ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN HÌNH HỌC VI PHÂN 2

MỤC TIÊU - Sinh viên hiểu được các khái niệm mới: Mặt chính qui, mặt khả vi, mặt tiếp xúc, vi phân của một ánh xạ, cách đổi tham số hóa, các phương pháp chứng minh mặt chính qui, dạng c

1

ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN

HÌNH HỌC VI PHÂN 2

CHƯƠNG 1 Mặt chính qui (đa tạp 2 chiều)

Số tiết: 15 (lý thuyết: 12 tiết; bài tập: 03 tiết)

A MỤC TIÊU

- Sinh viên hiểu được các khái niệm mới: Mặt chính qui, mặt khả vi, mặt tiếp xúc, vi phân của một ánh xạ, cách đổi tham số hóa, các phương pháp chứng minh mặt chính qui, dạng cơ bản thứ nhất

- Sinh viên vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học giải các bài tập về mặt chính qui, vi phôi và cách xác định tham số hóa

- Sinh viên hiểu rõ vai trò của môn hình học vi phân đối với các môn học khác, tích cực, chủ động tham gia các hoạt động của môn học, có phương pháp học tập tích cực sáng tạo

B NỘI DUNG

1.1 Mặt chính qui

Có thể hình dung mặt chính qui trong ℝ3như sau: Lấy một số mảnh mặt phẳng

B iến dạng chúng và “dán” lại sao cho hình nhận được không có các điểm nhọn, không có các cạnh hoặc không có tính tự cắt để tại mỗi điểm có thể nói đến mặt phẳng tiếp xúc của mặt Các mặt cũng sẽ được giả thiết đủ trơn để có thể mở rộng các khái niệm cũng như các kết quả của giải tích lên chúng Định nghĩa sau đây thỏa mãn các yêu cầu trên

với x, y, z là các hàm có đạo hàm riêng mọi cấp

(ii) Ánh xạ X là một đồng phôi từ U vào V∩ Vì X là liên tục theo điều kiện (i), nên S

X là một đồng phôi có nghĩa là X có ánh xạ ngược X− 1:V S U

∩ → liên tục Nói cách khác, 1

X− là hạn chế của một ánh xạ liên tục F: W⊂ℝ3→ℝ2 xác định trên một tập mở chứa V∩ S

(iii) (Tính chính qui) Với mọi q U∈ , đạo hàm dX q:ℝ2→ℝ3 là một đơn ánh

Ánh xạ X được gọi là một tham số hóa (địa phương) của S , cặp (U,X) được gọi là một

hệ tọa độ địa phương hay một bản đồ của S còn lân cận V ∩ của p trong S gọi là một lân cận S tọa độ

Chúng ta phân tích rõ hơn về điều kiện (iii) bằng cách xét ma trận Jacobi của X tại q Giả

sử q=( , )u v0 0 Xét đường tham số

( ( , ), ( , ), ( , ))

Đường cong này, được gọi là đường cong tọa độ v v= 0, nằm trên mặt S đi qua p = X(q)

và có vec tơ tiếp xúc tại p là X x, y, z

không đồng thời bằng không

Để thuận tiện ta viết X u thay cho X

Dễ thấy hàm X1+ là đơn ánh và (X1+)-1 là hạn chế của phép chiếu π(x y z, , ) = (x,y) từ 3

ℝ đến ℝ2 nên cũng liên tục Vậy điều kiện (ii) cũng được thỏa mãn

Ta có X(V) ⊂ S2 Tham số θ được gọi là colatude (phần phụ của vĩ độ) và ϕ là kinh độ

Rõ ràng X khả vi vì các hàm sinθcos , sin sin , osϕ θ ϕ c θ là khả vi

do 0<θ <π Như vậy, điều kiện (i) và (iii) được thỏa mãn

Lấy C là nửa đường tròn { (x y z, , )∈S2:y=0, x≥0 } Với mỗi (x,y,z) ∈ S2 – C, chúng ta xác định được duy nhất θ =cos− 1z vì 0<θ <π Biết θ chúng ta sẽ xác định được ϕ từ sin os , sin sin

x= θc ϕ y= θ ϕ và do đó xác định được duy nhất ϕ Vậy X có ánh xạ ngược X-1 và

có thể kiểm tra dễ dàng X-1 là liên tục tức là X là một tham số hóa Chúng ta nhận xét rằng X(V) =S2 – C nên có thể phủ S2 bởi hai tham số hóa kiểu như trên

