Sử dụng phần mềm minh họa một số bài toán có yếu tố thay đổi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCMA THỊ THÚY HỒNG SỬ DỤNG PHẦN MỀM MINH HỌA MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ YẾU TỐ THAY ĐỔI Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

MA THỊ THÚY HỒNG

SỬ DỤNG PHẦN MỀM MINH HỌA MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ

YẾU TỐ THAY ĐỔI

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:PGS TS TRỊNH THANH HẢI

THÁI NGUYÊN - NĂM 2014

Mục lục

1.1 Phần mềm "Vi thế giới" 2

1.2 Sử dụng phần mềm "Vi thế giới" để biểu diễn, minh họa kết quả bài toán 3

2 MINH HỌA KẾT QUẢ MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ YẾU TỐ THAY ĐỔI TRONG CHƯƠNG TRÌNH THPT 15 2.1 Bài toán về tính tiếp xúc 15

2.1.1 Bài toán 15

2.1.2 Một số ví dụ 17

2.2 Bài toán về điểm cố định 25

2.2.1 Bài toán 25

2.2.2 Một số ví dụ 25

2.3 Bài toán quỹ tích 35

2.3.1 Bài toán 35

2.3.2 Một số ví dụ 36

Lời cảm ơn

Em xin chân thành cảm ơn PGS TS Trịnh Thanh Hải đã giới thiệu vàgiúp em làm quen với việc sử dụng phần mềm minh họa kết quả của một sốbài toán có yếu tố thay đổi trong chương trình Toán ở trường phổ thông hiệnnay, đồng thời thầy đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình từ khi emnhận đề tài đến khi em hoàn thành luận văn

Em xin chân thành cảm ơn trường Đại học Khoa học, khoa Toán - Tin,các thầy giáo, cô giáo, các bạn lớp cao học Toán K6C,các bạn đồng nghiệp

đã luôn động viên giúp đỡ em yên tâm học tập, công tác và hoàn thiện luậnvăn

Với trình độ và điều kiện nghiên cứu của bản thân còn nhiều hạn chế, nênbài luận văn này không thể tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhậnđược sự phê bình, góp ý của các thầy, cô giáo và các bạn học viên cho luậnvăn này đem lại những ứng dụng thực tế tốt

Một lần nữa,em xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 9 năm 2014Người viết Luận văn

Ma Thị Thúy Hồng

LỜI NÓI ĐẦU

Trong chương trình toán ở trường THPT các bài toán có yếu tố thay đổinhư: Bài toán về hàm số có chứa tham số, bài toán quỹ tích, là những bàitoán khó và trừu tượng với hầu hết học sinh Với mong muốn minh họa mộtcách trực quan kết quả lời giải của các bài toán thông qua việc sử dụng đồhọa máy tính, chúng tôi chọn đề tài "Sử dụng phần mềm minh họa một

số bài toán có yếu tố thay đổi" làm luận văn thạc sĩ

Nhiệm vụ của luận văn là:

- Hệ thống hóa một vài dạng toán có yếu tố thay đổi trong chương trìnhTHPT, với mỗi dạng sau khi đưa ra định hướng giải quyết luận văn sẽ lựachọn một vài ví dụ cụ thể và đưa ra lời giải chi tiết

- Nhiệm vụ chính của luận văn là sử dụng phần mềm minh họa kết quả củalời giải bài toán

- Trong luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo gồm haichương:

Chương I: Kiến thức chuẩn bị

Chương II: Minh họa kết quả một số bài toán có yếu tố thay đổi trongchương trình Toán ở trường phổ thông

Trong quá trình viết luận văn cũng như quá trình xử lý văn bản chắc chắnkhông tránh khỏi những hạn chế thiếu sót Rất mong nhận được sự góp ý củacác thầy, cô các bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện hơn

Thái nguyên, tháng 9 năm 2014Học viên

Ma Thị Thúy Hồng

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Khái niệm "Vi thế giới" được đề cập lần đầu vào những năm 60 thế kỷ

XX từ việc xác định đặc trưng cho vũ trụ hoạt động của người máy Có thểnêu lên các đặc trưng cơ bản của một "Vi thế giới" là:

