Tìm hệ thức liên hệ các đại lượng hình học” và “Đi tìm hệ thức liên hệ các đại lượng hình học để giải một số bài toán

- Qua nhiều năm dạy bồi dưỡng học sinh khá, giỏi, tôi đã rút ra một số kinh nghiệm nhỏ trong việc giúp học sinh định hướng nhanh việc “Tìm hệ thức liên hệ giữa các đại lượng hình học” và

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I LỜI MỞ ĐẦU

- Hình học là một môn học được xây dựng trên cơ sở hệ thống các tiên đề,định lý toán học, là một môn học chứa đựng nhiều tư duy trừu tượng, tư duylogic Vì vậy đây thực sự là môn học khó đối với học sinh Do đó để học sinhtiếp thu được môn học đòi hỏi người giáo viên phải có nghệ thuật sư phạmhướng dẫn học sinh hình thành các bước giải quyết bài toán và kỹ năng giảiquyết bài toán đó

- Trong hình học ta thường gặp những bài toán như: chứng minh một đẳngthức hình học, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một đại lượng hình học, tìm

điểm chia đoạn thẳng … Để giải các bài toán này cần phải xây dựng một “Hệ

thức liên hệ giữa các đại lượng hình học” Đây là một dạng toán khó ít gặp ở

trong sách giáo khoa song lại gặp nhiều trong các kỳ thi tuyển sinh, thi học sinhgiỏi Để giúp học sinh định hướng nhanh lời giải cần đưa ra một phương phápchung để giải quyết dạng toán này

- Qua nhiều năm dạy bồi dưỡng học sinh khá, giỏi, tôi đã rút ra một số kinh

nghiệm nhỏ trong việc giúp học sinh định hướng nhanh việc “Tìm hệ thức liên

hệ giữa các đại lượng hình học” và sử dụng phương pháp giải một số bài toán

hình học Với đề tài này tôi hy vọng sẽ giúp học sinh không lúng túng khi gặpmột số bài toán có liên quan Nó sẽ giúp học sinh học tốt hơn, có hứng thú hơn

đối với môn toán Đề tài gồm có hai phần đó là: “Tìm hệ thức liên hệ các đại

lượng hình học” và “Đi tìm hệ thức liên hệ các đại lượng hình học để giải một số bài toán”

- Ý tưởng nghiên cứu đề tài được nảy sinh từ năm 2003, ban đầu tôi chỉ sửdụng phương pháp này để giải các bài toán bất đẳng thức hình học và cực trịhình học Qua nhiều năm dạy học và bồi dưỡng học sinh khá giỏi đề tài được

nâng dần áp dụng vào việc tính toán các đại lượng hình học như độ dài đoạnthẳng, tỉ số đoạn thẳng,

II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

1 Thực trạng vấn đề

Khi gặp một bài toán có nhiều đại lượng hình học thay đổi và yêu cầu tìmđiều kiện liên hệ giữa các đại lượng hình học thoả mãn một tính chất cho trước,tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một đại lượng hình học, tìm điểm chia đoạnthẳng, tính độ dài một đoạn thẳng, …thì học sinh tỏ ra rất lúng túng Đa số họcsinh không định hướng được lời giải, không biết được tìm lời giải phải bắt đầu

từ đâu Chính vì vậy tôi đã sử dụng các phương pháp đề cập trong đề tài và thấy

có hiệu quả nhất định

2 Kết quả, hiệu quả của thực trạng

Qua quá trình kiểm tra đối với học sinh khi chưa đưa ra phương pháp trên đã cho kết quả dưới đây:

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I CÁC BIỆN PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN

Qua quá trình giảng dạy bản thân thấy được hai vấn đề đặt ra ở trên có thểđược giải quyết trong một bài toán Nếu không tìm được hệ thức liên hệ giữa cácđại lượng hình học thì không giải quyết được bài toán Vì vậy trong quá trình

dạy học, tôi đã dạy cho học sinh nắm chắc lần lượt hai vấn đề: “Tìm hệ thức liên

hệ các đại lượng hình học” sau đó là “Đi tìm hệ thức liên hệ giải một số bài toán hình học” Hai nội dung trên được dạy trong các tiết dạy bồi dưỡng học

sinh khá giỏi

1 Tìm hệ thức liên hệ giữa các đại lượng hình học

- Nếu trong giả thiết của một bài toán hình học có các yếu tố: điểm, đường

thẳng, góc … thay đổi; chịu một điều kiện ràng buộc hình học nào đó thì mộtvấn đề đặt ra là cần chuyển điều kiện ràng buộc hình học đó thành một điều kiệnràng buộc giữa các đại lượng có thể tính toán được dưới dạng một biểu thức đại

số - được gọi là biểu thức liên hệ Qua nhiều năm giảng dạy tôi đã rút ra đượchai cách để giải quyết bài toán trên

