t cõa h m li¶n töc ⇒ ∃M = max f(x),

> 0, f (0) < 0, f



Π2



> 0 do â theo t½nh ch§t cõa

h m li¶n töc f(x) = 0 câ ½t nh§t 2 nghi»m

N¸u f(x) = 0 câ væ sè nghi»m lîn hìn ho°c b¬ng 3 th¼ theo ành lþ Rolle

f,(x) = 0 câ ½t nh§t 2 nghi»m nh÷ng v¼ f,(x) = 2x − sinx − xcosx + sinx =x(2 − cosx) = 0 ch¿ câ 1 nghi»m x = 0 Do â f(x) = 0 ch¿ câ óng hainghi»m

a <

1

c <

1b

1.3.4 ành lþ Cauchy

ành lþ 1.4 Cho c¡c h m sè y = f(x), y = g(x) x¡c ành li¶n töc tr¶n[b, a] Gi£ sû f(x), g(x) kh£ vi trong (a, b) v  g0(x) 6= 0, ∀x ∈ (a, b) Khi

â ∃c ∈ (a, b) : f (b) − f (a)

b − a =

f0(c)

g0(c).Chùng minh V¼ g(x) thäa m¢n ành lþ Lagrange n¶n ∃c0 ∈ (a, b) sao chog(b) − g(a) = g0(c0)(b − a) V¼ g0(c0) 6= 0 n¶n ta câ g(a) 6= g(b)

X²t h m bê trñ: h(x) = f(x) − f(a) − f (b) − f (a)

g(b) − g(a)[g(x) − g(a)].h(x) thäa ành lþ Rolle tr¶n [a; b] ⇒ ∃c ∈ (a, b) : h0(c) = 0

Ch֓ng 2

Mët sè b i to¡n têng hñp v· h m sè

2.1 B i to¡n têng hñp v· h m bªc hai tr¶n bªc nh§t

X + 1 − 1 ⇔ Y = X + 1

X

¥y l  h m l´ n¶n ç thà nhªn gèc tåa ë I l m t¥m èi xùng i·u n y

câ ngh¾a l  trong h» tåa ë Oxy ç thà (**) nhªn giao cõa hai ti»m cªnI(1,1) l m t¥m èi xùng

C¥u 3 T¼m tr¶n ç thà (**) nhúng iºm câ tåa ë nguy¶n.

Gi£i Khi x nguy¶n º y nguy¶n ta ph£i câ 1

Gi£i Ta t¼m ÷ñc 2 iºm câ tåa ë nguy¶n M1(0, −1) thäa ph÷ìng tr¼nh

x2 + y2 = 1 Vªy M1(0, −1) l  iºm ph£i t¼m

C¥u 5 Chùng tä tr¶n ç thà (**) khæng câ iºm n o c¡ch ·u Ox, Oy.Gi£i Nhúng iºm c¡ch ·u Ox, Oy thuëc mët trong hai ÷íng ph¥n gi¡c

Vªy tr¶n ç thà (**) khæng câ iºm n o c¡ch ·u Ox, Oy

Nhªn x²t: Câ thº gi£i b¬ng c¡ch dòng kho£ng c¡ch

C¥u 6 T¼m tr¶n ç thà (**) nhúng iºm câ kho£ng c¡ch ¸n Ox g§p hail¦n kho£ng c¡ch ¸n Oy

Gi£i V¼ M(x, y) ∈ Oxy n¶n ta câ kho£ng c¡ch (M, Ox) = |y|, kho£ngc¡ch (M, Oy)= |x|

Nhúng iºm câ kho£ng c¡ch ¸n Ox g§p hai l¦n kho£ng c¡ch ¸n Oy: |y|

= 2|x| ⇒ y = ± 2x

+ X²t ph÷ìng tr¼nh t÷ìng giao: x2 − x + 1

x − 1 = −2x ⇔ 3x

2− 3x + 1 = 0 vænghi»m ⇒ ç thà (**) khæng c­t ÷íng th¯ng y = -2x

2

Vªy nhúng iºm tr¶n ç thà (**) câ ho nh ë x = 1 ±

√5

2 thäa m¢n y¶uc¦u cõa b i to¡n

C¥u 7 Chùng minh tr¶n ç thà (**) câ bèn iºm c¡ch gèc tåa ë O(0, 0)mët kho£ng d = 2014.