(1) Một môi trường gồm những đối tượng và những quan hệ

(2) Một tập hợp những thao tác cho phép hành động trên những vật thể

và cho phép tạo ra những vật thể mới, tạo ra những quan hệ mới

Với các thuộc tính "cấu trúc", "động", "liên tục" và tính tương tác rấtcao, các vi thế giới cung cấp các chức năng cơ bản để mô hình hóa các bàitoán và nghiên cứu bài toán trên các mô hình, chẳng hạn các vi thế giới chophép người sử dụng:

(1) Tạo ra các đối tượng cơ bản như điểm, đoạn thẳng, các mối quan hệ

cơ bản như quan hệ liên thuộc, quan hệ ở giữa, quan hệ song song, quan hệvuông góc

(2) Tác động lên những đối tượng đã có nhằm xác lập những đối tượngmới, những quan hệ mới

(3) Khi tác động vào các đối tượng như thay đổi thuộc tính các đối tượng thì cấu trúc và mối quan hệ giữa các đối tượng vẫn được bảo toàn

(4) Hỗ trợ nghiên cứu các hiện tượng một cách liên tục

(5) Có các chức năng cho phép tính toán, đo đạc, kiểm tra các mối quan

hệ giữa các đối tượng

Trên thế giới các phần mềm nhưOmnigraph, Coypu, M entoniezh, Cheypre, Def i, Geometer0s Sketchpad, Geospacw, Geoplanw, Euclides, Autograph, Geometry Cabri đang được sử dụng rộng rãi vì bản thân chúng đã thỏa mãn một phần hoặchầu hết các đặc trưng của một phần mềm "Vi thế giới".

Hình 1.1: Hình vẽ minh họa.

minh họa kết quả bài toán

Sử dụng phần mềm "Vi thế giới" để biểu diễn, minh họa kết quả bàitoán, cần thực hiện các bước cơ bản sau:

Bước 1: Xác định bài toán

- Trong bước này cần xác định rõ yếu tố thay đổi (đối tượng động)

- Mối quan hệ giữa các đối tượng (thường được cho dưới dạng một biểu thứcgiải tích hoặc một hệ các ràng buộc )

Bước 2: Xây dựng mô hình biểu diễn bài toán:

- Trường hợp bài toán hình học: Sử dụng các công cụ của "Vi thế giới" theocác bước dựng hình cơ bản

- Trường hợp bài toán được biểu diễn bởi một biểu thức giải tích f (x, m):Trình tự xây dựng mô hình như sau:

(1) Xác định hệ trục toạ độ Oxy

(2) Lấy một điểm X(x; 0) bất kỳ thuộc miền xác định của hàm số và điểm

M (m, 0) bất kỳ thuộc miền giá trị của tham số

(3) Tính giá trị y = f (x, m)

(4) Dựng điểm Y (x; f (x, m))

Bước 3: Đưa ra mô hình trực quan của bài toán

Ta sẽ sử dụng các chức năng để thay đổi tham số và nhận được mô hìnhtrực quan của bài toán

Ví dụ 1.1 Xét bài toán: "Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số y = (m+1)x+m+2x+m+2luôn luôn đi qua hai điểm cố định bất chấp m (ngoại trừ một vài giá trị của

m mà ta sẽ tìm ra)"

Việc sử dụng "Vi thế giới" để minh hoạ kết quả như sau:

Bước 1: Xác định bài toán:

Trong trường hợp này, mối quan hệ giữa các yếu tố được cho bới biểu thứcgiải tích: y = (m+1)x+m+2x+m+2 , trong đó m là giá trị thay đổi nhận giá trị thực.Bước 2: Xây dựng mô hình biểu diễn hàm số:

Sử dụng phần mềm Geometry Cabri thì các thao tác chính như sau:

- Chọn chức năng P oint on Object lấy X(x; 0), M (m; 0) bất kỳ trên trục Ox

- Chọn chức năng Equation and Coordinates: cho hiện toạ độ của hai điểm

X, M ra màn hình

- Chọn công cụCalculate: tính giá trị của hàm số trong đó xlà hoành độ điểm

X, m là hoành độ của điểm M

- Chọn chức năngM easurement T ransf er: lần lượt bấm chọn giá trị vừa tínhđược sau đó chỉ vào trục tung Oy Ta xác định được điểm Y thuộc Oy

