SKKN này trình bày một hướng nghiên cứu về sai lầm của học sinh (HS) trong hoạt động dạy học (DH) môn Toán từ sự kết hợp giữa hai quan điểm : quan điểm truyền thống và quan điểm của trường phái Didactic Toán (Pháp). Từ việc tìm hiểu nguồn gốc của sai lầm của HS, những hình thức tổ chức hoạt động nhận thức trong DH môn Toán sẽ được hình thành một cách tương thích.
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Đơn vị : THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH
Mã số: (Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
“VAI TRÒ CỦA SAI LẦM VÀ CHƯỚNG NGẠI VỚI VIỆC
TỔ CHỨC HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC TRONG DẠY HỌC
MÔN TOÁN”
Người thực hiện: TRẦN ANH DŨNG
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục
- Phương pháp dạy học bộ môn: TOÁN
(Ghi rõ tên bộ môn)
- Lĩnh vực khác:
(Ghi rõ tên lĩnh vực)
Năm học: 2011 – 2012
Trang 2SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1 Họ và tên: TRẦN ANH DŨNG
2 Ngày tháng năm sinh: 24 – 10 – 1957
3 Nam, nữ: Nam
4 Địa chỉ: 151/29 – KP3 – P Trung Dũng – Biên Hòa
5 Điện thoại: (CQ) 3828107 ; (ĐTDĐ) : 0903902179
7 Chức vụ: Hiệu trưởng
8 Đơn vị công tác: THPT chuyên Lương Thế Vinh
II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Thạc sĩ
- Năm nhận bằng: 2006
- Chuyên ngành đào tạo: Lý luận và PPDH môn Toán
III.KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy Toán
Số năm có kinh nghiệm: 32
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: 5
BM02-LLKHSKKN
Trang 3VAI TRÒ CỦA SAI LẦM VÀ CHƯỚNG NGẠI VỚI VIỆC TỔ CHỨC HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC TRONG DẠY HỌC
MÔN TOÁN
I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
SKKN này đề cập đến những xu hướng mới về quan niệm về sai lầm và chướng ngại trong học tập môn Toán Với cách nhìn mới này, sai lầm và chướng ngại luôn luôn được tính đến một cách tích cực trong quá trình học tập và thiết kế các tình huống dạy học Nó còn được xem là động lực của hoạt động nhận thức trong dạy học môn Toán
SKKN này trình bày một hướng nghiên cứu về sai lầm của học sinh (HS) trong hoạt động dạy học (DH) môn Toán từ sự kết hợp giữa hai quan điểm : quan điểm truyền thống và quan điểm của trường phái Didactic Toán (Pháp) Từ việc tìm hiểu nguồn gốc của sai lầm của HS, những hình thức tổ chức hoạt động nhận thức trong
DH môn Toán sẽ được hình thành một cách tương thích
II TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
1 Cơ sở lý luận
SKKN dựa trên cơ sở lý thuyết kiến tạo trong DH và thuyết hành vi SKKN tổng hợp cách phân loại sai lầm, chướng ngại Cơ sở lý luận này còn cho phép đề xuất những giải pháp khắc phục sai lầm để hình thành kiến thức mới,
2 Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài
- Tác giả trình bày những nghiên cứu cụ thể trên sách Đại số và Giải tích lớp 11, sách Giải Tích 12 thuộc chương trình hiện hành
- Để kiểm chứng các giả thuyết, SKKN đã được tổ chức thực nghiệm trên một số lớp của trường THPT chuyên Lương Thế Vinh (Đồng Nai)
- SKKN đã giới thiệu một cách phân loại sai lầm của HS trong học tập môn Toán, một cách tiếp cận mới vấn đề phổ biến này trong hoạt động DH
III HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
- Đề tài có tính ứng dụng cao, cung cấp cho các nhà sư phạm một công cụ nghiên cứu không chỉ trong phạm vi giảng dạy Toán mà có thể vận dụng trong nghiên cứu hoạt động giảng dạy các bộ môn khác
