Giải pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

2, Mục đích nghiên cứu : Nắm được cách giải toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số bằng các phương pháp giải 3, Nhiệm vụ nghiên cứu : Phân loại và đưa

1,Lý do chọn giải pháp :

Bất đẳng thức được coi là câu khó nhất trong các đề thi Đại học môn toán và các đề thi học sinh giỏi Đa phần giáo viên không chú trọng tới phần tới câu bất đẳng thức Điều này dẫn tới một thực trạng là học sinh rất sợ câu bất đẳng thức Thực ra với một đề tài hay và khó này , lựa chọn bỏ qua nó đúng là đơn giản nhưng đã bao giờ bạn nghĩ tới chuyện dũng cảm đối đầu với khó khăn để có thể vượt qua chính bản thân mình ?

Nếu thực sự mong muốn như vậy thì tập giải pháp này xin được giành cho bạn một cách trân trọng nhất , nó là kinh nghiệm đúc kết của bản thân tôi sau nhiều năm công tác giảng dạy , nghiên cứu về đề tài bất đẳng thức Những con đường

tư duy, những kỹ năng quan trọng , những thuật toán hiệu quả nhất sẽ được chia

sẻ

Trên thực tế , không các giáo viên và học sinh dù đã được xây dựng cho mình nền kiến thức khá chắc chắn , nhưng vẫn khó khăn trước những bài toán bất đẳng thức cơ bản nhất Bạn có thể có kiến thức , nhưng việc xâu chuỗi và sử dụng kiến thức đó nói cách khác là khả năng vận dụng để thu được lời giải lại là vấn đề khác Tập giải pháp này sẽ đưa ra các kỹ thuật các phương pháp giải cho từng dạng Toán

2, Mục đích nghiên cứu :

Nắm được cách giải toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số bằng các phương pháp giải

3, Nhiệm vụ nghiên cứu :

Phân loại và đưa ra các phương pháp giải bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất bằng các phương pháp giải : như sử dụng bất đẳng thức , lượng giác hoá và các phương pháp xét chiều biến thiên hàm số (sử dụng

đạo hàm)

4, Phương pháp nghiên cứu :

+Nghiên cứu lý luận dạy học về bài tập toán để vận dụng vào hoạt động dạyhọc Nghiên cứu chương trình toán THPTbao gồm : SGK lớp 10,11,12 về phần bất đẳng thức , đạo hàm và tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất và một số sách tham khảo khác

-Sử dụng các đề thi đậi học của 10 năm gần đây

Phần 2: Nội dung

A : CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN VẤN ĐỀ CẦN NGHIÊN CỨU

Chúng ta đang sống trong sống trong thời đại của sự bùng nổ tri thức khoa học và công nghệ Xã hội mới phồn vinh ở thế kỉ 21 phải là một xã hội dựa vào tri thức, vào tư duy sáng tạo, vào tài năng sáng chế của con người Trong xã hội biến đổi nhanh chóng như hiện nay, người lao động cũng phải biết luôn tìm tòi kiến thức mới và trau dồi năng lực của mình cho phù hợp với sự phát triển của khoa học và kĩ thuật Lúc đó người lao động phải có khả năng tự định hướng và

tự học để thích ứng với đòi hỏi mới của xã hội Chính vì vậy, mục đích giáo dục hiện nay ở nước ta và trên thế giới không chỉ dừng lại ở việc truyền thụ cho học sinh những kiến thức, kĩ năng loài người đã tích lũy được trước đây, mà còn đặc biệt quan tâm đến việc bồi dưỡng cho họ năng lực sáng tạo ra những tri thức mới, phương pháp mới, cách giải quyết vấn đề mới sao cho phù hợp

Rèn luyện năng lực tự suy nghĩ và truyền thụ kiến thức cho học sinh là vấn

đề quan trọng trong dạy học nói chung và dạy học môn Toán nói riêng Để việc dạy và học đạt kết quả cao thì người giáo viên phải biết phát huy tính tích cực của học sinh, chọn lựa phương thức tổ chức hoạt động, cách tác động phù hợp

giúp học sinh vừa học tập, vừa phát triển nhận thức Việc giải bài tập Toán không những nhằm mục đích giải toán, mà nó còn có ý nghĩa to lớn trong việc rèn luyện cho học sinh khả năng vận dụng kiến thức, kĩ năng tính toán, suy luận logic để giải quyết những vấn đề trong thực tế cuộc sống Trong quá trình dạy học bài tậpToán, vai trò tự học của học sinh là rất cần thiết Để giúp học sinh khả năng tự học, người giáo viên phải biết lựa chọn bài tập sao cho phù hợp, sắp xếp chúng một cách có hệ thống từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp và hướng dẫn cho học sinh cách giải để tìm ra được bản chất của bài Toán