- Chọn công cụ P erpendicular Line: lần lượt dựng các đường vuông góc vớitrục Ox tại điểm X, vuông góc với Oy tại điểm Y

- Chọn chức năng Intersection P oints: xác giao điểm N của hai đường thẳngvuông góc vừa dựng N sẽ là điểm có toạ độ (x, f (x))

- Chọn chức năngLocus: lần lượt chỉ vào điểmN và điểmXđểCabri Geometry

đưa ra đồ thị của hàm số.

Bước 3: Minh họa hình ảnh của điểm cố định

- Chọn chức năng T raceOn/Of f : gán thuộc tính để lại vết cho đường cong

- Cho điểm M thay đổi khi đó vết để lại của họ đường cong tương ứng vớicác giá trị củam sẽ cho ta hình ảnh đồ thị của hàm số y = f (x, m) Hình ảnhcho thấy rõ ràng đồ thị của hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định (0; 1)

và (−4; −3) như lời giải của bài toán

Hình 1.2: Hình vẽ minh họa.

Ví dụ 1.2 Xét bài toán: Cho đường tròn đường kính AB cố định, M làmột điểm cố định chạy trên đường tròn Trên tia đối của tia M A lấy điểm Isao cho M I = 2M B Tìm tập hợp các điểmI

Bước 1: Xác định bài toán:

Đây là dạng bài toán quỹ tích hình học, trong đó yếu tố quỹ tích là vị trí củađiểm M chạy trên đường tròn

Bước 2: Xây dựng mô hình của bài toán:

Sử dụng các công cụ của phần mềm Sketch P ad và thực hiện theo trình

tự sau:

-Dựng đoạn thẳng AB

- Xác định trung điểm O của đoạn thẳng AB

- Dựng đường tròn tâm O, bán kính OA

- Lấy điểm M bấy kỳ thuộc (O, OA)

- Chọn công cụ vẽ tia sau đó lần lượt nhấp chuột vào điểm A và điểm M

- Chọn công cụ dựng đường tròn, lần lượt dựng đường tròn tâm M bán kính

M B và xác định giao của đường tròn này với tia AM (gọi là điểm F)

- Tiếp tục vẽ đường tròn tâm F, bán kính F M Gọi giao của đường tròn nàyvới tia AM là I

Việc chứng minh quỹ tích bài toán là cơ bản đối với học sinh, cụ thể: vìgóc [M IB không đổi nên tập hợp các điểm I sẽ là cung chứa góc dựng trênđoạn thẳng AB (điểm I luôn nhìn đoạn thẳng AB với một góc có tan luônbằng 12)

Bước 3: Minh họa mô hình quỹ tích

- Chọn lệnh Display/T raceP oint xác định thuộc tính để lại vết khi chuyểnđộng cho điểm I rồi chọn lệnh Display/AnimateP oint cho điểm M chuyểnđộng ta thu được hình ảnh trực quan của quỹ tích điểm I

Hình 1.3: Hình vẽ minh họa.

Bước 4: Khai thác bài toán cho học sinh khá, giỏi:

Ta có thể mở rộng bài toán cho học sinh khá giỏi bằng cách đặt nhữngcâu hỏi sau:

Ta đã nhận dạng được quỹ tích là cung chắn góc dựng trên đoạn thẳng

AB nhưng cụ thể cung đó nằm trên đường tròn tâm nào? Hãy xác định tâm

và bán kính của đường tròn chứa quỹ tích này?

Trong bài toán ta đã xác định được quỹ tích điểm I thoả mãn M I = 2M B.Nếu tỷ số không phải là 2 mà M I = k.M B (với k là số thực bất kỳ) thì quỹtích điểm I như thế nào?

Trong trường hợp tổng quát, AB không phải là đường kính mà chỉ là mộtdây cung Quỹ tích điểm I như thế nào?

