Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài toán bậc hai

Thực trạng ...5 Chương II: Giải pháp sư phạm cần thực hiện để giúp học sinh ứng dụng hệ thức Vi-Ét để giải phương trình bậc hai...6 I.. Thế nhưng đa số học sinh khi gặp bài toán bậc hai,

MỤC LỤC

Trang PHẦN I: MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài 2

2. Mục đích nghiên cứu 2

3. Nhiệm vụ nghiên cứu 3

4. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu 3

5. Phương pháp nghiên cứu 3

PHẦN II: NỘI DUNG Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn có liên quan đến đề tài 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn 5

2. Thực trạng 5

Chương II: Giải pháp sư phạm cần thực hiện để giúp học sinh ứng dụng hệ thức Vi-Ét để giải phương trình bậc hai 6

I Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn 7

II. Lập phương trình bậc hai 8

III. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng 10

IV. Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình 11

V Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số 14

VI Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm 15

VII. Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai 18

VIII. Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm 19

Chương III: Thực nghiệm sư phạm 1. Mục đích thực nghiệm 20

2 Nội dung thực nghiệm: Tiết dạy thực nghiệm 1 21

Tiết dạy thực nghiệm 2 26

3. Kết quả thực nghiệm 30

PHẦN III: KẾT LUẬN 30

PHẦN I: MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài:

Trong giai đoạn hiện nay, khi mà khoa học, kinh tế, công nghệ thông tin trênthế giới đang phát triển mạnh mẽ, nhất là các nước Tư Bản Chủ Nghĩa, nước ta vẫnđang chú trọng tìm kiếm nhân tài thì thế hệ trẻ, các em học sinh càng phải nổ lựcnhiều trong trong việc tìm kiếm kiến thức, học thật giỏi để bổ sung nhân tài cho đấtnước

Môn Toán ở THCS có một vai trò rất quan trọng, một mặt nó phát triển hệthống hóa kiến thức, kỹ năng và thái độ mà học sinh đã lĩnh hội và hình thành ở bậctiểu học, mặt khác nó góp phần chuẩn bị những kiến thức, kỹ năng và thái độ cầnthiết để tiếp tục lên THPT, TH chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào các lĩnh vựclao động sản xuất đòi hỏi những hiểu biết nhất định về Toán học

Chương trình Toán THCS khẳng định quá trình dạy học là quá trình giáo viên

tổ chức cho học sinh hoạt động để chiếm lĩnh kiến thức và kỹ năng Mặt khác muốnnâng cao chất lượng cho học sinh, giáo viên cần phải hình thành cho học sinhnhững kiến thức cơ bản, tìm tòi đủ cách giải bài toán để phát huy tính tích cực củahọc sinh, mở rộng tầm suy nghĩ

Trong vài năm trở lại đây, các trường Đại học, các trường PTTH chuyên củaTỉnh đang ra sức thi tuyển, chọn lọc học sinh và trong các đề thi vào lớp 10THPT, trong các đề thi tuyển học sinh giỏi lớp 9 các cấp xuất hiện các bài toán bậchai có ứng dụng hệ thức Vi-ét khá phổ biến Trong khi đó nội dung và thời lượng

về phần này trong sách giáo khoa lại rất ít, lượng bài tập chưa đa dang

Thế nhưng đa số học sinh khi gặp bài toán bậc hai, các em lại lúng túng khônggiải được do trong chương trình học chỉ có 2 tiết, về nhà các em không biết cáchđọc thêm sách tham khảo nên không ứng dụng hệ thức Vi_ét để giải

Vì thế tôi đã suy nghĩ làm thế nào để nâng cao chất lượng học tập cho các emhọc sinh, giúp các em biết vận dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài toán bậc hai Gópphần giúp các em tự tin hơn trong các kỳ thi tuyển Đó là lý do tôi chọn đề tài này:

“Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài toán bậc hai”.

