Phân tích dao động phi tuyến trong hệ chịu kích động ngẫu nhiên và tuần hoàn

Ý tưởng chính của phương pháp này là: thực hiện trung bình hóa phương trình dao động ban đầu trong hệ tọa độ Đề-các, sau đó giải xấp xỉ phương trình FP có các hệ số dịch chuyển phi tuyến

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT

Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật

Mã số: 62 52 01 01

Người hướng dẫn khoa học:

GS TSKH Nguyễn Đông Anh

Hà Nội - 2015

LỜI CÁM ƠN

Tác giả chân thành cám ơn thầy hướng dẫn GS.TSKH Nguyễn Đông Anh đã tận tâm hướng dẫn khoa học, luôn động viên và giúp đỡ tác giả cả về vật chất lẫn tinh thần để tác giả hoàn thành luận án này

Tác giả xin gửi lời cám ơn đến Khoa Đào tạo sau đại học và cán bộ Viện Cơ học, bạn bè và đồng nghiệp tại trường đại học Công nghệ thông tin, ĐHQG Tp HCM,

đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình làm luận

án Nhân đây, tác giả cũng gửi lời cám ơn đến NCS Nguyễn Như Hiếu, người đã lắng nghe và chia sẻ rất nhiều với tác giả về chuyên môn, và đặc biệt là PGS.TS Dương Anh Đức, người đã tạo điều kiện tốt nhất để tác giả an tâm thực hiện nghiên cứu của mình

Sau hết, tác giả chân thành cám ơn bố mẹ, vợ con, và gửi lời cám ơn đến người thân đã rất kiên nhẫn động viên tác giả trong thời gian làm luận án

Tác giả luận án,

Dương Ngọc Hảo

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới sự hướng dẫn trực tiếp của GS TSKH Nguyễn Đông Anh Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả luận án,

Dương Ngọc Hảo

MỤC LỤC

LỜI CÁM ƠN iii

LỜI CAM ĐOAN iv

MỤC LỤC v

DANH MỤC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ viii

DANH MỤC BẢNG x

CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN xii

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1.TỔNG QUAN 5

1.1 Giới thiệu 5

1.2 Các phương pháp nghiên cứu hệ dao động ngẫu nhiên phi tuyến 7

1.3 Hệ dao động chịu kích động tuần hoàn và ngẫu nhiên 13

1.4 Mục tiêu của luận án 15

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 16

2.1 Các khái niệm cơ bản trong giải tích ngẫu nhiên 16

2.1.1 Sơ lược về lý thuyết xác suất 16

2.1.1.1 Không gian xác suất 16

2.1.1.2 Biến ngẫu nhiên 17

2.1.2 Quá trình ngẫu nhiên 21

2.1.2.1 Định nghĩa 21

2.1.2.2 Một số quá trình ngẫu nhiên thường gặp 22

2.1.3 Tích phân ngẫu nhiên 26

2.1.3.1 Mở đầu 26

2.1.3.2 Tích phân Ito – Tích phân Stratonovich 28

2.1.3.3 Tính chất của tích phân Ito 29

2.1.4 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 31

2.2 Cơ sở lý thuyết nghiên cứu hệ dao động ngẫu nhiên 34

2.2.1 Phương pháp trung bình ngẫu nhiên theo biên độ và pha 34

2.2.2 Phương pháp trung bình ngẫu nhiên trong hệ tọa độ Đề-các 36

2.2.3 Phương pháp hàm bổ trợ và lời giải phương trình Fokker-Planck (FP) 39

2.2.3.1 Phương pháp hàm bổ trợ 39

2.2.3.2 Nghiệm của phương trình FP với các hệ số dịch chuyển tuyến tính 40

2.2.3.3 Tuyến tính hóa tương đương- giải xấp xỉ phương trình FP 46

2.2.4 Phương pháp mô phỏng số 50

2.3 Kết luận chương 2 52

CHƯƠNG 3 PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TRONG HỆ PHI TUYẾN CHỊU KÍCH ĐỘNG NGẪU NHIÊN VÀ TUẦN HOÀN 53