1.Những cơ sở lý luận của hoạt động giải bài tập Toán phổ thông

1.1 Những cơ sở lý luận của hoạt động giải bài tập Toán phổ thông 1.1.1 Mục đích, ý nghĩa của việc giải bài tập:

- Quá trình giải một bài tập Toán là quá trình tìm hiểu điều kiện của bài toán, dựa vào kiến thức Toán để tìm ra những cái chưa biết trên cơ sở những cái

đã biết Thông qua hoạt động giải bài tập, học sinh không những củng cố lý thuyết và tìm ra lời giải một cách chính xác, mà còn hướng cho học sinh cách suy nghĩ, lập luận để hiểu rõ bản chất của vấn đề, và có cái nhìn đúng đắn khoa học Vì thế, mục đích cơ bản đặt ra khi giải bài tập Toán là làm cho học sinh hiểu sâu sắc hơn những quy luật Toán , biết phân tích và ứng dụng chúng vào những vấn đề thực tiễn, vào tính toán kĩ thuật và cuối cùng là phát triển được năng lực tư duy, năng lực tư giải quyết vấn đề

- Muốn giải được bài tậpToán , học sinh phải biết vận dụng các thao tác tư duy, so sánh, phân tích, tổng hợp, khái quát hóa…để xác định được bản chất Toán Vận dụng kiến thức Toán để giải quyết các nhiệm vụ học tập và những vấn đề thực tế của đời sống chính là thước đo mức độ hiểu biết của học sinh Vì vậy, việc giải bài tập Toán là phương tiện kiểm tra kiến thức, kĩ năng của học sinh

1.1.2Tác dụng của bài tập Toán trong dạy họcToán:

1.1.2.1Bài tập giúp cho việc ôn tập, đào sâu, mở rộng kiến thức

Trong giai đoạn xây dựng kiến thức, học sinh đã nắm được cái chung, cái khái quát của các khái niệm, định luật và cũng là cái trừu tượng Trong bài tập, học sinh phải vận dụng những kiến thức khái quát, trừu tượng đó vào những trường hợp cụ thể rất đa dạng, nhờ thế mà học sinh nắm được những biểu hiện

cụ thể của chúng trong thực tế Ngoài những ứng dụng quan trọng trong kĩ thuật, bài tập Toán sẽ giúp học sinh thấy được những ứng dụng muôn hình, muôn vẻ trong thực tiễn của các kiến thức đã học

Bài tập Toán là một phương tiện củng cố, ôn tập kiến thức sinh động Khi giải bài tập, học sinh phải nhớ lại các kiến thức đã học, có khi phải sử dụng tổng hợp các kiến thức thuộc nhiều chương, nhiều phần của chương trình

1.1.2.2Bài tập có thể là điểm khởi đầu để dẫn dắt đến kiến thức mới

Các bài tập nếu được sử dụng khéo léo có thể dẫn học sinh đến những suy nghĩ về một hiện tượng mới hoặc xây dựng một khái niệm mới để giải thích hiện tượng mới do bài tập phát hiện ra

1.1.2.3Giải bài tập Toán rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo vận dụng lý thuyết vào thực tiễn, rèn luyện thói quen vận dụng kiến thức khái quát

Bài tập Toán là một trong những phương tiện rất quý báu để rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo vận dụng lý thuyết vào thực tiễn, rèn luyện thói quen vận dụng kiến thức khái quát đã thu nhận được để giải quyết các vấn đề của thực tiễn Có thể xây dựng nhiều bài tập có nội dung thực tiễn, trong đó học sinh phải biết vận dụng lý thuyết để giải thích hoặc dự đoán ở những điều kiện cho trước

1.1.2.4Giải bài tập là một trong những hình thức làm việc tự lực cao của học sinh

Trong khi làm bài tập, do phải tự mình phân tích các điều kiện của đầu bài,

tự xây dựng những lập luận, kiểm tra và phê phán những kết luận mà học sinh rút ra được nên tư duy học sinh được phát triển, năng lực làm việc tự lực của họ

được nâng cao, tính kiên trì được phát triển.