2. Mục đích nghiên cứu:

Để nhằm mục đích bổ sung nâng cao kiến thức giải các bài toán bậc hai cóứng dụng hệ thức Vi-ét cho các em học sinh THCS Từ đó các em có thể làm tốtcác bài toán bậc hai trong các kỳ thi tuyển

Kích thích, giúp các em biết cách tìm kiến thức nhiều hơn nữa, không chỉ bàitoán bậc hai mà cả các dạng toán khác

3. Nhiệm vụ nghiên cứu:

Bài tập toán học rất đa dạng và phong phú Việc giải bài toán là một yêu cầurất quan trọng đối với học sinh Nhiệm vụ của giáo viên phải làm cho học sinh nhậndạng, hiểu được bài toán, từ đó nghiên cứu tìm ra cách giải

Để nghiên cứu đề tài này, tôi đã đề ra các nhiệm vụ sau:

- Nghiên cứu các bài toán bậc hai có liên quan đến hệ thức Vi-ét , tìm

phương pháp truyền đạt, hướng dẫn học sinh tiếp thu kiến thức để các

em biết cách tìm kiếm nâng cao kiến thức cho mình

- Đề xuất thêm thời gian hợp lý để tổ chức hướng dẫn học sinh biết ứng

dụng hê thức Vi-ét vào các bài toán bậc hai sao cho hợp lý

- Điều tra 20 học sinh xem có bao nhiêu học sinh thích được học nâng

cao, mở rộng kiến thức về các bài toán bậc hai và có bao nhiêu học sinh

có thể tiếp thu, nâng cao kiến thức

4. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:

- Nghiên cứu 20 học sinh giỏi khá đang học lớp 9 ở trường THCS Trịnh

Hoài Đức – Huyện Trảng Bom - Đồng Nai

- Nghiên cứu các ứng dụng của hệ thức Vi-ét, trong môn đại số lớp 9,

tìm hiểu các bài toán bậc hai có ứng dụng hê thức Vi-ét

5. Phương pháp nghiên cứu:

Căn cứ vào mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu, tôi sử dụng các phương phápnghiên cứu sau:

Tôi đọc và chọn ra các bài toán bậc 2 có ứng dụng hê thức Vi-ét, sắpxếp thành 8 nhóm ứng dụng sau:

 Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

 Ứng dụng 2: Lập phương trình bậc hai

 Ứng dụng 3: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

 Ứng dụng 4: Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình

 Ứng dụng 5: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trìnhsao cho hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số

 Ứng dụng 6: Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểuthức chứa nghiệm

 Ứng dụng 7: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

 Ứng dụng 8: Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thứcnghiệm

- Phương pháp phỏng vấn, điều tra:

Tôi hỏi điều tra 20 học sinh khá, giỏi sau 2 tiết dạy thực nghiệm vớicác câu hỏi sau:

Câu 1: Em có muốn nâng cao kiến thức không ?

Câu 2: Em thích các bài toán bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-étkhông?

Câu 3: Em có thích đọc nhiều sách tham khảo nội dung toán không ?

Câu 4: Em hãy đọc lại định lý Vi-ét Hãy nhẩm nghiệm của cácphương trình sau:

a/ 4321x2 + 21x – 4300 = 0b/ x2 + 7x + 12 = 0

Câu 5: Cho phươngtrình: x2 – 3x +

m = 0, với m là tham số, có hai nghiệm x1 , x2 (x1 > x2) Tính giátrị biểu thức theo m

Sau khi sắp xếp thành 8 nhóm ứng dụng hệ thức Vi-ét, tôi đã thực hiệnlên lớp hướng dẫn học sinh các ứng dụng trên Có kèm theo 2 giáo án đãdạy ở sau

P x x  x x

PHẦN II: NỘI DUNG

Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn có liên quan đến đề tài

1 Cơ sở lý luận và thực tiễn:

Mục tiêu của giáo dục THCS_theo điều 23 Luật giáo dục_là “Nhằm giúp họcsinh củng cố và phát triển những kết quả của giáo dục tiểu học, có trình độ học vấnTHCS và những hiểu biết ban đầu về kỹ thuật và hướng nghiệp, học nghề hoặc đivào cuộc sống lao động”

Để khắc phục mục tiêu trên, nội dung chương trình THCS mới được thiết kếtheo hướng giảm chương tính lý thuyết hàm luân, tăng tính thực tiễn, thực hành bảođảm vừa sức, khả thi, giảm số tiết học trên lớp, tăng thời gian tự học và hoạt độngngoại khóa

Trong chương trình lớp 9, học sinh được học 2 tiết:

- 1 tiết lý thuyết : học sinh được học định lý Vi-ét và ứng dụng hệ thức

Vi-ét để nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, lập phươngtrình bậc hai và tìm hai số biết tổng và tích của chúng

