Đề tài quan hệ song song và quan hệ vuông góc trong không gian

Trong một mặt phẳng, nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3 thì song song với nhau... Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuy

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ

KHOA TOÁN

Môn: Rèn Luyện Nghiệp Vụ Sư Phạm 3

Đề tài:

QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC

TRONG KHÔNG GIAN

MỤC LỤC

QUAN HỆ SONG SONG 2

A.HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 2

I.Định nghĩa 2

II.Định lý và các tính chất 2

III.Chứng minh hai đường thẳng song song 4

IV Bài tập rèn luyện .6

B.ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 8

I.Định nghĩa 8

II.Định lý và các tính chất 8

III.Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng 9

IV.Bài tập rèn luyện .13

C.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 14

I.Định nghĩa 14

II.Định lý 14

III.Chứng minh hai mặt phẳng song song 15

IV Bài tập rèn luyện 18

QUAN HỆ VUÔNG GÓC 19

A.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG 19

I.Định nghĩa 19

II.Định lý 19

III.Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 20

IV.Bài tập rèn luyện .22

B.HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC 24

I.Định nghĩa 24

II.Định lý 24

III.Chứng minh 2 đường thẳng vuông góc 25

IV.Bài tập rèn luyện 27

C.HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC 28

I.Định nghĩa 28

II.Định lý 28

III.Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc 29

IV Bài tập rèn luyện 30

TÀI LIỆU THAM KHẢO 32

LỜI NÓI ĐẦU

Nội dung tôi muốn giới thiệu đến các bạn trong đề tài này là các vấn đề cơ bản trong phần hình học không gian lớp 11, cụ thể là quan hệ song song và quan hệ vuông góc

Tôi xin giới thiệu đến các bạn sáu dạng chứng minh cơ bản trong hai loại quan hệ song song và vuông góc sau:

1 Chứng minh hai đường thẳng song song với nhau;

2 Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng;

3 Chứng minh hai mặt phẳng song song với nhau

4 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau;

5 Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng;

6 Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau

Mục tiêu của đề tài nhằm định hướng cách chứng minh một số bài toán trong quan hệ song song và quan hệ vuông góc, giúp các bạn hệ thống lại các kiến thức liên quan trong phần này Ngoài ra còn cung cấp một số bài tập để rèn luyện kỹ năng chứng minh, trình bày bài toán không gian Tôi xin trân trọng gởi đến các bạn đề tài này như một tài liệu học tập bổ ích, mong các bạn sử dụng có hiệu quả

Tác giả Hoàng Thị Ái Nhi

QUAN HỆ SONG SONG

A.HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

3 Trong một mặt phẳng, nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3 thì

song song với nhau

𝑏⏊𝑐

𝑎, 𝑏, 𝑐   ⊂ (𝑃) ⇒ a⫽b

4. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến

của chúng song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó)

𝑎 ⊂ 𝑃 , 𝑏 ⊂ (𝑄)

𝑃 ∩ 𝑄 = 𝑐

𝑎 ⫽ 𝑏

⇒ c⫽a⫽b

5 Nếu hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng(nếu

có) song song với đường thẳng đó

𝑎 ⫽ (𝑃)

𝑎 ⫽ (𝑄)

𝑃 ∩ 𝑄 = 𝑏

⇒a⫽b

III.Chứng minh hai đường thẳng song song

Phương Pháp:

Để chứng minh hai đường thẳng song song ta có thể sử dụng một trong những cách sau:

1 Chứng minh chúng cùng song song với đường thẳng thứ ba

2 Dùng tính chất: Hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng ấy

3 Dùng định lý giao tuyến của ba mặt phẳng: nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó hoặc đồng quy hoặc song song với nhau

4 Chứng minh chúng đồng phẳng và sử dụng phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song trong hình học phẳng

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ABD

Chứng minh IJ song song với CD

Gọi M là trung điểm của AB

Trong mặt phẳng (MCD), xét ∆MCD có:

MI=!

