Thuật toán lặp xen kẽ MFS đối với bài toán biên cho phương trình Elliptic với điều kiện biên không đầy đủ

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ THỊ HẰNG THUẬT TOÁN LẶP XEN KẼ MFS ĐỐI VỚI BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTI

Trang 1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LÊ THỊ HẰNG

THUẬT TOÁN LẶP XEN KẼ MFS ĐỐI VỚI BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN KHÔNG ĐẦY ĐỦ

Trang 2

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LÊ THỊ HẰNG

THUẬT TOÁN LẶP XEN KẼ MFS ĐỐI VỚI BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN KHÔNG ĐẦY ĐỦ

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 60.46.01.12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS VŨ VINH QUANG

THÁI NGUYÊN - NĂM 2014

Trang 3

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian nghiên cứu và thực hiện luận văn thạc sỹ chuyên nghành toán ứng dụng, đến nay luận văn của tôi đã được hoàn thành.Để có được kết quả như mong muốn, trước hết tôi xin gửi lời biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới thầy giáo hướng dẫn TS Vũ Vinh Quang Mặc dù rất bận rộn trong công việc nhưng thầy vẫn dành rất nhiều thời gian và tâm huyết trong việc hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn Cho đến hôm nay, luận văn thạc sĩ của tôi

đã được hoàn thành cũng chính là nhờ sự nhắc nhở, động viên thường xuyên

và tận tâm chỉ bảo nghiêm túc về chuyên môn của thầy Tôi cũng xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đối với gia đình, bạn bè và người thân đã không ngừng động viên, khuyến khích và tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày 30 tháng 9 năm 2014

Tác giả

Trang 4

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN i

MỤC LỤC iv

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Không gian Sobolev và phương trình elliptic 3

1.1.1 Không gian Sobolev 3

1.1.2 Phương trình elliptic 10

1.2 Lý thuyết về các sơ đồ lặp 13

1.2.1 Lược đồ lặp hai lớp 13

1.2.2 Lược đồ dừng, định lý cơ bản về sự hội tụ của phương pháp lặp 15

1.3 Phương pháp chia miền giải bài toán elliptic cấp hai với điều kiện biên hỗn hợp mạnh 16

1.3.1 Mô tả phương pháp 16

1.3.2 Sự hội tụ của phương pháp 18

1.4 Các kiến thức cơ bản về giải số phương trình đạo hàm riêng 19

1.4.1 Phương pháp sai phân 19

1.4.2 Giới thiệu thư viện TK2004 22

Chương 2: THUẬT TOÁN LẶP XEN KẼ MFS ĐỐI VỚI BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CHÍNH QUY 27

2.1 Mô hình bài toán 27

2.2 Thuật toán lặp chẵn lẻ 29

2.2.1 Cơ sở thuật toán 29

2.2.2 Nghiên cứu cơ sở lý thuyết 31

2.3 Phương pháp MFS 32

Chương 3: MỘT SỐ KẾT QUẢ GIẢI SỐ BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CHÍNH QUY 36

Trang 5

3.1 Mô hình tổng quát 36

3.2 Một số kết quả thực nghiệm số 43

3.2.1 Kết quả kiểm tra QH1 và QH2 43

3.2.2 Kết quả kiểm tra QH3 và QH4 46

KẾT LUẬN 49

TÀI LIỆU THAM KHẢO 50

PHẦN PHỤ LỤC 52

Trang 6

MỞ ĐẦU

Xuất phát từ mô hình toán học của bài toán biên với hệ điều kiện biên dạng không chính quy, cơ sở toán học của phương pháp lặp xen kẽ MFS cùng phương pháp xây dựng nghiệm xấp xỉ thông qua hệ nghiệm cơ bản đối với bài toán biên thuần nhất Luận văn đã hiện thực hóa các sơ đồ lặp xen kẽ