Những mệnh đề tiếp sau sẽ cho ta những phương pháp có thể kiểm tra hoặc xây dựng một

∂ , nên điều kiện (iii) cũng

được thỏa mãn Chúng ta chỉ cần chứng minh cho điều kiện 2 Ta có X(x,y) = (x, y, f(x,y)) là đơn

5

ánh nên có ánh xạ ngược X-1 Ánh xạ ngược X-1 chính là hạn chế lên Gf của phép chiếu từ ℝ3lên ℝ2nên liên tục Ta có điều phải chứng minh

Định nghĩa 1.2 Cho ánh xạ khả vi f U ⊂: ℝn →ℝm , với U là tập mở Ta nói p U∈ là một

p

df ℝ →ℝ không phải là toàn ánh Ảnh ( )f p ∈ ℝ của một m

điểm tới hạn gọi là giá trị tới hạn của f Một điểm của ℝm mà không phải là giá trị tới hạn được

gọi là một giá trị chính qui của f

Chú ý rằng bất kỳ điểm a∉f U( ) đều là các giá trị chính qui của f

Trong trường hợp :f U ⊂ℝ→ℝ, các điểm tới hạn chính là các điểm x U∈ mà f’(x) = 0

Trong trường hợp a = b =c, ta có mặt cầu x2 + y2 +z2 = a2 cũng là một mặt chính qui Một mặt S được gọi là liên thông nếu bất kỳ hai điểm nào của S đều có thể nối bởi một đường cong liên tục trong S Trong nhiều tài liệu, khái niệm này được gọi là liên thông cung hay liên thông đường để phân biệt với khái niệm liên thông trong tôpô Ví dụ sau đây cho ta thấy các mặt chính qui xác định bởi mệnh đề 1.2 có thể không liên thông

Ví dụ 1.4 Heperboloid hai tầng H: -x2 + y2 +z2 = 1 là mặt chính qui vì H =f-1(0) với 0 là giá trị

chính qui của hàm f(x, y, z) = -x2 + y2 +z2 – 1 Ta thấy rằng H không liên thông, vì hai điểm nằm

ở hai tầng khác nhau không thể nối với nhau bằng một đường cong liên tục được

Chúng ta có tính chất sau đây của một mặt liên thông : "Cho f S ⊂: ℝ3 →ℝ là một hàm số liên tục xác định trên một mặt liên thông S Nếu f(p) ≠ 0, p S ∀ ∈ , thì hàm f không đổi

Ví dụ 1.5 Mặt xuyến (torus) T là mặt sinh ra bằng cách quay đường tròn bán kính r quanh một

đường thẳng thuộc mặt phẳng chứa đường tròn và cách tâm đường trong một khoảng a > r Lấy

S1 là đường tròn tâm I(0, a, 0) bán kính r trong mặt phẳng yOz Khi đó phương trình của S1 là

7

Mệnh đề 1.3 Giả sử S ⊂ ℝ là một mặt chính qui và p S3 ∈ Khi đó tồn tại lân cận V của p

trong S sao cho V là đồ thị của một hàm khả vi có một trong ba dạng sau :

z = f(x, y), y = g(x, z), x = h(y, z)

Chứng minh Giả sử X : U →S là một tham số hóa của S tại p,

X(u, v) =(x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v)∈U

Theo điều kiện (iii) của định nghĩa mặt chính qui, một trong các định thức sau phải khác

x y

u v

∂

∂ (q) ≠ 0 Xét ánh xạ π X U: → ℝ với 2 π là phép chiếu ( , , ) ( , )x y z x y

π = , khi đó π X u v( , ) ( ( , ), ( , ))= x u v y u v

,,

x y

u v

∂

∂ (q) ≠ 0 nên theo định lí hàm ngược tồn tại lân cận V1 của q và V2 của

( π X q)( )sao cho π X là vi phôi từ V1 lên V2 Từ đây suy ra hạn chế của π lên V=X(V1) là

đơn ánh và tồn tại hàm ngược: (π X)−1:V2 →V1

Do X là đồng phôi ta ruy ra X(V1) là lân cận của p trong S Bây giờ xét hợp của ánh xạ

(π X) (−1 x y, ) = (u(x, y), v(x, y)) với hàm (u v, )֏z u v( , ), ta thấy V là đồ thị của hàm hợp

này z = z(u(x, y),v(x, y)) =f(x, y)