- Thông thường trong hai cách tính đại lượng đã chọn, có một cách là

cách tính thông thường đúng cho mọi trường hợp (Như cách 1) Cách còn lại

sẽ chỉ có được do điều kiện ràng buộc hình học của bài toán (Như cách 2).

Bài toán 1.2 Cho hai tia Am, Bn chéo nhau nhận AB làm đường vuông góc

chung Các điểm M, N chuyển động trên Am, Bn sao cho đường thẳng MN tiếpxúc với mặt cầu đường kính AB =a Tìm hệ thức liên hệ giữa AM = x và BN =y

BÀI GIẢI+ Kẻ tia Bt//Am Gọi M1 là hình chiếu của M trên Bt, ta có tứ giác AMM1B làhình chữ nhật BM1 = AM = x;

+ Mặt khác, gọi T là tiếp điểm của MN

a xy

Bài toán 1.3 Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AD, I là một điểm trên

AD Một đường thẳng qua I cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N, đặt AM =

AMN AMI AIN AMI ANI

ABC ABC ABD ADC

- Bài toán có thể mở rộng trong trường hợp D không phải là trung điểm

+ Gọi I=BD MN I là trung điểm của MN

+ I1 là hình chiếu của I trên mp(A1B1C1D1)

D I

1 1

1 1 1

I B

Do B D1 1 AC B1D1 MN, mà B D1 1 II1  B1D1  (MI1N).=>

1

MI N là gócphẳng nhị diện cạnh B D1 1

=>

1

MI N là góc phẳng nhị diện cạnh B D1 1

+ Do II1 MN tại I là trung điểm của MN

nên MI1N cân tại I1 Vậy 

M I

1

A

1

I

y

x

t I

O

B

C A

- Ở cách giải bài toán ta đã chuyển điều kiện ràng buộc 

1

MI N = 60 0 về điều kiện để MNI 1 là tam giác đều.

2 Đi tìm hệ thức liên hệ các đại lượng hình học để giải một số bài toán

- Thông thường trong hình học ta phải giải bài toán tìm một đại lượng hìnhhọc f nào đó bị ràng buộc bởi các đại lượng x, y,…thay đổi Khi đó để giải đượcbài toán này ta phải đi tìm một hệ thức liên hệ giữa các đại lượng thay đổi đó Taxét một số bài toán sau đây:

Bài toán 2.1 (Đề thi HSG toán lớp 12 tỉnh Thanh Hoá năm học 2005 –

2006).

Cho góc tam diện vuông Oxyz, trên Oz lấy điểm A cố định khác O, biết OA =

a Gọi (P) là mặt phẳng thay đổi chứa điểm A và cắt Ox, Oy lần lượt tại các

điểm B, C sao cho 1 1 2.

a OC

OB  Chứng minh rằng mặt phẳng (P) luôn chứamột đường thẳng cố định

BÀI GIẢI+ Gọi Ot là tia phân giác của gócBOC, I = BC Ot

Do Ot cố định nên OI = a không đổi

 I là điểm cố định Vậy mp (P) luôn chứa đường thẳng cố định AI

Nhận xét

8

C A

- Bài toán có hai đại lượng hình học thay đổi OB, OC, ta đã tìm hệ

thức liên hệ giữa chúng chính là hệ thức (1), thay giả thiết BOC = 90 0 bởi giả thiết BOC =  ta cũng có bài toán tương tự

- Bằng cách áp dụng bài toán 1.1 (hoặc cách xây dựng như bài toán 1.1), học sinh sẽ phát hiện nhanh lời giải các bài toán sau (bài toán 2.2; 2.3;2.4)

