Một số đặc trưng của mô đun cohen macaulay với chiều >s

Ngoài ra, một số kết quả liênquan tới tính hữu hạn của tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồngđiều địa phương như là sự mở rộng các kết quả trước đây của Hellus [H] vàNhàn-Morales

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Người hướng dẫn khoa học: TS.NGUYỄN THỊ DUNG

Thái Nguyên, năm 2014

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là hoàntoàn trung thực và không trùng lặp với đề tài khác Nguồn tài liệu sử dụngcho việc hoàn thành luận văn đã được sự đồng ý của cá nhân và tổ chức Cácthông tin, tài liệu trong luận văn này đã được ghi rõ nguồn gốc

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình cặn kẽ của TS.Nguyễn Thị Dung, Cô đã dành nhiều thời gian và công sức giúp tôi hoànthành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới cô hướng dẫn.Tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của trường

Đại học Sư phạm, Đại học Khoa học thuộc Đại học Thái Nguyên, Viện Toánhọc, những người đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong quá trình học tậptại trường

Cuối cùng tôi xin cảm ơn bạn bè người thân và đồng nghiệp đã động viên

và tạo điều kiện cho tôi để tôi có thể hoàn thành khóa học của mình

Thái Nguyên, tháng 6 năm 2014

Học viênPhạm Thị Lý

Mục lục

Trang

Mục lục .iii

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Hệ tham số, số bội và kiểu đa thức .3

1.2 Mô đun đối đồng điều địa phương 7

1.3 Biểu diễn thứ cấp, chiều Noether .8

Chương 2 Một số đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay với chiều > s 12

2.1 Môđun Cohen-Macaulay và một số mở rộng 12

2.2 Một số đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay với chiều > s 20

Kết luận .37

Tài liệu tham khảo 38

và môđun Cohen-Macaulay, trong số đó là các khái niệm M-dãy với chiều

> sđược giới thiệu bởi Brodmann-Nhan [BN] và môđun Cohen-Macaulay vớichiều > s được định nghĩa bởi N Zamani [Z]

Định nghĩa Cho s > −1 là một số nguyên Một dãy các phần tử(x1, , xn) trong m được gọi là M-dãy với chiều > s nếu xi ∈/ p, vớimọi p ∈ AssR(M/(x1, , xi−1)M ) thỏa mãn dim(R/p) > s, với mọi

i = 1, , n Ta nói rằng M là môđun Cohen-Macaulay với chiều > s nếumọi hệ tham số của M là M-dãy với chiều > s

Rõ ràng rằng một M-dãy với chiều> svới s = −1, 0, 1tương ứng là một

M-dãy, f-dãy ứng vớiM theo nghĩa của Cường-Schenzel-Trung [CST], và dãychính quy suy rộng ứng với M theo nghĩa của L T Nhàn [Nh] Vì thế cáclớp môđun Cohen-Macaulay với chiều > strong các trường hợps = −1, 0, 1tương ứng là môđun Cohen-Macaulay, f-môđun định nghĩa bởi [CST] và f-môđun suy rộng được giới thiệu bởi Nhàn-Morales [NM] Hơn nữa các nghiêncứu gần đây vẫn cho thấy rằng lớp môđun Cohen-Macaulay với chiều > s,với s > 1 là một số nguyên tùy ý vẫn còn nhiều tính chất tương tự như cáclớp môđun quen biết trên Thật vậy, năm 2009, N Zamani [Z] đã chứng minhmột số đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay với chiều > s thông qua đầy

đủ m-adic, địa phương hóa, tính catenary, tính đẳng chiều đến các thành phầnnguyên tố với chiều > s của tập giá của M Ngoài ra, một số kết quả liênquan tới tính hữu hạn của tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng

điều địa phương như là sự mở rộng các kết quả trước đây của Hellus [H] vàNhàn-Morales [NM] cũng đã được đưa ra trong [Z]

Tiếp tục nghiên cứu của N Zamani, một vấn đề được đặt ra là: Liệu rằngmôđun Cohen-Macaulay với chiều > s có các đặc trưng qua số bội, kiểu đathức và chiều Noether của môđun đối đồng điều địa phương hay không? Câuhỏi này đã được trả lời trong một nghiên cứu gần đây của N T Dung [D].Mục đích của luận văn là đọc và trình bày lại các kết quả của bài báo

"Some characterizations of Cohen-Macaulay modules in dimension > s" của[D] được đăng trên tạp chí Bulletin of the Korean Mathematical Society năm2014