Các trường hợp còn lại chứng minh hoàn toàn tương tự

Ví dụ 1.6 Nón một tầng C cho bởi z= x2+ y2 , (x, y) 2

∈ ℝ không phải là mặt chính qui

Ánh xạ (x, y) ֏(x y, , x + y2) là không khả vi tại (0, 0) Chúng ta chưa có thể khẳng định

rằng C không phải là mặt chính qui vì đây chỉ mới là một ánh xạ từ ℝ2 vào C Trên C có thể có

những tham số hóa khác Chúng ta sẽ chứng tỏ C không chính qui tại đỉnh của nó Nếu C là mặt

chính qui thì có một lân cận của điểm (0, 0, 0) ∈ C là đồ thị của một hàm khả vi có một trong ba

dạng sau: z =f(x, y), y = g(x, z), x =h( y, z)

Hai dạng sau cùng không thỏa mãn vì phép chiếu của C lên các mặt phẳng xOz và yOz

không là đơn ánh Xét hàm có dạng thứ nhất z= x2+ y2 Hàm này không khả vi tại (0, 0) nên

cũng không phù hợp Do đó C không phải là mặt chính qui Nếu bỏ đi điểm đỉnh (0, 0, 0) thì tập

còn lại C – {(0, 0, 0)} là mặt chính qui

Mệnh đề 1.4 Cho S là mặt chính qui và ánh xạ X : U ⊂ℝ2 →ℝ3,X U( )⊂S Nếu X là đơn ánh

thỏa mãn điều kiện (i) và (iii) trong định nghĩa 1 thì X -1 là liên tục, có nghĩa là X thỏa mãn điều

kiện (ii) và do đó X là một tham số hóa.

Chứng minh Lấy p∈X U( ) Do S là mặt chính qui nên tồn tại lân cận W ⊂ S của p sao cho W

là đồ thị của một hàm khả vi trên tập mở V (có thể giả sử) của mặt phẳng xOy Lấy

N = X-1(W) ⊂ U và đặt h =π X N: →V , với π (x y z, , ) (= x y, ) Khi đó dh = π dX là không

suy biến tại X-1(p)= q Theo định lí hàm số ngược tồn tại lân cận Ω ⊂ N sao cho h :Ω →h( )Ω

là vi phôi Chú ý rằng X( Ω ) là tập mở trong S và X-1 = h-1 π hạn chế lên X( Ω ) là hợp của các

hàm khả vi Như vậy X-1 là liên tục tại p Do p được chọn tùy ý nên X-1 liên tục trên X(U)

Ví dụ 1.7 Một tham số hóa của mặt xuyến T được cho bởi

X u v( , )=( (rcosu a+ )cos , cosv r( u a+ )sin , sinv r u)

với 0< u, v< 2π

1.2 Đổi tham số - hàm khả vi trên mặt

Định nghĩa của mặt chính qui cho thấy với mọi p S∈ đều thuộc vào một lân cận tọa độ

(địa phương) nào đó của mặt Điều này cho phéo chúng ta sử dụng hệ toạ độ địa phương để mô

tả một số tính chất địa phương của mặt trong lân cận của điểm p và mở rộng một số khái niện

như hàm khả vi trên mặt chính qui, ánh xạ khả vi từ mặt chính qui vào mặt chính qui và đạo

hàm của chúng Một điểm p S∈ có thể thuộc vào nhiều lân cận tọa độ khác nhau nên có thể có

nhiều tọa độ địa phương khác nhau và do đó chúng ta có các phép đổi tọa độ (địa phương) Để

các định nghĩa liên quan đến tính khả vi được hợp lí, các phép đổi toạ độ phải khả vi

Mệnh đề sau cho thấy yêu cầu trên được đáp ứng

Mệnh đề 1.5 (Đổi tham số) Cho S ⊂ ℝ là một mặt chính qui, p S3 ∈ , X :U ⊂ℝ2 →S và

Y : V ⊂ℝ2 →S là hai hàm số hóa địa phương của S sao cho p⊂ X U( )∩Y V( )= W Khi đó

Có thể hình dung F là ánh xạ từ hình trụ C xác định trên U và chính hình trụ xác định trên

X(U) biến thiết diện của C với độ cao t thành mặt X(u, v) +te3 với e3 là vec tơ đơn vị định hướng

của trục Oz Rõ ràng F là khả vi vàF U×{ }0 =X

Ta có định thức của ma trận Jacobi F’(q)

0( , )

( , )1

Do đó định lý hàm ngược, tồn tại lân cận M của p = X(q) trong ℝ3 sao cho F-1 tồn tại và

khả vi trên M Do Y liên tục, tồn tại lân cận N của r trong V sao cho Y(N) ⊂M ∩ Từ đây ta S