để xác định nghiệm số của bài toán không chính quy bằng hai phương pháp xác định giá trị hàm hoặc đạo hàm trên phần biên chưa xác định điều kiện biên Các kết quả số đã được xác định và từ đó đã đánh giá được hiệu quả của từng phương pháp Trong trường hợp khi bài toán là phức tạp mà nếu sử dụng thuật toán lặp xen kẽ sẽ gặp phải bài toán biên hỗn hợp mạnh, dựa trên kết quả của thuật toán chia miền đối với bài toán biên elliptic với điều kiện biên gián đoạn mạnh, luận văn đã đưa ra sơ đồ lặp xác định nghiệm xấp xỉ của bài toán biên không chính quy, tiến hành lập trình xác định nghiệm số của bài toán, đánh giá về tốc độ hội tụ và độ chính xác của sơ đồ lặp, so sánh các phương pháp xác định hàm và đạo hàm

Mục đích chính của luận văn là đề cập đến thuật toán lặp xen kẽ MFS đối với bài toán biên cho phương trình elliptic với điều kiện biên không đầy

đủ Luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian Sobolev và phương trình elliptic, các kiến thức về sơ đồ lặp, phương pháp sai phân đối với việc giải số phương trình đạo hàm riêng, thuật toán chia miền đối với bài toán biên hỗn hợp mạnh

Chương 2: Trình bày mô hình vật lý và cơ học của bài toán biên elliptic với hệ điều kiện biên không chính quy

Chương 3: Nghiên cứu một số kết quả giải số bài toán biên không chính quy, luận văn sẽ đưa ra một số mô hình bài toán trong trường hợp tổng quát hơn đồng thời đề xuất một số sơ đồ lặp tìm nghiệm số của các bài toán

Trang 7

tương ứng Các kết quả số sẽ được kiểm tra bằng các chương trình viết bằng

ngôn ngữ Matlab chạy trên máy tính PC

Mặc dù đã rất cố gắng song nội dung của luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót Rất mong nhận được sự chỉ bảo, đóng góp của các thầy cô giáo và các anh chị em bạn bè đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn TS Vũ Vinh Quang đã tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình làm luận văn

Trang 8

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian Sobolev và phương trình elliptic

1.1.1 Không gian Sobolev

1.1.1.1 Không gian k ( )

Giả sử W là một miền bị chặn trong không gian Euclide n chiều ¡ n và

W là bao đóng của W Ta kí hiệu Ck ( ) ( W , k = 0, 1, 2 ) là tập các hàm có đạo hàm đến cấp k kể cả k trong W, liên tục trong W

Trang 9

L W là các lớp tương đương các hàm đo được thỏa mãn (1.2)

và hai hàm tương đương nếu chúng bằng nhau hầu khắp trên W Vì :

p + p = , p ' được gọi là số mũ liên hợp

đối với p

Trang 10

đều tồn tại một lân cận w của x0 để u x ( ) khả tích trong W

Định nghĩa 1.1.2 Cho W là một miền trong ¡ n Giả sử u x v x ( ) ( ) , là hai hàm khả tích địa phương trong W sao cho ta có hệ thức:

Trang 11

Trong đó các đạo hàm trên là các đạo hàm suy rộng

ii) Không gian 1( )

H W là không gian Hilbert với tích vô hướng:( ) ( ) ( ) ( )

å

1.1.1.4 Vết của hàm

Định nghĩa 1.1.4 Không gian Sobolev 1, ( )

W p W được định nghĩa như các bao đóng của không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong W

tương ứng với chuẩn của 1, ( )

Trang 12

Định nghĩa 1.1.5 Giả sử biên ¶ W là liên tục Lipschitz, không gian

1

,

H H

g

W

Trang 13

Khi đó Cg( ) W được gọi là hằng số vết

Bổ đề 1.1.2 Giả sử ¶ W là liên tục Lipschitz, không gian ( )

1 2

H ¶ W có các tính chất sau:

i) Tập { u | ,¶ W u Î C¥ ( ) Rn } là trù mật trong ( )

1 2

1

2 2

g

g Î H ¶ W ® u Î H WVới g ( ) ug = g và tồn tại một hằng số C1( ) W chỉ phụ thuộc miền W sao cho:

1 2

Trang 14

H

-¶ W Định nghĩa 1.1.6 Ta kí hiệu 1( )