Gi£i iºm cüc ¤i D(2, 3)⇒ kho£ng c¡ch tø O(0, 0) ¸n iºm cüc ¤i:

R = 2014 c­t ç thà (**) t¤i 4 iºm tùc l  tr¶n ç thà (**) câ 4 iºm c¡ch

·u O(0, 0) mët kho£ng d = 2014

C¥u 8 T¼m tr¶n ç thà (**) nhúng iºm câ têng kho£ng c¡ch ¸n haiti»m cªn l  nhä nh§t

Gi£i Gi£ sû M(x0, y0) thuëc ç thà (**) Khi â kho£ng c¡ch tø M ¸nti»m cªn ùng x = 1 l  d1 = |x0 − 1|

Kho£ng c¡ch tø M ¸n ti»m cªn xi¶n x - y = 0 l 

2 , nhúng iºm M(x0, y0) thuëc ç thà (**)

câ ho nh ë x0 = 1 + √41

2 thäa y¶u c¦u b i to¡n

C¥u 9 T¼m tr¶n hai nh¡nh ç thà (**) hai iºm M, N sao cho MN min.Gi£i Gi£ sû M

2 ( const) Ta câ i·u ph£i chùng minh.

C¥u 11 T¼m iºm M tr¶n ç thà (**) sao cho kho£ng c¡ch tø M ¸n giaocõa hai ÷íng ti»m cªn l  nhä nh§t

Gi£i Giao cõa hai ÷íng ti»m cªn I(1, 1) Gi£ sû M(x0, y0) thuëc ç thà(**)

Vªy iºm M câ ho nh ë x0 = 1 − √41

2 ho°c x0 = 1 + √41

2 thäa m¢n y¶uc¦u b i to¡n

C¥u 12 Chùng minh tr¶n ç thà (**) câ væ sè c°p iºm m  ti¸p tuy¸n t¤ihai iºm cõa méi c°p l  song song

Gi£i Giao iºm cõa 2 ti»m cªn l  I(1, 1), tành ti¸n theo −OI→, h» tröc Oxy

H m (i) l  h m l´ ⇒ ç thà (i) nhªn gèc tåa ë I l m t¥m èi xùng Khi

â vîi iºm M(X, Y) b§t k¼ thuëc ÷íng th¯ng (i) ⇒ M,(−X, −Y ) côngthuëc ç thà (i) Tr¶n ç thà (i) câ væ sè c°p iºm M, M, Y¶u c¦u b ito¡n t÷ìng ÷ìng chùng minh ti¸p tuy¸n t¤i M song song vîi ti¸p tuy¸nt¤i M, ⇔ chùng minh h» sè gâc cõa ti¸p tuy¸n t¤i M b¬ng h» sè gâc cõati¸p tuy¸n t¤i M, ⇔ chùng minh Y (−X) = Y,(X)

Thªt vªy ta câ: Y,(X) = 1 − 1

X2 = 1 − 1

(−X)2 = Y,(−X).C¥u 13 Chùng minh ti¸p tuy¸n t¤i måi iºm cõa ç thà (**) luæn câ h»

sè gâc nhä hìn 1

Gi£i Ti¸p tuy¸n t¤i iºm câ ho nh ë x b§t k¼ cõa ç thà (**) câ h» sègâc: k = y,(x) = 1 − 1

(x − 1)2 < 1.C¥u 14 Chùng minh ti¸p tuy¸n t¤i måi iºm cõa ç thà (**) luæn t¤o vîihai ti»m cªn mët tam gi¡c câ di»n t½ch khæng êi

Gi£i Ti¸p tuy¸n t¤i iºm câ ho nh ë x0 b§t k¼ cõa ç thà (**):

+ Giao cõa hai ti»m cªn l  I(1,1).