9

Vì F-1 và Y là các ánh xạ khả vi nên ta suy ra h khả vi trên N Nói riêng, h khả vi tại r Do

r là điểm bất kỳ ta suy ra h khả vi trên Y-1(W)

Một cách hoàn toàn tương tự, chứng ta có thể chứng minh h-1 cũng là hàm khả vi

Nhận xét 1.2

Giả sử X và Y được xác định bởi

X(u, v) =(x( u, v), y( u, v), z( u, v))

Y(w, t) =(x(w, t) y(w, t), z(w, t))

Khi đó ta có h((w, t) = (u(w, t),v(w, t)), trong đó u, v là các hàm hai biến (w, t) có đạo

hàm riêng mọi cấp Tương t, h-1(u, v) =(w(u, v),t(u, v)), trong đó w, t là các hàm hai biến (u, v)

có đạo hàm riêng mọi cấp Dễ thấy

Có nghĩa là, định thức của ma trận Jacobi của h và h-1 khác 0 mọi nơi

Một cách tự nhiên là chúng ta phải xây dựng các khái niệm giải tích cho các mặt chính

qui Dưới đây là các định nghĩa của hàm số khả vi trên mặt chính qui và ánh xạ khả vi giữa hai

mặt chính qui Các khái niệm đã biết trước đây là các trường hợp riêng của các khái niệm này

Định nghĩa 1.3 Cho :f V ⊂S → ℝ là hàm xác định trên một tập mở V của mặt chính qui S

Hàm f được gọi là khả vi tại p V∈ nếu với tham số hóa X: U ⊂ℝ2 →S, p∈X U( ), thì hàm

hợp f X U → ℝ là hàm khả vi tại X: -1(p) Hàm f được gọi là khả vi tại mọi điểm của V

Nhận xét 1.3

1 Giả sử Y: W→S, với p W∈ , là một tham số hóa khác Do h = X-1 Y là khả vi tại Y-1(p)

nên f Y = f X h cũng khả vi tại Y-1(p) Do đó, định nghĩa trên không phụ thuộc vào tham số

hóa được chọn

2 Chúng ta có thể đồng nhất một điểm (u, v) của U với X(u, v) của X(U) ⊂S Do đó từ đây

về sau thay vì viết (f X u v)( , )= f X u v( ( , ) ), chúng ta sẽ viết một cách đơn giản là f(u, v) và

nói rằng f(u,v) là một biểu diễn địa phương của f trong lân cận tọa độ X

Ví dụ 1.8 Cho S là mặt chính qui, S⊂V với V ⊂ ℝ là một tập mở và :3 f V → ℝ là một hàm

khả vi Khi đó f s là một hàm khả vi Thật vây, với mọi p ∈ và với tham số hóa S

2

:

X U ⊂ℝ →S tại p, hàm f X U → ℝ là khả vi tại p :

Ví dụ 1.9 Các hàm sau đây là các hàm khả vi

1 Hàm độ cao đối với một vec tơ đơn vị v∈ ℝ 3

:h S → ℝ h(p) =p.v, p S, ∀ ∈

h(p) là độ cao của p S∈ so với mặt phẳng vuông góc với v đi qua O trong ℝ3

2 Cho S là mặt chính qui và p0∈ là một điểm cố định Hàm số S f S → ℝ xác định bởi :

f(p) = d(p, p0)2 là một hàm khả vi

Nhận xét 1.4 Chúng ta đã dùng mệnh đề 1.1 để xây dựng khái niệm hàm khả vi trên một mặt

chính qui Trong chứng minh mệnh đề 1.1 chúng ta lại sử dụng tính chất là ánh xạ ngược của

một tham số hóa liên tục Nến điều kiện thứ hai trong định nghĩa của mặt chính qui là không thể

thay thế

Tương tự định nghĩa trên cho chúng ta có thể định nghĩa ánh xạ khả vi từ một mặt chính qui vào một mặt chính qui

Định nghĩa 1.4 Cho S1, S2 là các mặt chính qui, V là một tập mở trong S1 và ϕ:V ⊂S1→S2 là ánh xạ liên tục Ánh xạ ϕ được gọi là khả vi tại p ∈V nếu với các tham số hóa đã chọn nào đó