- Đề tài đã được thẩm định, phản biện của Hội đồng khoa học trường ĐHSP
TPHCM tại Hội thảo khoa học của học viên Cao học và NCS tháng 12/2011 Kết
quả nghiên cứu của đề tài đã được đăng tại :
Tạp chí Khoa học- ĐH Vinh (Số tháng 4/2012)
Tạp chí Giáo dục- Bộ GD-ĐT (Kỳ 2- tháng 4/2012)
IV ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG
Trang 4Đề tài có phạm vi áp dụng trong thực tiễn đạt hiệu quả, đã phổ biến áp dụng trong ngành Giáo dục và có khả năng áp dụng trong phạm vi rộng đạt hiệu quả Trên cơ sở đó, đề xuất:
- Triển khai đề tài trong hoạt động của Hội đồng bộ môn Toán của ngành
- Triển khai đề tài trong hoạt động của Hội đồng bộ môn KHTN của ngành
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Lê Thị Hoài Châu, Lê văn Tiến, Vai trò của phân tích khoa học luận lịch sử toán học trong nghiên cứu và thực hành dạy – học môn toán, Đề tài NCKH
cấp Bộ, ĐHSP TPHCM, 2003
2. Trần Anh Dũng, Khái niệm liên tục – một nghiên cứu khoa học luận và didactic, Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học, ĐHSP TP Hồ Chí Minh, 2005.
3. Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học môn Toán, NXB ĐHSP Hà Nội,
2009
4. Đào Tam (Chủ biên), Trần Trung, Tổ chức hoạt động nhận thức trong dạy học môn Toán ở trường trung học phổ thông, NXB ĐHSP Hà Nội, 2010.
5. Lê Văn Tiến (2006) Sai lầm của học sinh, nhìn từ góc độ các lí thuyết về học tập Tạp chí Giáo dục số 137.
Tiếng Pháp
6 Bachelard G (1938) La formation de l’esprit scientifique Paris : Vrin.
7 Balacheff.N (1982).Preuve et démonstration en mathématiques au collège
RDM, Vol 3, n03
Tiếng Anh
8 Guy Brousseau, Theory of Didactical Situations in Mathematics, Kluwer
Academic Publishers 1997
NGƯỜI THỰC HIỆN (Ký tên và ghi rõ họ tên)
TRẦN ANH DŨNG
Trang 5SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI
Đơn vị CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
, ngày tháng năm
PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học:
––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm:
Họ và tên tác giả: Chức vụ:
Đơn vị:
Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào các ô tương ứng, ghi rõ tên bộ môn hoặc lĩnh vực khác) - Quản lý giáo dục - Phương pháp dạy học bộ môn:
- Phương pháp giáo dục - Lĩnh vực khác: Sáng kiến kinh nghiệm đã được triển khai áp dụng: Tại đơn vị Trong Ngành
1 Tính mới (Đánh dấu X vào 1 trong 2 ô dưới đây)
- Có giải pháp hoàn toàn mới
- Có giải pháp cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có
2 Hiệu quả (Đánh dấu X vào 1 trong 4 ô dưới đây)
- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao
- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao
- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao
- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả
3 Khả năng áp dụng (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô mỗi dòng dưới đây)
- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách:
Tốt Khá Đạt
- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và
dễ đi vào cuộc sống: Tốt Khá Đạt
- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong phạm vi rộng: Tốt Khá Đạt
Phiếu này được đánh dấu X đầy đủ các ô tương ứng, có ký tên xác nhận của người có thẩm quyền, đóng dấu của đơn vị và đóng kèm vào cuối mỗi bản sáng kiến kinh nghiệm.