3.1 Hệ dao động Van der Pol 55

3.1.1 Tính toán lý thuyết 56

3.1.2 Kết quả và thảo luận 58

3.1.3 So sánh với phương pháp phi tuyến tương đương 65

3.2 Hệ dao động Duffing 67

3.2.1 Tính toán lý thuyết 67

3.2.2 Kết quả và thảo luận 69

3.3 Dao động Van der Pol – Duffing 74

3.3.1 Tính toán lý thuyết 74

3.3.2 Kết quả và thảo luận 75

3.4 Hệ dao động Mathieu-Duffing 79

3.4.1 Tính toán lý thuyết 79

3.4.2 Kết quả và thảo luận 82

3.5 Kết luận chương 3 87

CHƯƠNG 4 PHÂN TÍCH BAN ĐẦU ĐÁP ỨNG THỨ ĐIỀU HÒA TRONG HỆ DAO ĐỘNG PHI TUYẾN CHỊU KÍCH ĐỘNG NGẪU NHIÊN VÀ TUẦN HOÀN 89 4.1 Giới thiệu 89

4.2 Kỹ thuật phân tích 90

4.3 Kết quả và thảo luận 97

4.4 Kết luận chương 4 100

KẾT LUẬN 102

DANH SÁCH CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ ĐÃ ĐƯỢC CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 105

TÀI LIỆU THAM KHẢO 106

PHỤ LỤC 112

Phụ lục A 112

Phụ lục B 116

DANH MỤC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ

Hình 1.1 Hệ một bậc tự do a) Kết cấu toà nhà 1 tầng b) Mô hình tương đương 8

Hình 2.1 Một quĩ đạo của chuyển động Brown (quá trình Wiener) 23

Hình 2.2 Quĩ đạo của phương trình vi phân thường 27

Hình 2.3 Quĩ đạo của một quá trình ngẫu nhiên 27

Hình 3.1.1 Đồ thị trung bình theo thời gian của trung bình bình phương đáp ứng theo tham số Q 61

Hình 3.1.2 Đồ thị trung bình theo thời gian của trung bình bình phương đáp ứng theo tham số Q so sánh với kết quả mô phỏng số 62

Hình 3.1.3 Đồ thị hàm mật độ xác suất đồng thời p x x( ),& của hệ dao động Van der Pol tại thời điểm t=294s 63

Hình 3.1.4 Đồ thị của hàm mật độ xác suất của dịch chuyển x theo các thời gian khác nhau 64

Hình 3.1.5 Đồ thị của hàm mật độ xác suất của dịch chuyển x tại thời điểm 294 t = (s) 64

Hình 3.1.6 Đồ thị đường cong E x( )2 của hệ Van der Pol theo n trong lân cận w 65

Hình 3.2.1 Kết quả tính toán E x téë ( )ùû và E x téë 2( )ùû bằng phương pháp giải tích và so với kết quả mô phỏng số 71

