cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com1 Cung cấp bởicbook.vnThư viện tài liệu trực tuyếncbook.vnTµi liÖu lý thuyÕt + bµi tËp c¬ b¶nTh.S HÀ THỊ THÚY HẰNG (Chủ biên)CAO VĂN TÚ – VŨ KHẮC MẠNHcbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com2 Cung cấp bởicbook.vnMỤC LỤCLỜI NÓI ĐẦU ..................................................................................................................................... 4KIẾN THỨC CƠ BẢN, LÝ THUYẾT CHUNG .............................................................................. 5VẤN ĐỀ 1: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ ........................... 5VẤN ĐỀ 2: KHẢO SÁT MỘT SỐ HÀM ĐA THỨC VÀ HÀM PHÂN THỨC ....................... 9VẤN ĐỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ...................... 14Dạng 1: Phương pháp giải bài toán: ......................................................................................... 14Tìm GTNN, GTLN của hàm số y = f(x) trên tập số D. ................................................................ 14Dạng 2: Phương pháp đổi biến số để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) (x thuộc tập xácđịnh của hàm số hoặc thuộc một tập số cho trước) .................................................................... 14Dạng 3: Tìm GTLN, NN của biểu thức M đối xứng với 2 biến x, y biết giả thiết cho x, y thỏamãn một đẳng thức nào đó cũng đối xứng với x và y. ................................................................. 17Dạng 4: Tìm GTLN, NN của biểu thức M có 2 tính chất sau: .................................................... 19Dạng 5: Trường hợp biểu thức ban đầu không có dấu hiệu đổi biến, khi đó quy về việc tìmGTNN, GTLN bằng cách đổi biến số đối với một biểu thức trung gian. .................................... 20VẤN ĐỀ 4: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ......................................................................................... 22Dạng 1: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ ..................................................................................... 22Dạng 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ............................................................. 24VẤN ĐỀ 5: SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ................................................ 31DẠNG 1: SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ KHÔNG CHỨA THAM SỐ ............................... 31A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT ........................................................................................................... 31B. MỘT SỐ VÍ DỤ ......................................................................................................................... 31DẠNG 2: SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ CHỨA THAM SỐ .............................................. 33A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. ........................................................................................................ 33B. MỘT SỐ VÍ DỤ. ....................................................................................................................... 35DẠNG 3: ỨNG DỤNG SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ ĐỂ XÉT PHƯƠNG TRÌNH ......... 38A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. ........................................................................................................ 38B. MỘT SỐ VÍ DỤ. ....................................................................................................................... 38VẤN ĐỀ 6: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC............................................................................. 44Dạng 1: Tiếp tuyến tại một điểm và tiếp tuyến qua một điểm .................................................... 44A. Tóm tắt lý thuyết ...................................................................................................................... 44B. Các ví dụ .................................................................................................................................... 45Dạng 2: Điều kiện tồn tại tiếp tuyến............................................................................................ 46A. Tóm tắt lý thuyết ...................................................................................................................... 46B. Các ví dụ .................................................................................................................................... 46Dạng 3: Hệ số góc của tiếp tuyến................................................................................................ 49A. Giới thiệu ................................................................................................................................... 49y f x f x x 0 0 Ta biết rằng là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ .Trong bài học này, chúng ta quan tâm nhiều hơn đến hệ số góc của tiếp tuyến. ............................ 49B. Các ví dụ .................................................................................................................................... 49Dạng 4: Một số tính chất hình học của tiếp tuyến....................................................................... 51A. Tóm tắt lý thuyết ...................................................................................................................... 