H- W là một không gian Banach được xác định bởi:

0 1

u

-W W W

Trang 15

Định nghĩa 1.1.7 Giả sử ¶ W liên tục Lipschitz, ta kí hiệu ( )

1 2

H

-¶ W là một không gian Banach được xác định như sau:

u

-¶ W ¶ W W

u Î C W f Î C W và phương trình (1.3) thỏa mãn trong miền

W Khi đó, u x ( ) được gọi là nghiệm cổ điển của phương trình (1.3) Lấy hàm j bất kì thuộc D ( ) W = C0¥ ( ) W nhân với hai vế của (1.3) rồi lấy tích phân ta được:

Trang 16

Trang 17

1.1.2.2 Phát biểu các bài toán biên

Bài toán Dirichlet

Xét bài toán:

, ,

i) Nghiệm yếu của bài toán (1.6) là nghiệm yếu của phương trình - V u = f

vì ta đã định nghĩa nghiệm yếu của phương trình này là hàm 1( )

u Î H W

thỏa mãn (1.8) với mọi ( ) 1( )

v Î C¥ W Ì H W ii) Nếu u là nghiệm yếu của bài toán (1.6) và đặt u f j , , đủ trơn thì nghiệm theo nghĩa cổ điển

Trang 18

Bài toán Neumann

Nhân hai vế của phương trình - V u = f với 1( )

v Î H W rồi lấy tích phân

Trang 19

Giả sử A là toán tử đối xứng, xác định dương, f Î H là vecto tùy ý Trong mỗi phương pháp lặp, xuất phát từ y0bất kì thuộc H , người ta đưa ra cách xác định nghiệm xấp xỉ

1, 2, , k,

y y y của phương trình (1.12) Các xấp xỉ như vậy được biết như là các cặp giá trị lặp với chỉ số lặp k = 1, 2, , bản

chất của những phương pháp này là giá trị

, 0,1, 2,

k

y k

A f k q

+ +

Trang 20

1.2.2 Lược đồ dừng, định lý cơ bản về sự hội tụ của phương pháp lặp Lược đồ lặp (1.13) với toán tử

B = B cố định, định lý đã đưa ra quy tắc lựa chọn giá trị q

để lược đồ lặp hội tụ Trong trường hợp B = E , điều kiện hội tụ sẽ được đảm bảo nếu tất cả các giá trị riêng thỏa mãn:

Trang 21

Như vậy, lược đồ lặp hội tụ với mỗi 2

Trong phần này, chúng ta sẽ nghiên cứu cơ sở của phương pháp chia miền: tư tưởng chính của phương pháp là chuyển bài toán biên hỗn hợp mạnh về hai bài toán biên hỗn hợp yếu thông qua một phương pháp lặp

Xét bài toán biên hỗn hợp mạnh sau đây:

Hình 1

Trang 22

u

x v

y j

Kí hiệu G = ¶ W1 1 \ { G È G G = ¶ Wd } , 2 2 \ { G È Gn }, kí hiệu ui là

nghiệm trên miền Wi ( i = 1, 2 ) Mấu chốt của thuật toán là muốn giải được

bài toán biên hỗn hợp mạnh, chúng ta cần xác định giá trị của điều kiện trên

biên phân chia giữa hai miền

1 Cách tiếp cận thứ nhất là xác định giá trị hàm trên biên phân chia dựa

trên một sơ đồ lặp Cách tiếp cận này đã được các tác giả Nhật Bản phát triển

vào năm 2001 [7]

2 Cách tiếp cận thứ hai là xác định giá trị đạo hàm trên biên phân chia dựa

trên một sơ đồ lặp Cách tiếp cận này đã được phát triển của các tác giả Việt

Nam [3], Phương pháp này đã được đánh giá có tốc độ hội tụ nhanh hơn

Sau đây chúng ta giới thiệu cách tiếp cập thứ 2

¶ Tư tưởng của phương pháp là xác định giá trị của g

thông qua một phương pháp lặp Xây dựng thuật toán chia miền như sau:

Trang 23

( )

( )( )

1 1

, , ,

( )