Hình 3.2.2 Đồ thị bình phương biên độ của đáp ứng trung bình theo tham số Q 71

Hình 3.2.3 Đồ thị bình phương biên độ của đáp ứng trung bình theo tham số s 72 2

Hình 3.2.4 Đồ thị trung bình theo thời gian của trung bình bình phương đáp ứng

Hình 3.4.1 Kết quả giải tích E x téë ( )ùû được so sánh với các kết quả số 84

Hình 3.4.2 Kết quả giải tích E x téë 2( )ùû được so sánh với các kết quả số 84

Hình 3.4.3 Đồ thị hàm mật độ xác suất đồng thời của hệ Mathieu-Dufing tại thời

điểm t =294s 85

Hình 3.4.4 Đồ thị hàm mật độ xác suất của x tại thời điểm t=294(s) 86

Hình 3.4.5 Đồ thị hàm mật độ xác suất của x tại vài thời điểm (s) 86

Hình 4.1 Đồ thị trung bình theo thời gian của trung bình bình phương đáp ứng thứ

điều hòa theo tham số s 99 2

Hình 4.2 Ảnh hưởng của s và 2 Q lên trung bình bình phương đáp ứng thứ điều 0

hòa 99

Hình 4.3 Ảnh hưởng s và h lên trung bình bình phương đáp ứng thứ điều hòa 100 2

DANH MỤC BẢNG

Bảng 3.1.1 Sai số giữa kết quả mô phỏng và các giá trị xấp xỉ của trung bình theo

thời gian của trung bình bình phương đáp ứng E x téë 2( )ùû theo tham số e 58

Bảng 3.1.2 Sai số giữa kết quả mô phỏng và các giá trị xấp xỉ của trung bình theo

thời gian của trung bình bình phương đáp ứng E x téë 2( )ùû theo tham số n 59

Bảng 3.1.3 Sai số giữa kết quả mô phỏng và các giá trị xấp xỉ của trung bình theo

thời gian của trung bình bình phương đáp ứng E x téë 2( )ùû theo tham số Q 60

Bảng 3.1.4 Sai số giữa kết quả mô phỏng và các giá trị xấp xỉ của trung bình theo

thời gian của trung bình bình phương đáp ứng E x téë 2( )ùû theo tham số s 61 2

Bảng 3.1.5 Sai số giữa kết quả mô phỏng và các giá trị xấp xỉ của trung bình theo

thời gian của trung bình bình phương đáp ứng E x téë 2( )ùû theo kỹ thuật của luận án

và phương pháp phi tuyến tương đương theo tham số 66

Bảng 3.2.1 Sai số giữa kết quả mô phỏng và các giá trị xấp xỉ của trung bình theo

thời gian của trung bình bình phương đáp ứng E x téë 2( )ùû theo tham số g 69

Bảng 3.2.2 Sai số giữa kết quả mô phỏng và các giá trị xấp xỉ của trung bình theo

thời gian của trung bình bình phương đáp ứng E x téë 2( )ùû theo tham số s 69 2

Bảng 3.2.3 Sai số giữa kết quả mô phỏng và các giá trị xấp xỉ của trung bình theo

thời gian của trung bình bình phương đáp ứng E x téë 2( )ùû theo tham số s với các 2

giá trị e khác nhau 70

Bảng 3.3.1 Sai số giữa kết quả mô phỏng và các giá trị xấp xỉ của trung bình theo

thời gian của trung bình bình phương đáp ứng E x téë 2( )ùû theo tham số e 75

Bảng 3.3.2 Sai số giữa kết quả mô phỏng và các giá trị xấp xỉ của trung bình theo

thời gian của trung bình bình phương đáp ứng E x téë 2( )ùû theo tham số n 76

Bảng 3.3.3 Sai số giữa kết quả mô phỏng và các giá trị xấp xỉ của trung bình theo

thời gian của trung bình bình phương đáp ứng E x téë 2( )ùû theo tham số g 76

Bảng 3.3.4 Sai số giữa kết quả mô phỏng và các giá trị xấp xỉ của trung bình theo

thời gian của trung bình bình phương đáp ứng E x téë 2( )ùû theo tham số Q 77

Bảng 3.3.5 Sai số giữa kết quả mô phỏng và các giá trị xấp xỉ của trung bình theo

thời gian của trung bình bình phương đáp ứng E x téë 2( )ùû theo tham số s 77 2

Bảng 3.4.1 Sai số giữa kết quả mô phỏng và kết quả giải tích của trung bình theo

thời gian của trung bình bình phương đáp ứng E x t theo tham số ( 2( ) ) s 82 2

Bảng 3.4.2 Sai số giữa kết quả mô phỏng và kết quả giải tích của trung bình theo

thời gian của trung bình bình phương đáp ứng E x t theo tham số Q 83 ( 2( ) )