51B. Một số ví dụ ............................................................................................................................... 51Dạng 5: Điều kiện tiếp xúc.......................................................................................................... 55A. Tóm tắt lý thuyết ...................................................................................................................... 55B. Một số ví dụ ............................................................................................................................... 55VẤN ĐỀ 7: CÁC BÀI TOÁN VỀ GIAO ĐIỂM CỦA 2 ĐƯỜNG CONG ............................... 58cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com3 Cung cấp bởicbook.vnVẤN ĐỀ 8: CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH................................................................. 62DẠNG ĐỐI VỚI HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ....................................................................... 62VẤN ĐỀ 9: CÁC CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG ................................................................................. 84DẠNG 1: CHỨNG MINH ĐỒ THỊ Y=F(X) CÓ TRỤC ĐỐI XỨNG....................................... 84DẠNG 2: CHỨNG MINH ĐỒ THỊ (C) CÓ TÂM ĐỐI XỨNG ................................................ 85C x y0 0; ) m ) DẠNG 3: Tìm tham số m để ( : y=f(x;m) nhận điểm I( là tâm đối xứng . ................ 87DẠNG 4: TÌM CÁC ĐIỂM ĐỐI XỨNG NHAU TRÊN ĐỒ THỊ ............................................. 88DẠNG 5: LẬP PHƯƠNG TRÌNH MỘT ĐƯỜNG CONG ĐỐI XỨNG VỚI MỘT ĐƯỜNGCONG QUA MỘT ĐIỂM HOẶC QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG ........................................... 94VẤN ĐỀ 11: ĐỒ THỊ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI ................................................... 100y f x y f x Dạng 1: Từ đồ thị (C) của hàm số , suy ra cách vẽ đồ thị (G) của ...... 100y f x y f x Dạng 2: . Từ đồ thị (C) của hàm số , suy ra cách vẽ đồ thị (H) của .... 101y f x y f x Dạng 3. Từ đồ thị (C) của hàm số , suy ra cách vẽ đồ thị (K) của ...... 102 Dạng 4. Từ đồ thị (C) của hàm số u xyv x , suy ra cách vẽ đồ thị (L) của u xyv x ........ 102 Dạng 5. Từ đồ thị (C) của hàm số u xyv x , suy ra cách vẽ đồ thị (M) của u xyv x . ...... 103 Dạng 6. Từ đồ thị (C) của hàm số u xyv x , suy ra cách vẽ đồ thị (N) của u xyv x ........ 104 Dạng 7. Từ đồ thị (C) của hàm số u xyv x , suy ra cách vẽ đồ thị (Q) của u xyv x . ...... 106 Dạng 8. Từ đồ thị (C) của hàm số u xyv x , suy ra cách vẽ đồ thị (R) của u xyv x ...... 107VẤN ĐỀ 12: DIỆN TÍCH – THỂ TÍCH (ÁP DỤNG TRONG THI TỐT NGHIỆP)............ 119B. 200 BÀI TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ CÓ ĐÁP ÁN ................................................................. 120KẾT LUẬN ...................................................................................................................................... 230cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com4 Cung cấp bởicbook.vnLỜI NÓI ĐẦUChương trình môn Toán ở trường THPT đã có nhiều thay đổi từ khi Bộ Giáo Dục vàĐào Tạo ban hành chương trình cải cách giáo dục. Tài liệu “Chuyên đề luyện thi phần khảosát hàm số và các bài toán liên quan” dùng cho khối trường THPT này được viết nhằm thíchứng với sự thay đổi ở trường phổ thông, vừa nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy ở khốitrường phổ thông.Toán là môn khó mà học sinh khối trường THPT đều phải trải qua, bao gồm nhữngvấn đề cơ bản trong chuyên ngành, đóng vai trò then chốt trong quá trình tư duy các môn họctương đương.Khi viết tài liệu này chúng tôi rất chú ý đến mối quan hệ giữa lý thuyết và bài tập. Đốivới người học môn Toán, hiểu sâu sắc lý thuyết phải vận dụng được thành thạo các phươngpháp cơ bản, các kết quả của cơ sở lý thuyết trong giải toán, làm bài tập và trong quá trìnhlàm bài tập người học sẽ phải hiểu sâu sắc lý thuyết hơn.Bộ tài liệu là công trình tập thể của nhóm tác giả biên soạn bao gồm: Th.S Hà ThịThúy Hằng (chủ biên), Cao Văn Tú và Ông Vũ Khắc Mạnh.Viết tài liệu này, chúng tôi đã tham khảo kinh nghiệm của nhiều đồng nghiệp đã giảngdạy môn Toán nhiều năm ở khối trường THPT. Chúng tôi xin chân thành cám ơn các nhàgiáo, các nhà khoa học đã đọc bản thảo và đóng góp ý kiến xác đáng.Chúng tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban Quản trị của trang cbook.vn đã tận tìnhphát triển và khẩn trương trong việc phát hành tài liệu này.Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp nhận xét của bạn đọc đối vớibộ tài liệu này. Các tác giảcbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com5 Cung cấp bởicbook.vnKIẾN THỨC CƠ BẢN, LÝ THUYẾT CHUNGVẤN ĐỀ 1: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐI. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN.1. Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm.x0 (a; b) Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và điểm nếu tồn tại giới hạn(Hữu hạn):0( ) ( 0 )lim0 x xf x f xx xthì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x0. Ký hiệu:0( ) ( 0 ) lim0 x xf x f xyx x2. Các quy tắc tính đạo hàm.2.1. Đạo hàm của các hàm số thường gặp : (u = u(x)) ( C ) = 0 ( C là hằng số ) ( x ) = 1 2 (xn) = nxn 1 với (n ; n N)21 1x x x 0 với 1 2xx với (x > 0) (un) = nun – 1u 21 uu u với u 0 u 2uu =2 x1 với (x > 0)2.2. Các qui tắc tính đạo hàm :u v u v uv u v v u v ku. à ku 2, . .vu v v uuv 2.3. Đạo hàm của hàm số hợp (g(x) = fu(x)g x f u u x . 3. Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm sốy f(x) Định lý: Cho hàm số : có đạo hàm trên KLÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁCCÂU HỎI PHỤ LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐcbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com6 Cung cấp bởicbook.vnx f f ( x ( ) x K ) 0 a) Nếu với mọi thì hàm số đồng biến trên K.x f f ( ( x) x K ) 0 b) Nếu với mọi thì hàm số nghịch biến trên K.f f ( ( x x ) ) (Chú ý: dương trên khoảng nào thì hàm số đồng biến trên khoảng đó;âm trên khoảng nào thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó.) Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số: Tìm tập xác định.x y 1 ; x2 ;......; f (x x ) n Tính đạo hàm tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0hoặc không xác định.x1 ; x2 ;......; xn Sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần, lập bảng biến thiên. Áp dụng định lý đưa ra các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.4. Phương pháp tìm cực trị của hàm số.K y ( x0 f h; x ( 0 x h ) ) Định lý. Giả sử hàm số : liên tục trên khoảng và cóK h x0 0 đạo hàm trên K hoặc , với .( ( f f x x 0 0 ( ( ; x x x ) 0 ) h; x h 0 0 0 ) ) a) Nếu trên khoảng và trên khoảngthìf x (x 0 ) là một điểm cực đại của hàm số .( f f x 0 ( ( x x ) ) h; x0 0 0 ) b) Nếu trên khoảng và trên khoảng(x f x 0 ; ( x0 x 0 ) h) thì là một điểm cực tiểu của hàm số .K x (x0 h 0 ; x0 h) (Chú ý: Nếu gọi là một lân cận của điểm thì ta phát biểuđịnh lý trên bằng lời như sau:f x x ( 0 0 x) a. Nếu đổi dấu từ dương sang âm trên lân cận của điểm thì là mộtf(x) điểm cực đại của hàm số .f x x ( 0 0 x) b. Nếu đổi dấu từ âm sang dương trên lân cận của điểm thì là mộtf(x) điểm cực tiểu của hàm số .) Bảng biến thiên minh họa định lý a)x x0h x0 x0+hf’(x) + f(x) fCĐb)x x0h x0 x0+hf’(x) +f(x) fCT Phương pháp tìm cực đai, cực tiểu của hàm số Tìm tập xác định.cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com7 Cung cấp bởicbook.vnx y 1 ; x2 ;......; f (x x ) n Tính đạo hàm tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0hoặc không xác định.x1 ; x2 ;......; xn Sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần, lập bảng biến thiên. Áp dụng định lý đưa ra các điểm cực đại, cục tiểu của hàm số.5. Phương pháp tìm đường tiệm cận.5.1 Đường tiệm cận ngang.Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn(a;),(; b), (;) ( là khoảng dạng: )y y0 Đường thẳng: được gọi là đường tiệm cận ngang của hàm số y = f(x) nếu ítnhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:lim f(x) y0x;lim f(x) y0x5.2 Đường tiệm cận đứng.Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn(a;),(; b), (;) ( là khoảng dạng: )x x0 Đường thẳng: được gọi là đường tiệm cận đứng của hàm số y = f(x) nếu ítnhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim ( )0f xx x ;lim ( )0f xx x lim ( )0f xx x ;lim ( )0f xx x;6. Dấu của nhị thức bậc nhất và dấu của tam thức bậc hai. 6.1 Dấu của nhị thức bậc nhất: f(x) = ax + b (a 0) Tìm nghiệm của phương trình ax + b = 0bax Bảng xét dấu:f(x) ax2 bx c (a 0 6.2 D ) ấu của tam thức bậc hai:
Trang 1cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.
Trang 2Liên hệ bộ môn: Cung c
MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU 4
KIẾN THỨC CƠ BẢN, LÝ THUYẾT CHUNG 5
VẤN ĐỀ 1: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ 5
VẤN ĐỀ 2: KHẢO SÁT MỘT SỐ HÀM ĐA THỨC VÀ HÀM PHÂN THỨC 9
VẤN ĐỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 14
Dạng 1: Phương pháp giải bài toán: 14
Tìm GTNN, GTLN của hàm số y = f(x) trên tập số D 14
Dạng 2: Phương pháp đổi biến số để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) (x thuộc tập xác định của hàm số hoặc thuộc một tập số cho trước) 14
Dạng 3: Tìm GTLN, NN của biểu thức M đối xứng với 2 biến x, y biết giả thiết cho x, y thỏa mãn một đẳng thức nào đó cũng đối xứng với x và y 17
Dạng 4: Tìm GTLN, NN của biểu thức M có 2 tính chất sau: 19
Dạng 5: Trường hợp biểu thức ban đầu không có dấu hiệu đổi biến, khi đó quy về việc tìm GTNN, GTLN bằng cách đổi biến số đối với một biểu thức trung gian 20
VẤN ĐỀ 4: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 22
Dạng 1: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 22
Dạng 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ 24
VẤN ĐỀ 5: SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 31
DẠNG 1: SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ KHÔNG CHỨA THAM SỐ 31
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 31
B MỘT SỐ VÍ DỤ 31
DẠNG 2: SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ CHỨA THAM SỐ 33
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 33
B MỘT SỐ VÍ DỤ 35
DẠNG 3: ỨNG DỤNG SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ ĐỂ XÉT PHƯƠNG TRÌNH 38
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 38
B MỘT SỐ VÍ DỤ 38
VẤN ĐỀ 6: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC 44
Dạng 1: Tiếp tuyến tại một điểm và tiếp tuyến qua một điểm 44
A Tóm tắt lý thuyết 44
B Các ví dụ 45
Dạng 2: Điều kiện tồn tại tiếp tuyến 46
A Tóm tắt lý thuyết 46
B Các ví dụ 46
Dạng 3: Hệ số góc của tiếp tuyến 49
A Giới thiệu 49
Ta biết rằng f ' x0 là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm có hoành độ x 0 Trong bài học này, chúng ta quan tâm nhiều hơn đến hệ số góc của tiếp tuyến 49
B Các ví dụ 49
Dạng 4: Một số tính chất hình học của tiếp tuyến 51
A Tóm tắt lý thuyết 51
B Một số ví dụ 51
Dạng 5: Điều kiện tiếp xúc 55
A Tóm tắt lý thuyết 55
B Một số ví dụ 55
VẤN ĐỀ 7: CÁC BÀI TOÁN VỀ GIAO ĐIỂM CỦA 2 ĐƯỜNG CONG 58
Trang 3cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.