! MC (do I là trọng tâm của ∆ABC)

! MD ( do J là trọng tâm của ∆ABD)

Theo Định lý Talet ta có IJ⫽CD (đpcm)

Ví dụ 2: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng

Trên AC, BF lần lượt lấy M,N sao cho AM=!!AC, BN=!!BF Chứng minh MN⫽DE

Trong (ABCD) gọi G là giao điểm của DM và AB

⇒ G là trung điểm của AB

Trong (ABEF) gọi H là giao điểm của AB và EN

Ta có ∆BNH ∾ ∆FNE suy ra

⇒ H là trung điểm của AB

⇒ MN⫽DE (đpcm)

IV Bài tập rèn luyện

Bài 1 Cho hình chóp SABCD đáy là một tứ giác lồi Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của

∆SAB và ∆SAD E là trung điểm của BC

a Chứng minh MN⫽BD

b Gọi H và L lần lượt là các giao điểm của mặt phẳng (MNE) và SB, SD Chứng minh LH⫽BD

Bài 2 Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC Từ ba đỉnh của tam giác này kẻ ra ngoài

(P) các nữa đường thẳng song song cùng chiều Ax, By, Cz.Trên Ax lấy A’ sao cho AA’=a, trên By lấy B’ sao cho BB’=b, trên Cz lấy C’ sao cho CC’=c Gọi G,G’ lần lượt

là trọng tâm của các tam giác ABC và A’B’C’ Chứng minh GG’⫽ AA’

Bài 3 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của

tam giác ABC và A’B’C’, I là giao điểm của AB’ và A’B Chứng minh hai đường thẳng

GI và CG’ song song với nhau

Bài 4 Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC vuông tại B, đoạn thẳng DA vuông góc

voi (P) tại A Mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với BD lần lượt cắt BD và CD tại H

và K Chứng minh HK vuông góc với BC

Câu 5 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh SA bằng a và

vuông góc với mặt phẳng đáy.Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với cạnh SC lần lượt cắt SB, SD tại B’, D’ Chứng minh B’D’ song song với BD

B.ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG

I.Định nghĩa

Đường thẳng a được gọi là song song với mặt phẳng (P) nếu giữa chúng không có điểm chung

II.Định lý và các tính chất

1.Nếu một đường thẳng a không nằm trên mặt phẳng (P) và song song với một đường

thẳng b chứa trong (P) thì đường thẳng a song song với mặt phẳng (P)

a ⊄ (P)

𝑏 ⊂ (𝑃)

𝑎 ⫽ 𝑏

⇒a⫽(P)

2.Nếu hai mặt phẳng song song với nhau thì mọi đường thẳng trong mặt phẳng này đều

song song với mặt phẳng kia

𝑎 ⊂ (𝑄)

𝑃 ⫽ (𝑄) ⇒a⫽(P)

3.Nếu một đường thẳng a không nằm trên mặt phẳng (P) và song song với một đường

thẳng song song với (P) thì đường thẳng a song song với mặt phẳng (P)

𝑎 ⊄ (𝑃)

𝑎 ⫽ 𝑏

𝑏 ⫽ (𝑃) ⇒a⫽(P)

4.Nếu một đường thẳng a không nằm trên mặt phẳng (P) và song song với một mặt phẳng

song song với (P) thì đường thẳng a song song với mặt phẳng (P)

Để chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) ta sử dụng các cách sau:

1 Thông thường ta chứng minh đường thẳng a song song với một đường thẳng chứa trong mặt phẳng (P)

2 Chứng minh đường thẳng a nằm trong một mặt phẳng nào đó song song với mặt phẳng (P)

3 Chứng minh đường thẳng a song song với đường thẳng b nào đó mà b song song với (P) hoặc a song song với mặt phẳng (Q) nào đó mà (Q) song song với (P)

4 Chứng minh a vuông góc với đường thẳng b nào đó ma b vuông góc với (P) hoặc chứng minh a vuông góc với mặt phẳng (Q) nào đó mà (Q) vuông góc với (P)

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD.Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ACD và

BAD Chứng minh rằng MN song song với các mặt phẳng (ABC) và (BDC)

Gọi E là trung điểm của AD

Trong mặt phẳng (EBD), xét ∆EBD có:

EN=!! EB (do N là trọng tâm của ∆ABD)

EM=!! EC (do M là trọng tâm của ∆ACD)

Theo Định lý Talet ta có MN⫽BC

Chứng minh MN⫽(C’BD)

Cách 1:

Trong mặt phẳng (AA’D’D), dựng MM’⫽AD’(M’∈ DD’)

Suy ra:

Mà AD và D’C’ chéo nhau nên theo định lý Talet đảo ta có:

AD’,MN và DC’ cùng song song với một mặt phẳng

Mặt khác ta có AD’⫽BC’⊂(C’BD) ⇒ AD’⫽(C’BD)

Mà DC’⊂(C’BD)

⇒MN⫽(C’BD) (đpcm)

IV.Bài tập rèn luyện

Bài 1 Cho tứ diện ABCD Gọi G1 và G2 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ACD và BCD Chứng minh rằng G1G2 song song với các mặt phẳng (ABC) và (ABD)

Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD Gọi G là trọng tâm của

tam giác SAB và I trung điểm của AB Lấy điểm M trong đoạn AD sao cho AD =3AM

a Đường thẳng qua M và song song với AB cắt CI tại N Chứng minh rằng NG//(SCD)

b Chứng minh rằng MG//(SCD)

Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thang đáy lớn là AD Gọi M là một

điểm bất kỳ trên cạnh AB, (P) là mp qua M và song song với AD và SBChứng minh SC//(P)

Bài 4 Cho hình chóp SABCD, đáy là hình bình hành tâm O Gọi M,N lần lượt là trung

C.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

3.Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng nằm ngoài mặt phẳng kia thì song

song với nhau

(𝑃)⏊𝑎

𝑄 ⏊𝑎 ⇒(P)⫽(Q)

4.Hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thi song song với nhau

𝑃 ⏊(𝑅)

𝑄 ⏊(𝑅)⇒ (P)⫽(Q)

5.Định lý Talet đảo: cho hai đường thẳng a và b chéo nhau Trên a, b lần lượt lấy các

điểm A, B, C và A’, B’, C’ sao cho B nằm giữa A, C và B’ nằm giữa A’ C’ và

Để chứng minh hai mặt phẳng song song ta có thê sử dụng những cách sau:

1 Thông thường ta chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng kia

2 Chứng minh hai mặt phẳng này cùng song song hoặc vuông góc với mặt phẳng thứ ba,hoặc chứng minh chúng cùng vuông góc với một đường thẳng

3 Đối với những bài toán cho tỉ lệ ta có thể sử dụng Định lý Talet đảo để chứng minh

Ví dụ 1: Cho hình chóp SABCD, đáy là hình bình hành tâm O Gọi M,N lần lượt là trung

điểm của SA, CD Chứng minh (OMN)⫽(SBC)

Trong tam giác BCD có:

Ví dụ 2: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng

I∈BC sao cho DI⫽BM.Trên AC, BF lần lượt lấy M,N sao cho AM=!

!AC, BN=!

!BF Chứng minh (BMN)⫽(IDE)

Trong (ABCD) gọi G là giao điểm của DM và AB

⇒ G là trung điểm của AB

Trong (ABEF) gọi H là giao điểm của AB và EN

⇒ H là trung điểm của AB

⇒ MN⫽DE

Mặt khác ta có BM⫽DI

Suy ra (BMN)⫽(IDE) (đpcm)

IV Bài tập rèn luyện

Bài 1.Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bên là AA’, BB’, CC’, DD’ Chứng

minh hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) song song với nhau

Bài 2 Trong mặt phẳng (P) cho hình bình hành ABCD Dựng các nữa đường thẳng song

song với nhau nằm về một phía đối với mặt phẳng (P) và lần lượt đi qua các điểm A, B,

C, D Một mặt phẳng (P’) cắt bốn nữa đường thẳng trên lần lượt tại A’, B’, C’, D’ Chứng minh mặt phẳng (AA’, BB’)⫽(CC’, DD’)

Bài 3 Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm O M, N, P lần lượt là

trung điểm các cạnh SB, SA, SD Chứng minh:

a (OMN)⫽(SCD)

b (ONP)⫽(SBC)

Bài 4.Từ các đỉnh của tam giác ABC kẻ các đoạn thẳng AA’, BB’, CC’ song song, cùng

chiều, bằng nhau và không nằm trong mặt phẳng của tam giác Gọi I, G, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACC’ và A’B’C’ Chứng minh:

a (IGK)⫽(BB’C’C)

b (A’GK)⫽(AIB’)

Bài 5.Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của

các cạnh AB, AD, DD’, D’C’, C’B’ và B’B Chứng minh (MNPQRS)⫽(AB’D)

QUAN HỆ VUÔNG GÓC A.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

I.Định nghĩa

Đường thẳng a được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu a vuông góc với mọi đường thẳng chứa trong (P)

II.Định lý

1.Nếu đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong mặt phẳng (P)

thì đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P)

𝑏, 𝑐 ⊂ (𝑃)

𝑎⏊𝑏, 𝑎⏊𝑐

𝑏 ∩ 𝑐   ≠  ∅

⇒a⏊(P)

2.Cho đường thẳng b vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước, một đường thẳng a song

song với b thì vuông góc với mặt phẳng (P)

𝑏⏊(𝑃)

𝑎 ⫽ 𝑏 ⇒a⏊(P)