Luận văn được chia thành hai chương Chương 1 bao gồm các kiến thứcchuẩn bị: hệ tham số và số bội, kiểu đa thức, biểu diễn thứ cấp và chiềuNoether, môđun đối đồng điều địa phương Mục1của Chương2dành để nhắclại các kết quả về lớp môđun Cohen-Macaulay và một số mở rộng, trong đógiới thiệu về lớp môđun với chiều>s và một số đặc trưng của lớp môđun nàythông qua đầy đủ m-adic, địa phương hóa, tính catenary, tính đẳng chiều đếncác thành phần nguyên tố với chiều> scủa tập giá củaM Các đặc trưng này

đã được chứng minh trong [Z] và đã được trình bày lại trong luận văn thạc sĩcủa Dương Thị Giang [G] Mục 2 của Chương 2 là nội dung chính của luậnvăn, dành để chứng minh một số đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay vớichiều > s thông qua số bội e(x; M ) củaM, chiều Noether N-dimRHmi(M )của các môđun đối đồng điều địa phươngHmi (M ), và kiểu đa thứcp(M )của

M được giới thiệu bởi [C]

Phần kết luận của luận văn tổng kết các kết quả đã đạt được

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong toàn bộ chương này, ta luôn ký hiệu (R,m) là vành địa phương,Noether, A là R-môđun Artin vàM là R-môđun Chương này dành để nhắclại một số kiến thức được dùng trong chương tiếp theo: biểu diễn thứ cấp,chiều Noether, số bội, kiểu đa thức,

1.1 Hệ tham số và số bội

Mục này dành để nhắc lại một số kiến thức về hàm Hilbert, hệ tham số

và số bội Các kết quả này được dùng trong chương sau và có thể được xemtrong [Mat], [BH]

Nhắc lại rằng một iđêan I của (R,m) được gọi là iđêan định nghĩa của

R nếu tồn tại n > 0 sao cho mn ⊆ I ⊆ m Khi đó √mn ⊆ √I ⊆ √

m hay

√

I = m nên ta có I là m-nguyên sơ Vậy I là iđêan định nghĩa nếu và chỉnếu I là m-nguyên sơ Tương tự iđêan I ⊂ m được gọi là iđêan định nghĩacủa R-môđun M nếu tồn tại n > 0 sao cho mnM ⊆ IM

Cho I là iđêan định nghĩa của R và M là R- môđun hữu hạn sinh Giả

sử {a1, , ar} là hệ sinh của I Ta có dim(R/I) = 0 nên R/I là vànhArtin, tức là `R(R/I) < ∞ Do vậy `R(IkM/Ik+1M ) < ∞ Theo Định lý

đa thức Hilbert, vớik đủ lớn, tồn tại đa thức với hệ số hữu tỉPM,I0 (k)sao cho

PM,I0 (k) = `R(IkM/Ik+1M ) Đặt

PM,I(n) =

nX

k=0

PM,I0 (k) =

nX

k=0

`R(IkM/Ik+1M ) = `R(M/In+1M )

Khi đó với n đủ lớn, PM,I(n) là một đa thức và được gọi là đa thức

Hilbert-Samuel của M đối với I Người ta đã chứng minh rằng bậc của đa thức

PM,I(n) không phụ thuộc vào cách chọn iđêan định nghĩa I Hơn nữa, nếu

chiều Krull dim M = dthì luôn tồn tại các phần tử x1, , xd ∈ m sao cho

`R(M/(x1, , xd)M ) < ∞

Khi đó ta có kết quả sau

Định lý 1.1.1 Với các giả thiết như trên, ta có

dim M = deg(PM,I(n)) = min{t | ∃x1, , xt ∈ m : `R(M/(x1, , xt)M ) < ∞}

Từ định lý trên ta có định nghĩa sau

Định nghĩa 1.1.2 (i) Một hệ x := x1, , xd ∈ m được gọi là một hệ tham

số của M nếu `(M/(x))M ) < ∞

(ii) Nếu x ∈ m là một hệ tham số của M thì các phần tử x1, , xi được gọi

là một phần hệ tham số, với mọi i = 1, , d

Chú ý 1.1.3 (i) Hệ tham số luôn tồn tại

(ii) Nếu x là một hệ tham số của M thì q = (x1, , xd) gọi là iđêan tham

số của M, hơn nữa, q + AnnRM là một iđêan định nghĩa của R, tức là

(ii) Cho x1, , xt là một dãy các phần tử của m, với t 6 d Khi đó,

dim(M/(x1, , xt)M ) > dim M − t

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1, , xt là một phần hệ tham số của M.(iii) Hệ x ∈ m là một hệ tham số của M khi và chỉ khi xi ∈/ p, với mọi

p ∈ Ass M/(x1, , xi−1)M thỏa mãn dim R/p = d − i + 1, với mọi

i = 1, , d Đặc biệt, một phần tửx ∈ mlà phần tử tham số của M khi vàchỉ khi x /∈ p, với mọi p ∈ Ass M sao cho dim R/p = d

