Chuyên đề lượng giác và phương trình lượng giác 2015

Thư viện tài liệu trực tuyến cbook.vn Th.S HÀ THỊ THÚY HẰNG (Chủ biên) CAO VĂN TÚ – VŨ KHẮC MẠNH LỜI NÓI ĐẦU Chương trình môn Toán ở trường THPT đã có nhiều thay đổi từ khi Bộ Giáo Dục và Đào Tạo ban hành chương trình cải cách giáo dục. Tài liệu “Chuyên đề luyện thi phần khảo sát hàm số và các bài toán liên quan” dùng cho khối trường THPT này được viết nhằm thích ứng với sự thay đổi ở trường phổ thông, vừa nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy ở khối trường phổ thông. Toán là môn khó mà học sinh khối trường THPT đều phải trải qua, bao gồm những vấn đề cơ bản trong chuyên ngành, đóng vai trò then chốt trong quá trình tư duy các môn học tương đương. Khi viết tài liệu này chúng tôi rất chú ý đến mối quan hệ giữa lý thuyết và bài tập. Đối với người học môn Toán, hiểu sâu sắc lý thuyết phải vận dụng được thành thạo các phương pháp cơ bản, các kết quả của cơ sở lý thuyết trong giải toán, làm bài tập và trong quá trình làm bài tập người học sẽ phải hiểu sâu sắc lý thuyết hơn. Bộ tài liệu là công trình tập thể của nhóm tác giả biên soạn bao gồm: Th.S Hà Thị Thúy Hằng (chủ biên), Cao Văn Tú và Ông Vũ Khắc Mạnh. Viết tài liệu này, chúng tôi đã tham khảo kinh nghiệm của nhiều đồng nghiệp đã giảng dạy môn Toán nhiều năm ở khối trường THPT. Chúng tôi xin chân thành cám ơn các nhà giáo, các nhà khoa học đã đọc bản thảo và đóng góp ý kiến xác đáng. Chúng tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban Quản trị của trang cbook.vn đã tận tình phát triển và khẩn trương trong việc phát hành tài liệu này. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp nhận xét của bạn đọc đối với bộ tài liệu này. Các tác giả MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU 2 MỤC LỤC 3 CHƯƠNG I: KIẾN THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 5 CHƯƠNG II: CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 8 VẤN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 8 VẤN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH DẠNG a.sinx + b.cosx = c ( ) (1) 13 VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX 18 VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI SINX VÀ COSX 22 VẤN ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC HỖN HỢP CHỨA CÁC BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG. 28 VẤN ĐỀ 6: LOẠI NGHIỆM KHÔNG THÍCH HỢP CỦA PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 30 Phương pháp 1: Phương pháp loại nghiệm trực tiếp. 30 Phương pháp 2: Phương pháp hình học (dùng đường tròn lượng giác). 31 Phương pháp 3: Phương pháp đại số. 32 VẤN ĐỀ 7: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 33 Dạng 1: (1) 33 Dạng 2: (2) 33 Dạng 3: (3) 33 Dạng 4: (4) 33 CHƯƠNG III: HỆ THỐNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 35 Phương pháp 1: Phương pháp biến đổi tương đương. 35 Phương pháp 2: Phương pháp biến đổi tương đương. 38 2.1 Phương pháp đặt ẩn phụ. 38 2.1.2 Đặt một biểu thức lượng giác làm ẩn phụ. 40 Phương pháp 3: Giải phương trình lượng giác sử dụng công thức hạ bậc. 46 Phương pháp 4: Biến đổi phương trình lượng giác thành phương trình tích. 51 2.4.1Phương pháp biến đổi tổng , hiệu thành tích: 51 2.4.2 Phương pháp biến đổi tích thành tổng. 53 2.4.3 Lựa chọn phép biến đổi cho 54 2.4.4 Phương pháp tách hệ số. 56 2.4.5 Phương pháp hằng số biến thiên. 57 2.4.6 Phương pháp nhân. 58 2.4.7 Sử dụng các phép biến đổi. 60 Phương pháp 5: Biến đổi phương trình lượng giác thành tổng các đại lượng không âm. 61 Phương pháp 6: Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đánh giá. 65 2.6.1 Tính chất của hàm số lượng giác và biểu thức lượng giác. 66 2.6.2Phương trình lượng giác dạng Pitago. 68 2.6.3Sử dụng bất đẳng thức Cosi: 69 Phương pháp 7: Dùng phương pháp khảo sát hàm số. 72 Phương pháp 8: Biện luận phương trình lượng giác chứa tham số. 75 Bài tập tự luyện. 85 CHƯƠNG IV: TUYỂN TẬP 200 BÀI LƯỢNG GIÁC 88 KẾT LUẬN 175 CHƯƠNG I: KIẾN THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN I. CÔNG THỨC I. 1. Công thức lượng giác cơ bản I. 2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt a. Cung đối: b. Cung bù: c. Cung phụ: d. Cung hơn kém Chú ý: cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém tan và cot I. 3. Công thức cộng. Chú ý: sin bằng sin.cos , cos.sin ; cos bằng cos.cos , sin.sin giữa trừ ; tan bằng tan tổng chia 1 trừ tích tan. I. 4. Công thức nhân đôi I. 5. Công thức hạ bậc I. 6. Công thức tính theo I. 7. Công thức nhân ba I. 8. Công thức biến đổi tổng thành tích I. 9. Công thức biến đổi tích thành tổng I. 10. Bảng giá trị lượng giác của các cung đặc biệt Cung sin cos tan ║ cot ║ ║ Chú ý: • với ứng với . • Công thức đổi từ độ sang radian và ngược lại:

Trang 1

cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập

Trang 2

LỜI NÓI ĐẦU

Chương trình môn Toán ở trường THPT đã có nhiều thay đổi từ khi Bộ Giáo Dục và

Đào Tạo ban hành chương trình cải cách giáo dục Tài liệu “Chuyên đề luyện thi phần khảo

sát hàm số và các bài toán liên quan” dùng cho khối trường THPT này được viết nhằm thích

ứng với sự thay đổi ở trường phổ thông, vừa nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy ở khối

trường phổ thông

Toán là môn khó mà học sinh khối trường THPT đều phải trải qua, bao gồm những

vấn đề cơ bản trong chuyên ngành, đóng vai trò then chốt trong quá trình tư duy các môn học tương đương

Khi viết tài liệu này chúng tôi rất chú ý đến mối quan hệ giữa lý thuyết và bài tập Đối với người học môn Toán, hiểu sâu sắc lý thuyết phải vận dụng được thành thạo các phương

pháp cơ bản, các kết quả của cơ sở lý thuyết trong giải toán, làm bài tập và trong quá trình

làm bài tập người học sẽ phải hiểu sâu sắc lý thuyết hơn

Bộ tài liệu là công trình tập thể của nhóm tác giả biên soạn bao gồm: Th.S Hà Thị

Thúy Hằng (chủ biên), Cao Văn Tú và Ông Vũ Khắc Mạnh

Viết tài liệu này, chúng tôi đã tham khảo kinh nghiệm của nhiều đồng nghiệp đã giảng dạy môn Toán nhiều năm ở khối trường THPT Chúng tôi xin chân thành cám ơn các nhà

giáo, các nhà khoa học đã đọc bản thảo và đóng góp ý kiến xác đáng

Chúng tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban Quản trị của trang cbook.vn đã tận tình

phát triển và khẩn trương trong việc phát hành tài liệu này

Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp nhận xét của bạn đọc đối với

bộ tài liệu này

Các tác giả

Trang 3

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 2

MỤC LỤC 3

CHƯƠNG I: KIẾN THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 5

CHƯƠNG II: CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 8

VẤN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 8

VẤN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH DẠNG a.sinx + b.cosx = c ( 2 2 0 a  b ) (1) 13

VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX 18 VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI SINX VÀ COSX 22

VẤN ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC HỖN HỢP CHỨA CÁC BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG 28

VẤN ĐỀ 6: LOẠI NGHIỆM KHÔNG THÍCH HỢPCỦA PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 30

Phương pháp 1: Phương pháp loại nghiệm trực tiếp 30

Phương pháp 2: Phương pháp hình học (dùng đường tròn lượng giác) 31

Phương pháp 3: Phương pháp đại số 32

VẤN ĐỀ 7: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 33

Dạng 1: (1) 33

Dạng 2: (2) 33

Dạng 3: (3) 33

Dạng 4: (4) 33

CHƯƠNG III: HỆ THỐNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 35

Phương pháp 1: Phương pháp biến đổi tương đương 35

Phương pháp 2: Phương pháp biến đổi tương đương 38

2.1- Phương pháp đặt ẩn phụ 38

2.1.2- Đặt một biểu thức lượng giác làm ẩn phụ 40

Phương pháp 3: Giải phương trình lượng giác sử dụng công thức hạ bậc 46

Phương pháp 4: Biến đổi phương trình lượng giác thành phương trình tích 51

2.4.1Phương pháp biến đổi tổng , hiệu thành tích: 51

2.4.2- Phương pháp biến đổi tích thành tổng 53

2.4.3- Lựa chọn phép biến đổi cho 54

Trang 4

2.4.5- Phương pháp hằng số biến thiên 57

2.4.6- Phương pháp nhân 58

2.4.7- Sử dụng các phép biến đổi 60

Phương pháp 5: Biến đổi phương trình lượng giác thành tổng các đại lượng không âm 61

Phương pháp 6: Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đánh giá 65

2.6.1- Tính chất của hàm số lượng giác và biểu thức lượng giác 66

2.6.2Phương trình lượng giác dạng Pitago 68

2.6.3Sử dụng bất đẳng thức Cosi: 69

Phương pháp 7: Dùng phương pháp khảo sát hàm số 72

Phương pháp 8: Biện luận phương trình lượng giác chứa tham số 75

Bài tập tự luyện 85

CHƯƠNG IV: TUYỂN TẬP 200 BÀI LƯỢNG GIÁC 88

KẾT LUẬN 175

Trang 5

Trang 6

Trang 7

21

3

32

22

1

12

4

3π 4

π 4

2π

3π 2

π 2

0 π

-1 -1

1

1 O

sin

cos

Trang 8

CHƯƠNG II: CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

VẤN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Để giải 1 Phương trình lượng giác, nói chung ta tiến hành theo các bước sau:

Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa Các điều kiện ấy bao hàm các điều kiện để căn có nghĩa,phân số có nghĩa, biểu thức logarít có nghĩa Ngoài ra trong các Phương trình lượng giác có chứa các biểu thức chứa tan x va cot gx thì cần điều kiện để tan x và

Bước 2: Bằng phương pháp thích hợp đưa các phương trình đã cho về một trong các phương

trình cơ bản

Bước 3: Nghiệm tìm được phải đối chiếu với điều kiện đã đặt ra Những nghiệm nào không

thoả mãn điều kiện ấy thì bị loại

1.1-Phương trình lượng giác cơ bản

1.1.1- Định nghĩa: Phương trình lượng giác là phương trình chứa một hay nhiều hàm số

lượng giác

1.1.2- Các phương trình lượng giác cơ bản

a) Giải và biện luận phương trình sin x  m (1)

Do sin x     1;1 nên để giải phương trình (1) ta đi biện luận theo các bước sau

Bước1: Nếu |m|>1 phương trình vô nghiệm

Bước 2: Nếu |m|<1 ,ta xét 2 khả năng

-Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua sin của góc đặc biệt ,giả sử  khi đó phương trình