3.Một đường thẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì vuông góc với

mặt phẳng còn lại

5.Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của

chúng( nếu có) cũng vuông góc với mặt phẳng đó

2 Chứng minh đường thẳng a song song với một đường thẳng b nào đó mà b vuông góc với (P), hoặc chứng minh đường thẳng a vuông góc với một mặt phẳng (Q) nào đó mà (Q) song song với (P)

3 Chứng minh a là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với (P)

Ví dụ 1: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông SA⏊(ABCD)

Bài 1 Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và BCD là hai tam giác cân có chung đáy BC

a Gọi I là trung điểm của cạnh BC.Chứng minh BC⏊(ADI)

b Gọi AH là đường cao của tam giác ADI, chứng minh AH⏊(BCD)

Bài 2 Trên mặt phẳng (P) cho hình bình hành ABCD có tâm O Lấy điểm S ngoài mặt

phẳng (P) sao cho SA=SC, SB=SD

a Chứng minh SO⏊(P)

b Trong mặt phẳng (SAB) kẻ SH⏊AB tại H Chứng minh AB⏊(SOH)

Bài 3.Cho tứ diện SABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC

vuông tại B Kẻ AM vuông góc với SB tại M, lấy điểm N trên SC sao cho

𝑆𝑀

𝑆𝐵 =

𝑆𝑁𝑆𝐶Chứng minh rằng:

a BC⏊(SAB)

b AM⏊(SBC)

Bài 4 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông SA vuông góc với mặt

phẳng (ABCD).Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của điểm A lên SB, SD Chứng minh SC⏊ 𝐴𝑀𝑁

Bài 5 Cho hình chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và cạnh bên

SA vuông góc với đáy.Gọi D là điểm đối xứng của B qua trung điểm O của AC.Chứng minh CD⏊(SCA)

B.HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

I.Định nghĩa

1.Góc giữa đường thẳng a, b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một

điểm và lần lượt song song với a, b

2.Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 0

2.Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng

vuông góc với đường thẳng còn lại

4.Một đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) cho trước Nếu một đường thẳng b

vuông góc với mặt phẳng (P) thì cũng vuông góc với đường thẳng a

2 Chứng minh hình chiếu của a lên một mặt phẳng chứa b vuông góc với b

3 Chứng minh a song song với một đường thẳng c nào đó mà c vuông góc với a, hoặc chứng minh a song song với một mặt phẳng (P) nào đó vuông góc với b

Ví dụ 1: Cho hình chóp SABCD đáy là hình thang vuông tại A, có AB=2CD=2AD=2a

SA⏊(ABCD) Chứng minh BC⏊SC

Gọi I, N lần lượt là trung điểm của AD và BC

Gọi H là giao điểm của AN và BP, K là giao điểm của AN và IB

⇒K là trung điểm của BI ( do ABNI là hình chữ nhật)

Ta có: ∆SAD là tam giác đều ⇒ SI⏊AD ⇒SI⏊(ABCD)( do(SAD)⏊(ABCD))

⇒SI⏊BP

Mà SI⫽KM( do KM là đường trung bình của tam giác SBI)

Bài 1.Cho tứ diện SABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC

vuông tại B Kẻ AM vuông góc với SB tại M, lấy điểm N trên SC sao cho

𝑆𝑀

𝑆𝐵 =

𝑆𝑁𝑆𝐶Chứng minh SB⏊AN

Bài 2 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và biết rằng

A’H vuông góc với mặt phẳng (ABC).Chứng minh:

a AA’⏊BC

b AA’⏊B’C’

Bài 3 Cho hai tam giác ABD và BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau

AC=CD=BC=BD=a Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD Chứng minh:

a IJ⏊AB

b IJ⏊CD

Bài 4 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Lấy M trên cạnh BC, mặt phẳng (MB’D)

cắt A’D’ tại N Chứng minh MN và C’D vuông góc với nhau

Bài 5 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh SA bằng a và

vuông góc với mặt phẳng đáy.Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với cạnh SC cắt SB tại B’ Chứng minh AB’ vuông góc với SB

1.Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khác thì hai mặt

phẳng đó vuông góc với nhau

III.Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

2 Chứng minh (P) song song mặt phẳng (R) nào đó mà (R) vuông góc với (Q)

Ví dụ1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.Chứng minh (AB’C’D)⏊(BCD’A’)

Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a

Gọi O là tâm hình vuông ABCD Chứng minh hai mặt phẳng (SBD) và (SAC) vuông góc với nhau