(iv) Nếu x là một hệ tham số của M thì x cũng là hệ tham số của cM , trong

đó cM là tôpô đầy đủ m-adic của M

Định nghĩa 1.1.5 Cho I là iđêan m-nguyên sơ của R, và chiều Krulldim M = d Theo Định lý 1.1.1, ta có `R(M/In+1M ) = PM,I(n) là đathức với n đủ lớn, trong đó deg PM,I(n) = d Khi đó tồn tại các số nguyên

Các số e0, , ed gọi là hệ số Hilbert của M đối với I, kí hiệu là ei(I, M )

Đặc biệt, số nguyên dương e0 trong biểu diễn trên được gọi là số bội của M

đối với I, kí hiệu là e(I, M )

Chú ý rằng nếu I là iđêan định nghĩa của M thì luôn tồn tại hệ tham số

x = x1 , xd của M sao cho (x) là iđêan rút gọn của I ứng với M (nghĩa

là (x)InM = In+1M) Hơn nữa e(I; M ) = e(x; M ) Vì thế, việc tính toán

số bội e(I; M ) củaM ứng với iđêan định nghĩa I có thể được quy về trườnghợpI là iđêan sinh bởi hệ tham số củaM bởi vì khi đó có thể biểu diễn số bộithông qua đồng điều Koszul H•(x; M) (xem [BH]) Do đó, để tiện hơn trongviệc tính toán trên số bội, ta nhắc lại khái niệm số bội hình thức được giới thiệu

bởi Northcott Vẫn giả thiết (R,m) là vành địa phương và M là R-môđunhữu hạn sinh Một hệ các phần tử x1, , xt trong m được gọi là hệ bội của

M nếu `(M/(x1, , xt)M ) < ∞, hay một cách tương đương, (x1, , xt)

là một iđêan định nghĩa của M Cho 0 −→ M0 −→ M −→ M00 −→ 0

là một dãy khớp các R-môđun Khi đó x1, , xt là một hệ bội của M nếu

và chỉ nếu x1, , xt là hệ bội của M0 và M00 Từ đó dễ chứng minh đượcrằng nếu x1, , xt là hệ bội của M thì x2, , xt là hệ bội của M/x1M và

0 :M x1 Vì thế ta có định nghĩa sau.

Định nghĩa 1.1.6 Chox1, , xtlà hệ bội củaM Nếut = 0, tức là`(M ) <

∞thì ta đặt e(∅; M ) = `(M ) Nếut > 0, tức là `(M/(x1, , xt)M ) < ∞thì ta có

`((0 :M x1)/(x2, , xt)(0 :M x1)) < ∞,tức là (x2, , xt) là hệ bội của 0 :M x1 Theo giả thiết quy nạp thì

e(x2, , xt; M/x1M ) và e(x2, , xt; 0 :M x1)

là tồn tại Khi đó

e(x1, , xt; M ) = e(x2, , xt; M/x1M ) − e(x2, , xt; 0 :M x1)

được gọi là số bội của M ứng với hệ bội (x1, , xt)

Sau đây là một số tính chất cơ bản của số bội

Mệnh đề 1.1.7 (i) 0 6 e(x1, , xt; M ) 6 `(M/(x1, , xt)M ) Đặcbiệt, nếu tồn tại i sao cho xniM = 0, với mọi n là số tự nhiên nào đóthì e(x1, , xt; M ) = 0

(ii) Giả sử

0 −→ Mn −→ −→ M1 −→ M0 −→ 0

là dãy khớp các R-môđun Noether và x1, , xt là hệ bội của Mi, với

i = 0, , n Khi đó

nX

i=0(−1)ie(x1, , xt; Mi) = 0

(iii) Cho x1, , xt là một hệ bội của M Khi đó e(x1, , xt; M ) = 0 khi

1.2 Môđun đối đồng điều địa phương

Trước hết, ta nhắc lại khái niệm môđun đối đồng điều địa phương của mộtmôđun tùy ý (xem [BS])