VẤN ĐỀ 8: CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH 62
DẠNG ĐỐI VỚI HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ 62
VẤN ĐỀ 9: CÁC CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG 84
DẠNG 1: CHỨNG MINH ĐỒ THỊ Y=F(X) CÓ TRỤC ĐỐI XỨNG 84
DẠNG 2: CHỨNG MINH ĐỒ THỊ (C) CÓ TÂM ĐỐI XỨNG 85
DẠNG 3: Tìm tham số m để (C m): y=f(x;m) nhận điểm I(x y là tâm đối xứng 870; 0) DẠNG 4: TÌM CÁC ĐIỂM ĐỐI XỨNG NHAU TRÊN ĐỒ THỊ 88
DẠNG 5: LẬP PHƯƠNG TRÌNH MỘT ĐƯỜNG CONG ĐỐI XỨNG VỚI MỘT ĐƯỜNG CONG QUA MỘT ĐIỂM- HOẶC QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG 94
VẤN ĐỀ 11: ĐỒ THỊ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 100
Dạng 1: Từ đồ thị (C) của hàm số y f x , suy ra cách vẽ đồ thị (G) của y f x 100
Dạng 2: Từ đồ thị (C) của hàm số y f x , suy ra cách vẽ đồ thị (H) của y f x 101
Dạng 3 Từ đồ thị (C) của hàm số y f x , suy ra cách vẽ đồ thị (K) của y f x 102
Dạng 4 Từ đồ thị (C) của hàm số u x y v x , suy ra cách vẽ đồ thị (L) của u x y v x 102
Dạng 5 Từ đồ thị (C) của hàm số u x y v x , suy ra cách vẽ đồ thị (M) của u x y v x 103
Dạng 6 Từ đồ thị (C) của hàm số u x y v x , suy ra cách vẽ đồ thị (N) của u x y v x 104
Dạng 7 Từ đồ thị (C) của hàm số u x y v x , suy ra cách vẽ đồ thị (Q) của u x y v x 106
Dạng 8 Từ đồ thị (C) của hàm số u x y v x , suy ra cách vẽ đồ thị (R) của u x y v x 107
VẤN ĐỀ 12: DIỆN TÍCH – THỂ TÍCH (ÁP DỤNG TRONG THI TỐT NGHIỆP) 119
B 200 BÀI TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ CÓ ĐÁP ÁN 120
KẾT LUẬN 230
Trang 4Liên hệ bộ môn: Cung c
LỜI NÓI ĐẦU
Chương trình môn Toán ở trường THPT đã có nhiều thay đổi từ khi Bộ Giáo Dục và
Đào Tạo ban hành chương trình cải cách giáo dục Tài liệu “Chuyên đề luyện thi phần khảo
sát hàm số và các bài toán liên quan” dùng cho khối trường THPT này được viết nhằm thích
ứng với sự thay đổi ở trường phổ thông, vừa nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy ở khối
trường phổ thông
Toán là môn khó mà học sinh khối trường THPT đều phải trải qua, bao gồm những
vấn đề cơ bản trong chuyên ngành, đóng vai trò then chốt trong quá trình tư duy các môn học tương đương
Khi viết tài liệu này chúng tôi rất chú ý đến mối quan hệ giữa lý thuyết và bài tập Đối với người học môn Toán, hiểu sâu sắc lý thuyết phải vận dụng được thành thạo các phương
pháp cơ bản, các kết quả của cơ sở lý thuyết trong giải toán, làm bài tập và trong quá trình
làm bài tập người học sẽ phải hiểu sâu sắc lý thuyết hơn
Bộ tài liệu là công trình tập thể của nhóm tác giả biên soạn bao gồm: Th.S Hà Thị
Thúy Hằng (chủ biên), Cao Văn Tú và Ông Vũ Khắc Mạnh
Viết tài liệu này, chúng tôi đã tham khảo kinh nghiệm của nhiều đồng nghiệp đã giảng dạy môn Toán nhiều năm ở khối trường THPT Chúng tôi xin chân thành cám ơn các nhà
giáo, các nhà khoa học đã đọc bản thảo và đóng góp ý kiến xác đáng
Chúng tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban Quản trị của trang cbook.vn đã tận tình
phát triển và khẩn trương trong việc phát hành tài liệu này
Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp nhận xét của bạn đọc đối với
bộ tài liệu này
Các tác giả
Trang 5cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.
KIẾN THỨC CƠ BẢN, LÝ THUYẾT CHUNG
VẤN ĐỀ 1: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
I MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và điểm x0(a;b) nếu tồn tại giới hạn
(Hữu hạn):
0
0) ( ) ( lim
x f x fx
x f x f y
3 Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số
* Định lý: Cho hàm số : y f (x ) có đạo hàm trên K
LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC CÂU HỎI PHỤ LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
Trang 6Liên hệ bộ môn: Cung c
a) Nếu f ' ( x ) 0 với mọi x K thì hàm số f (x ) đồng biến trên K
b) Nếu f ' ( x ) 0 với mọi x K thì hàm số f (x ) nghịch biến trên K
(Chú ý: f ' x ( ) dương trên khoảng nào thì hàm số đồng biến trên khoảng đó; f ' x ( )
âm trên khoảng nào thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó.)
* Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số:
- Tìm tập xác định
- Tính đạo hàm y ' f ' ( x ) tìm các điểm x1; x2; ; xn mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định
- Sắp xếp các điểm x1; x2; ; xn theo thứ tự tăng dần, lập bảng biến thiên
- Áp dụng định lý đưa ra các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
4 Phương pháp tìm cực trị của hàm số
* Định lý Giả sử hàm số : y f (x ) liên tục trên khoảng K (x0h;x0 h) và có
đạo hàm trên K hoặc K \ x 0 , với h 0
a) Nếu f ' ( x ) 0 trên khoảng (x0 h;x0) và f ' ( x ) 0 trên khoảng (x0;x0 h)
thì x0là một điểm cực đại của hàm số f (x )
b) Nếu f ' ( x ) 0 trên khoảng (x0 h;x0) và f ' ( x ) 0 trên khoảng
)
;
(x0 x0 h thì x0là một điểm cực tiểu của hàm số f (x )
(Chú ý: Nếu gọi K (x0 h;x0 h) là một lân cận của điểm x thì ta phát biểu 0định lý trên bằng lời như sau:
a Nếu f ' x ( ) đổi dấu từ dương sang âm trên lân cận của điểm x thì 0 x0là một điểm cực đại của hàm số f (x )
b Nếu f ' x ( ) đổi dấu từ âm sang dương trên lân cận của điểm x thì 0 x0là một điểm cực tiểu của hàm số f (x ).)
* Bảng biến thiên minh họa định lý
fCT
* Phương pháp tìm cực đai, cực tiểu của hàm số
- Tìm tập xác định
Trang 7cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.
- Sắp xếp các điểm x1; x2; ; xn theo thứ tự tăng dần, lập bảng biến thiên
- Áp dụng định lý đưa ra các điểm cực đại, cục tiểu của hàm số
5 Phương pháp tìm đường tiệm cận
5.1 Đường tiệm cận ngang
Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn
( là khoảng dạng: ( a ; ), ( ; b ), ( ; ))
Đường thẳng: y y0 được gọi là đường tiệm cận ngang của hàm số y = f(x) nếu ít
nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
0
) (
Đường thẳng: x x0 được gọi là đường tiệm cận đứng của hàm số y = f(x) nếu ít
nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
lim
0
x f
x x
lim
0
x f
x x
) (
lim
0
x f
x x
+ Nếu phương trình (*) vô nghiệm ( 0 ) thì f(x) luôn cùng dấu a
+ Nếu phương trình (*) có nghiệm kép ( 0 )
a
b x
Trang 8Liên hệ bộ môn: Cung c
- Chiều biến thiên:
+) Tính đạo hàm y ' f ' ( x ) tìm các điểm x1; x2; ; xn mà tại đó đạo hàm bằng
0 hoặc không xác định Xét dấu đạo hàm y ' f ' ( x )
+) Từ bảng xét dấu suy ra chiều biến thiên của hàm số
- Tìm cực trị ( dựa vào bảng dấu của y ' )
- Tính giới hạn ( Tính các giới hạn tại vô cực và tại các điểm không xác định của hàm số; tìm đường tiệm cận nếu có)
- Lập bảng biến thiên của hàm số
* Đồ thị:
- Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố đã xác định vẽ đồ thị hàm số
- Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung
- Tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành
- Tính thêm một số điểm đặc biệt
- Chú ý đến tính chẵn, lẻ, tính đối xứng của đồ thị Tính tuần hoàn của hàm số
Trang 9cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.
VẤN ĐỀ 2: KHẢO SÁT MỘT SỐ HÀM ĐA THỨC VÀ HÀM PHÂN THỨC
1 Khảo sát hàm đa thức bậc ba: ( Dạng y = ax 3 +bx 2 + cx +d (a0) )
1.1 Sơ đồ khảo sát hàm số: y = ax 3
+bx 2 + cx +d (a0)
* Tập xác định: D R
* Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: Tính y '
Giải phương trình: y ' 0 xét dấu y ' đưa ra chiều biến thiên của hàm số
- Đưa ra các giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số ( dựa vào bảng dấu của y ' )
- Xác định các yếu tố đã biết trên trục tọa độ Oxy
- Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung: cho x = 0 tìm y
- Tìm giao điểm của đồ thị vơi trục hoành: Cho y = 0 Giải phương trình
0
2
3 bx cx d
ax Tìm x ( Nếu giải phương trình khó quá ta không cần thực
hiện bước này)
- Tìm tâm đối xứng của đồ thị: tính y’’ giải phương trình y’’ = 0 tìm nghiệm x I và
tính yI f ( xI) điểm I ( xI; yI) là tâm đối xứng của đồ thị
- Lấy thêm một vài điểm (nếu cần)
Trang 10Liên hệ bộ môn: Cung c
O
x y
O
x y
O
x y
- Chiều biến thiên: Tính y '
Giải phương trình: y ' 0 xét dấu y ' đưa ra chiều biến thiên của hàm số
Trang 11cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.