Bài toán 2.2 Cho góc tam diện Oxyz, yOx= 900 Trên Oz lấy điểm A cố địnhkhác O, biết OA = a Gọi (P) là mặt phẳng thay đổi chứa điểm A và cắt Ox, Oy

lần lượt tại các điểm B, C sao cho 3 1 2.

a OC

OB  Chứng minh rằng mặt phẳng(P) luôn chứa một đường thẳng cố định

BÀI GIẢI+ Kẻ tia Ot sao cho xOt= 300 và BC Ot = I

Ta có: SBOC = 1

2 OB.OC (1)+ Mặt khác: SBOC = SBOI + SIOC

Do Ot cố định nên I cố định Do đó mp (P) qua điểm I cố định

Bài toán 2.3

Cho hình chóp tứ giác đều SABCD Một mặt phẳng ( )  thay đổi cắt các cạnh

SA, SC, SB, SD lần lượt tại các điểm M, N, P, Q Chứng minh rằng

SM1  SN1 SP1  SQ1

BÀI GIẢI+ Từ giả thiết ta có: SAC và SBD cân ABCD là hình vuông

=>SAC = SBD

ASC = BSC = SO là phân giác của MSN và QSP

+ Áp dụng bài toán 1.1 đối với MSN ta có:

Bài toán 2.4 Cho hình chóp tứ giác đều

SABCD có 8 cạnh đều bằng 1 Gọi M, N lần

lượt là trung điểm của các cạnh SA, SC Một

mặt phẳng ( ) thay đổi luôn đi qua M, N, cắt

10

SI SN

SM

2cos21

các cạnh SB, SD lần lượt tại P và Q Xác định giá trị nhỏ nhất của diên tích tứgiác MPNQ.

BÀI GIẢI+ Từ giả thiết ta có:

2 2

4

2

y x

1 1

2 1

1

xy y

4

1 2

4

2 4

P, Q là trung điểm của SB và SD.

Vậy tứ giác MPNQ có diện tích bằng 1

4 khi P, Q lần lượt là trung điểm của SB

và SD

Nhận xét

- Bài toán có hai đại lượng thay đổi SP và SQ Học sinh thường tính ra được biểu thức diện tích (1).

- Nếu học sinh không tìm đươc liên hệ x, y bằng đẳng thức (2) thì bài

toán khó giải quyết được Nhưng vì ở phần trước học sinh đã được học kỹ do

đó nhiều em đã dễ dàng phát hiện ra đẳng thức (2) và bài toán đựoc giải quyết.

- Có thể thay đổi giả thiết SA=SB=SC=SD = 1 bởi giả thiết

SA=SB=SC=SD = a, giả thiết M, N là trung điểm được thay bằng gỉa thiết

SA SC    ta cũng có bài toán với kết luận tương tự.

Bài toán 2.5 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành Trên các

cạnh SA, SB, SC, SD ta chọn lần lượt các điểm A1, B1, C1 sao cho:

3

1

;2

+ Xét tam giác SBD áp dụng bài toán 1.3 ta có:

12S

B1

Bài toán 2.6 Cho tam giác ABC, ba điểm M,N,P trên AB,AB, BC thoã mãn :

+ Theo giả thiết:

AMN AMI AIN AMI AIN AIM AIN

A

- Thông thường học sinh giải bài toán bằng cách sử dụng định lí talet hoặc

sử dụng phương pháp véc tơ Song trong cách giải bài toán ta đã đi tìm một

Bài toán 2.7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, và có

thể tích bằng 8 Các điểm M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB vàSD.Gọi E là một điểm trên cạnh SA, mp(MNE) cắt SC tại F Tìm vị trí của điểm

E để khối chóp S.EMFN có thể tích lớn nhất, nhỏ nhất

BÀI GIẢI+ Dựng điểm F

.