Trang 6VAI TRÒ CỦA SAI LẦM VÀ CHƯỚNG NGẠI VỚI VIỆC TỔ CHỨC HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC TRONG DẠY HỌC
MÔN TOÁN
Trần Anh Dũng
Đã có nhiều công trình nghiên cứu về sai lầm (SL) của học sinh (HS) trong dạy học môn toán Trong bài báo của mình [5], tác giả Lê Văn Tiến cũng đã trình bày một tiếp cận SL từ góc độ của thuyết hành vi và thuyết kiến tạo Cùng quan điểm với thuyết kiến tạo, nhưng Didactic toán theo trường phái của Pháp đã tạo nên nét độc đáo riêng bằng cách liên kết quan điểm của thuyết kiến tạo và định đề của trường phái Bachelard [6] để có cái nhìn tích cực và sâu sắc hơn về khái niệm SL1 Tổng hợp quan điểm của thuyết hành vi, thuyết kiến tạo và của Didactic toán, chúng tôi đưa ra một phân loại sau đây về SL Tiêu chí phân loại là cách giải thích
về nguồn gốc của SL đó
Loại 1 : SL do bất cẩn, vô ý hoặc do hiểu sai vấn đề cần giải quyết
Loại 2 : SL do thiếu kiến thức
Loại 3 : SL do không nắm vững kiến thức, yếu kĩ năng hoặc khả năng suy luận
Loại 4 : SL do hạn chế về mặt phát triển cá thể
Loại 5 : SL có nguồn gốc từ chướng ngại
Loại 6 : SL là hệ quả của hợp đồng dạy học
Nhiều công trình nghiên cứu trong chuyên ngành lí luận và phương pháp dạy học toán ở Việt Nam đã đề cập nhiều đến 3 loại SL đầu tiên Ở đây, chúng tôi chỉ đưa
ra các ví dụ giải thích và minh họa cho 3 loại SL cuối cùng của danh sách trên
1 SL do hạn chế về phát triển cá thể
Con người từ lúc còn nhỏ đến khi trưởng thành trải qua nhiều giai đoạn phát triển
cá thể khác nhau cả về tâm lí cũng như tư duy, Giới hạn phát triển cá thể ở mỗi giai đoạn cũng là nguồn gốc của SL
Ta minh họa điều này từ câu hỏi sau :
Làm thế nào HS khẳng định một mệnh đề là đúng? Nói cách khác, HS kiểm chứng tính đúng đắn của một mệnh đề ra sao?
Từ một thực nghiệm đối với HS, Balacheff [7] đã phân biệt hai kiểu kiểm chứng sau :
-Kiểm chứng thực dụng : xác nhận chân lí của một mệnh đề nhờ vào hành động và
kinh nghiệm
-Kiểm chứng trí tuệ:: kiểm chứng không dựa vào kinh nghiệm Đó là những cách
xây dựng của trí tuệ dựa trên những khái niệm, định nghĩa, tính chất tường minh Phép chứng minh là một kiểm chứng trí tuệ đặc biệt
Theo [7], có ba kiểu kiểm chứng thực dụng :
-Kiểm chứng kiểu “Chủ nghĩa kinh nghiệm ngây thơ” : Khẳng định chân lí của
một mệnh đề bằng cách kiểm tra một vài trường hợp cụ thể và không đặt ra vấn đề khái quát hóa
ngoài kiến thức mà chính là biểu hiện của kiến thức, nó góp phần tạo nên nghĩa của kiến thức.