Định nghĩa 1.2.1 Cho I là một iđêan củaR vàM là mộtR-môđun Môđun

đối đồng điều địa phương thứ i của M ứng với iđêan I, ký hiệu làHIi(M ),

được định nghĩa bởi

HIi(M ) = Ri(ΓI(M )),trong đóRi(ΓI(M )) là môđun dẫn xuất phải thứi của hàm tửI-xoắn ΓI(−)ứng với M

Cho I là một iđêan của R Sau đây là các tính chất δ-hàm tử, tính chấttriệt tiêu và không triệt tiêu, tính Artin của môđun đối đồng điều địa phương(xem [BS, Định lý 6.1.2, Định lý 6.1.4])

Mệnh đề 1.2.2 (i) Cho 0 → L → Mf → N → 0g là một dãy khớp ngắn các

R-môđun Khi đó, ta có dãy khớp dài các môđun đối đồng điều địa phương

(ii) HIi(M ) = 0 với mọi i > d = dim M Nếu (R,m) là vành địa phương,

0 6= M là R-môđun hữu hạn sinh thì Hmd(M ) 6= 0

(iii) R-môđun HId(M ) là Artin Đặc biệt, R-môđun Hmi (M ) là Artin vớimọi i ∈ N0

1.3 Biểu diễn thứ cấp và chiều Noether

Lý thuyết biểu diễn thứ cấp được đưa ra bởi I G Macdonald [Mac] đượcxem như là đối ngẫu với lý thuyết phân tích nguyên sơ quen biết cho cácmôđun Noether

Định nghĩa 1.3.1 (i) Một R-môđun M được gọi là thứ cấp nếu M 6= 0 vànếu với mọix ∈ R, phép nhân bởi xtrênM là toàn cấu hoặc luỹ linh Trongtrường hợp này Rad(AnnRM )là iđêan nguyên tố, chẳng hạn là p, và ta gọi

M là p-thứ cấp

(ii) Cho M là R-môđun Một biểu diễn thứ cấp của M là một phân tích

M = N1+ + Nn thành tổng hữu hạn các môđun con pi-thứ cấp Ni Nếu

M = 0hoặcM có một biểu diễn thứ cấp thì ta nói M là biểu diễn được Biểudiễn thứ cấp này được gọi là tối thiểu nếu các iđêan nguyên tố pi là đôi mộtkhác nhau và không có hạng tử Ni nào là thừa, với mọi i = 1, , n

Dễ thấy rằng mọi biểu diễn thứ cấp của M đều có thể đưa được về dạngtối thiểu Khi đó tập hợp {p1, ,pn} là độc lập với việc chọn biểu diễn thứcấp tối thiểu của M và được gọi là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của M, kíhiệu bởi AttRM Các hạng tử Ni, i = 1, , n, được gọi là các thành phầnthứ cấp của M

Mệnh đề 1.3.2 i) Cho M là một R-môđun biểu diễn được Khi đó M 6= 0khi và chỉ khiAttRM 6= ∅ Trong trường hợp này tập các iđêan nguyên tố tốithiểu của R chứaAnn(M ) chính là tập các phần tử tối thiểu củaAttRM

(ii) Cho 0 −→ M0 −→ M −→ M00 −→ 0 là dãy khớp các R-môđun biểudiễn được Khi đó ta có

AttRM00 ⊆ AttRM ⊆ AttRM0∪ AttRM00

Nhắc lại rằng đầy đủ theo tôpô m-adic của R, kí hiệu bởi bR, là tập cáclớp tương đương các dãy Cauchy theo quan hệ tương đương xác định bởi cơ

sở lân cận của phần tử 0 là các iđêan mt, t = 0, 1, 2, Rb được trang bị haiphép toán hai ngôi: phép cộng, phép nhân các dãy Cauchy và cùng với haiphép toán này, bR làm thành một vành Mỗi phần tử r ∈ R có thể đồng nhấtvới lớp tương đương của dãy Cauchy mà tất cả phần tử trong dãy đều là r

Định nghĩa tương tự cho môđunM với cơ sở lân cận của phần tử0là{mtM },với mọi t = 0, 1, 2, Khi đó cM là một bR- môđun với phép nhân vô hướng