Minh họa bài toán mở rộng với phần mềm Sketchpad

a) Nhận dạng đường tròn chứa quỹ tích

- Cho điểm M di chuyển đến những vị trí đặc biệt Khi M tiến đến trùng với

A thì tia AM chính là tiếp tuyến At với đường tròn tâm O bán kính OA tại

A

- Sau khi lựa chọn điểm A và đoạn thẳng AB,ta chọn lệnh Construct/ pendicular Line để dựng đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với ABđây chính là tiếp tuyến At

Per-GọiG là điểm thuộc Atsao cho AG = 2AB (việc dựng điểm G hoàn toàn đơngiản) Vì AB cố định nên G cố định

- Nối điểm I (yếu tố thay đổi) với các điểm G và B (là các yếu tố cố định).Bằng trực quan, học sinh cảm thấy hình như mặc dù điểm M thay đổi vị trínhưng góc GIBd là góc vuông? học sinh sử dụng lệnh M easure/Angle thì nhậnđược kết quả góc GIBd luôn bằng 900

Kết luận I thuộc nửa đường tròn đường kínhBG

Hình 1.4: Hình vẽ minh họa.

Hoàn toàn tương tự đối với nhánh dưới, quỹ tích thuộc nửa đường trònđường kính BH Điểm H được xác định là điểm đối xứng của điểm G quađiểm A hay AH = 2AB

b) Mở rộng quỹ tích với tỷ số k bất kỳ

Việc mở rộng bài toán với số thực k bất kỳ được bắt đầu với việc tạo ra

số thực k Có nhiều cách giải quyết, chẳng hạn ta làm như sau:

- Chọn chức năngF ile/Openvà vào thư mục Custom T oolssđể mở File ScriptSliders.gsp

- Chọn chức năng F ile/N ew Sketch và chọn tiếp Sliders/Basic Horizontal rồiđưa chuột ra màn hình vẽ một thanh trượt ngang Độ dài thanh trượt cho ta

số thực k

- Tiếp tục thao tác tương tự như đối với bài toán ban đầu: vẽ đường trònđường kính AB(O, OA); vẽ tia AM với M là điểm bất kỳ thuộc đường tròn(O, OA);

- Chọn lệnh M easure/Length để đo độ dài đoạn thẳng M B và AB

- Chọn lệnh M easure/Calculate để tính giá trị k.BM và k.AB

- Chọn lệnh Construct/Circle by Center + Radius để dựng đường tròn tâmM,bán kính k.M B Giao của đường tròn với tia AM cho ta điểm I(M I = k.M B)

- Chọn lệnh Construct/P erpendicular Line để dựng đường thẳng đi qua điểm

A và vuông góc với AB- đây chính là tiếp tuyến At với đường tròn (O, OA)tại điểm A

- Chọn lệnh Construct/CirclebyCenter + Radius để dựng đường tròn tâm A,bán kính k.AB Giao của đường tròn với Atcho ta điểm G(AG = k.AB)Sau khi nối điểm I với điểm G và nối I với B, học sinh hoàn toàn bằng mắtthường phát hiện được gócGIBd luôn vuông Từ đây học sinh nhận dạng chínhxác quỹ tích điểm I là nửa đường tròn đường kính BG và phần đối xứng qua

c) Mở rộng quỹ tích với trường hợp AB là một dây cung

Ta sử dụng các chức năng dựng hình của Sketchpad lần lượt dựng:

- Đường tròn tâm O, đường kính EF, dây AB song song với EF

- Lấy điểm I trên tia AM về phía M sao cho M I = k.M B

- Gán thuộc tính để lại vết cho điểm I và cho điểm M di chuyển, ta thu đượchình ảnh trực quan của quỹ tích

Để nhận dạng quỹ tích, cho điểm M di chuyển đến các vị trí đặc biệt:

- Khi M trùng với A, ta xác định được điểm G thuộc tiếp tuyến At sao cho

AG = k.AB

- Khi M trùng với N (khi đó AM vuông góc với AB hay BN là đường kính),

ta xác định được điểm K sao cho N K = k.N B

- Nối K với I, nối B với I, góc [KIB = 900

Kết luận: Quỹ tích điểm I là một phần của đường tròn đường kínhKB vàgiới hạn bởi tiếp tuyến với đường kính EF tại điểm A

Hình 1.6: Hình vẽ minh họa.