+ Ti¸p tuy¸n c­t ti»m cªn ùng x = 1 t¤i E

3 thäa m¢n y¶uc¦u cõa b i to¡n

C¥u 16 T¼m tr¶n ç thà (**) nhúng iºm m  ti¸p tuy¸n t¤i â vuæng gâcvîi ÷íng th¯ng y = 1

2x + 2014.Gi£i Gi£ sû iºm tr¶n ç thà (**) câ ho nh ë x0 thäa m¢n y¶u c¦u b ito¡n ⇒ y,(x0).1

2 = −1 ⇒ y

,(x0) = −2 ⇔ x0 = 1 ± √1

3.Vªy nhúng iºm tr¶n ç thà (**) câ ho nh ë x0 = 1 ± √1

3 thäa m¢n y¶uc¦u cõa b i to¡n

C¥u 17 T¼m tr¶n Ox nhúng iºm m  tø â k´ ÷ñc hai ti¸p tuy¸n vuænggâc vîi nhau ¸n ç thà (**)

Gi£i Gi£ sû I(x0, 0) ∈ Ox thäa y¶u c¦u cõa b i to¡n

Ti¸p tuy¸n (x0, 0) câ d¤ng y = k(x − x0)

Khi â ph÷ìng tr¼nh t÷ìng giao l : x2 − x − 1

x − 1 = kx − kx0

⇔ f (x) = (k − 1)x2 − (k − kx0 + 1)x + kx0 − 1 = 0 ph£i câ nghi»m k²p

x 6= 1 ⇒ 4 = 0

⇔ (k + kx0 − 1)2 − 4(k − 1)(kx0 − 1) = 0

3 thäa y¶u c¦u cõa b ito¡n.

C¥u 18 T¼m tr¶n Ox nhúng iºm m  tø â k´ ÷ñc ½t nh§t mët ti¸ptuy¸n ¸n ç thà (**)

Gi£i Gi£ sû I(x0, 0) ∈ Ox thäa y¶u c¦u cõa b i to¡n

Ti¸p tuy¸n t¤i (x0, 0) câ d¤ng y = k(x − x0)

Khi â ph÷ìng tr¼nh t÷ìng giao l  : x2 − x − 1

⇔ (x0 + 1)2 + 3(x0 − 1)2 ≥ 0 óng ∀x0 6= 1

Vªy måi iºm tr¶n Ox ·u k´ ÷ñc ½t nh§t mët ti¸p tuy¸n ¸n ç thà (**).C¥u 19 Chùng minh ti¸p tuy¸n t¤i måi iºm cõa ç thà (**) khæng iqua giao cõa 2 ti»m cªn

Gi£i Giao cõa 2 ti»m cªn l  I(1, 1) Ti¸p tuy¸n t¤i iºm câ ho nh ë

1 − x0 − 1

x0 − 1 = 1 − x0 +

x0 − 1(x0 − 1)2 ⇔ − 1

(**) i qua I(1,1).

C¥u 20 X²t ÷íng th¯ng (d) câ ph÷ìng tr¼nh: y = kx + k + 1 Vîi gi¡ trà

n o cõa k th¼ ÷íng th¯ng (d) c­t ç thà (**) t¤i 2 iºm thuëc 2 nh¡nh.Gi£i Ph÷ìng tr¼nh t÷ìng giao cõa ÷íng th¯ng (d) vîi ç thà (**):

x2 − x + 1

x − 1 = kx + k + 1 ⇔ f (x) = (k − 1)x

2 + 2x − (k + 2) = 0 (ii).Y¶u c¦u b i to¡n t÷ìng ÷ìng ph÷ìng tr¼nh (ii) câ 2 nghi»m:

x1 < 1 < x2 ⇒ i·u ki»n

(

k 6= 1(k − 1)f (1) < 0

Gi£i Y¶u c¦u b i to¡n t÷ìng ÷ìng ph÷ìng tr¼nh (ii) ph£i câ 2 nghi»m

sao cho 1 < x1 < x2 ⇒ i·u ki»n

1 < S2

k − 1 < 0

⇔ 0 < k < 1

C¥u 22 T¼m i·u ki»n º ÷íng th¯ng (d) (trong c¥u 20) c­t ç thà (**)t¤i 2 iºm thuëc nh¡nh b¶n tr¡i ti»m cªn ùng

Gi£i Y¶u c¦u b i to¡n t÷ìng ÷ìng ph÷ìng tr¼nh (ii) ph£i câ 2 nghi»m

sao cho x1 < x2 < 1 ⇒ i·u ki»n

k − 1 > 0

⇔ k < 0

C¥u 23 Vîi gi¡ trà n o cõa k th¼ ÷íng th¯ng (d) ti¸p xóc ç thà (**)

Gi£i ÷íng th¯ng (d) ti¸p xóc vîi ç thà (**) t÷ìng ÷ìng ph÷ìng tr¼nh(ii) ph£i câ nghi»m k²p x 6= 1 ⇒ i·u ki»n

Gi£i Y¶u c¦u b i to¡n t÷ìng ÷ìng f(C).f(CT) > 0 ⇔ k < −2 ho°c

êi Vªy 4 giao ç thà (**) t¤i 2 iºm ph¥n bi»t ⇔ 4 n¬m trong gâc t¤obði 2 ÷íng ti»m cªn cõa ç thà (**) ⇔ a > 1 Tùc l  ph÷ìng tr¼nh ¢ cho

câ 2 nghi»m ph¥n bi»t ⇔ a > 1

C¥u 28 Bi»n luªn theo a sè nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh:

Vªy nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho l  ho nh ë giao iºm cõa ÷íngth¯ng y = a v  ç thà (**).

+ Khi a < -1 ÷íng th¯ng y = a c­t ç thà (**) t¤i 2 iºm ⇒ ph÷ìngtr¼nh ¢ cho câ 2 nghi»m ph¥n bi»t

+ Khi a = -1 ÷íng th¯ng y = a ti¸p xóc vîi ç thà (**) t¤i iºm M(0,-1)

⇒ ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ nghi»m k²p x = 0

+ Khi -1 < a < 3 ÷íng th¯ng y = a khæng c­t ç thà (**)

⇒ ph÷ìng tr¼nh ¢ cho væ nghi»m

+ Khi a = 3 ÷íng th¯ng y = a ti¸p xóc vîi ç thà (**) t¤i iºm N(2,3)ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ nghi»m k²p x = 2

+ Khi a > 3 ÷íng th¯ng y = a c­t ç thà (**) t¤i 2 iºm ph¥n bi»t

⇒ ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ 2 nghi»m ph¥n bi»t

C¥u 29 Bi»n luªn theo a sè nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh:

x2 − x + 1

x − 1 − log2a = 0 Gi£i Ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t÷ìng ÷ìng x2 − x + 1

x − 1 = log2(a).Vªy nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho l  ho nh ë giao iºm cõa ÷íngth¯ng y = log2a v  ç thà (**)

+ Khi a ≤ 0 ⇒ khæng ∃ log2a ⇒ ph÷ìng tr¼nh ¢ cho væ nghi»m

+ Khi a > 0,khi log2(a) < −1 = log2(2)−1 = log2(1

2 ⇔ 0 < a < 1

2 ÷íngth¯ng y = log2a c­t ç thà (**) t¤i 2 iºm ph¥n bi»t ⇒ ph÷ìng tr¼nh ¢cho câ 2 nghi»m ph¥n bi»t

+ Khi log2(a) = −1 ⇔ a = 1

2 ⇒ ÷íng th¯ng y = log2a ti¸p xóc vîi çthà (**) t¤i iºm M(0, -1)⇒ ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ nghi»m k²p

x = 0

+ Khi −1 < log2a < 3 ⇔ log2 1

2 < log2(a) < log28 ⇔

bi»t ⇒ ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ 2 nghi»m ph¥n bi»t.