được xác định như sau: Cho a = (a1, a2, ) ∈ Rb sao cho an ∈ R/mn và

x = (x1, x2, ) ∈ Mcvới xn ∈ M/mnM , với mọi n Khi đó

ax = (a1x1, a2x2, ) ∈M cCho Alà một R-môđun Artin Khi đó, Alà biểu diễn được và tậpAttRA

là hữu hạn (xem [Mac, Định lý 5.3]) Hơn nữa, A có cấu trúc tự nhiên củab

R-môđun và với cấu trúc này mỗi tập con của A là R-môđun con nếu và chỉnếu nó là bR-môđun con Điều này cho thấy các dàn môđun con của A xétnhư R-môđun và bR-môđun là như nhau Từ đó ta có các kết quả sau (xem[Sh, Hệ quả 1.12, Hệ quả 2.7])

Mệnh đề 1.3.3 Các mệnh đề sau là đúng

(i) AttRA = {bp∩ R : bp ∈ Att

b

(ii) Nếu R là vành địa phương, đầy đủ, thì ta có

a) Nếu N là R-môđun Noether, thì AttR(D(N )) = AssR(N )

b) Nếu A là R-môđun Artin, thì AssR(D(A)) = AttR(A)

Nhắc lại rằng một dãy các iđêan nguyên tố p0 ⊆ p1 ⊆ ⊆ pn, trong

đó pi 6= pi+1, i = 1, , n được gọi là dãy nguyên tố có độ dài n Khi đóchiều Krull của vành R, ký hiệu là dim R là cận trên của độ dài của cácdãy iđêan nguyên tố trong R Chiều Krull của môđun M, ký hiệu là dim M

là cận trên của các số n sao cho có một dãy nguyên tố có độ dài n trongSupp M Vì M là môđun hữu hạn sinh nên ta có Supp M = V (AnnRM ),

do đó

dim M = dim R/ AnnRM = sup

p∈Ass M

dim(R/p)

Khái niệm đối ngẫu với chiều Krull cho một môđun Artin được đưa ra bởi

R N Roberts [R] và sau đó D Kirby [K] đổi tên thành chiều Noether đểtránh nhầm lẫn với chiều Krull đã được định nghĩa cho các môđun Noether.Các thuật ngữ về chiều Noether được dùng trong luận văn là theo [K]

Định nghĩa 1.3.4 Chiều Noether của môđun ArtinA, ký hiệu bởiN-dimRA,

được định nghĩa bằng quy nạp như sau:

Khi A = 0,đặt N-dimRA = −1

Với A 6= 0, cho một số nguyên d ≥ 0, ta đặt N-dimRA = d nếuN-dimRA < d là sai và với mỗi dãy tăng A0 ⊆ A1 ⊆ các môđuncon của A, tồn tại số nguyên n0 sao cho N-dimR(An+1/An) < d, với mọi

n > n0

Từ định nghĩa trên, ta thấy rằng mọi R-môđun khác không M là Noetherkhi và chỉ khi N-dimRM = 0 Ta đã biết rằng đối với mỗi môđun hữu hạnsinh M thì dim M = 0 nếu và chỉ nếu M 6= 0 và `R(M ) < ∞ Từ Địnhnghĩa 1.3.4 ta có một số tính chất sau về chiều Noether

Bổ đề 1.3.5 (i)N-dimRA = 0nếu và chỉ nếuA 6= 0 và`R(A) < ∞ Trongtrường hợp này AttRA = {m} Hơn nữa, nếu

0 −→ A0 −→ A −→ A00 −→ 0

lµ d·y khíp c¸c R-m«®un Artin th×

N-dimRA = max{N-dimRA0, N-dimRA00}

(ii) N-dimRA 6 dim R/ AnnRA = max{dim R/p : p ∈ AttRA} vµ tånt¹i m«®un Artin A sao cho N-dimRA < dim R/ AnnRA

a) N-dim Hmd(M ) = d

b) N-dim Hmi(M ) 6 i víi mäi i 6 d − 1

(vi) NÕux ∈ mlµ phÇn tö tham sè cñaAth×N-dim(0 :A x) = N-dim A − 1

Chương 2

Môđun Cohen-Macaulay với chiều > s

Trong chương này, ta vẫn giả thiết (R,m) là vành địa phương, M

là R-môđun hữu hạn sinh với chiều dim M = d Trong Mục 1 củachương, ta sẽ nhắc lại một số đặc trưng của lớp môđun Cohen-Macaulay

và các lớp môđun mở rộng Đặc biệt, từ khái niệm tổng quát về M-dãyvới chiều > s được giới thiệu bởi [BN], N Zamani đã đưa ra một lớpmôđun Cohen-Macaulay với chiều > s Khái niệm này cho ta một lớpmôđun Cohen-Macaulay tổng quát mà với s = −1, 0, 1 ta sẽ thu lại đượccác lớp môđun quen biết tương ứng: môđun Cohen-Macaulay, f-môđun, f-môđun suy rộng Mục 2 của chương này dành để chứng minh chi tiết một

số đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay với chiều > s thông qua số bộie(x; M ) của M, chiều Noether N-dimRHmi(M ) của các môđun đối đồng