Ví dụ 1.10 Mọi tham số hóa của mặt chính qui S

2:

là ánh xạ khả vi giữa các mặt chính qui ( xem U là một mặt chính qui) Thật vậy, với mọi

p ∈ X(U) với tham số hóa Y V: ⊂ℝ2 →S tại p, ta có:

mặt chính qui là vi phôi địa phương với một mặt phẳng”

Ví dụ 1.11 Cho S1 và S2 là các mặt chính qui Giả sử 3

1

S ⊂V ⊂ ℝ , với V là một tập mở trong 3

11

1 Giả sử mặt chính qui S là đối xứng qua mặt phẳng xOy, tức là nếu (x y z, , )∈ thì S

(x y z, ,− )∈ Khi đó ánh xạ S σ : S →S biến p ∈S thành điểm đối xứng qua mặt phẳng xOy là ánh xạ khả vi vì σ là hạn chế của phép đối xứng qua mặt phẳng xOy trong ℝ3

2 Kí hiệu R z,θ là phép quay trục z với góc quay θ và S là mặt chính qui bất biến qua phép quay này, tức là p∈S thì R z,θ(p) ∈S Khi đó R z,θ|S là một ánh xạ khả vi

3 Cho ϕ:ℝ3 →ℝ3,ϕ (x y z, , ) (= ax, ,by cz) trong đó a, b, c là những số thực khác không Khi đó ánh xạ ϕ S2 từ S2 = { (x y z, , )∈ℝ3:x2 +y2+z2 =1}

và E là vi phôi với nhau

Nhận xét 1.6 Có thể xây dựng lý thuyết đường theo quan điểm như các mặt chính qui

Chúng ta sẽ định nghĩa một đường cong chính qui trong ℝ3 là tập con C của ℝ3 có tính chất là: với mọi p ∈C, tồn tại lân cận V của p trong ℝ3 là một đồng phôi khả vi α: I ⊂ℝ→ℝ3

sao cho dα là đơn ánh với mọi t∈I (I là khoảng mở trong ℝ )

Tương tự như mặt, chúng ta có thể chứng minh rằng các phép đổi tham số là một vi phôi Điều này cho thấy có thể định nghĩa hàm khả vi trên một đường chính qui và ánh xạ khả vi giữa các đường chính qui Các tính chất địa phương của C là các tính chất của đường cong tham số

mà không phụ thuộc vào tham số hóa Cho nên các kết quả của đường tham số đều có thể xem là các kết quả địa phương của các đường chính qui Ngược lại các kết quả địa phương của đường chính qui áp dụng được cho đường tham số

Ví dụ 1.12 ( Mặt tròn xoay) Cho C là một đường cong chính qui trong mặt phẳng xOz không

cắt trục Oz Quay C quanh trục Oz chúng ta nhận được một tập S ⊂ ℝ 3

Giả sử x = f(v), z = g(v), a < v < b, f(v) > 0

là một tham số hóa của C và u là góc quay quanh trục Oz Như vậy, chúng ta có ánh xạ

X(u, v) = (f(v)cos u, f(v)sin u, g(v))

từ tập U ={ (u v, )∈ℝ2: 0<u<2 ,π a v b< < } vào S Chúng ta có thể chứng minh X là một tham

số hóa của S và do đó S có thể được phủ bởi ảnh của các tham số hóa như vậy nên S là một mặt

chính quy Mặt S gọi là mặt tròn xoay Đường cong C gọi là đường sinh, trục Oz gọi là trục

xoay Các đường tròn xác định bởi một điểm của C qua phép quay gọi là một vĩ tuyến, còn các vị

trí của C theo các góc quay u khác nhau gọi là các kinh tuyến

Nếu C là một đường cong phẳng đóng chính qui nhận đường thẳng d làm trục đối xứng thì khi quay quanh d ta cũng nhận được một mặt mà ta có thể chứng minh là một mặt chính qui Đối với những mặt như vậy ta phải loại bỏ đi 2 điểm đó là giao của C với d ta gọi những mặt như vậy là mặt tròn xoay mở rộng

Do mong muốn xem xét các tính chất toàn cục đồng thời với các tính chất địa phương, chúng ta xét các mặt chính qui thay cho mặt tham số Nếu chỉ xét các tính chất địa phương thì chỉ cần xét lớp các mặt tham số (chúng ta sẽ có định nghĩa ngay sau đây tương tự như định nghĩa của đường tham số) Sau này ta sẽ thấy, nếu chỉ xét lớp các mặt tham số thì các khái niệm cũng như tính chất toàn cục sẽ phải bị bỏ qua hoặc được xử lí một cách không đầy đủ Tuy vậy, khái niệm mặt tham số đôi lúc cũng tỏ ra hữu ích