1.1.2.5Giải bài tập Toán góp phần làm phát triển tư duy sáng tạo của học sinh

Việc giải bài tập Toán đòi hỏi phải phân tích bài toán để tìm bản chất với mức độ khó được nâng dần lên giúp học sinh phát triển tư duy

Có nhiều bài tập Toán không chỉ dừng lại trong phạm vi vận dụng những kiến thức đã học mà còn giúp bồi dưỡng cho học sinh tư duy sáng tạo

1.1.2.6 Giải bài tập Toán để kiểm tra mức độ nắm vững kiến thức của học sinh

Bài tập Toán cũng là một phương tiện có hiệu quả để kiểm tra mức độ nắm vững kiến thức của học sinh Tùy theo cách đặt câu hỏi kiểm tra, ta có thể phân loại được các mức độ nắm vững kiến thức của học sinh, khiến cho việc đánh giá chất lượng kiến thức của học sinh được chính xác

2.Phân loại bài tập Toán :

2.2.Phân loại theo nội dung

Người ta dựa vào nội dung chia các bài tập theo các đề tài của tài liệu Toán Sự phân chia như vậy có tính chất quy ước vì bài tập có thể đề cập tới những kiến thức của những phần khác nhau trong chương trình Toán Theo nội dung, người ta phân biệt các bài tập có nội dung trừu tượng, bài tập có nội dung

- Bài tập luyện tập: là loại bài tập mà việc giải chúng không đòi hỏi tư duy sáng tạo của học sinh, chủ yếu chỉ yêu cầu học sinh nắm vững cách giải đối với một loại bài tập nhất định đã được chỉ dẫn

- Bài tập sáng tạo: trong loại bài tập này, ngoài việc phải vận dụng một số kiến thức đã học, học sinh bắt buộc phải có những ý kiến độc lập, mới mẻ, không thể suy ra một cách logic từ những kiến thức đã học

- Bài tập nghiên cứu: là dạng bài tập trả lời những câu hỏi “tại sao”

- Bài tập thiết kế: là dạng bài tập trả lời cho những câu hỏi “phải làm như thế nào”

2.4.Phân loại theo cách thể hiện bài tập: người ta phân biệt bài tập thành

- Bài tập bài khoa

- Bài tập lựa chọn câu trả lời đúng nhất trong các câu trả lời cho sẵn (test) Loại này có hạn chế là không kiểm tra được con đường suy nghĩ của người giải nhưng vẫn có hiệu quả nhất định trong việc kiểm tra trình độ kiến thức, kĩ năng,kĩ xảo của học sinh

2.5 Phân loại theo hình thức làm bài

2.5.1.Bài tập tự luận : đó là những bài yêu cầu học sinh giải thích, tính

toán và hoàn thành theo một logic cụ thể Nó bao gồm những loại bài đã trình bày ở trên

2.5.2.Bài tập trắc nghiệm khách quan : là loại bài tập cho câu hỏi và

đáp án Các đáp án có thể là đúng, gần đúng hoặc sai Nhiệm vụ của học sinh là tìm ra câu trả lời đúng nhất, cũng có khi đó là những câu bỏ lửng yêu cầu điền vào những chỗ trống để có câu trả lời đúng Bài tập loại này gồm:

- Câu đúng – sai: câu hỏi là một phát biểu, câu trả lời là một trong hai lựa chọn

- Câu nhiều lựa chọn: một câu hỏi, nhiều phương án lựa chọn, yêu cầu học sinh tìm câu trả lời đúng nhất

- Câu điền khuyết: nội dung trong câu bị bỏ lửng, yêu cầu học sinh điền từ ngữ hoặc công thức đúng vào chỗ bị bỏ trống

- Câu ghép hình thức: nội dung của các câu được chia thành hai phần, học sinh phải tìm các phần phù hợp để ghép thành câu đúng

3.Phương pháp giải bài tập

Đối với học sinh phổ thông, vấn đề giải và sửa bài tập gặp không ít khó

khăn vì học sinh thường không nắm vững lý thuyết và kĩ năng vận dụng kiến thứcToán Vì vậy các em giải một cách mò mẫm, không có định hướng rõ ràng, áp dụng công thức máy móc và nhiều khi không giải được Có nhiều nguyên nhân:

- Học sinh chưa có phương pháp khoa học để giải bài tập Toán

Việc rèn luyện cho học sinh biết cách giải bài tập một cách khoa học, đảm bảo đi đến kết quả một cách chính xác là một việc rất cần thiết Nó không những giúp học sinh nắm vững kiến thức mà còn rèn luyện kĩ năng suy luận logic, làm việc một cách khoa học, có kế hoạch

Quá trình giải một bài tập Toán thực chất là quá trình tìm hiểu điều kiện của bài tập, xác lập được những mối liên hệ cụ thể dựa trên sự vận dụng kiến thức Toán vào điều kiện cụ thể của bài tập đã cho Từ đó tính toán những mối liên hệ đã xác lập được để dẫn đến lời giải và kết luận chính xác Sự nắm vững những mối liên hệ này sẽ giúp cho giáo viên định hướng phương pháp dạy bài tập một cách hiệu quả

Bài tập Toán rất đa dạng, cho nên phương pháp giải cũng rất phong phú

Vì vậy không thể chỉ ra được một phương pháp nào cụ thể mà có thể áp dụng

để giải được tất cả bài tập Từ sự phân tích như đã nêu ở trên, có thể vạch ra một dàn bài chung gồm các bước chính như sau:

3.1 Tìm hiểu đầu bài, tóm tắt các dữ kiện

- Đọc kĩ đề bài, tìm hiểu ý nghĩa của những thuật ngữ quan trọng, xác định

đâu là ẩn số, đâu là dữ kiện.