điều địa phương Hmi (M ) và kiểu đa thức p(M ) của M

các phần tử x1, , xn ∈ m là M-dãy khi và chỉ khi xi ∈/ p, với mọi

p ∈ AssRM/(x1, , xi−1)M

(ii) Phần tử x ∈ m được gọi là f-dãy nếu và chỉ nếu x /∈ p, với mọi

p ∈ Ass(M ) \ {m} và một dãy các phần tử x1, , xn trong m được gọi là

f-dãy nếu và chỉ nếu xi ∈/ p, với mọi p ∈ Ass(M/(x1, , xi−1)M ) \ {m},với mọi i = 1, , n

(iii) Phần tử x ∈ m được gọi là phần tử chính quy suy rộng của M nếu

x /∈ p, với mọi p ∈ AssRM sao cho dim R/p > 1 Một dãy các phần

tử x1, , xn trong m được gọi là một dãy chính quy suy rộng của M nếu

xi ∈/ p, với mọi p ∈ AssRM/(x1, , xi−1)M thỏa mãn dim R/p > 1, vớimọi i = 1, , n

Từ khái niệm trên, ta thấy rằng mọi dãy chính quy đều là f-dãy và mọi

f-dãy đều là dãy chính quy suy rộng Tuy nhiên, điều ngược lại nhìn chungkhông đúng Các kết quả sau đây cho ta một số tính chất cơ bản của dãychính quy (xem [Mat, Định lý 16.1, Mệnh đề 16.1] [BH, Mệnh đề 1.1.6]),

f-dãy (xem [CST]) và dãy chính quy suy rộng (xem [Nh, Bổ đề 2.2])

Bổ đề 2.1.2 (i) Nếu x1, , xn là M-dãy (tương ứng f-dãy, dãy chính quysuy rộng) thì x1, , xn là một phần hệ tham số của M

(ii) Nếu x1, , xn là M-dãy (tương ứng f-dãy, dãy chính quy suy rộng) thìvới mọi số nguyên dươnga1, , an ta cóxa1

1 , , xan

n cũng làM-dãy (tươngứng f-dãy, dãy chính quy suy rộng)

(iii) Một dãy các phần tử x1, , xn ∈ p là một f-dãy (tương ứng dãy chínhquy suy rộng) của M khi và chỉ khi x1/1, , xn/1 là Mp-dãy, với mọi

p ∈ Supp M \ {m}(tương ứng với mọi p ∈ Supp M sao chodim R/p > 1),trong đó xi/1 là ảnh của xi trong Rp, với mọi i = 1, , n

(iv) Một dãy các phần tửx1, , xn trong m làM dãy (tương ứng f-dãy) của

M nếu với mọi i = 1, , n

(x1, , xi−1)M :M xi = (x1, , xi−1)M

(tương ứng

(x1, , xi−1)M :M xi ⊆ [

t>0(x1, , xi−1)M :M mt)

(vi) Dãy các phần tử x1, , xn là M-dãy (tương ứng f-dãy) nếu và chỉ nếuvới mọi i = 1, , n

dim((x1, , xi−1)M :M xi/(x1, , xi−1)M ) = −1,

(tương ứng

dim((x1, , xi−1)M :M xi/(x1, , xi−1)M ) 6 0))

Một trong những mở rộng quan trọng nhất của lớp môđun Cohen-Macaulay làlớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng giới thiệu bởi N T Cường, N V Trung

và P Schenzel [CST], lớp môđun này nằm giữa lớp môđun Cohen-Macaulay vàlớp f-môđun và được định nghĩa như sau

Định nghĩa 2.1.3 R-môđun M được gọi là Cohen-Macaulay suy rộng nếu

`R(Hmi (M )) < ∞ với mọi i < d

Lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng vẫn còn có nhiều tính chất đẹp qua