- 1 tiết luyện tập: học sinh được làm các bài tập củng cố tiết lý thuyết vừa

học

Theo chương trình trên, học sinh được học Định lý Vi-ét nhưng không cónhiều tiết học đi sâu khai thác các ứng dụng của hệ thức Vi-ét nên các em nắm vàvận dụng hệ thức Vi-ét chưa linh hoạt Là giáo viên ta cần phải bồi dưỡng vàhướng dẫn học sinh tự học thêm kiến thức phần này

2. Thực trạng :

a Thuận lợi:

- Tôi đã được trực tiếp đứng lớp giảng dạy môn Toán khối 9 được 3 năm,

bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 và ôn tập, nâng cao kiến thức cho họcsinh thi tuyển vào lớp 10 nên tôi thấy được sự cần thiết phải thực hiện

đề tài: “Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài toán bậc hai”

- Tôi được các đồng nghiệp góp ý kiến trong giảng dạy

- Đa số học sinh khá, giỏi đều mong muốn được nâng cao kiến thức

b Khó khăn:

- Thời lượng phân bố tiết cho phần này còn hạn chế, cụ thể ở chương

trình lớp 9 chỉ có 2 tiết ( 1 tiết lý thuyết, 1 tiết luyện tập) Do vậy chưakhai thác hết các ứng dụng của hệ thức Vi-ét

- Hầu hết số học sinh của trường là học sinh vùng quê, bố mẹ làm nông

nghiệp Do đó các em ít được chú trọng nâng cao kiến thức

Từ những thuận lợi và khó khăn trên, với đề tài này tôi mong giáo viên sẽ giúpcác em có thêm kiến thức để tự tin hơn trong các kỳ thi tuyển

c Thực trạng của giáo viên và học sinh xã An Viễn- Trảng

Bom-Đồng Nai:

Hiện nay, việc dạy và học của giáo viên và học sinh trong thực tiễn ở An viễn

còn có một số mặt đã đạt được và chưa đạt sau:

- Giáo viên truyền đạt nhiệt tình đủ kiến thức trong chương trình Học

sinh nắm được kiến thức cơ bản và đã hoàn thành THCS ( đạt 98%)

- Giáo viên dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 hằng năm đã có học sinh

đạt giỏi huyện môn Toán

- Nhà trướng có tổ chức dạy phụ đạo cho học sinh yếu, kém Nhờ vậy học

sinh đã có nhiều tiến bộ

- Trường chưa tổ chức bồi dưỡng, nâng cao kiến thức cho học sinh các

khối 6 ; 7 ; 8

- Số học sinh tự học tập thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,… để nâng

cao kiến thức chưa nhiều nên số lượng học sinh giỏi Toán còn rất hạn

chế

Chương II: Giải pháp sư phạm cần thực hiện để giúp học

sinh ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải phương trình bậc hai:

- Trước hết, Giáo viên dạy tiết lý thuyết ở trong chương trình cho học

sinh nắm được định lý Vi-ét:

Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

- Giáo viên soạn ra các dạng bài toán bậc hai cần ứng dụng hệ thức

Vi-ét để giải Trong đề tài này tôi trình bày 8 nhóm ứng dụng sau:

 Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

 Ứng dụng 2: Lập phương trình bậc hai

 Ứng dụng 3: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

 Ứng dụng 4: Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình

 Ứng dụng 5: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trìnhsao cho hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số

 Ứng dụng 6: Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểuthức chứa nghiệm

 Ứng dụng 7: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

 Ứng dụng 8: Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thứcnghiệm

c a



3 2



11 3



2 Cho phương trình, có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm

còn lại và chỉ ra hệ số của phương trình:

Ví dụ:

a/ Phương trình x2 – 2px + 5 = 0 có một nghiệm x1 = 2, tìm p và nghiệm kia.

b/ Phương trình x2 + 5x + q = 0 có một nghiệm x1 = 5, tìm q và nghiệm kia.

c/ Phương trình x2 – 7x + q = 0 có hiệu hai nghiệm bằng 11 Tìm q và hai

nghiệm của phương trình

d/ Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x2 –qx +50 = 0, biết phương trình

có hai nghiệm và một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia

đẳng nên theo đề bài giả sử: x1 - x2 =11 và theo hệ thức Vi-ét: x1+ x2 = 7 ta có hệ

phương trình sau:

Suy ra: q = x1. x2 =

9.(-2)= -18

d/ Vì vai trò của x1 , x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử: x1 = 2x2 và theo hệ

thức Vi-ét: x1 x2 = 50 ta có hệ phương trình sau:

II Lập phương trình bậc hai :

1 Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x 1, x 2

x2 – Sx + P = 0 x2 – 5x + 6 = 0

1 4

p

1

5 5 2

Bài tập áp dụng: Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm:

a/ x1= 8 và x2= - 3b/ x1= 3a và x2= ac/ x1= 36 và x2= - 104d/ x1= 1+ và x2= 1 -

2/ Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa

hai nghiệm của một phương trìnhcho trước

Ví dụ:

Cho phương trình x2 – 3x + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Không giải

phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:

và Giải:

Theo

hệ thức

Vi-ét, ta có:

Vậyphươngtrình cần lập có dạng:

hay

Bài tập áp dụng:

1/ Cho phương trình 3x2 + 5x - 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Không

giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:

và (Đáp

số: )2/ Cho phương trình: x2 - 5x - 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Không giải

phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:

và

(Đáp số: )

3/ Cho biết phương trình x2 - px+ q = 0 có hai nghiệm dương

x1; x2 mà x1 < x2 Hãy lập phương trình bậc hai mà các nghiệm là : và

(Đề thi tuyển sinh vào 10 chuyên Lương Thế Vinh_Đồng

Nai, năm học: 200-2009)

4/ Cho phương trình: x2 - 2x – m2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Hãy lập

phương trình bậc hai có hai nghiệm y1; y2 sao cho:

a/ và b/ và

(Đáp số: a/ ; b/ )

III Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệmcủa phương trình : x2 – Sx + P = 0 (đk: S2 - 4P ≥ 0)

Ví dụ:

Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = - 3 và tích P = a.b = - 4

Giải:

Vì: S = a + b = - 3 và tích P = a.b = - 4

Nên a, b là hai nghiệm của phương trình: x2 + 3x – 4 = 0

giải phương trình trên ta được x1= 1 và x2= - 4

Bài tập nâng cao:

Tìm hai số a, b biết:

a/ a + b = 9 và a2 + b2 = 41 b/ a - b = 5 và a.b = 36

IV Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình:

Điều quan trọng nhất đối với các bài toán dạng này là phải biết biến

đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng hai nghiệm S và tíchhai nghiệm P để áp dụng hệ thức Vi-ét rồi tính giá trị của biểu thức

1/ Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện: x1 + x2 và x1. x 2

2/ Cho phương trình: 8x2 - 72x + 64 = 0, Không giải phương trình, hãy tính:

c/ (Đáp án: 3)

5/ Cho phương trình: x2 4x + 8 = 0 có 2 nghiệm x1, x2 Không giải phương trình, hãy tính:

-(HD: )

6/ Cho phương trình: x2 3x + m = 0, với m là tham số,

-có 2 nghiệm x1, x2 (x1> x2 ) Tính giá trị biểu thức : theo m

(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên của tỉnh Đồng Nai năm 2008)

V Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai

nghiệm này không phụ thuộc vào tham số :

Để làm các bài toán dạng này, ta làm lần lượt theo các bước sau:

- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và

x2 (thường là a ≠ 0 và ≥ 0)

- Áp dụng hệ thức Vi-ét viết S = x1 + x2 và P = x1 x2 theo tham số

- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 Từ đó đưa

ra hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2

Ví dụ 1 :

Cho phương trình: (m - 1)x2 – 2mx + m - 4 = 0 có 2 nghiệm x1 và x2 Lập hệ

thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho chúng không phụ

Ví dụ 2 :

Gọi x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình: (m - 1)x2 – 2mx + m - 4 = 0 chứngminh rằng biểu thức A = 3(x1 + x2 ) + 2 x1 x2 - 8 không phụ thuộc giá trị của m.Giải:

Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì:

Vậy A = 0 với mọi và

Bài tập áp dụng:

1/ Cho phương trình: x2 – (m + 2)x + (2m - 1) =0 có 2 nghiệm x1 và x2 Hãy lập

hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho x1 và x2 độc lậpđối với m

biến đổi được : không phụ

thuộc giá trị của m

VI Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm:

- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và

x2 (thường là a ≠ 0 và ≥ 0)

2

1 1

1

m

m m

- Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức Vi-ét để giải phương

m

m m

+ Còn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵnnhư vậy, do đó vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã chobiến đổi về biểu thức có chứa tổng nghiệm và tích nghiệm rồi từ đó vận dụngtương tự cách làm đã trình bày ở VD1 và VD2.

.

m m

m m





  