Định nghĩa 1.5 Một mặt tham số là một cặp (X, S), trong đó X U ⊂: ℝ2 →ℝ3, với U là tập

mở, là một ánh xạ khả vi và S =X(U) Tập X(U) gọi là vết của mặt tham số còn ánh xạ X được

gọi là một tham số hóa của mặt

Tương tự như đường tham số chúng ta có các khái niệm mặt tham số liên tục, mặt tham

số khả vi Chúng ta sẽ đồng nhất mặt tham số với X hoặc với S nếu không có gì gây nhầm lẫn

Mặt tham số X được gọi là chính qui nếu dX q:ℝ2→ℝ3 là đơn ánh với mọi q U∈ Một

điểm q U∈ mà dXq không phải là đơn ánh được gọi là một điểm kì dị Điều kiện dXq đơn ánh

tương đương với {X q X q u( ), v( ) } độc lập tuyến tính

Chú ý rằng, một mặt tham số ngay cả khi chính qui cũng có thể tự cắt

Ví dụ 1.13 Cho α: I → ℝ là một đường tham số Đặt 3

X t v( ), =α ( )t +vα'( ) ( )t , ,t v ∈ Ι × ℝ

Ta có X là một mặt tham số và được gọi là mặt tiếp xúc của α Giả sử hàm độ cong k

khác không tại mọi t ∈ , nghĩa là k(t) ≠ 0, t I ∀ ∈ Xét ánh xạ X trên miền I

t I t

Như vậy hạn chế X U → ℝ là một mặt tham số hóa chính qui Vết của X gồm hai : 3

mảnh liên thông có biên chung là vết α ( )I của đường tham số α

Mệnh đề sau cho thấy có thể xét các khái niệm và tính chất địa phương của hình học vi

phân cho các mặt tham số

Mệnh đề 1.6 Cho X U ⊂: ℝ2→ℝ3 là một mặt tham số chính qui và q là một điểm thuộc U

Khi đó tồn tại lân cận V của q trong U sao cho X(V) 3

u, v

x y q

u, v

x y q

∂

≠

∂ , nên theo định lí hàm ngược, tồn tại lân cận W1 của q

và lân cận W2 của F(q) sao cho F: W1 →W2 là một vi phôi

Đặt V = W1∩U, ta có F|V = X|V Do X(V) vi phôi với V nên là một mặt chính qui

1.3 Mặt tiếp xúc – vi phân của một ánh xạ

1.3.1 Mặt phẳng tiếp xúc

Định nghĩa 1.6 Một vec tơ tiếp xúc của mặt chính qui S tại điểm p S∈ là vec tơ tiếp xúc của

một cung tham số khả vi có vết nằm trên S

13

α:(−ε ε, )→S,

với α(0) = p

Tập tất cả vec tơ tiếp xúc của S tại p gọi là mặt phẳng tiếp xúc của S tại p, kí hiệu là TpS

Mệnh đề sau cho thấy mỗi không gian tiếp xúc TpS là một không gian vec tơ 2 – chiều

Mệnh đề 1.7 Giả sử X U: ⊂ℝ2 →S là một tham số hóa của S với p ∈X(U) và p = X -1 (p) Khi

đó không gian vec tơ 2 – chiều dX q( )2 3

⊂

ℝ ℝ chính là không gian tiếp xúc TpS

Chứng minh Giả sử w là vec tơ tiếp xúc của S tại p, tức là w=α' 0( ), với α:(−ε ε, )→ , S

Xét đường cong β =ϕ α, ta có β ( )0 =ϕ ( )p do đó β' 0( )∈Tϕ( )p S2 Ta có mệnh đề sau

Mệnh đề 1.8 Vec tơ β' 0( )∈Tϕ( )p S2 không phụ thuộc vào α

Chứng minh Cho X(u, v) và X u v là các tham số hóa trong lân cận của p và ( ), ϕ( )p Giả sử

ϕ(u v, )=(ϕ1(u v, ,) ϕ2(u v, ) )= X u v( ),

Điều này cho thấy β' 0( ) chỉ phụ thuộc vào ϕ và tọa độ của w đối với cơ sở {Xu, Xv}

Do đó β' 0( ) không phụ thuộc vào α

Định nghĩa 1.8 Một ánh xạ ϕ:V ⊂S1 →S2 với S1, S2 là các mặt chính qui, được gọi là một vi

phôi địa phương tại p V∈ nếu tồn tại lân cận U ⊂V của p sao cho |ϕ U là vi phôi từ U vào