đối đồng điều địa phương, dãy yếu, các kết quả này có thể xem trong [CST]

và [T].ởđây, ta chỉ nhắc lại đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay suy rộngqua hệ tham số và số bội, các kết quả này sẽ được dùng để chứng minh cáckết quả chính về môđun Cohen-Macaulay với chiều > s được trình bày ở bàisau Với mỗi hệ tham số x = x1, , xd của M, ta đặt

I(x; M ) = `R(M/(x)M ) − e(x; M )và I(M ) = sup

xI(x; M ),trong đó x chạy khắp các hệ tham số của M

Bổ đề 2.1.4 Các mệnh đề sau là tương đương:

(i) M là Cohen-Macaulay suy rộng

(ii) Tồn tại một hằng sốI(M ) sao choI(x; M ) 6 I(M ) với mọi hệ tham số

x của M

(iii) Tồn tại một hệ tham số x của M và một hằng số Cx sao choI(xn1, , xnd; M ) 6 Cx với mọi số nguyênn

(iv) Tồn tại hệ tham số x của M sao cho I(x21, , x2d; M ) = I(x; M )

Hệ tham số x thỏa mãn Bổ đề 2.1.4, (iv) được gọi là hệ tham sốchuẩn tắc của M Chú ý rằng nếu hệ tham số x của M là chuẩn tắc thìI(xn1

1 , , xnd

d ; M ) = I(x; M ) với mọin1, , nd > 1.Theo Bổ đề 2.1.2, (i), ta thấy rằng mọi M-dãy (f-dãy, dãy chính quy suyrộng) đều là một phần của hệ tham số Tuy nhiên điều ngược lại nhìn chungkhông đúng Chính vì vậy, việc nghiên cứu các lớp môđun thỏa mãn điềungược lại là việc làm rất có ý nghĩa và cho ta những lớp môđun đẹp đẽ

Định nghĩa 2.1.5 (i) M được gọi là Cohen-Macaulay nếu M = 0 hoặc

M 6= 0 và mọi hệ tham số đều làM-dãy

(ii)M được gọi là f-môđun nếuM = 0hoặc mọi hệ tham số củaM làf-dãy.Một vành được gọi là f-vành nếu nó là f-môđun trên chính nó

(iii) M được gọi là f-môđun suy rộng nếu M = 0 hoặc mọi hệ tham số của

M là dãy chính quy suy rộng Một vành được gọi là f-vành suy rộng nếu nó

là f-môđun suy rộng trên chính nó

Ví dụ 2.1.6 Mọi f-môđun là f-môđun suy rộng, mọi môđun chiều 2 là

f-môđun suy rộng, và mọi miền nguyên chiều 3là f-vành suy rộng

Các lớp môđun Cohen-Macaulay, f-môđun, f-môđun suy rộng đều cónhững đặc trưng thông qua hệ tham số củaM, địa phương hóa, đầy đủ m-adic

của M, Đặc biệt, ta nhắc lại một đặc trưng của lớp f-môđun suy rộngthông qua số bội trong [NM, Định lý 3.2], đặc trưng này sẽ được dùng để mởrộng cho lớp môđun Cohen-Macaulay với chiều > s được giới thiệu ở phầnsau.

Bổ đề 2.1.7 (i) Các điều kiện sau là tương đương:

(a) N-dimR(Hmi (M )) 6 1, với mọi i < d

(iii) Giả sử rằng R là vành thương của vành Cohen-Macaulay Khi đó M là

f-môđun suy rộng nếu và chỉ nếu một trong các điều kiện (a), (b), (c), (d)thỏa mãn

Tiếp theo, ta sẽ nhắc lại khái niệm về một loại dãy chính quy được xem

là dãy tổng quát nhất theo nghĩa là các dãy đã biết trước đó chỉ là các trườnghợp đặc biệt của dãy này Đó là dãy chính quy với chiều> s được giới thiệubởi M Brodmann và L T Nhàn [BN] năm 2008

Định nghĩa 2.1.8 Cho s > −1 là một số nguyên và x1, , xn là một dãycác phần tử trong m Với mỗi i = 1, , n, đặt Mi = M/(x1, , xi−1)M

Ta nói dãy x1, , xn là một M-dãy với chiều > s nếu xi ∈/ p với mọi

p ∈ Ass(Mi) thỏa mãn dim R/p > s với mọii

Chú ý 2.1.9 (i) Từ Định nghĩa 2.1.1, ta thấy rằng x1, , xn là mộtM-dãyvới chiều > −1, 0, 1 nếu và chỉ nếu nó tương ứng là một M-dãy, f-dãy vàdãy chính quy suy rộng của M.