C¥u 30 Bi»n luªn theo a sè nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh:

x2 − x + 1

x − 1 =

a2 − a + 1

a − 1 Gi£i +

a − 1 c­t ç thà (**) t¤i 2 iºm ph¥n bi»t

⇒ ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ 2 nghi»m ph¥n bi»t

+ a2 − a + 1

a − 1 > 3 ⇔ a > 1, a 6= 2 ⇒ ÷íng th¯ng y = a2 − a + 1

a − 1 c­t çthà (**) t¤i 2 iºm ph¥n bi»t ⇒ ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ 2 nghi»m ph¥nbi»t

C¥u 31 T¼m tr¶n ÷íng th¯ng y = 3 t§t c£ c¡c iºm câ thº k´ ÷ñc 2ti¸p tuy¸n lªp vîi nhau mët gâc 450

Gi£i + y = 3 l  ti¸p tuy¸n ti¸p xóc vîi ç thà (**) t¤i N(2, 3)

⇒ ti¸p tuy¸n thù 2 t¤o vîi y = 3 mët gâc 450 câ h» sè gâc l  1 ho°c -1

2 ⇒ ti¸p tuy¸n 2 l : y −y

2 ⇒ ti¸p tuy¸n 2 l : y − y(1 − √1

2) = −(x − 1 +

1

√

2)

Tø ¥y ta x¡c ành ÷ñc 2 iºm giao vîi y = 3 l  2 iºm ph£i t¼m

C¥u 32 Vîi gi¡ trà n o cõa b th¼ ÷íng th¯ng y = b c­t ç thà (**) t¤i 2

iºm ph¥n bi»t A, B sao cho AB = 6

Gi£i Y¶u c¦u b i to¡n t÷ìng ÷ìng ph÷ìng tr¼nh t÷ìng giao:

x2 − x + 1

x − 1 = 6 câ 2 nghi»m xA, xB : |xA − xB| = 6

⇔ ph÷ìng tr¼nh câ 2 nghi»m xA, xB: (xA + xB)2 − 4xAxB = 36.

Theo Vi²t ⇒ i·u ki»n l

(

4 > 0(b + 1)2 − 4(1 + b) = 36

Vªy v³ ç thà (**) tành ti¸n sang b¶n tr¡i theo Ox mët ìn và ta ÷ñc çthà (36).

C¥u 40 Tø ç thà (**) suy ra ç thà

y = |x

2 − |x| + 1

Gi£i Tø ç thà(**) suy ra ç thà (38) rçi tø ç thà (38) suy ra ç thà (40).C¥u 41 Vîi gi¡ trà n o cõa b th¼ ph÷ìng tr¼nh x2− (b + 1)|x| + 1 + b = 0

Vªy ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ nghi»m ⇔ b ≤ −1 ho°c b ≥ 3

2.2 B i to¡n têng hñp y = x2 − mx + 1

x − 1 (∗)C¥u 42 Vîi gi¡ trà n o cõa m th¼ ç thà (*) c­t Ox t¤i 2 iºm E, F saocho EF = √12

Gi£i Y¶u c¦u b i to¡n t÷ìng ÷ìng ph÷ìng tr¼nh f(x) = x2− mx + 1 = 0(i) câ 2 nghi»m ph¥n bi»t kh¡c 1 l  xE, xF : |xE − xF| = √12

2 < 0

⇔ m < −2