Trang 7-Kiểm chứng kiểu “Thí nghiệm quyết đoán” : khẳng định chân lí của một mệnh đề
bằng cách kiểm tra một vài trường hợp mà HS cho là ít riêng biệt nhất Cách làm
này về cơ bản vẫn thuộc kinh nghiệm nhưng khác với chủ nghĩa kinh nghiệm ngây thơ ở chỗ vấn đề khái quát hoá được đặt ra
-Kiểm chứng kiểu “Thí dụ đại diện và thực nghiệm thầm trong óc” : kiểm chứng
này cố trình bày rõ ràng những lý lẽ về chân lí của mệnh đề, bằng cách thực hiện những thao tác trên một đối tượng đặc biệt, nhưng lại được chủ thể xem như (tưởng tượng như) không có tính đặc biệt và riêng rẽ mà đại diện cho cả một lớp cá thể
Trong dạy học toán học, do hạn chế về phát triển cá thể, người ta không thể đòi hỏi
HS tiểu học biết sử dụng các kiểm chứng trí tuệ nói chung và chứng minh nói riêng Như vậy, nếu yêu cầu HS tiểu học xác nhận một mệnh đề đúng hay sai, thì các em thường kiểm tra qua một vài trường hợp đặc biệt hoặc quan sát, đo trên hình vẽ và kết luận Nhưng từ quan điểm khoa học toán học, đó là những cách hợp thức hóa sai!
2 SL có nguồn gốc từ chướng ngại
Các đặc trưng sau đây hình thành nên điều kiện cần của một chướng ngại (CN) theo quan điểm của Didactic toán:
- CN là một kiến thức, một quan niệm, chứ không phải là một khó khăn hay sự
thiếu kiến thức
- Kiến thức này cho phép tạo ra câu trả lời phù hợp trong một số tình huống thường
gặp Nhưng khi vượt ra khỏi những tình huống quen thuộc này nó sẽ sinh ra các câu trả lời sai Để có câu trả lời đúng trong mọi tình huống cần có một quan điểm
hoàn toàn khác
- Kiến thức này chống lại những mâu thuẫn với nó và gây khó khăn cho việc thiết lập một kiến thức mới hoàn thiện hơn Việc có một kiến thức khác tốt hơn không
đủ cho kiến thức cũ này biến mất Do đó, cần phải xác định kiến thức “sai” này và thực hiện loại bỏ nó trong quá trình xây dựng kiến thức mới
- Ngay cả khi chủ thể đã ý thực được về sự không chính xác của kiến thức chướng ngại này, thì nó vẫn tiếp tục xuất hiện một cách dai dẳng và bất chợt
Ví dụ 1 : Chúng tôi thực hiện một thực nghiệm trên 79 HS lớp 12 của trường
THPT Lương Thế Vinh (Đồng Nai) và THPT Hàn Thuyên (TP Hồ Chí Minh) với bài toán sau :
Cho hàm số : f(x) =
2 4
x x 1 khi x 0,99
x 3x 3 khi x 1
1) Tìm x 1lim f (x) ; x 1lim f (x)
2) Xét tính liên tục của hàm số tại x0 = 1
Nghiên cứu bài làm của 79 HS, chúng tôi thấy có đến 76/79 HS có lời giải sai như sau: x 1lim f (x) 1; lim f (x) 1; f (1) 1 x 1 Vì x 1lim f (x) lim f (x) f (1) 1 x 1 nên hàm số liên tục tại x0 = 1
Trang 8 Các quan điểm về sai lầm :
+ Theo quan điểm của thuyết hành vi thì SL này do HS bất cẩn hoặc không nắm
vững kiến thức
+ Theo quan điểm của Didactic toán, SL này có nguồn gốc từ một chướng ngại, đó
là khái niệm “vô hạn” hoặc cũng có thể xem là chướng ngại do khái niệm “vô cùng bé” Ta cũng gặp hiện tượng này trong lịch sử Toán học Trong nhiều thế kỉ, các nhà bác học đã tìm cách “lẩn tránh”, không sử dụng đến khái niệm “vô hạn”, vì có quá nhiều nghịch lí nẩy sinh từ khái niệm này, như nghịch lí Achilles không đuổi kịp rùa, nghịch lí cầu phương hình tròn của Antifont
3 SL là hệ quả của hợp đồng dạy học
Trong SKKN thực hiện năm 2011, chúng tôi đã giới thiệu khái niệm “Hợp đồng dạy học” Trong SKKN này, chúng tôi không lặp lại khái niệm này, thay vào đó, một số ví dụ cụ thể sẽ mô tả ý nghĩa của khái niệm này và vai trò của nó như một nguồn gốc của sai lầm
Ví dụ 2 : Người ta đề nghị học sinh tiểu học ở Pháp giải bài toán “Tuổi thuyền
trưởng” sau đây [8]
“ Trên một chiếc tàu có 26 con cừu và 10 con dê Hỏi tuổi của thuyền trưởng là bao nhiêu ?”