S ABCD S ABCD S ABC S ADC

+ Lại có : SEF SEI SFI 2 SEI 2 SIF 12 12

4

S EMFN

x V

x

=

-14

SA SE

Bài toán 2.8 Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh bằng 1 và khối

chóp có thể tích bằng 1 Gọi M,N là các điểm di động trên AD, CD sao cho

MBN  Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện SBMN

BÀI GIẢI+ Gọi h là độ dài đường cao của hình chóp ta có

S

M

N

F I

E

Do 0 £ x y, £ 1 nên x 0;1

Thay (2) vào (1) ta có: ( )

2

1

2 1

S BMN

x V

x

+

= +

- Ta đã tìm được một hệ thức liên hệ giữa x và y cho bởi hệ thức (2) vì vậy

Bài toán 2.9 Cho hai nửa đường thẳng Am, Bn chéo nhau và vuông góc với

nhau, nhận AB = a làm đường vuông góc chung Các điểm M, N lần lượtchuyển động trên Am, Bn sao cho độ dài MN = b không đổi

a) Chứng minh rằng tứ diện ABMN có các mặt là các tam giác vuông

b) Xác định giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện ABMN

BÀI GIẢIa) Ta chứng minh được AMN vuông tại A; BMN vuông tại B

16

2 2 2

a b y x a b y

- Trong bài toán có 2 đại lượng thay đổi x, y Ta đã tìm hệ thức liên hệ

x,y cho bởi đẳng thức (2) vì vậy sẽ giúp học sinh giải quyết được bài toán một cách dễ dàng

- Ta có thể giải bài toán tìm giá trị lớn nhất của diện tích toàn phần của

tứ diện ABMN.

Bài toán 2.10 (Đề thi học sinh giỏi tỉnh thanh hóa năm học 2010- 2011) Cho

tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng 1 Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộccác cạnh AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC).Đặt AM x, AN y Tìm x y, để diện tích toàn phần của tứ diện DAMN đạtgiá trị nhỏ nhất

BÀI GIẢI+Kẻ DH MN , do DMN  ABC  DH ABC

D

mà ABCD là tứ diện đều, nên suy ra H là tâm của

tam giác đều ABC

+ Áp dụng bài toán 1.1 cho AMNta có

+ Gọi S là diện tích toàn phần của tứ diện DAMN ta có:

ADM AND DMN AMN

- Ở bài toán ta đã tìm ra được hệ thức liên hệ (1) nhờ vào việc tính diện tích

tam giác AMN bằng 2 cách ( Bài toán 1.1) Nhờ có hệ thức (3) ta đánh giá được biểu thức diện tích toàn phần

Bài toán 2.11 Cho khối hộp ABCDA B C D¢ ¢ ¢ ¢có đáy là hình chữ nhật với

+ Gọi H là hình chiếu của A¢ trên (ABC) Gọi M,N lần lượt là hình chiếu của Htrên AB và AD ta có A MH¢ =45 , 0 A NH¢ =60 0

- Khó khăn khi giải bài toán là việc tính A H do chưa tính được AM hoặc

NH Ta đặt vấn đề tìm một hệ thức chứa AM, một cách tự nhiên ta nhận thấy

có thể tính A H bằng 2 cách khác nhau và do đó ta đã tìm được hệ thức (3)

Bài toán 2.12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với đáy

AD= 3a, BC=a Góc giữa hai đường chéo của đáy bằng 60 0, các mặt phẳng(SAC), (SBD) vuông góc với đáy mp(SBC) và (SAD) lần lượt tạo với mặtphẳng đáy các góc có số đo 2a và a Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theoa

BÀI GIẢI:

+ Gọi O=AC BDÇ theo giả thiết (SAC) và (SBD)

cùng vuông góc với mp(ABCD) Þ SO^(ABCD)

Do OA = OD nên F là trung điểm của AD thì ta có

- Khó khăn đối với học sinh là việc tính độ dài đường cao vì nó chứa tan  .Ta

đã tìm được hệ thức (3) dựa vào tính độ dài SO bằng 2 cách Hệ thức (3) cho

BÀI GIẢIGọi H là hình chiếu của S trên (ABCD),

D cân Þ HC=HDÞ M là trung điểm của CD

Tương tự N là trung điểm của AB

minh rằng 4 1 1

V V

 

Bài 2 Cho tam giác ABC đều cạnh bằng 1 G là trọng tâm của tam giác Một

đường thẳng  qua G cắt các cạnh AB, AC tại M, N Chứng minh rằng

3 3

9 S AMN  8

Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và cạnh SA

(ABCD) Mặt phẳng qua AB cắt hình chóp S.ABCD thành hai phần có thể tíchbằng nhau.Tính tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng do mặt phẳng thiết diện cắt SC