- Dùng kí hiệu tóm tắt đề bài cho gì? Hỏi gì?

3.2 Xây dựng lập luận

Thực chất của bước này là tìm quan hệ giữa ẩn số phải tìm với các dữ kiện

đã cho Đối chiếu các dữ kiện đã cho và cái phải tìm liên hệ với nhau như thế nào, qua công thức

3.2.1 Đối với những bài tập tổng hợp phức tạp, có hai phương pháp xây

và các dữ kiện đã cho

3.2.2 Đối với bài tập định tính: ta không cần tính toán nhiều mà chủ yếu

sử dụng lập luận, suy luận logic dựa vào kiến thức Toán để giải thích hoặc dự đoán khả năng xảy ra

3.4 Kiểm tra, xác nhận kết quả và biện luận

- Từ mối liên hệ cơ bản, lập luận giải để tìm ra kết quả

- Phân tích kết quả cuối cùng để loại bỏ những kết quả không phù hợp với điều kiện đầu bài tập hoặc không phù hợp với thực tế Việc biện luận này cũng

là một cách để kiểm tra sự đúng đắn của quá trình lập luận Đôi khi, nhờ sự biện luận này mà học sinh có thể tự phát hiện ra những sai lầm của quá trính lập luận, do sự vô lý của kết quả thu được

4 Xây dựng lập luận trong giải bài tập

Xây dựng lập luận trong giải bài tập là một bước quan trọng của quá trình giải bài tậpToán Trong bước này, ta phải vận dụng những định lý, những quy

tắc, những công thức để thiết lập mối quan hệ giữa đại lượng cần tìm, hiện tượng cần giải thích hay dự đoán với những dữ kiện cụ thể đã cho trong đầu bài Muốn làm được điều đó, cần phải thực hiện những suy luận logic hoặc những biến đổi toán học thích hợp Có rất nhiều cách lập luận tùy theo loại bài tập hay đặc điểm của từng bài tập Tuy nhiên, tất cả các bài tập mà ta đã nêu ra trong mục phân loại bài tập ở trên đều chứa đựng một số yếu tố của bài tập Dưới đây, ta xét đến phương pháp xây dựng lập luận để giải bài tập đó.

5.1 Các kiểu hướng dẫn học sinh giải bài tập Toán

5.1.1 Hướng dẫn theo mẫu

5.1.2 Hướng dẫn tìm tòi

5.1.3 Định hướng khái quát chương trình hóa:

6 Lựa chọn và sử dụng bài tập trong dạy học Toán

6.1 Lựa chọn bài tập

Hệ thống bài tập mà giáo viên lựa chọn phải thỏa mãn các yêu cầu sau:

- Bài tập phải đi từ dễ tới khó, từ đơn giản đến phức tạp (phạm vi và số lượng các kiến thức, kĩ năng cần vận dụng từ một đề tài đến nhiều đề tài, số lượng các đại lượng cho biết và các đại lượng cần tìm…) giúp học sinh nắm được phương pháp giải các loại bài tập điển hình

- Mỗi bài tập phải là một mắt xích trong hệ thống bài tập, đóng góp một phần nào đó vào việc củng cố, hoàn thiện và mở rộng kiến thức

- Hệ thống bài tập cần bao gồm nhiều thể loại bài tập: bài tập giả tạo và bài tập có nội dung thực tế, bài tập luyện tập và bài tập sáng tạo, bài tập cho thừa hoặc thiếu dữ kiện, bài tập mang tính chất ngụy biện và nghịch lý, bài tập có nhiều cách giải khác nhau và bài tập có nhiều lời giải tùy theo điều kiện cụ thể của bài tập mà giáo viên không nêu lên hoặc chỉ nêu lên một điều kiện nào đó

mà thôi

 Bài tập giả tạo: là bài tập mà nội dung của nó không sát với thực tế, các

quá trình tự nhiên được đơn giản hóa đi nhiều hoặc ngược lại, cố ý ghép nhiều yếu tố thành một đối tượng phức tạp để luyện tập, nghiên cứu Bài tập giả tạo thường là bài tập định lượng, có tác dụng giúp học sinh sử dụng thành thạo các công thức để tính đại lượng nào đó khi biết các đại lượng khác có liên quan, mặc dù trong thực tế ta có thể đo nó trực tiếp được.