Trang 9

Như vậy ta có thể kết luận phương trình có 2 họ nghiệm

Đặc biệt ta cần phải nhớ được các giá trị của các cung đặc biệt như ; ; ; ; ;2

Vậy phương trình có hai họ nghiệm

b) Giải và biện luận phương trình lượng giác cos x  m ( ) b

Ta cũng đi biện luận (b) theo m

Bước 1: Nếu m  1phương trình vô nghiệm

Bước 2: Nếu m  1 ta xét 2 khả năng:

Trang 10

3 không là giá trị của cung đặc biệt nên tồn tại góc    0;  

sao cho cos 1

Trang 11

c) Giải và biện luận phương trình lượng giác tan x  m ( ) c

Ta cũng biện luận phương trình (c) theo các bước sau:

Trang 12

d) Giải và biện luận phương trình lượng giác cot x  m ( ) d

Ta cũng đi biện luận theo m

Bước1: Đặt điều kiện sin x    0 x k  k 

Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện (*)

Vậy phương trình có 1 họ nghiệm

Lưu ý: Không được ghi hai loại đơn vị ( radian hoặc độ ) trong cùng một công thức

Trang 13

a)Định nghĩa: Phương trình a sin x b  cos x  c (1) trong đó a, b, c và a2 b2  0

được gọi là phương trình bậc nhất đối với sin ,cos x x

b) Cách giải

Ta có thể lựa chọn 1 trong 2 cách sau:

Cách 1: Thực hiện theo các bước

Bước 1:Kiểm tra

-Nếu a2 b2<c2 phương trình vô nghiệm

-Nếu a2 b2  c2 khi đó để tìm nghiệm của phương trình ta thực hiện tiếp bước 2

Bước 2: Chia cả 2 vế phương trình (1) cho 2 2

Đây là phương trình cơ bản của sin mà ta đã biết cách giải

Cách 2: Thực hiện theo các bước

Trang 14

Vậy phương trình có 2 nghiệm

Cách 2:-Ta nhận thấy cos x  0 là nghiệm của phương trình

Trang 15

Cách 3: Biến đổi phương trình về dạng

2

Chú ý: Khi làm bài toán dạng này chúng ta nên kiểm tra điều kiện trước khi bắt tay vào giải

phương trình bởi có một số bài toán đã cố tình tạo ra những phương trình không thoả mãn

điều kiện Ta xét ví dụ sau:

Ví Dụ 2: Giải phương trình 2 2(sin x  cos )cos x x   3 cos2 x   2

Trang 16

Ngoài ra chúng ta cần lưu ý rằng việc biến đổi lượng giác cho phù hợp với từng bài toán sẽ

biểu diễn chẵn các họ nghiệm Ta xét ví dụ sau

Ví Dụ 3: Giải phương trình (1  3)sin x   (1 3)cos x  2 (3)

Qua hai cách giải ở bài trên ta nhận thấy bằng cách 2 ta thu được nghiệm phương trình chẵn

Trang 17

t  và ta cũng thu được nghiệm chẵn

*Chú ý: Đối với phương trình dạng a sin ( ) P x  b cos ( ) Q x  c sin ( ) Q x  d cos ( ) (*) P x

trong đó a, b, c, d thoả mãn a2  b2   c2 d2>0 và P(x) ,Q(x) không đồng thời là các

Bài tập: Giải các phương trình sau :

1 3sin x  cos x  3

Trang 18

9 cos x  2cos2 x  2 2  cos3 x

VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX

a) Định nghĩa: Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x ,cos x là phương trình

a sin2x b  sin cos x x c  cos2x  d (1) trong đó a, b, c, d 

b) Cách giải :

Chia từng vế của phương trình (1) cho một trong ba hạng tử sin2x ,cos2x hoặc

Bước 1: Kiểm tra:

2

xem nó có phải là nghiệm của phương trình(1) hay không?