- Xác định các yếu tố đã biết trên trục tọa độ Oxy
- Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung: cho x = 0 tìm y
- Tìm giao điểm của đồ thị vơi trục hoành: Cho y = 0 Giải phương trình
2.2 Chú ý : Khi xét dấu của đạo hàm y’
* Nếu phương trình y’ = 0 có một nghiệm là x0 ta có bảng xét dấu của y’ như sau:
y’ Trái dấu a 0 Cùng dấu a
*Nếu phương trình y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt là x1; x2 ; x3
(giả sử: x1< x2 < x3 ) ta có bảng xét dấu của y’ như sau:
O
x y
Trang 12Liên hệ bộ môn: Cung c
O
x y
O
3 Khảo sát hàm phân thức dạng:
d cx
b ax y
b ax y
0, ad bc0
d c
b a E c
'
d cx
E y
+) Nếu E > 0 y ' 0 x D Hàm số luôn đồng biến trên D
+) Nếu E < 0 y ' 0 x D Hàm số luôn nghịch biến trên D
b ax y
Trang 13cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.
+
-
c a
* Đồ thị:
- Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung: cho x = 0 tìm y
- Tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành: cho y =0 Giải phương trình:
0
d cx
b ax
3.3 Các dạng của hàm số phân thức dạng:
d cx
b ax y
0, adbc0
d c
b a E c
x
y
I O
Trang 14Liên hệ bộ môn: Cung c
VẤN ĐỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Dạng 1: Phương pháp giải bài toán:
- KL: Số lớn nhất (nhỏ nhất) trong các số trên là GTLN, (NN) của f(x) trên [a; b]
Lưu ý 2: Khi KL về GTLN, GTNN tìm được phải nêu rõ nó đạt được khi x nhận giá trị
nào
Dạng 2: Phương pháp đổi biến số để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) (x thuộc tập
xác định của hàm số hoặc thuộc một tập số cho trước)
Bước 1 Lựa chọn cách đặt ẩn phụ t theo x
Bước 2 Chuyển ĐK của biến số x sang ĐK của biến số t Giả sử tìm được tK
Bước 3 Chuyển bài toán ban đầu thành bài toán mới đơn giản hơn Cụ thể là: Tìm
GTLN, GTNN của hàm số f(t) trên tập số K
Ví dụ 1: Tìm GTNN, GTLN của hàm số 2sin 1
x y
Trang 15cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.
Mặc dù đã lựa chọn biến mới: t = sinx hợp lí nhưng chưa tìm điều kiện cho nó dẫn
đến bài toán tìm GTNN, GTLN của hàm số theo biến số mới ( ) 2 1
Đặt t = sinx, điều kiện 1 t 1
Bài toán quy về tìm GTNN, GTLN của hàm số
2
1( )
Từ bảng biến thiên suy ra GTNN, GTLN của hàm số f(t) trên đoạn 1;1 lần lượt là 0
(khi và chỉ khi t = -1) và 1 (khi và chỉ khi t = 0)
Trang 16Liên hệ bộ môn: Cung c
Nếu biểu thức xác định của hàm số có thể phân chia thành các nhóm số hạng và giữa
chúng có một mối liên hệ cho bởi các hệ thức toán học cho phép biểu diễn chúng qua nhau
thì ta có thể đưa bài toán đó về bài toán đơn giản hơn bằng phương pháp đổi biến số
Mối liên hệ giữa các nhóm số hạng trong biểu thức xác định hàm số ở ví dụ trên là rõ
ràng dễ thấy, điều này giúp ta phát hiện cách đổi biến số không mấy khó khăn, tuy nhiên có
những trường hợp mối liên hệ giữa các nhóm số hạng được ẩn kín bên trong, đòi hỏi nhiều
phép biến đổi và có cách nhìn tinh mới phát hiện ra được
Ví dụ 2: Tìm GTNN và GTLN của hàm số y = sinx + cosx + sinx cosx
Nhận xét và hướng dẫn giải
Xét mối liên hệ giữa hai nhóm số hạng: sinx + cosx và sinx cosx,
Chúng có mối liên hệ với nhau bởi hệ thức dễ thấy sau
(sinx + cosx) 2 = sin 2 x + cos 2 x + 2sinx cosx = 1 + 2sinx cosx,
Nhận xét đó gợi cho ta suy nghĩ, đặt ẩn phụ sin cos 2 sin
4
u x x x
, với điều
kiện của biến số mới là 2 u 2
Khi đó sin cos 2 1
Trang 17cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.
Để tìm điều kiện cho biến số t ta lưu ý rằng t2 4 2 (x1)(3x) 4, x 1;3, từ
đó suy ra 2 t 2.(hoặc lập BBT của hàm số t x( ) x 1 3x trên D 1;3 để suy ra
Dạng 3: Tìm GTLN, NN của biểu thức M đối xứng với 2 biến x, y biết giả thiết cho x, y
thỏa mãn một đẳng thức nào đó cũng đối xứng với x và y
2 Biểu diễn giả thiết M theo S và P (1)
3 Biểu diễn biểu thức M theo S và P rồi kết hợp với (1) để biểu diễn M theo 1 biến S
5 Tìm GTLN, NN của biểu thức M với điều kiện tìm được của biến số tìm được ở bước 4
Lưu ý: Cách tìm ĐK ở bước 4 chỉ áp dụng khi cho x, y bất kỳ Ví dụ nếu giả thiết cho thêm
x > 0, y > 0 thì phải lưu ý S > 0 và P > 0 để tìm ĐK cho chính xác
Trang 18Liên hệ bộ môn: Cung c
Ta có: M = (xy) 3 – 3xy (x + y) + (x + y) 3 + 1 = (xy) 3 – 3xy + 2 = P 3 – 3P + 2
Lại có 1 = S2 4P suy ra: 1
Từ bảng biến thiên suy ra GTNN không tồn tại còn GTLN của Q bằng 4, đạt được khi
Ta có: M = 2(x + y)(x 2 + y 2 – xy) – 3xy = 2(x + y)(2 – xy) – 3xy (6a),
Ngoài ra biến đổi giả thiết của bài toán ta có: x 2 + y 2 = 2(x + y) 2 – 2xy = 2 (6b)
Qua các phân tích trên thấy rằng nếu đặt t = x + y sẽ biểu diễn được xy theo biến t, từ
đó biểu diễn được biểu thức M theo t
, kết hợp với (6a) ta biểu diễn được biểu
thức ban đầu theo t là: 3 3 2
Trang 19cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.