Ta sẽ gọi góc giữa hai mặt chính qui tại giao điểm p của chúng là góc giữa hai mặt phẳng

tiếp xúc tại điểm p Góc này cũng chính là góc giữa hai pháp tuyến tại p

Chúng ta có thể xác định một vec tơ pháp tuyến bằng cách chọn

với q = X-1(p) và X là một tham số hóa tại p

Như vậy chúng ta có ánh xạ khả vi rất quan trọng trong việc nghiên cứu mặt

N X U → ℝ : ( ) 3

p֏N p( )

Ánh xạ N như trên được xác định một cách địa phương và sẽ được đề cập trong các mục tiếp theo Các ví dụ về mặt không định hướng được cho thấy không thể thác triển N thành ánh xạ khả vi trên toàn bộ mặt, nếu mặt là không định hướng được

1.4 Dạng cơ bản thứ nhất – Diện tích

1.4.1 Dạng cơ bản thứ nhất

Cho S ⊂ ℝ là một mặt chính qui Khi đó tích vô hướng trên 3 ℝ3 sẽ cảm sinh tích vô hướng trên từng mặt phẳng tiếp xúc TpS Cụ thể

∀w , w1 2∈T S p , w , w1 2 p =w w1 2( tích vô hướng trong ℝ3)

Định nghĩa 1.9 Với mỗi không gian tiếp xúc TpS, dạng toàn phương

I p:T S → ℝ p

Ip(w) = w , w1 2 p = |w|2, w ∈ TpS

gọi là dạng cơ bản thứ nhất của S tại p

Giả sử X(u, v) là một tham số hóa của S tại p, w∈ TpS là vec tơ tiếp xúc của cung tham

Ví dụ 1.15 Giả sử w1, w2 là các vec tơ trực chuẩn và p là một điểm trong ℝ3 Khi đó mặt phẳng qua p với cặp vec tơ chỉ phương w1, w2 có một tham số hóa dạng

X(u, v) = p +uw1 +vw2, (u, v) ∈ℝ2

Ta tính được

E = X X u, u = w , w1 2 = 1

F = X X u, v = w , w1 2 = 0

G = X X v, v = w , w1 2 =1

Nếu w có tọa độ (a, b) đối với {Xu, Xv} thì Ip(w) = a2 + b2

Ví dụ 1.16 Mặt trụ với đáy là đường tròn

Ta có nhận xét dạng cơ bản thứ nhất của mặt phẳng và mặt trụ là giống nhau

Ví dụ 1.17 Xét đường xoắn ốc (helix) có tham số hóa như sau:

c I →S, được cho bởi

Từ đây chúng ta thấy rằng hai đường tọa độ trực giao khi và chỉ khi F u v( , )=0,∀(u v, )

Một tham số hóa như vậy gọi là tham số hóa tực giao

bản thứ nhất được viết dưới dạng

Ví dụ 1.18 Xét một tham số hóa của mặt cầu S2

X(θ ϕ, ) (= sinθcos ,sin sin , osϕ θ ϕ c θ)

Ta có

Xθ =(cos os , os sin , sinθc ϕ c θ ϕ − θ)

Xϕ = −( sin sin ,sinθ ϕ θcos , 0ϕ ),

Do đó E = 1, F = 0, G = sin2θ Như vậy, giả sử w =aXθ +bXϕ ∈T S p với p = X(θ ϕ, )

thì w2 =a2+b2sin2θ

1.4.2 Diện tích

Một số vấn đề khác liên quan đến metric là diện tích Chúng ta mong muốn tính được diện tích của các miền bị chặn của một mặt chính qui Vấn đề này sẽ được xử lí nhờ vào dạng cơ bản thứ nhất

Trước hết chúng ta làm quen với một số khái niện Miền mở (domain) của mặt chính qui

S là một tập mở liên thông của S có biên là ảnh của đường tròn qua một phép đồng phôi khả vi

chính qui (tức là đạo hàm khác không) chỉ trừ tại một số hữu hạn điểm Miền là hợp của miền

mở và biên của nó Một miền được gọi là bị chặn nếu nó được chứa trong một hình cầu nào đó

Giả sử S là một mặt chính qui, X là một tham số hóa địa phương Trên mặt phẳng tiếp xúc TpS, tức là một không gian Euclid 2 – chiều, chúng ta đã biết đại lượng X u ∧X v đúng bằng diện tích hình bình hành dựng trên các vec tơ Xu, Xv Chúng ta đưa ra định nghĩa diện tích của miền bị chặn