Bước 2: Với cosx  0 chia cả hai vế cho cos x2 lúc đó phương trình (1) trở thành

Trang 19

Đây là phương trình bậc nhất đối với sin và cos ta đã biết cách giải

*Chú ý: Đối với phương trình đẳng cấp bậc n (n3) với dạng tổng quát

A x x x x  trong đó k   h n k h n ; , , 

Khi đó ta cũng làm theo 2 bước :

Bước 1: Kiểm tra xem cos x  0 có phải là nghiệm của phương trình hay không?

Bước 2: Nếu cos x  0.Chia cả hai vế của phương trình trên cho cosnx ta sẽ được phương

trình bậc n theo tan Giải phương trình này ta được nghiệm của phương trình ban đầu

không là nghiệm của phươngtrình

+)Với cos x  0 Chia cả hai vế của phương trình cho cos x2 ta được

2 3 6tan  x   (3 3)(1 tan  2x )   (3 3)tan2x  6tan x   3 3  0

Trang 20

(tan x  1)3  4(1 tan  2 x ) tan x  3tan3x  3tan2x  tan x   1 0

Đặt t  tan x phương trình có được đưa về dạng:

Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện của phương trình

Vậy phương trình có duy nhất 1 họ nghiệm

*Chú ý: Ngoài phương pháp giải phương trình thuần nhất đã nêu ở trên có những phương

trình có thể giải bằng phương pháp khác tuỳ thuộc vào từng bài toán để giải sao cho cách

giải nhanh nhất ,khoa học nhất

Ví Dụ 3: Giải phương trình: 1 tan 1 sin 2

1 tan

x

x x

Trang 21

Vậy phương trình có một họ nghiệm

sin

44

Trang 22

6) sin 2 sin x x  sin3 x  6cos3x

9) cos3x  sin3x  sin x  cos x

VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI SINX VÀ COSX

a) Định nghĩa: Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x là phương trình dạng

a(sinxcos )x bsin cosx x c 0 trong đó a b c , ,  (1)

2

t

và phương trình (1) được viết lại: bt2  2 at   ( b 2 ) c  0

Đó là phương trình bậc hai đã biết cách giải

Trang 23

*Chú ý: Hai cách giải trên có thể áp dụng cho phương trình

2

z z

Trang 24

2 4

*Chú ý: Ta có thể đưa một số dạng phương trình về dạng phương trình đối xứng đã xét ở

trên

Bài toán 1: Giải phương trình 2 2

 ( sina x b cos )( sinx a x b cos )x c a( sinx b cos )x

*Quy ước: Khi có nhiều dấu    trong một biểu thức hay một hệ hiểu là cùng lấy dòng

trên hoặc cùng lấy dòng dưới

Ví Dụ 2: Giải phương trình tan x  3cot x  4(sin x  3cos ) (2) x

 (sin x  3cos )(sin x x  3cos ) x  4(sin x  3cos )sin cos x x x

 (sin x  3 cos ) (sin x   x  3 cos )sin 2 x x    0

Trang 25

2 3

Các gía trị của x trong (5) và (6) đều thoả mãn điều kiện của phương trình

Vậy theo phương trình có hai họ nghiệm

Bài toán 2: Giải phương trình:

Đến đây chúng ta đã biết cách giải

Tương tự cho phương trình a (tan x    sin ) x  b (cot x    cos ) x    a b 0

Ví Dụ 3: Giải phương trình

tan x  3cot x  sin x  3cos x   1 3  0 (3)

Giải:

Trang 26

Các nghiệm của phương trình (4) và (5) đều thoả mãn điều kiện của phương trình

Vậy phương trình có ba họ nghiệm

Chú ý: Ta có thể áp dụng phương pháp đối với phương trình hỗn hợp chứa các biểu thức đối

xứng đối với sin x và cos x với bậc lớn hơn 2

Trang 27

Các nghiệm đều thoả mãn điều kiện sin 2 x  0

Bài tập:

Trang 28

2 2(tan x  sin ) 3(cot x  x  cos ) 5 0 x  

5 2cos2 (1 sin ) cos2 0

2

x

   6 sin3x  cos3x  sin 2 x  sin x  cos x

7 4(sin4x  cos4x )  3sin 4 x  2 8 8 8 17

VẤN ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC HỖN HỢP CHỨA CÁC BIỂU THỨC

ĐỐI XỨNG tan x VÀ cotx

đưa phương trình đã cho về dạng đại số F t ( )  0

Bước 2: Giải phương trình F t ( )  0 loại những nghiệm không thoả mãn điều kiện của bài

toán

Bước 3: Với nghiệm t tìm được ở bước 2 thế vào bước 1 để tìm x

Ví dụ Minh Hoạ:

Trang 29

Trang 30

là họ nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Bài tập:Giải các phương trình sau:

x 6 sin x  cos x  tan x  cot x

7 8(tan4x  cot4x )  9(tan x  cot ) x 2 10

VẤN ĐỀ 6: LOẠI NGHIỆM KHÔNG THÍCH HỢP CỦA PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Với nhiều PTLG ta cần đặt điều kiện cho ẩn Khi đó, trước khi kết luận nghiệm ta

cần kiểm tra xem các nghiệm tìm được có thoả mãn điều kiện đã đặt ra hay không, để ta có

thể loại những nghiệm không thích hợp

Chúng ta có thể xét ba phương pháp sau:

Phương pháp 1: Phương pháp loại nghiệm trực tiếp

Giả sử ta cần tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn điều kiện (*) nào đó Trước hết ta

giải phương trình (1) sau đó thay nghiệm của phương trình (1) tìm được vào (*) để loại

nghiệm không thích hợp

Ví Dụ: Giải phương trình 1 sin 0

sin 4

x x

  (1)

Giải:

Điều kiện sin 4 x  0 (*)

Khi đó (1) 1 sin 0 sin 1 2 ,

Trang 31

Phương pháp 2: Phương pháp hình học (dùng đường tròn lượng giác)

Giả sử ta cần tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn điều kiện (*) nào đó Gọi L là tập

các cung không thoả mãn các điều kiện (*), N là tập nghiệm của phg trình (1).Ta biểu diễn

điểm cuối của các cung thuộc hai tập L và N lên trên cùng một đường tròn lượng giác

Chẳng hạn điểm cuối của các cung thuộc L ta đánh dấu (x), điểm cuối của các cung thuộc N

ta đánh dấu (.) Khi đó những cung có điểm cuối được đánh dấu (.) mà không bị đánh dấu (x)

là nghiệm của phương trình

Ví Dụ: Giải phương trình: cos cot 2 x x  sin x (1)

Trang 32

Phương pháp 3: Phương pháp đại số

Phương pháp này ta kiểm tra nghiệm bằng cách chuyển về phương trình (thường là

phương trình nghiệm nguyên) hoặc bất phương trình đại số

* Ví Dụ: Giải phương trình: cos8 0 (1)

Trang 33

x



6: Giải phương trình: sin3xcos cos 2 (tanx x 2xtan 2 )x

VẤN ĐỀ 7: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Dạng 1: 2

Cách giải: Đặt t  sin x , điều kiện | | t  1

Đưa phương trình (1) về phương trình bậc hai theo t , giải tìm t chú ý kết hợp với điều

kiện rồi giải tìm x

Dạng 2: 2

Cách giải: Đặt t  cos x điều kiện | |t  1 ta cũng đưa phương trình (2) về phương trình bậc

hai theo t, giải tìm t rồi tìm x

Đặt t  tan x  t   ta đưa phương trình (3) về phương trình bậc hai theo t, chú ý khi tìm