6.2 Sử dụng hệ thống bài tập:

- Các bài tập đã lựa chọn có thể sử dụng ở các khâu khác nhau của quá trình dạy học: nêu vấn đề, hình thành kiến thức mới củng cố hệ thống hóa, kiểm tra và đánh giá kiến thức kĩ năng của học sinh

- Cần chú ý cá biệt hóa học sinh trong việc giải bài tập Toán , thộng qua các biện pháp sau

+ Biến đổi mức độ yêu cầu của bài tập ra cho các loại đối tượng học sinh khác nhau, thể hiện ở mức độ trừu tượng của đầu bài, loại vấn đề cần giải quyết, phạm vi và tính phức hợp của các số liệu cần xử lý, loại và số lượng thao tác tư duy logic và các phép biến đổi toán học cần sử dụng, phạm vi và mức độ các kiến thức, kĩ năng cần huy động

+ Biến đổi mức độ yêu cầu về số lượng bài tập cần giải, về mức độ tự lực của học sinh trong quá trình giải bài tập

B:CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Bài toán tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số nói riêng và bất đăng thức nói chung là một trong những chủ đề quan trọng và hấp dẫn trong chương trình giảng dạy và học tập bộ môn Toán ở THPT.Trong các đề thi môn Toán của các

kì thi vào đại học,cao đẳng trong những năm gần đây.Các bài toán liên quan đến tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số thường xuyên có mặt và thường là một trong những câu khó nhất của đề thi

Với lí do đó tôi đã mạnh dạn đưa ra giải pháp về chủ đề này luôn thu hút sự

quan tâm và chú ý của bạn đọc.trong sáng kiến giáo dục ” Một vài phương

pháp chứng minh Bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất “ này, tôi

sẽ cung cấp cho các đồng nghiệp và các em học sinh những cách giải thông dụng nhất đối với những bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm

số,cũng như biết cách áp dụng bài toán này để giải các bài toán liên quan đến nó

Nội dung của giải pháp được trình bày trong 5 chương:

Chương I: Đưa ra

1: Những kỹ năng quan trọng cần nhớ trong việc chứng minh bất đẳng thức 2: Cơ sở lý thuyết của bài toán tìm giá trị lớn nhất -nhỏ nhất của hàm số Chương II: Với tiêu đề ‘’Vài bài toán mở đầu về chứng minh bất đẳng thức

và giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số’’ sẽ giới thiệu với bạn đọc bài toán

tìmgiá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số thông qua việc trình bày tính đa dạng của các phương pháp giải bài toán này.Bằng cách điểm lại sự có mặt của các bài thi về chủ đề này có mặt trong các đề thi tuyển sinh Đại học-Cao đẳng trong nhiều năm gần đây,các bạn sẽ thấy được sự cần thiết của việc phải trang bị cho mình những kiến thức để giải quyết bài toán ấy Các phương pháp cơ bản và thông dụng nhất để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số được trình bày từ chương 2 đến chương 4

Chương III: Phương pháp bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.

ChươngIV :Phương pháp lượng giác hóa tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.

ChươngV:Phương pháp chiều biến thiên hàm số tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.

ChươngI:

1:Những kĩ năng quan trọng cần nhớ trong chứng minh bất đẳng thức : 1.1-Định luật bảo toàn dấu bằng trong chứng minh bất đẳng thức và tìm giá

trị lớn nhất -giá trị nhỏ nhất :

Nếu như trong vật lí có định luật bảo toàn năng lượng,trong hóa học có định luật bảo toàn khối lượng thì trong bất đẳng thức toán học ,ta cần biết đến định luật bảo toàn dấu bằng.Cụ thể là khi gặp một bất đẳng thức,bạn có thể có nhiều hướng tiếp cận nhưng chung quy lại,khi kết thúc nó bạn luôn luôn phải “bảo toàn”được dấu bằng trong quá trình đánh giá.Điều này có nghĩa là lời giải của bạn chỉ tồn tại một đánh giá nào đó không bảo đảm được dấu bằng thì lời giải

đó chắc chắn sai.hãy xét ví dụ đơn giản sau để hiểu hơn

VD: chứng minh rằng với mọi số

thực a,b ta luôn có Lời giải đúng: sử dụng bất đẳng thức Côsi bộ hai

số có dạng

Ta có:

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=2b

Hướng giải sai

Ở góc đọ người chấm thi họ thường có tâm lí ngại đọc một lời giải dài khi ấy

mà nhìn thoáng qua lại có một đánh giá nào đấy không bảo toàn dấu bằng hắn

sẽ rất thích thú và không đọc cụ thể nữa.Bởi lời giải này chắc chắn sai rồi

Ở góc độ người làm bài chỉ điểm thuận lợi là khi dự đoán được dấu đẳng thức ta

có thể tránh được rât nhiều những “Hướng đi tới ngõ cụt”, từ đo tối ưu hóa hiêu quả và thời gian làm bài

Chính bởi tính bắt buộc của định luật bảo toàn dấu bằng là một vấn đề đáng quan tâm nhất khi giải bài toán bất đẳng thức và cực trị.Thong thườngchúng ta

sử dụng kx thuật chon điể dơi đẻ tì dấu bằng của bài toán

1.2Độ mạnh yếu trong chứng minh bất đẳng thức:

Chắc chắn bạn sẽ băn khoăn, học toán chứ có phải thi võ đau mà xét mạnh yếu?

Tôi biết nghe có vẻ lạ nhưng thục sự khái niêm mạnh yếu là một vai trò rất quan trọng trong việc giải toán bất đẳng thức Nó cho ta biết trong hàng nghìn nbất đẳng thức nào có thể so sáng với nhau và mối quan heẹ cụ thể giữa

chúng.Ngoài ra, từ đo ta có thể nhận biết được trong một nhóm bất đẳng thức cùng dạng bất đẳng thức nào sẽ dễ hơn khó hơn Thông thường,bất đẳng thức càng mạnh(tức càng chặt) thì càng khó và ngược lại

Thực ra định nghĩa tổng quát về đọ mạnh yếu của bất đảng thức khá phức tạp đói với học sinh phổ thông nên vì tính mục đích của giải pháp tôi chỉ nêu một

hệ quả quan trọng suy ra từ định nghĩa:

lầm mình phải mắc cụ thể là ở bước nào.

1.3Biến đổi tương đương

Có một kĩ năng thường xuyên được sử dụng trong các bài toán bất đẳng thức,đó

là kĩ năng biến đổi tương đương.Khi biến đỏi tương đương,thì những bất đẳng thức thu được sẽ tương đương với bất đẳng thức ban đầu.Bất đẳng thức ban đầu đúng thì bất đẳng thức sau thu được cũng sẽ đúng.Tức đọ chặt chẽ của bài luôn được bảo toàn.Để dễ hình dung ta xết ví dụ sau:Để chứng minh 4>2,chia cả 2

vế cho 2;ta chỉ cần chứng minh tương đương 2>1

Tóm lại biến đổi tương đương cụ thể là thé nào?Ta dùng nó trong trường hợp gì mục đich ra sao?Xét ví dụ đẻ hiểu hơn

Cho a,b>0 chứng minh răng:

Lời giải

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

hay (luôn đúng với a,b>0

Vậy biến đỏi tương đương là

quá trình sử dụng một hoắc nhiều những phép toán đại số để đưa bất đẳng thúc

đã cho vè dạng tương đương giúp việc đánh giá trở nên thuận lợi hơn

Những phép toán đại sô thường sử dụng là chuyển vế đổi dấu, quy đòng mẫu số,thêm bớt Một trong những phương pháp biến đổi tuơng đương là kỹ năng đồng bậc hoá,

1.4: Bậc của bất đẳng thức và kĩ năng đồng hóa :

- Trước tiên ta cần năm vưng hai quy ước sau

Bậc của một bất đẳng thức là soó mũ cao nhất của hạng tử trong đó

đòng bậc nếu có dạng trong đó là một đa thức đòng bậc

Ví dụ:

+)2 là một bất đẳng thức

không đong bậc vìnó có thể viêt lại thành f(a,b)= với f(a,b) chứa các hạng tử bậc 2,8,5

2: Cơ sở lý thuyết của bài toán tìm gía trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Cơ sở lý thuyết của bài toán tìm gía trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

2.1-Định nghĩa giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số :

Đinh nghiã 1:xét hàm số f(x) với Ta nói rằng M là giá trị lớn nhất của hàm số trên D,nếu như thỏa mãn điều kiện sau:

2 Tồn tại sao cho

khi đo ta kí hiệu

Như vậy định nghĩa giá trị lớn

nhất và nhỏ nhất đều có hai phần Cần lưu ý rằng cả hai phần đều quan trọng như nhau, không được xem nhẹ phần hai

Xét ví dụ sau đây:

Cho x>0,y>0 và Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức sau:

Xét phép giả sau đây:

ta có

từ đó suy ra vậy minP=8

Cách giả này sai ở chỗ là mới dựa

vào phần 1 của định nghĩa giá trị nhỏ nhất Ta xem xem phần 2 có thỏa mãn hay không Để dấu bằng xảy ra thì x=y=1 khi đó vậy không thể xảy ra dấu bằng trong bất đẳng thức tức là phần hai về định nghĩa giá trị nhỏ nhất không thỏa mãn vì thế kết luận minS=8 là sai