Bảng 3.4.3 Sai số giữa kết quả mô phỏng và kết quả giải tích của trung bình theo

thời gian của trung bình bình phương đáp ứng E x t theo tham số g 83 ( 2( ) )

Bảng 4.1 Sai số giữa kết quả xấp xỉ và kết quả mô phỏng của trung bình theo thời

gian của trung bình bình phương đáp ứng E z téë 2( )ùû theo tham số s 98 2

CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

d Ký hiệu hàm Kronecker delta

Trung bình theo thời gian

x& Đạo hàm theo thời gian của x

mc Kết quả trung bình theo thời gian được tính bằng mô phỏng số

Monte-Carlo xx Kết quả trung bình theo thời gian được tính theo kỹ thuật của luận

MỞ ĐẦU

Một trong những nhiệm vụ quan trọng nhất trong thiết kế các hệ kỹ thuật hoặc kết cấu là phải đánh giá được độ an toàn Thường thì nhiệm vụ này rất phức tạp vì có rất nhiều yếu tố có thể có ảnh hưởng đáng kể đến hệ kỹ thuật hoặc kết cấu mà ta khó định nghĩa nó rõ ràng Chẳng hạn, trong việc thiết kế tòa nhà cao tầng, các yếu tố ảnh hưởng đến độ an toàn là nền đất, vật liệu xây dựng, gió, và động đất (Yang, 1986; Narayanan và Kumar, 2012) Các yếu tố này có thể gây ra các đáp ứng có tính chất thay đổi bất thường làm cho công trình nhanh xuống cấp, hư hỏng, thậm chí bị phá hủy đột ngột

Có rất nhiều hệ kỹ thuật/kết cấu chịu các tác động ngẫu nhiên như vậy, chẳng hạn như các kết cấu trên biển chịu tác động của gió và các đợt sóng ngẫu nhiên, các phương tiện giao thông chịu tác động ngẫu nhiên gây ra bởi mặt đường không bằng phẳng,… Trong thực tế không có hệ thống nào thực sự là hệ tuyến tính Trong các hệ

kỹ thuật và kết cấu, tính phi tuyến tính có thể phát sinh từ tính phi tuyến hình học phát sinh từ biến dạng lớn; tính chất đàn hồi phi tuyến của vật liệu kết cấu; tính phi tuyến của cản, (Manohar, 1995; Roberts và Spanos, 1999) Vì các hệ phải được thiết kế để chịu được, với xác suất nhất định, các mức độ khắc nghiệt có thể có của kích động mà chúng có thể gặp trong suốt quá trình vận hành, nên ảnh hưởng của tính phi tuyến rất được quan tâm, coi trọng

Các hệ phi tuyến chịu tác động của tổ hợp các kích động tuần hoàn và ngẫu nhiên có thể xảy ra các hiện tượng phức tạp như các hiện tượng nhảy, rẽ nhánh, và hỗn độn Do đó để hiểu rõ ứng xử của hệ phi tuyến và thiết kế các hệ phi tuyến, phân tích đáp ứng của các hệ phi tuyến ngẫu nhiên, và các hệ chịu đồng thời cả lực tuần hoàn và ngẫu nhiên rất quan trọng trong động học kết cấu Đặc tính xác suất của đáp ứng của các hệ phi tuyến ngẫu nhiên có thể được xác định qua hàm mật độ xác suất, hay các

mô men đồng thời, hoặc qua các bán bất biến (cumulant) Tuy nhiên, rất khó để xác định chính xác hàm mật độ xác suất và sự tiến triển theo thời gian của một hàm mật độ

xác suất phụ thuộc vào thời gian của đáp ứng ngoại trừ lớp nhỏ các trường hợp hệ phi tuyến (Socha, 2008; Narayanan và Kumar, 2012)