2 2

,

k k

n k

u

x v

y j

1.3.2 Sự hội tụ của phương pháp

Sơ đồ lặp (1.21) được viết lại dưới dạng

+

¶ -

¶Đây chính là sơ đồ lặp 2 lớp cho phương trình toán tử, bằng cách đưa vào

các không gian năng lượng và sử dụng lý thuyết về nghiệm yếu của phương

trình elliptic, toán tử Steklov-Poincare, lý thuyết về các sơ đồ lặp, trong tài

Trang 24

liệu [3] đã chứng minh sơ đồ lặp trên hội tụ với tham số t được lựa chọn

trong khoảng ( )0, 1

Phương pháp chia miền này sẽ được sử dụng với phương pháp lặp xen kẽ

để đề xuất những sơ đồ lăp giải mô hình bài toán biên không chính quy được

đưa ra trong chương 2 của luận văn

1.4 Các kiến thức cơ bản về giải số phương trình đạo hàm riêng

Trong mục này, luận văn trình bày một số kiến thức liên quan đến việc

giải số phương trình đạo hàm riêng bao gồm cơ sở của phương pháp lưới,

thuật toán thu gọn khối lượng tính toán của Samarskij-Nicolaev, các kết quả

được tham khảo từ các tài liệu [4,6]

1.4.1 Phương pháp sai phân

Lưới sai phân:

M > 1, đặt h = (b - a)/N gọi là bước lưới theo x, k = (d - c)/ M gọi là bước

lưới theo y Đặt x i = a+ ih y, j = c+ jk i, = 0 ,N j = 0 M Mỗi điểm

( ,x y gọi là một nút lưới ký hiệu là i j) ( , )i j Tập tất cả các nút trong ký hiệu

làW Nút ở trên biên hk gọi là nút biên Tập tất cả các nút biên ký hiệu là

hk, tập hk

hk hk

W = W È G gọi là một lưới sai phân trên W

Hàm lưới: Mỗi hàm xác định tại các nút của lưới gọi là một hàm lưới, giá

trị của hàm lưới u(x, y) tại nút lưới (i,j) viết tắt là u Mỗi hàm u(x, y) xác i j,

định tại mọi ( , )x y Î W tạo ra hàm lưới u xác định bởi u i j,

Trang 25

Bài toán sai phân: Ký hiệu Lu = f là phương trình mà nghiệm là tập các

hàm số hai biến x,y có các đạo hàm riêng đến cấp m liên tục trong

W= WÈ G giả sử bài toán có nghiệm u Î C4( )W , khi đó:

Trang 26

Ta được bài toán sai phân hoàn chỉnh: tìm hàm lưới uij tại các nút (i,j) thoả

mãn hệ phương trình sai phân (1.23) và điều kiện biên (1.24) Như vậy việc

tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán vi phân với độ chính xác cấp hai được đưa về

giải bài toán sai phân (1.23) với điều kiện (1.24) bằng phương pháp đại số Bằng các phép biến đổi đơn giản về vec tơ và ma trận, các bài toán sai phân luôn luôn được đưa về hệ phương trình vec tơ 3 điểm thuộc một trong các dạng sau đây:

1.Bài toán biên thứ nhất

- + - = £ £ - = = (1.25)

Trang 27

Trong đó Y là véc tơ cần tìm, C là ma trận vuông, j F là vec tơ cho trước, j

Các bài toán biên dạng (1.25) và (1.26) là các hệ phương trình đại số với ma

trận C dạng đối xứng đặc biệt Việc giải các hệ phương trình đại số đó được

thực hiện bởi phương pháp thu gọn khối lượng tính toán của các tác giả Samaski-Nicolaev Trong các tài liệu của Samaski-Nicolaev đã chứng minh

được độ phức tạp của các thuật toán là O(M×NlogN)

1.4.2 Giới thiệu thƣ viện TK2004

Trên cơ sở của thuật toán thu gọn khối lượng tính toán của Nicolaev, sau đây luận văn sẽ giới thiệu các kết quả xây dựng thư viện TK2004 giải số các bài toán biên elliptic Các kết quả đã được tham khảo trong tài liệu [6,8]