Cách giải đúng như sau:

Viết lại S dưới dạng:

Dấu bằng trong (6) xảy ra khi đòng thời co dấu bằng trong (2) (3) (5)

Như vậy tồn tại ( thỏa mãn và

⇔ = = 0; 0 )

nhất ta có

Qua ví dụ này ta thấy nếu không để ý đến điều kiện 2 trong định nghĩa thì bài toán có thể dẫn tới sai lầm

2.2Cáctính chất của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Tính chất 1: Giả sử f(x) xác định trên D và A,B là tập của D trong đó AGiả sử tồn tại

là hai hàm số cùng xác định trên D và thỏa mãn điều kiện

Giả sử cùng tồn tại khi đó ta

giả thiết tồ tại

Khi đó ta có công thức sau:

Vì Do vậy phải thuộc

về ít nhất 1 trong 2 tập.Từ đó có thể cho là theo định nghĩa về giá trị lớn nhất ta

Vì lý do ấy tính chất 3 còn gọi là NGUYÊN LÝ PHÂN RÃ.

Theo nguyên lý phân rã, ta có:

(1)

với mọi vì , nên

Lại có (2;2) và khi đó P=0, nên

1 2

x x

D

∈ , ax 4

x y D m P

∈

{ }, ax ax 0; 4 4

Dấu bằng trong (1) xảy ra

khi và chỉ khi tồn tại sao

ax ( ) ax n( ) ax ( )

1 ( ) 8

Tương tự dấu bằng trong

(2) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại sao cho

Chứng minh hoàn toàn

tương tự như chứng minh của tính chất 5

Dấu bằng trong (1) xảy

ra khi và chỉ khi tồn tạisao cho

Dấu bằng trong (2) xảy

ra khi và chỉ khi tồn tạisao cho

dấu bằng trong (3) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại sao cho ta có:

Nhưng đó là đpcm

Tương tự ta có tính chất sau

Giả sử f(x),g(x) là các hàm

số xác định và dương khi Đặt và giả thiết tồn tại các giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

các hàm số h(x),f(x),g(x) trên D Ta có

(1) (2)Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại sao cho

Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại sao cho

của hàm số, cũng như các tính chất về lũy thừa của một bất đẳng thức.

Trong thực tế, người ta rất hay sử dụng một trường hợp riêng của tính chất 9 như sau:

Bài toán 1:(Đề thi tuyển sinh Đại học,Cao đẳng khối B)

Cho hàm số y = Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số này trên miền xác định của nó

Hướng dẫn giải Cách 1:(phương pháp bất đẳng thức)

f x x [≥ − 2; 2]

∀ ∈ −

( 2)

f 2 − ( )

f x−=2( ) 2 2

Lại có ,nên

Nhận xét:

1.cách giải trên hoàn toàn dựa vào

bất đẳng thức,nên người ta thường được gọi là phương pháp bất đăng thức

2.Ta có thể sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski để giải như sau:

Do khi và khi ,nên ta có

bảng biến thiên sau:

m x

pháp hoàn toàn phản ánh đúng qua cách giải vừa trình bày ở trên.

Cách 3:(phương pháp lượng giaics hóa)

Bài toán 2:(Đề thi tuyển

sinh đại học,cao đẳng khối

thi tuyến sinh đại học,cao đẳng khối B)

Giả sử x,y là hai số thực sao cho

.Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của biểu thức

Xét hai khả năng sau:

1.Nếu y0(khi đó x1).Lúc này P2

2.Nếu y0.Khi đó P,ở đây t và

Gọi m là giá trị tùy ý của

x y

4

4

x P

y

α α

x y

=

t R∈

2

2 12 ( ) t t

hàm số ,khi đó phương trình sau đây (ẩn t): (2) có nghiệm.Dễ thấy vì , nên (2)

(3)

*Nếu m=2,khi đó 2,nên (3) có

nghiệm.Vậy m=2 là một giá trị cuẩ hàm số

*Nếu m,khi đó (3) có nghiệm

Với điều kiện thì

Cach 2:(phương pháp miền giá trị hàm số)

Suy ra maxP=3, minP=-6 khi

Cách 3(Phương pháp chiều biến thiên hàm số)

2

2sin 12sin os

1 2sin os 2cos

c P

c c

c

m c

Bài 4:Cho số thực thay đổi

và thỏa mãn điều kiện:

.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Vậy giá trị lớn nhất của A là 16

Bài 5:Cho các số thực dương x,y,z thay đổi và thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si bộ

0

y≠ 2 2

x t y

=( ) 2 2

2 2

−∞32

u v t P

Do đó, (vì theo giả thiết có ).