Định nghĩa 1.10 Cho R⊂Slà một miền bị chặn chứa trong lân cận tọa độ xác định bởi tham số hóa X U: ⊂ℝ2 →S Số dương

( ) u, vdud , 1( )

Q

gọi là diện tích của R

Ví dụ 1.19 Tính diện tích mặt xuyến T Xét lân cận tương ứng với tham số hóa

X u v( , )=( (a r+ cosu)cos ,v a r( + cosu)sin , sinv r u), (0<u <2 , 0π < <v 2π)

Lân cận tọa độ này phủ S chỉ trừ một đường kinh tuyến và một đường vĩ tuyến Ta tính dược hệ số của dạng cơ bản thứ nhất như sau :

[1] Đỗ Ngọc Diệp (2001), Hình học vi phân, Viện toán học

[2] Đoàn Thế Hiếu (2009), Giáo trình hình học vi phân, Đại học Huế

[3] Manfredo P do Carmo (1999), Differential Geometry of Curves and Surfaces, Instituto de

Matemetica Pura e Aplicada (IMPA)

D CÂU HỎI, BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ THẢO LUẬN

Câu hỏi

1.1 Nêu định nghĩa mặt chính qui, lấy ví dụ minh họa

1.2 Phát biểu và chứng minh định lí hàm ngược cho các mặt chính qui

1.3 Nêu định nghĩa hàm khả vi trên một đường chính qui

1.4 Cho C là một đường chính qui phẳng nằm về một phía của đường thẳng l trong mặt phẳng với hai đầu mút p và q thuộc đường thẳng l Với các điều kiện gì thì khi quay C quanh l sẽ nhận

được một mặt tròn xoay (chính qui) mở rộng

a) Hãy xác định các điểm tới hạn và các giá trị tới hạn của f

b) Với giá trị c nào thì tập ( , , ) f x y z = là một mặt chính qui c

c) Trả lời các câu ở mục a) và b) cho hàm số f x y z( , , )=xyz2

1.7 Cho V là một tập mở trong mặt phẳng xOy

Chứng minh rằng tập {( , , )x y z ∈ℝ3:z=0;( , )x y ∈V}là một mặt chính qui

1.8 Chứng minh rằng tập S ={( , , )x y z ∈ℝ3:z=x2−y2} là một mặt chính qui và kiểm tra các

ánh xạ sau là các tham số hoá của S

a) X u v( , ) (= u v u v uv+ , − , 4 ), (u,v)∈ ℝ 2

b) X u v( , ) ( cos(h ), sin( ), ), u 0= u v u hv u2 ≠

1.9 Chứng minh rằng X : U ⊂ℝ2→ℝ3 cho bởi

( , ) ( sin cos , sin sin , cos )

Mô tả các đường cong toạ độ u c= onst trên ellipsoid

1.10 Tìm một tham số hoá cho mặt hyperboloid hai tầng

1.14 Xây dựng 1 vi phôi giữa ellipsoid x22 y22 z22 1

1.17 Xác định các mặt phẳng tiếp xúc của mặt x2+y2−z2= tại các điểm ( , , 0)1 a b Và chứng

tỏ rằng chúng song song với trục Oz

1.18 Chứng tỏ rằng mặt phẳng tiếp xúc tại các điểm ( , ,0)a b của mặt cho bởi phương trình ( ), x 0y

x

= ≠ , với f là một hàm khả vi; đi qua điểm gốc O(0,0,0)

1.19 Giả sử một lân cận toạ độ của một mặt chính qui có tham số hoá dạng

đi qua trục Oz

1.22 Chứng tỏ rằng mỗi một phương trình sau ( , ,a b c ≠0)

xác định một mặt chính qui và chúng trực giao nhau

1.23 Cho tham số hoá của một mặt chính qui

Ở đây Ω là hình chiếu trực giao của R lên mặt phẳng xOy

1.25 Cho hai điểm ( )p t và q t di chuyển với cùng một vận tốc, p xuất phát từ (0,0,0) và di ( )

chuyển dọc trục z và Q xuất phát từ (a,0,0) và di chuyển song song với trục x Chứng minh rằng

các đường thẳng nối ( )p t và ( )q t cho ta một tập trong ℝ3xác định bởi phương trình

y x a− +zx c= Tập này có phải là mặt chính qui không?