Chứng minh rằng trọng tâm của các tam giác ABC, CDA, BCD, DAB cùng nằm trên một đường tròn.. Gọi M là trung điểm của SC, P là mặt phẳng qua AM và song song với BD.
Trang 1Sở GD và ĐT Bắc Ninh ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
TRƯỜNG THPT QUẾ VÕ 1 NĂM HỌC 2010 – 2011
Môn: Toán – Khối: 11
( Đề thi gồm có 1 trang) Thời gian làm bài: 150 phút(Không kể thời gian phát đề)
CÂU I: (2 điểm)
1 Tìm tập xác định của hàm số sau: y=
sinx sin(2x ) sin( 3x)
2 Tìm Tập giá trị của hàm số y= 2cos x 3sinx
cos x 2sinx 5
(*)
CÂU II: (2 điểm)
1 Giải phương trình sau: 2cos x cos2x sinx 03
2 Cho A,B, C là 3 góc của tam giác Chứng minh rằng:
cos A cos B cosC sin sin sin
(1) khi và chỉ khi tam giác ABC nhọn
C ÂU III: (2 điểm)
1.Tìm ảnh của đường tròn (C): x2+y2-2x+4y-1=0 qua phép tịnh tiến theo véc tơ v (1; 2)
2.Cho tứ Giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn Chứng minh rằng trọng tâm của các tam giác ABC, CDA, BCD, DAB cùng nằm trên một đường tròn
CÂU IV: (2 điểm)
1 Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau
2 Tìm hệ số của x5 trong khai triển: (1 x x ) 2 8
CÂU V: (2 điểm)
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là trung điểm của SC, (P) là mặt phẳng qua AM và song song với BD
1 Xác định E,F lần lượt là giao điểm của SB,SD với (P)
2 Gọi K là giao điểm của ME với CB, J là giao điểm của MF với CD.Tính EF
KJ
-hết -(Thí sinh không được sử dụng tài liệu trong quá trình làm bài)
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2010 -2011
Môn: Toán - Khối: 11 Người soạn: Nguyễn Thị Kim Anh (Hướng dẫn chấm gồm 4 trang)
m
I 1.(1 Điểm)
+ Hàm số có nghĩa
sin(2x ) sin( 3x)
2
60 5 ;k,l 5
4
+ KL:
2.(1 Điểm)
+ TXĐ: D=
+ (*) (y 2)cos x (2y 3)sinx 5y 0 (**)
+ y là 1 giá trị của hàm số (**) có nghiệm x (y 2) 2 (2y 3) 2 (5y)2
2 20y 8y 13 0
y
Vậy TGT của hàm số là 2 61 2; 61
0,25
0,25
0,25
0,25 0,25 0,25
0,25
0,25
II 1.(1 Điểm)
2
2cos x cos2x sinx 0 2cos x cos x sin x sinx 0
cos x(2cos x 1) sinx(1 sinx) 0 (1 sinx)[(1 sinx)(2cos x 1) sinx] 0 (1 sinx)(sinx cos x)(sinx cos x 2) 0
sinx cos x 0 t anx 1
x 4
(k,l )
0,25
0,25
0,5
Trang 32.( Điểm)
+ Nếu ABC có 1 góc tù, giả sử A B C
2
Khi đó tanC1 và
C
0 sin cosC
2
2sin cos
C cosC sin cos A cosB cos A cossB
2
cos A cosB cosC cosC sin sin sin sin
đúng
+ Nếu ABC vuông (1) không tồn tại
+ Nếu ABC nhọn thì:cos A 0;cos B 0;cosC 0
cos A cos B cosA cossB cosA cos B sin cos sin
Tương tự:
;
cos B cosC sin cosC cos A sin
0,25
0,25
0,25
0,25
III 1.(1 Điểm)
+ Gọi (C’) là ảnh của đường tròn (C) cần tìm
+ Với mỗi điểm M’(x’;y’)(C’) tồn tại duy nhất điểm M(x;y)(C)
sao cho T : Mv M' Vậy
'
Mà M(C)nên (x’-1)2+(y’+2)2-2(x’-1)+4(y’+2)-1=0
x’2+y’2-4x’+8y’+14=0
+ Phương trinhg đường tròn cần tìm là: x2+y2-4x+8y+14=0
2.(1 Điểm)
O M K
L
C B
A
D P
Gọi K,L lần lượt là trung điểm của AC và BD, M là trung điểm của KL; O là trọng
tâm ABC; P là trung điểm BO PL / /OD PO=OK O,M,D thẳng hàng
0,25 0,25
0,25 0,25
0,25
Trang 4 OM là đường trung bình của PKL OM 1
PL 2
OD 2 OD 4 MD 3 3
1 (M, ) 3
Tương tự đối với trọng tâm của các CDA, BCD, DAB
Ta được tứ giác tạo bởi 4 trọng tâmấy là ảnh của tứ giác ABCD qua 1
(M, ) 3
V
Mà ABCD nội tiếp nên ta có đpcm
0,25
0,25
0,25
IV 1.(1 Điểm)
+ Gọi số cần lập có dạng abcde ; a 0,a,b,c,d,e 0,1,2,3,4,5
+ Nếu e = 0 Có 1 cách chọn e
Có 4
5
A cách chọn các vị trí còn lại Có A cách chọn số có dạng abcd045
+ Nếu e 0 Có 2 cách chọn e
Có 4 cách chọn a
Có 3
4
A cách chọn các vị trí còn lại
Có 2.4.A cách chọn số có dạng abcde ; e 034
A 2.4.A 312 cách chọn số cần tìm
2.(1 Điểm) Ta có
8 k
k i i 2k i
8 k
k 0 i 0
(1 x x ) C (x x) C x (x 1)
C C ( 1) x
2k i 5
với 8 k i 0; k,i
Hệ số của x5 trong khai triển (1 x x ) 2 8 là: -(C C3 18 3 C C84 34 C C )85 55 504
0,25 0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25 0,25
V 1.(1 Điểm)
Trang 5K
E
F
I
O
M
B
A
S
+ Gọi O AC BD; I SO AM
Ta có
(P) / /BD
(P) (SBD) Ix
Trong (SBD) dựng Ix//BD
Ix SB E; Ix SD=F
E=SB (P); F=SD (P)
2.(1 Điểm)
Ta có J,A,K (P) và J,A,K (ABCD) J,A,K thẳng hàng
(P) / /BD
(P) (ABCD) JA
BD / /KJ
Mà EF//BD JA / /EF
EF=2BD
3 ( vì theo cách dựng I là trọng tâm SBD)
BD//KJ; OC=OA KJ 2BD
Vậy EF 1
KJ 3
0,25 0,25
0,25 0,25 0,25
0,25
0,25
0,25
(Các cách giải khác với hướng dẫn nếu đúng vẫn cho điểm tối đa)