Bài 4 Cho hình chóp lục giác đều SABCDEF Một mặt phẳng () cắt các cạnh

SA, SD, SB, SE, SC, SF lần lượt tại các điểm M, N, P, Q, I, K Chứng minhrằng

1 1 1 1 1 1

SM  SN SP  SQ SI  SK

Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD Một mặt phẳng

( ) thay đổi cắt các cạnh SA, SC, SB, SD lần lượt tại các điểm M, N, P, Q

Chứng minh rằng SM SA  SN SC SP SB SQ SD

Bài 6 Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 Các điểm M, N lần lượt chuyển

động trên cạnh AB, AC sao cho mp(DMN) luôn vuông góc với mp(ABC) Tìmgiá trị lớn nhất, nhỏ nhất của thể tích tứ diện ADMN

Bài 7 Trên mp( ) cho hình chữ nhật ABCD có AB = a; BC = b, các điểm M,

N lần lượt chuyển động trên các đường thẳng m, n vuông góc với ( ) tại A, Bsao cho luôn có DM CN Đặt AM = x; BN = y

a.Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y

b Tính thể tích tứ diện CDMN theo a, b, x, y Từ đó suy ra giá trị nhỏnhất của thể tích tứ diện đó

Bài 8 (Đề thi HSG toán lớp 12 tỉnh Thanh Hoá năm học 2003 – 2004).

Cho góc tam diện Oxyz, yOx= 600 Trên Oz lấy điểm A cố định khác O Biết

OA = a Gọi (P) là mặt phẳng thay đổi luôn qua A và cắt Ox, Oy lần lượt tại các

22

điểm B, C sao cho 1  1  2

OC

OB Chứng minh rằng mặt phẳng (P) luôn đi quamột điểm cố định khác điểm A

Bài 9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Gọi K là trung điểm

của AC Mặt phẳng qua AK cắt SB, SD lần lượt tại các điểm M,N Đặt

V1=VS.AMNK và V=VS.ABCD Chứng minh rằng 1 1 3

V V

 

Bài 10 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SA =4 5 Lấy điểm D trên cạnh

SC sao cho SD = 5 Khoảng cách từ A đến đường thẳng BD bằng 2 5 Tínhthể tích hình chóp S ABC.

II KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ KIẾN NGHỊ ĐỀ XUẤT

1 Kết quả nghiên cứu

- Trong năm học 2011 – 2012, bản thân tôi đựoc phụ trách lớp 12A3 –trường THPT Hậu Lộc 4 - tôi đã đưa các phương pháp trên vào việc giảng dạytại lớp và đã thu được một số kết quả sau:

- Học sinh giải các bài toán tìm hệ thức liên hệ giữa các đại lượng hình học,chứng minh một đẳng thức hình học, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một đạilượng hình học, tìm điểm chia đoạn thẳng … thành thạo

- Kỹ năng định hướng nhanh cách giải quyết một bài toán hình học đượcnâng cao

- Rèn luyện cách trình bày bài toán chứng minh hình đầy đủ, chặt chẽ, lậpluận có căn cứ, chính xác, Khắc sâu và củng cố các kiến thức có liên quan

- Góp phần phát triển năng lực tư duy của học sinh, phát huy trí thôngminh, óc sáng tạo Hệ thống kiến thức chương trình được củng cố, gây đượchứng thú học tập bộ môn, mở rộng kiến thức cơ bản đã học, tích luỹ kinhnghiệm như : Góp phần nâng cao năng lực học toán qua "Tìm các hệ thức liênhệ", "Chứng minh một đẳng thức", "Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ

nhất của một đại lượng hình học", chất lượng học toán của học sinh được nânglên rõ rệt Tỷ lệ học sinh khá giỏi tăng lên.

a Đối với nhà trường

- Bố trí thời gian để tổ chức chuyên đề cho giáo viên

- Tổ chức cho giáo viên dạy thực nghiệm theo nội dung trên để học hỏi rútkinh nghiệm

b Đối với giáo viên

- Phải thường xuyên tự học, tự bồi dưỡng để nâng cao trình độ.

- Áp dụng nội dung phương pháp phù hợp với đối tượng học sinh trongtừng giai đoạn khác nhau

C KẾT LUẬN

Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy, tôi đã manh dạn đưa ra một số suy

nghĩ về việc dạy học sinh “Tìm hệ thức liên hệ giữa các đại lượng hình học” và

24