Samarski-1 Bài toán biên Diricchlet

Trang 28

Bằng cách biến đổi đơn giản ta có thể đưa bài toán sai phân tương ứng về hệ

phương trình vec tơ 3 điểm có dạng như sau:

LLL

2

2 1, 0, 2

2 2,

2

2 2, 2

j j j j

M j

M j M j

h F

h

j j

h r h

=

Trên cơ sở của thuật toán thu gọn khối lượng tính toán của

Samarski-Nicolaev, sử dụng ngôn ngữ Matlab giải hệ phương trình (1.28)

Xây dựng hàm u0000( , , , , ,j b b b b L L c M N p p q q1 2 3 4 1, 2, , , , 1, 2, ,1 2) trả lại nghiệm

bằng số của bài toán trong đó

+ M×N là lưới trên hình chữ nhật

Trang 29

+ φ là ma trận giá trị số của hàm vế phải

+ b b b b là vec tơ giá trị của điều kiện biên trên các cạnh 1, 2, ,3 4

+ L L là kích thước hình chữ nhật 1, 2

+ p p q q là tọa độ của hình chữ nhật trong không gian lưới 1, 2, ,1 2

2 Bài toán biên hỗn hợp

Trang 30

LLL

2

2 1, 0, 2

2 2,

2

2 2, 2

j j j j

M j

M j M j

h F

h

j j

22

+ φ là ma trận giá trị số của hàm vế phải

+ b b b b1, 2, ,3 4là vec tơ giá trị của điều kiện biên trên các cạnh

+ L L là kích thước hình chữ nhật 1, 2

+ p p q q là tọa độ của hình chữ nhật trong không gian lưới 1, 2, ,1 2

Trang 31

Hoàn toàn tương tự, trong các trường hợp khi điều kiện biên Neumann trên

2 cạnh, 3 cạnh hoặc 4 cạnh của hình chữ nhật, sử dụng phương pháp sai phân, chúng ta cũng đưa bài toán elliptic về các hệ phương trình vec tơ 3 điểm và

sử dụng thuật toán thu gọn khối lượng tính toán xác định nghiệm bằng số trên từng điểm lưới các hàm được thiết lập tương tự là

0010( )

u ,u0100( ), 1000( ), 1100( ), , 1111( )u u u , sẽ cho phép xác định nghiệm số với các bài toán tương ứng Trong các kí hiệu hàm trên, kí hiệu 0 tương ứng với biên Dirichlet, kí hiêu 1 tương ứng với biên Neumann Các hệ thống hàm trên đã được xây dựng thành thư viện TK2004 cho phép giải số tất

cả các bài toán biên elliptic với điều kiện biên hỗn hợp Kết quả này đã được công bố trong các công trình [8,9]

Trong luận văn, các kết quả giải số sẽ được thực hiện dựa trên hệ thống các hàm đã được xây dựng trong thư viện TK2004

Kết luận

Trong chương 1, luận văn đã trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian Sobolev và phương trình elliptic, các kiến thức về sơ đồ lặp, phương pháp sai phân đối với việc giải số phương trình đạo hàm riêng, thuật toán chia miền đối với bài toán biên hỗn hợp mạnh, thuật toán thu gọn khối lượng tính toán giải phương trình vec tơ 3 điểm đối với bài toán biên thứ nhất và bài toán biên thứ hai Trong phần này cũng đưa ra kết quả xây dựng thư viện chương trình TK2004 giải số các bài toán biên elliptic với điều kiện biên hỗn hợp Những kiến thức này sẽ làm nền tảng cho các kết quả sẽ trình bày trong các chương tiếp theo của luận văn