Các hệ dao động chịu kích động ngẫu nhiên và (hoặc) tuần hoàn đã nhận được

sự quan tâm rất nhiều từ các nhà nghiên cứu trong vài thập kỷ qua Các phương pháp/

kỹ thuật phân tích hệ dạng này thường được kết hợp từ các phương pháp đã biết trong phân tích hệ tất định và phân tích hệ dao động chịu tác động ngẫu nhiên

Trong các nghiên cứu giải tích, các nghiên cứu dựa vào phương trình Planck (FP) thường gặp khó khăn do phương trình FP ứng với hệ dao động không có lời giải giải tích, trừ một số trường hợp riêng Do đó các phương pháp/ kỹ thuật phát triển trong các nghiên cứu thường chỉ giải quyết được một lớp bài toán dao động cụ thể Luận án cũng tập trung vào điểm mấu chốt này để đề xuất kỹ thuật phân tích cho lớp rộng hơn các hệ dao động phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên và tuần hoàn

Fokker-Trong luận án này, tác giả đề xuất một kỹ thuật mới kết hợp hai phương pháp kinh điển là phương pháp trung bình và phương pháp tuyến tính hoá để nghiên cứu hệ dao động phi tuyến yếu chịu kích động tuần hoàn và ngẫu nhiên yếu Ý tưởng chính của phương pháp này là: thực hiện trung bình hóa phương trình dao động ban đầu trong hệ tọa độ Đề-các, sau đó giải xấp xỉ phương trình FP có các hệ số dịch chuyển phi tuyến ứng với các phương trình trung bình bằng cách sử dụng phương pháp tuyến tính hoá tương đương (Kazakov, 1954) và phương pháp hàm bổ trợ (Nguyễn Đông Anh, 1986)

Định hướng nghiên cứu:

Phát triển một kỹ thuật phân tích dao động của hệ phi tuyến bằng cách kết hợp các phương pháp (hoặc kỹ thuật) đã biết, nhưng chủ yếu tập trung vào phương pháp trung bình ngẫu nhiên, phương pháp tuyến tính hóa tương đương, các phương pháp giải phương trình FP

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

Luận án nghiên cứu đặc trưng xác suất của đáp ứng của hệ dao động phi tuyến yếu một bậc tự do chịu đồng thời kích động tuần hoàn và ngẫu nhiên yếu trong miền cộng hưởng chính, được mô tả bởi phương trình vi phân ngẫu nhiên cấp hai có dạng

( ) ( )

x+w x=e f x x t n + esx t

với w và n là các hằng số có quan hệ w2 -n2 = D , D là tham số lệch tần, e s là tham

số dương, e là tham số bé, f là hàm phi tuyến, được giả thiết là hàm tuần hoàn theo thời gian t và là một đa thức theo x và x&, và hàm x( )t là quá trình ồn trắng Gauss

có cường độ đơn vị

Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp giải tích của lý thuyết dao động phi tuyến, trong đó tập trung vào các phương pháp: Phương pháp trung bình ngẫu nhiên, phương pháp tuyến tính hóa tương đương, phương pháp phương trình Fokker-Planck

- Phương pháp giải phương trình Fokker-Planck bằng hàm bổ trợ

- Phương pháp mô phỏng Monte-Carlo

Cấu trúc luận án:

Chương 1 Tổng quan

Trình bày tổng quan tình hình nghiên cứu về phân tích hệ dao động phi tuyến chịu kích động bởi lực ngẫu nhiên và lực tuần hoàn

Chương 2 Cơ sở lý thuyết

Trình bày sơ lược về giải tích ngẫu nhiên liên quan đến luận án và các phương pháp và kỹ thuật chính trong lý thuyết dao động phi tuyến được sử dụng để phát triển

kỹ thuật nghiên cứu dao động của hệ phi tuyến chịu đồng thời kích động tuần hoàn và ngẫu nhiên