Đặc biệt phần đối xứng của quỹ tích cũng chỉ lấy một phần đó là cung

BH, giới hạn bởi điểmH là giao của tiếp tuyếnAtvới phần đối xứng của quỹtích Như vậy, với sự hỗ trợ của phần mềm Sketchpad, ta không chỉ giải quyếtđược bài toán mà còn mở rộng, phát triển bài toán

Ví dụ 1.3 Xét bài toán:

Chứng minh rằng (dm):y = x2+ (2m + 1)x + m2− 1,∀m luôn tiếp xúc với mộtđường thẳng cố định, có phương trình là y = x − 1

Bước 1: Xác định bài toán:

Bài toán chứng minh rằng một họ đường cong d(m), với m là tham số luôntiếp xúc với một đường cong cố định nào đó chính là bài toán tìm hình baocủa họ đường congd(m) Với phương pháp tìm hình bao được giới thiệu trongchươnh trình hình học vi phân ở bậc Đại học: Để tìm hình bao của họ đườngcong F (x, y, m) = 0 (m là tham số) là ta tiến hành khử tham số m từ hệphương trình

( F (x, y, m) = 0

F0(x, y, m) = 0Vận dụng cách làm này vào bài toán trên ta có hệ phương trình

( 2m + 2x = 0(1)

x2+ (2m + 1)x + m2− 1 = y(2)

Từ (1) ta có m = −x, thế vào (2) và rút gọn ta được:

x2− (2x − 1)x + x 2 − 1 = y ⇔ y = x − 1

Vậy họ đường cong (dm) luôn tiếp xúc với đường thẳng y = x − 1

Bước 2: Xây dựng mô hình bài toán:

Ta dùng phần phần mềm Geometry Cabri xây dựng mô hình của bài toánbằng cách sử dụng các chức năng công cụ của Geometry Cabri như sau:

- Chọn Show Axes: Để cho hiện hệ trục toạ độ Oxy

- Chọn P oint on Object: Lấy các điểm X(x; 0), M (m; 0) bất kỳ trên trục Ox.

- Chọn Equation and Coordinates: Cho hiện tọa độ của hai điểm X, M ra mànhình

- Chọn Calculate: Tính giá trị của hàm số trong đó x là hoành độ điểm X, m

là hoành độ của điểm M

- Chọn M easurement T ransf er: Lần lượt bấm chọn giá trị vừa tính sau đóchỉ vào trục tung Oy Ta xác định được điểm Y thuộc Oy

- Chọn P erpendicularLine: Lần lượt dựng các đường vuông góc với trục Oxtại điểm X, vuông góc với Oy tại điểm Y

- Chọn IntersectionP oints: Xác giao điểm N của hai đường thẳng vuông gócvừa dựng N sẽ là điểm có tọa độ (x; f (x)).

- Chọn Locus: Lần lượt chỉ vào điểm N và điểm X để Cabri Geometry đưa ra

đồ thị của hàm số

Bước 3: Minh họa kết quả bài toán

- Chọn T raceOn/Of f rồi bấm vào đồ thị để đặt thuộc tính để lại vết cho đồthị

- Chọn P ointer: Cho di chuyển điểm M trên trục hoành Kết quả trực quancho thấy: (dm) luôn tiếp xúc với đường thẳng y = x − 1

Hình 1.7: Hình vẽ minh họa.

Với sự hỗ trợ của mô hình động, học sinh có thể nghiên cứu bài toán mởrộng bằng cách đưa ra các câu hỏi và đi tìm câu trả lời, cụ thể:

Câu hỏi 1: Với a là một số thực bất kỳ a 6= 1 thì tính chất

(P m) : y = ax2+ (2m + 1)x + m2− 1 luôn tiếp xúc với đường thẳng có đượcbảo toàn?

Ta có thể khai khác mô hình bài toán để minh họa câu trả lời bằng cách:

Vẽ đồ thị của họ Parabol (P m) với giá trị a cụ thể, chẳng hạn với a = 2 Sau

đó cho m thay đổi và quan sát hình ảnh đồ thị hàm số (P m) trên màn hình.Hình ảnh trực quan cho thấy họ các đường cong tương ứng với giá trị a = 2

không còn luôn tiếp xúc với đường thẳng y = x − 1 nữa.