Vậy ta có điều phải chứng minh

1.Việc sử dụng bất đẳng thức Côsi để tìm gtln M của hàm số hoặc biểu thức kí hiệu chung là f(x,y, ) được hiểu theo nghĩa cần thực hiện hai công việc:

a.Chứng minh rằng f(x,y, ) với mọi x,y, cho trước.

2 2

2

2

u v t P

f a a b≥ > ≤ f b0

M

≤

b.Tìm các giá trị của x,y, để f(x,y, )=M

Từ đó,đưa ra lời kết luận rằng ”Gtln của hàm số hoặc biểu thức bằng M và đạt được với x,y, tìm được trong b.”.

2.Việc sử dụng bất đẳng thức Côsi để tìm gtnn m của hàm số hoặc biểu thức kí hiệu chung là f(x,y, ) được hiểu theo nghĩa cần thực hiện hai công việc:

a.Chứng minh rằng f(x,y, ) m với mọi x,y, cho trước.

b.Tìm các giá trị của x,y, để f(x,y, )=m

Từ đó,đưa ra lời kết luận rằng ”Gtnn của hàm số hoặc biểu thức bằng m và đạt được với x,y, tìm được trong b.”.

Bài 1: Cho x >0, y>0, z>0 và x + y + z =1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

(2)

Do x+ y + z =1,

nên từ (2) suy ra (3)

Từ (1) và (3) suy ra (4)

dấu bằng trong (3) xảy ra khi

Vậy dấu bằng trong (4)

Dấu bằng trong (4)xảy ra đồng thời có dấu bằng trong (1)(2)(3)

(kết hợp với điều kiện )

Theo bất đẳng thức Côsi cơ bản,ta có:

Dấu bằng trong (2) xảy

ra

2, Phương pháp sử dụng kĩ thuật ngược dấu trong bất đẳng thức Côsi.

Đây là một trong các phương pháp dùng bất đẳng thức Côsi đặc biệt hữu hiệu với những bài toán nếu vội vàng áp dụng ngay bất đẳng thức Côsi từ đầu

sẽ đi đến dạng sau: A B C.

⇔

3 4

⇔ = = =1 1 1 4

x+ + =y z

3 4

Vì thế không thể kết luận gì về mối quan hệ bất đẳng thức giữa A và C.Sử dụng

kĩ thuật Côsi ngược sẽ tránh được điều này.

Bài 1:cho x,y,z là ba số dương và

Tim giá trị nhỏ nhất của biểu

Dấu bằng trong (3) xảy ra

Lập luận tương tự,ta có

P≥

Vậy min

Bình luận:Nếu trong bài

trên ngay từ đầu ta trực tiếp sử dụng bất đẳng thức Côsi ,sẽ thu được

Từ (10) không thu được so sánh giữa P và

Cách áp dụng bất dẳng thức Côsi sau khi biến đổi P như trên gọi tắt là kĩ thuật Cối ngược dấu.Đây là kĩ thuật hay và khéo léo.Nhờ nó mà tránh được các

Dấu bằng trong (2) xảy ra

Lập luận hoàn toàn tương tự,có

(4)

(5)

Dấu bằng trong (3)(4)(5) tương

Như vậy ta có minP=4

3,Phương pháp sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Côsi:

-Phương pháp này thích hợp với những bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số mà có thể trực tiếp áp dụng ngay bất đẳng thức Côsi,hoặc sau những biến đổi sơ cấp đơn giản là có thể dùng được bất đẳng thức Côsi.Kĩ thuật chủ yếu là dựa vào biểu thức đầu bài cũng như điều kiện đã cho chọn ra

số thích hợp sau khi áp dụng bất đẳng thức Côsi với các số ấy sẽ cho ta đáp số bài toán.

Bài 1: Cho ba số không âm

x,y,z thỏa mãn điều kiện

Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của biểu thức P=xyz

được khi và chỉ khi

Bài 2: cho x,y,z là các số

thuộc khoảng (0;1) và thỏa

mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

xyz

1 8

xyz

1 3

3 2

x= = =y z

2

x y z+ + =

Dấu bằng trong (2) xảy ra

Như vậy minP=8.Giá trị

nhỏ nhất đạt được khi và chỉ khi

Bài 3: Cho x,y,z, là các số thực dương thỏa mãn xyz=1.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P

Hướng dẫn giải

Theo bất đẳng thức Côsi ta có

Từ đó suy ra (1)

Dấu bằng trong (1) xảy ra

Tương tự ta có (2)

(3)