Bài toán lạ lùng này được tiến hành thực nghiệm trên 3 nhóm học sinh: 97 HS lớp
2, 171 HS lớp 2 và lớp 3, 118 HS lớp 4 và lớp 5
Tỷ lệ HS cho câu trả lời bằng cách sử dụng giả thiết đã cho là :
78,3% HS nhóm 1
74,3% HS nhóm 2
19,5% HS nhóm 3
Chẳng hạn, có HS trả lời tuổi thuyền trưởng là 36 sau khi làm phép tính 26 +10 =
36, hoặc có em tính 26 -10 = 16 và cho đáp số là 16
Đánh giá thế nào về bài toán và kết quả nêu trên ?
Một số nhà nghiên cứu cho rằng bài toán và ứng xử của HS là vô lí! Nếu có giải thích thì người ta thường cho rằng do hạn chế về phát triển cá thể, nên HS ở lứa tuổi đó chưa nhận ra sự bất hợp lí trong mối quan hệ giữa giả thiết và yêu cầu của bài toán
Tuy nhiên, các nhà Didactic toán theo trường phái của Pháp không thỏa mãn với cách giải thích đó Họ cho rằng SL không phải là ngẫu nhiên, tùy tiện hoặc do hạn chế về sự phát triển cá thể, mà còn các yếu tố khác cho phép giải thích tính hợp lí trong câu trả lời sai lầm của HS
Theo quan điểm của Didactic toán, chính quá trình học toán ở tiểu học đã hình thành ở HS những qui tắc của hợp đồng dạy học sau đây :
- Một bài toán được đặt ra phải có câu trả lời (đáp số)
- Để có được đáp số cần sử dụng tất cả các giả thiết đã cho và cần sử dụng các kiến thức vừa được học (trong trường hợp này là các phép toán cộng, trừ, nhân và chia – tùy theo cấp lớp)
- HS không có trách nhiệm về tính hợp lí của bài toán, mà chính giáo viên phải đảm bảo điều đó
Trang 9Như vậy, HS phạm phải SL không phải vì không nắm vững kiến thức được giảng dạy trong lớp Bằng chứng là các em vẫn thành công trong việc giải các bài toán
mà chương trình yêu cầu ở cấp độ này SL xuất phát từ những qui tắc của hợp đồng dạy học
Ví dụ 3 : HS được đề nghị giải bài toán sau :
Cho hàm số f(x) =
2
1
0 x 2 x
1) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn [-2; 2] 2) Với điều kiện nào của m thì phương trình f(x) = m có nghiệm trên [-2; 2]
Các lời giải được dự đoán (S1i là trả lời câu 1); S2i là trả lời câu 2))
Câu 1)
+ S 1a : Tính đạo hàm của hàm số
2
0 x 2 x
Nghiệm của đạo hàm là x =-1 Tính giá trị của hàm số : f(-2) = 1; f(-1) = 2; f(0) = 1; f(2) = 1
2 Từ đó suy ra :
x 2;2
1 max f (x) 2; min f (x)
2
+ S 1b : Tính đạo hàm như trên, lập bảng biến thiên nhưng bỏ qua tính chất gián đoạn tại điểm x = 0 Kết quả :
x 2;2
1 max f (x) 2; min f (x)
2
+ S 1c : Lập bảng biến thiên với tính chất gián đoạn của hàm số tại điểm x = 0 và
x 0 lim f (x)
Kết luận :
x 2;2
1 max f (x); min f (x)
2
+ S 1d : các lời giải khác hoặc không trả lời
Câu 2)