Trang 32

Chương 2 THUẬT TOÁN LẶP XEN KẼ MFS ĐỐI VỚI BÀI TOÁN

BIÊN KHÔNG CHÍNH QUY

2.1 Mô hình bài toán

Xét miền xác định mở WÌ ¡ d, với d là số chiều của không gian Khi đó bài toán được đặt ra là với d Î { 1, 2, 3 } và giả sử rằng W bị chặn bởi đường cong

tả trong tài liệu é ù ê ú 1, 2 Mô hình bài toán nghiên cứu xác định trường nhiệt trong điều kiện cụ thể Chúng ta giả thiết rằng trường nhiệt u x ( ) thỏa mãn phương trình Helmholtz trong miền xác định bị chặn với biên Lipschitz

mô tả mô hình dẫn nhiệt của bộ ổn định với u là nhiệt độ địa phương có thứ

Trang 33

Đặt n x ( ) = ( n x n1( ) ( ) , 2 x , nd ( ) x )T là vectơ pháp tuyến ngoài tại

x Î ¶ W và q x ( ) º Ñ u x n x ( ) ( ) là thông lượng nhiệt theo hướng pháp tuyến ngoài tại điểm x Î ¶ W Trong việc xây dựng mô hình bài toán, các mô

tả về hằng số k, vị trí, hình dạng và kích thước của biên ¶ W, nhiệt độ và thông lượng nhiệt theo hướng pháp tuyến trên biên ¶ W được biểu diễn bới các điều kiện biên Dirichlet, Neumann hoặc điều kiện biên hỗn hợp để đảm bảo có thể xác định điều kiện trên phần biên chưa biết cũng như sự phân bố nhiệt độ trong toàn miền

Trong thực tế, một trường hợp đặc biệt phát sinh khi người ta có thể đo được nhiệt độ và thông lượng nhiệt theo hướng pháp tuyến trên một phần của biên ¶ W, giả sử là G1, đồng thời không thể đo được các giá trị nhiệt độ và thông lượng nhiệt theo hướng pháp tuyến trên phần biên còn lại Điều này dẫn đến mô hình toán học của bài toán Cauchy được mô tả bởi phương trình vi phân đạo hàm riêng và các hệ điều kiện biên

1 2

G ³ G

Trang 34

Mặc dù bài toán này có thể có nghiệm duy nhất, tuy nhiên nghiệm đó có thể không ổn định với những nhiều loạn nhỏ với các dữ liệu trên biên G1 qua các thiết bị đo đạc trong quá trình thực nghiệm, do đó bài toán được đặt ra là không chính quy và chúng ta không thể sử dụng các phương pháp giải trực tiếp, chẳng hạn như phương pháp bình phương bé nhất để giải hệ phương trình tuyến tính phát sinh từ sự rời rạc hóa của phương trình vi phân riêng và các hệ điều kiện biên thông qua phương pháp lưới hay phương pháp phần tử hữu hạn Do đó vấn đề là cần nghiên cứu các phương pháp để có thể giải chính xác bài toán được mô tả bởi phương trình cải biên Helmholtz ( ) ( ) 1 - 2

Sau đây chúng ta nghiên cứu thuật toán lặp được đưa ra bởi các tác giả trong tài liệu [1,2]

2.2 Thuật toán lặp chẵn lẻ

2.2.1 Cơ sở thuật toán

Nhận xét: Trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, bài toán biên sẽ

giải được nếu chúng ta xác định được giá trị điều kiện biên trên tất cả các phần biên của bài toán: các dạng điều kiện biên có thể là dạng hàm (Dirichlet), dạng đạo hàm theo hướng pháp tuyến (Neumann) hoặc dạng hỗn hợp giữa hàm và đạo hàm (Robin) Như vậy đối với bài toán không chính quy đang xét, để giải được, chúng ta cần xác định giá trị điều kiện biên trên phần biên còn lại G2 mà chưa xác định được trong quá trình thực nghiệm qua các thiết bị đo đạc (Các điều kiện có thể là dạng Dirichlet hoặc Neumann) Một trong những hướng có thể tiếp cận được là thông qua các điều kiện đã có trên

Trang 35

Kí hiệu ( )q x là giá trị đạo hàm theo hướng pháp tuyến trên phần biên G2cần xác định, ta xây dựng sơ đồ lặp như sau:

Xuất phát

( )

1 2 0

k k

1

2

0, , 2.3 , 2.3 , 2.3

k k

Định dạng
Số trang	71
Dung lượng	885,81 KB