(ii) Vì mỗi phần tử x tránh các iđêan nguyên tố với chiều > s thì cũng tránhcác iđêan nguyên tố với chiều > s + 1 nên mỗi M-dãy với chiều > s đều làmột M-dãy với chiều > s + 1

(iii) Một iđêan a của R chứa một M-dãy x1, , xn với chiều > s, với mọi

n > 1 nếu và chỉ nếu dim M/aM 6 s Trong trường hợp này cận trên củacác độ dài của mỗi M-dãy với chiều > s chứa trong a là vô hạn

Bổ đề sau cho ta một số tính chất của dãy chính quy với chiều > s

Bổ đề 2.1.10 Các mệnh đề sau là tương đương:

(i) x1, , xn là M-dãy với chiều > s

(ii) Với mọi i = 1, , n, ta luôn có

dim((x1, , xi−1)M :M xi)/(x1, , xi−1)M 6 s

(iii) x1/1, , xn/1 làMp-dãy nghèo, với mọi p ∈ Supp M chứax1, , xnsao cho dim R/p > s

Rõ ràng rằng một dãy chính quy với chiều > s là một phần của hệ tham

số của M, nhưng điều ngược lại nhìn chung không đúng Chính vì thế, năm

2009, N Zamani giới thiệu khái niệm về một lớp môđun Cohen-Macaulaytổng quát theo nghĩa lớp môđun Cohen-Macaulay và các mở rộng của nótrước đó là các trường hợp đặc biệt của lớp môđun này

Định nghĩa 2.1.11 M được gọi là Cohen-Macaulay với chiều > s nếu mỗi

hệ tham số của M là một M-dãy với chiều > s Vành R là một vànhCohen-Macaulay với chiều > s nếu nó là một môđun Cohen-Macaulayvới chiều > s trên chính nó

Chú ý 2.1.12 (i) Mỗi dãy chính quy với chiều > −1, 0, 1 tương ứng làcác dãy chính quy, f-dãy, f-dãy suy rộng nên rõ ràng rằng mỗi môđunCohen-Macaulay với chiều> −1, 0, 1tương ứng là môđun Cohen-Macaulay,f-môđun theo nghĩa của Cường-Shenzel-Trung [CST] và f-môđun suy rộngtheo nghĩa của Nhàn-Morales [NM].

(ii) Mỗi phần tử chính quy với chiều > s là phần tử chính quy với chiều

> s + 1 nên mỗi môđun Cohen-Macaulay với chiều > s là một môđunCohen-Macaulay với chiều > s + 1

(iii) Mỗi môđun với chiều bằng s + 1 là một môđun Cohen-Macaulay vớichiều > s, vì nếu phần tử tham số xtránh các iđêan nguyên tố có chiềus + 1thì x cũng tránh các iđêan nguyên tố có chiều > s

Nhắc lại rằng vành R được gọi là đẳng chiều nếu dim R/q = dim R,với mọi iđêan nguyên tố tối thiểu q ∈ min(Ass R) và môđun M được gọi

là đẳng chiều nếu dim R/p = dim M, với mọi iđêan nguyên tố tối thiểu

p ∈ min(Ass M ) Cho p ⊂ q là các iđêan nguyên tố của R Một dãy cáciđêan nguyên tố p = p0 ⊂ ⊂ pn = q sao cho pi 6= pi+1, với mọi i,

được gọi là dãy nguyên tố bão hoà giữa p và q nếu với mọi i, không tồn tạimột iđêan nguyên tố nào chen giữa pi và pi+1 Vành R là catenary nếu vớimỗi cặp iđêan nguyên tố p,q của R sao cho p ⊂ q, mọi dãy bão hoà cáciđêan nguyên tố bắt đầu từ p và kết thúc tại q đều có cùng độ dài Ta nóirằng Supp M là catenary nếu với mỗi cặp iđêan nguyên tố p,q ∈ Supp Msao cho p ⊂ q, thì mọi dãy bão hoà các iđêan nguyên tố bắt đầu từ p và kếtthúc tại q đều có cùng độ dài Chú ý rằng nếu vành R là đẳng chiều thì R làcatenary nếu và chỉ nếu dim R/p + htp = dim R, với mọi iđêan nguyên tố

p của R, và rõ ràng rằng Supp M là catenary nếu và chỉ nếuR/ AnnRM làcatenary Do đó, trong trường hợp M là đẳng chiều thì Supp M là catenarynếu và chỉ nếu dim R/p+ dim Mp = dim M, với mọi p ∈ Supp M