+ S 2a : Sử dụng GTNN, GTLN vừa tìm, hay sử dụng bảng biến thiên không có tính gián đoạn tại x = 0, phương trình có nghiệm khi và chỉ khi : 1 m 2
2
+ S 2b : Sử dụng bảng biến thiên đúng, được điều kiện m 1
2
+ S 2c : Giải phương trình trong từng trường hợp
+ S 2d : Không trả lời hoặc có lời giải khác (dùng đồ thị,…)
Thực nghiệm được tổ chức trên 128 HS lớp 12 của trường THPT Lương Thế Vinh và THPT Hàn Thuyên (TPHCM) Kềt quả thu thập được như sau :
Trả lời
5,46%
57,03%
Trang 10Trong phạm vi hạn chế của SKKN chúng tôi chỉ nêu các nhận xét về SL của HS ở hai lời giải S1a và S2a
Các quan điểm về sai lầm qua lời giải S1a và S 2a :
- Theo quan điểm của didactic toán : Qua nghiên cứu SGK Giải tích 12, chúng tôi
cho rằng sai lầm S 1a do ảnh hưởng của hợp đồng dạy học (HĐDH): “Để tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], học sinh chỉ cần tính f(a), f(b) và giá trị của f(x) tại các điểm cực trị trên đoạn [a; b], họ không có trách
nhiệm kiểm tra tính liên tục của f(x) trên [a; b]” Sai lầm S 2a do ảnh hưởng của HĐDH liên quan đến định lí giá trị trung gian (Giải tích 11): “phương trình f(x) =
m có nghiệm trên đoạn [a; b] khi minf(x) m maxf(x)”
- Theo quan điểm của thuyết hành vi :
+ Về phía HS : Họ áp dụng một cách máy móc các qui trình đã biết, không nghiên cứu kỹ đề bài và tính toán nhầm lẫn
+ Về phía GV : Truyền thụ không đầy đủ các trường hợp của bài toán tìm GTNN, GTLN của hàm số trên một đoạn cũng như các phương pháp tìm điều kiện
để phương trình f(x) = m có nghiệm trên đoạn
Ví dụ 4 : HS được yêu cầu giải một bài toán gần như ví dụ 1:
Cho hàm số f(x) =
x 2x 2 khi x
2
1) Tìm x 1lim f (x) ; x 1lim f (x) Hàm số f(x) có liên tục tại x = 1 hay không ?
2) Lập bảng giá trị của hàm số
3) Vẽ đồ thị của hàm số
Bài toán này được thực nghiệm trên một nhóm 65 HS lớp 11 của trường THPT chuyên Lương Thế Vinh Chúng tôi ghi nhận được 2 sai lầm có ý nghĩa, cần được chú trọng trong quá trình giảng dạy
+ SL 1 : HS có lời giải :
x 1 lim f (x)
x 1 lim x 2x 2 1
x 1 lim f (x) x 1 lim 2 x 1
Vậy x 1lim f (x) =x 1lim f (x) = f(1) = 1 hàm số f(x) liên tục tại x = 1
Tỉ lệ HS mắc phải sai lầm này là 46,15% (30/65)
+ SL 2 : HS có lời giải ở câu 3) là một đường liền
nét trên R (như hình vẽ) Tỉ lệ HS mắc sai lầm này
là 21,5% (14/65)
Các quan điểm về sai lầm
+ Theo quan điểm didactic toán : SL1 không còn
có nguồn gốc là chướng ngại do quan niệm vô hạn
hay vô cùng bé nữa mà do một qui tắc HĐDH tồn
tại ngầm ẩn trong hệ thống dạy – học Giải tích 11
HĐDH này thể hiện quan điểm đại số hóa triệt để khái niệm hàm số liên tục : “Để xét tính liên tục của hàm số f(x) tại điểm x0, trong đó f(x) là hàm số cho bởi hai