được nghiệm x cần thay vào điều kiện xem thoả mãn hay không

Dạng 4: 2

Cách giải: Điều kiện sin x    0 x k  k 

Đặt t  cot x ( t  ) Ta cũng đưa phương trình (4) về phương trình bậc hai theo ẩn t

Trang 34

2cos

32

x k x

Ví dụ 2: Giải phương trình: cot tan 4sin 2 2

Bài 2 Giải phương trình: cos 2 x  3cos x   4 0

Bài 3: Giải phương trình: 3tan 2 3tan 5 0

2

Trang 35

Bài 4: Giải phương trình: cos(4 x   2) 3sin(2 x   1) 2

Bài 5: Giải phương trình: 4

CHƯƠNG III: HỆ THỐNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Đứng trước một PTLG lạ, điều mà làm ta băn khoăn là làm thế nào để giải nó, vấn đề nảy

sinh trong mỗi chúng ta là phải đưa phương trình về phương trình mà ta đã biết cách giải

Và để giải mỗi phương trình ta phải thực hiện các phép biến đổi theo hướng

-Nếu phương trình chứa nhiều hàm lượng giác khác nhau thì biến đổi tương đương về

phương trình chỉ chứa một hàm

-Nếu phương trình chứa hàm lượnggiác của nhiều cung khác nhau thì biến đổi tương

đương về phương trình chỉ chứa một cung

Dưới đây là một số phương pháp biến đổi tuỳ thuộc vào từng bài toán khác nhau mà

ta lựa chọn phương pháp cho phù hợp

Phương pháp 1: Phương pháp biến đổi tương đương

Phương pháp: Sử dụng công thức lượng giác đã học thực hiện các phép biến đổi đại số

và lượng giác đưa phương trình về dạng quen thuộc đã biết cách giải

Chú ý : Ta phải chú ý đến mối liên hệ giữa các cung của các hàm lượng giác Vì

mối liên hệ này sẽ chỉ đường cho cách biến đổi phương trình

Trang 36

Nhận xét: Ta nhận thấy trong bài toán có 2 số hạng 3sin3 ,4sin 3 x 3 x ta có thể sử dụng

được công thức góc nhân ba

Trang 37

Vậy phương trình có một họ nghiệm

Ví dụ 3: Giải phương trình 2 cos x  sin x  1 (1)

2

x x x

23

Trang 38

   ta thấy có 1 giá trị k  0 là thoả mãn

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất

3

x  

Nhận xét : Phương pháp biến đổi tương đương đòi hỏi phải sử dụng nhiều công thức lượng

giác vì vậy việc nắm chắc các công thức và vận dụng linh hoạt vào từng bài toán là hết sức

(1) Đặt ẩn phụ , đưa phương trình đã cho về phương trình mới dễ giải hơn

(2) Đặt ẩn phụ đưa phương trình đã cho về hệ phương trình đại số

Phụ thuộc vào mỗi phương trình mà ta phải biết đặt ẩn phụ một cách khéo léo để có được

một phương trình mới đơn giản hơn dễ giải hơn

Thông thường trong phương pháp đặt ẩn phụ để giải PTLG ta thường gặp 2 loại đặt ẩn phụ

sau:

+) Đổi biến dưới hàm lượng giác

+) Đặt cả biểu thức lượng giác làm ẩn phụ

2.1.1- Đổi biến dưới hàm lượng giác

Trang 39

Ví dụ 2: Giải phương trình sin(3 ) 1sin ( 3 )

Như vậy phương trình đã được đưa về phương trình chứa các hàm lượng giác chỉ chứa 1

cung Từ đây ta sử công thức nhân ba để biến đổi

Trang 40

5 14

2 5

2.1.2- Đặt một biểu thức lượng giác làm ẩn phụ

Chú ý một số phương pháp đặt ẩn phụ của phương pháp đại số sau đây

Định dạng
Số trang	175
Dung lượng	3,09 MB