Dạng 4: Tìm GTLN, NN của biểu thức M có 2 tính chất sau:
Tính chất 1: M phụ thuộc vào 2 trong 3 đại lượng: x + y + z, xy + yz + zx hoặc x 2 + y 2 + z 2
Tính chất 2: Giả thiết cho trước giá trị của một trong 3 đại lượng: x + y + z, xy + yz + zx
hoặc x 2 + y 2 + z 2
Cách giải:
1 Giả sử biểu thức M có mặt 2 trong 3 đại lượng nêu trên, khi đó có thể đặt một trong
hai đại lượng của biểu thức M là ẩn phụ t rồi dùng giả thiết của bài toán đã cho và kết hợp
hằng đẳng thức (x + y + z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 – 2xy – 2yz – 2zx để biểu diễn đại lượng còn lại
theo t
2 Tìm ĐK cho t ta thường dùng một trong ba BĐT sau:
x 2 + y 2 + z 2 xy + yz + zx hoặc (x + y + z) 2 3(xy + yz + zx) hoặc 3(x 2 + y 2 + z 2 ) (x + y
+ z) 2
3 Quy về bài toán đơn giản
Ví dụ: Cho x, y , z thỏa mãn x 2 + y 2 + z 2= 1. Tìm GTLN, NN của R = x 3 + y 3 + z 3 – 3xyz
, kết hợp với (7a) ta biểu diễn
được biểu thức ban đầu theo t là: R(t) = 1
2(3t – t
3 )
Dễ dàng CM: x 2 + y 2 + z 2 xy + yz + zx, từ đó suy ra
2 112
t suy ra 3 t 3
Tìm GTLN, NN của R(t) trên đoạn 3; 3, được: Max(R) = 1 ; Min(R) = -1
Trang 20Liên hệ bộ môn: Cung c
Dạng 5: Trường hợp biểu thức ban đầu không có dấu hiệu đổi biến, khi đó quy về việc tìm
GTNN, GTLN bằng cách đổi biến số đối với một biểu thức trung gian
Ý tưởng: Nếu tìm GTLN, NN của biểu thức M không có dấu hiệu đổi biến số nhưng đánh
giá được M N thì thay vì tìm GTLN, NN của M ta đi thực hiện bài toán: tìm GTLN, NN
của biểu thức trung gian N
Rõ ràng không có dấu hiệu nào để biểu diễn các biến số của biểu thức cho trong bài
toán theo một biến số mới, ta sẽ tìm GTNN của biểu thức M ban đầu thông qua việc tìm
GTNN của một biểu thức trung gian T, biểu thức này được xác định qua lập luận sau:
+ Trước hết theo BĐT Cô si ta có
Trang 21cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.
34)(
)(
y x
Vì P > 0 với mọi x, y > 0 nên P đạt GTNN khi và chỉ khi P 2 đạt GTNN
Kết hợp với giả thiết x + y = 1, ta có:
)
()(32
132
1
23)()(1
2)
1)(
1(
21
1
3 2
2 2
2
2
xy t t f t
t
xy
xy
xy xy
xy y
x y x xy y x
xy x
y y
x y x
xy y
y x
04)(xy 2 xy t xy
Chứng minh được hàm số f(t) nghịch biến trên đoạn
Trang 22Liên hệ bộ môn: Cung c
- Dựa vào đấu của f xi suy ra tính chất cực trị của điểm xi
Ví dụ: Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
Trang 23cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.
Trang 24Liên hệ bộ môn: Cung c
+ f k 2cos k 4cos 2 k 2cos k 4 0
HS đat cực tiểu tại các điểm x k ,
Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là: y x
( Vì toạ độ của điểm cực trị M x y ; thoả pt f x 0, nên từ (*) ta suy ra
y x )
Trang 25cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.
Trang 26Liên hệ bộ môn: Cung c
Trang 27cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.
Trang 28Liên hệ bộ môn: Cung c
12
song với đường thẳng y 3 x 4
Trang 29cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.
Trang 30Liên hệ bộ môn: Cung c
b) Hàm số có 2 giá trị cực trị trái dấu khi và chỉ khi:
y 0 có 2 nghiệm phân biệt
Đồ thị không cắt trục ox ( Pt y0 vô nghiệm)
m m
y 0 có 2 nghiệm phân biệt
y0 có 2 nghiệm phân biệt (đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt)
m m
Trang 31cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.