Câu hỏi 2: Với trường hợp cụ thể a = 2, hình ảnh trực quan cho thấy rõtính chất luôn tiếp xúc với đường thẳng của họ (P m) không còn đúng nữa,nhưng liệu (P m) có thể luôn tiếp xúc với một đường nào khác không?

Tiếp tục thử nghiệm với một vài giá trị khác của a 6= 1 Kết quả trựcquan vẫn cho thấy "hình như" họ các đường cong này luôn tiếp xúc vớimột Parabol Đến đây học sinh đưa ra "dự đoán" đồ thị của họ Parabol(P m) : y = ax2+ (2m + 1)x + m2− 1 với a là một số thực bất kỳ a 6= 1 luôntiếp xúc với một Parabol

Xuất phát từ giả thuyết (P m) luôn tiếp xúc với parabol, dẫn đến bàitoán mở rộng: Tìm điều kiện của các hệ số b, c, d để parabol có phương trình

y = bx2+ cx + d luôn tiếp xúc với (P m)

Việc đi xác định các hệ số dẫn đến việc giải hệ phương trình và kết quả

đã chỉ ra được trong trường hợp a 6= 1, (P m) luôn tiếp xúc với một parabol

cố định có phương trình lày = (a − 1)x2+ x − 1(1) và hình ảnh trực quan mộtlần nữa minh họa cho kết quả của bài toán một cách sinh động

- Khi a > 2: Họ (P m) luôn ở "tiếp xúc bên trong"

Hình 1.8: Hình vẽ minh họa.

Tiếp tục khai thác tính trực quan của Geometry Cabri, ta sẽ thu được

những kết quả thú vị:

- Khi a < 2: Họ (P m) luôn ở "tiếp xúc bên ngoài"

Hình 1.9: Hình vẽ minh họa.

Chương 2

MINH HỌA KẾT QUẢ MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ YẾU TỐ THAY ĐỔI TRONG CHƯƠNG TRÌNH THPT

Trong chương này chúng tôi trích dẫn một số bài toán có yếu tố thay đổithường gặp trong chương trình THPT, với mỗi dạng chúng tôi trình bày cáchgiải chi tiết, minh họa kết quả lời giải bằng các phần mềm "Vi thế giới"

2.1.1 Bài toán

i Điều kiện để họ hai đường tiếp xúc

Bài toán: Cho hai họ đường cong (hay họ đồ thị): (C m ) : y 1 = f (x, m) và(Lm) : y2= g(x, m), với m là tham số:

Xác định các giá trị của m để (Cm) tiếp xúc với (Lm)

ii Định hướng giải quyết bài toán

Phương pháp 1: Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và (Lm)

f (x, m) = g(x, m) ⇔ f (x, m) − g(x, m) = 0(1)

(Cm) tiếp xúc với (Lm) ⇔ (1) có nghiệm bội

Chú ý:

a) Phương pháp 1: Phương trình f (x) = 0 (f (x) là đa thức bậc >2) gọi

là nghiệm α bội k nếu f (x) = (x − α)k.q(x) với q(α) 6= 0, k >2

Khi k = 2 gọi là nghiệm kép.

Các trường hợp đặc biệt của phương pháp 1:

(1) là phương trình bậc hai: (1) có nghiệm kép ⇔M= 0, (M0= 0)

(1) có nghiệmx0: (1) ⇔ (x − x0)g(x) = 0

(1) có nghiệm kép

⇔( g(x0) = 0 g(x) = 0(trong đó: x0 là nghiệm của g(x) = 0,phương trình g(x) = 0 có nghiệm kép).b) Phương pháp 2: Xét hệ phương trình:

(I)( f (x, m) = g(x, m)

f0(x, m) = g0(x, m) (C m )tiếp xúc với (L m ) ⇔(I) có nghiệm⇔chúng có nghiệm chung và tại điểmchung đó chúng có chung tiếp tuyến

* Dạng đặc biệt trong chương trình THPT để giảm độ khó thì bài toánđược đưa ra ở dạng sau:

Bài toán: Cho họ đồ thị (Cm) : y1 = f (x, m), m là tham số và đồ thị (L):

(Cm) tiếp xúc với (L), (∀m) ⇔ (1) có nghiệm kép (∀m)

Khai thác điều kiện có nghiệm kép với mọi m của phương trình (1) dướihình thức đồng nhất thức đa thức theo m để tìm g(x)

df (x,m)

dm = 0;

Giải df (x,m)dm = 0, giả sử được m = α(x);

Thay m = α(x) vào y = f (x, m) ta có y = g(x)

Phương pháp 2: Phương pháp tìm đường biên của một hình lồi

- Tìm tập hợp điểm M (x; y) mà không có đường cong nào của (Cm) đi qua.Giả sử tập hợp các điểm này có đường biên là (L) : y = g(x)

- Chứng minh f (x; m) = g(x) có nghiệm kép từ đó suy ra C(m) luôn tiếp xúcvới (L)

Xét Parabol tùy ý trong các họ đường cong đã cho: (Pm) và (Pn) với

m 6= 0, n 6= 0 và m 6= n Ta sẽ chứng tỏ rằng hai Parabol này tiếp xúc vớinhau tại một điểm cố định Lập phương trình tương giao của (Pm) và (Pn):

mx2+ 2(2m + 1)x + 4m + 3 = nx2+ 2(2n + 1)x + 4n + 3

⇔ (m − n)x2+ 4(m − n)x + 4(m − n) = 0

⇔ (m − n)(x + 2)2 = 0

Phương trình này luôn có một nghiệm kép x = −2 Điều đó chứng tỏ rằngtất cả các Parabol thuộc họ đã cho đều tiếp xúc với nhau tại điểmA có hoành

độ là x = −2 Tung độ của điểm A chính là giá trị của hàm số tại x = −2 Dễdàng tính được y = −1 Vậy tọa độ của tiếp điểm chung A của các Parabol

đã cho là A(−2; −1)

Từ kết quả trên, ta thấy rằng tiếp tuyến (d) của một Parabol tùy ý trong

họ tại điểm A cũng chính là tiếp tuyến chung cho tất cả các Parabol trong

họ (Pm) Do đó ta chỉ cần xét Parabol (P−1) ứng với m = −1 Parabol này cóphương trình y = f (x) = −x2− 2x − 1 Đường thẳng (d) đi qua A(−2; −1) và

có hệ số góc k có phương trình là y = k(x + 2) − 1 Phương trình tương giaocủa (P−1) và (d) là:

−x2− 2x − 1 = k(x + 2) − 1

⇔ x2+ (k + 2)x + 2k = 0

Điều kiện để (d)tiếp xúc với (P−1) là phương trình này có nghiệm kép, tức

là ∆ = (k + 2)2− 4k = (k − 2) 2 = 0, hay k = 2 Vậy phương trình tiếp tuyến cốđịnh của họ Parabol đã cho là y = 2x + 3

Kết quả lời giải thể hiện qua đồ họa máy tính

Hình 2.1: Hình vẽ minh họa.

Ví dụ 2.2 Chứng minh rằng tất cả các đường thẳng thuộc họ (dm) chobởi phương trình y = 2mx − m2+ 2m đều tiếp xúc với một Parabol cố định cótrục đối xứng song song với trục tung.

Giải:

Vì Parabol cần tìm có trục đối xứng song song với trục tung nên ta chỉcần tìm trong số các Parabol có phương trình dạng y = ax2+ bx + c với a, b, c

là các hằng số và a 6= 0 Gọi Parabol này là (P )

Phương trình tương giao của (dm) và (P ) là:

ax2+ bx + c = 2mx − m2+ 2m

⇔ ax 2 + (b − 2m)x + m2− 2m + c = 0

Điều kiện để (P ) và (dm) tiếp xúc với nhau là:

4 = (b − 2m)2− 4a(m2− 2m + c) = 0 ⇔ 4(1 − a)m2+ 4(2a − b)m + b2− 4ac = 0(1)Muốn cho tất cả các họ đường thẳng (dm) tiếp xúc với (P ) thì điều kiện làđẳng thức (1) phải xảy ra với mọi m, nghĩa là:

(Hình ảnh minh họa kết quả lời giải)