Chương trình lớp 10 đã đề cập đến khái niệm hàm đồng biến, hàm nghịch biến, hàm đơn
điệu trên một khoảng Ở đây, tôi không nhắc lại các khái niệm ấy mà chỉ đề cập đến việc xét
sự biến thiên của hàm số bằng cách dùng đạo hàm
1 Quy tắc xét sự biến thiên bằng đạo hàm
Định lý: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng a b; Khi đó
f ' x 0 x a b; f đồng biến trên a b; ;
f ' x 0 x a b; f nghịch biến trên a b; ;
f ' x 0 x a b; f không đổi trên a b;
Nhận xét: Từ đinh lý trên, ta thấy việc xét sự biến thiên của hàm số thực chất là xét dấu của
đạo hàm Như vậy ta cần nắm được
Quy tắc xét dấu của nhị thức bậc nhất;
Quy tắc xét dấu của tam thức bậc hai;
Quy tắc xét dấu của một biểu thức
2 Quy tắc xét dấu một biểu thức
Giả sử hàm yg x không xác định hoặc triệt tiêu tại các điểm x1, x2, …, x n đôi một khác
nhau và x1x2 x n Ký hiệu I là một trong các khoảng ; x1, x x1; 2, …, x n1;x n,
x n; Khi nó nếu g liên tục trên I thì không đổi dấu trên đó
B MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1 Xét sự biến thiên của hàm số 2 1
1
x x y
2'
1
x x y
x
Ta thấy với mọi xTXĐ, dấu của y' chính là dấu
của tam thức bậc hai 2
2
x x Ta có bảng biến thiên của hàm số như sau:
Trang 32Liên hệ bộ môn: Cung c
+∞
+∞
∞_
0
00
11
x x
Kết luận f đồng biến trên ;0 và 2;, nghịch biến trên 0;1 và 1; 2
Ví dụ 2 Xét chiều biến thiên của hàm số 2
x y
x Do đó với mọi x 1;1, y' trái dấu
với x Ta có bảng biến thiên của hàm số như hình
bên
+
_
_0
1
00
10
1_
y
y'
+∞
∞x
Kết luận hàm số đồng biến trên 1;0, nghịch biến trên 0;1
Ví dụ 3 Xét sự biến thiên của hàm số y 1 x 1 x
Do đó với mọi x 1;1, y' trái dấu với x Ta
có bảng biến thiên của hàm số như hình bên
2
+
_
_0
2
2
10
1_
y
y'
+∞
∞x
Kết luận hàm số đồng biến trên 1;0, nghịch biến trên 0;1
Nhận xét Trong các ví dụ trên, việc xét dấu đạo hàm được thực hiện bằng các quy tắc xét
dấu cơ bản (nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai, đa thức) Trong ví dụ sau, ta sẽ xét dấu của
đạo hàm bằng cách giải một bất phương trình
Ví dụ 4 Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số 2
y x x
Giải Ta thấy xTXÑ 2
1 x 0 x 1;1 Vậy TXÑ 1;1
Trang 33cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.
f x
f ' x ( )
+∞
∞ x
Kết luận hàm đã cho đồng biến trên 1; 2
Kết luận: hàm số đồng biến trên 0; 2 , nghịch biến trên 2;6
DẠNG 2: SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ CHỨA THAM SỐ
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Trang 34Liên hệ bộ môn: Cung c
Đồng biến trên các khoảng ; x1 và x2;;
Nghịch biến trên khoảng x x1; 2
0 Đồng biến trên
Nghịch biến trên các khoảng ; x1 và x2;;
Đồng biến trên khoảng x x1; 2
a b Sự biến thiên của y
0 y nghịch biến trên ;0, đồng biến trên ;0;
Nghịch biến trên các khoảng ; 2b
Trang 35cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.
ad bc 0 y đồng biến trên từng khoảng xác định;
ad bc 0 y nghịch biến trên từng khoảng xác định
2 Điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng
f đồng biến (nghịch biến) trên a b; f có ít nhất một khoảng đồng biến (nghịch biến)
và a b; là tập con của một khoảng đồng biến (nghịch biến) nào đó
y x m Ta có hai trường hợp sau
Trường hợp 1 m0 y' 0 x hàm số đồng biến trên
Trường hợp 2 m0 y' có hai nghiệm phân biệt 1
Trang 36Liên hệ bộ môn: Cung c
m m
m m
Do đó hàm số có hai khoảng nghịch biến là
; x1 và x2; (xem bảng biến thiên)
Hàm số nghịch biến trên 0;
0; x2; x2 0
1 m 1 0 m Tóm lại hàm số đã cho nghịch biến trên
đồng biến trên 0;
Trang 37cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.
Ví dụ 6 Tìm m để hàm số 1
4
mx y
44
m y
Trang 38Liên hệ bộ môn: Cung c
ym với đồ thị (C) của hàm số y f x Sau đây là
B MỘT SỐ VÍ DỤ
1) Tìm m để (1) có nghiệm
2) Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt
Giải Điều kiện: x1 Xét f x x 1x, x1 Ta có
3 4
1 _
4
m ; 2) 1 có 2 nghiệm phân biệt đường thẳng ym
có 2 điểm chung với đồ thị hàm số y f x
Trang 39cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.
2 +
Trang 40Liên hệ bộ môn: Cung c
2 0
1 có 6 nghiệm phân biệt 0 m 1
Ví dụ 5 [ĐHB07] Chứng minh với mọi giá trị dương m , phương trình sau có hai nghiệm
thực phân biệt:
2
Ví dụ 6 [ĐHD04] Chứng minh phương trình sau có đúng 1 nghiệm