Chương này cũng trình bày hai kết quả mới của luận án, đó là dựa vào phương pháp hàm bổ trợ để đưa ra cách giải cho phương trình FP với các hệ số dịch chuyển là các hàm tuyến tính và hệ số khuếch tán hằng số viết cho hàm mật độ xác suất dừng ứng với hệ hai phương trình tuyến tính chịu kích động ồn trắng, từ đó đề xuất giải xấp

xỉ phương trình FP với các hệ số dịch chuyển là các hàm phi tuyến và hệ số khuếch tán hằng số bằng phương pháp tuyến tính hóa tương đương

Chương 3 Phân tích dao động trong hệ phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên và tuần hoàn

Đề xuất kỹ thuật phân tích dao động trong hệ phi tuyến một bậc tự do và áp dụng cho các hệ dao động phi tuyến kinh điển chịu kích động tuần hoàn và ngẫu nhiên như:

- Hệ Van der Pol: đại diện cho các hệ dao động có hệ số cản phi tuyến,

- Hệ Duffing: đại diện cho các hệ dao động có độ cứng phi tuyến,

- Hệ Van der Pol – Duffing: đại diện cho các hệ dao động có hệ số cản phi tuyến và độ cứng phi tuyến,

- Hệ Mathieu – Duffing: đại diện cho các hệ dao động phi tuyến chịu kích động thông số

Kết quả phân tích cho thấy ta có thể tìm được trung bình theo xác suất đáp ứng của hệ, cùng với phân phối xác suất của nó tại một thời điểm nào đó, và ta cũng có thể tính được các đặc trưng xác suất khác của đáp ứng như giá trị bình phương trung bình, hàm mật độ xác suất đồng thời theo các biến trạng thái

Chương 4 Phân tích ban đầu đáp ứng thứ điều hòa trong hệ dao động phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên và tuần hoàn

Áp dụng kỹ thuật đề xuất trong chương 3 để phân tích đáp ứng thứ điều hòa bậc 1/3 của hệ dao động Duffing chịu kích động tuần hoàn và ngẫu nhiên Dù kết quả phân tích trong chương này chưa thật sâu sắc nhưng là kết quả mới, cho thấy tiềm năng áp dụng của kỹ thuật được phát triển trong luận án trong phân tích hệ dao động phi tuyến

* Các công trình đã công bố liên quan đến luận án:

Bài báo đăng trên tạp chí quốc tế ISI: 01

Bài báo đăng trên tạp chí trong nước: 02

Bài báo báo cáo tại hội nghị khoa học chuyên ngành: 02

Trong nhiều năm, các kỹ sư thường tập trung tìm hiểu các hệ dao động có tính tuần hoàn Loại hệ dao động này thường phát sinh do mất cân bằng trong chuyển động xoay tròn hoặc chuyển động qua lại, và có thể được truyền qua kết cấu cơ sở đến các

hệ thống lân cận Sau công trình tiên phong của Rayleigh (1877), lý thuyết dao động

cổ điển đã ngày càng được hoàn thiện để phân tích các dạng dao động này (chẳng hạn như xem Daniel, 2008)

Tuy nhiên, vào giữa những năm 1950, một dạng bài toán dao động mới nảy sinh trong ngành công nghiệp hàng không mà không thể giải quyết được bằng các phương pháp cổ điển Đó là, các kỹ sư đã phát hiện ra rằng các tấm ở phần thân máy bay gần động cơ dao động ở mức cao do kích động âm thanh từ khí thải máy bay phản lực, khiến các vết nứt do mỏi kim loại có thể phát triển và lây lan nhanh chóng Các nghiên cứu cho thấy rằng đáp ứng dao động của những tấm này vô cùng phức tạp, phản ánh bản chất rất phức tạp của sự biến đổi theo không gian và thời gian của áp lực trên bề mặt của tấm (Clarkson và Mead, 1973) Dạng kích động và đáp ứng này không chỉ là không tuần hoàn, không theo qui luật, mà nó còn không có tính lặp lại, như hai thí nghiệm kế tiếp thực hiện theo các điều kiện giống hệt nhau nhưng lại cho hai kết quả hoàn toàn khác nhau, mặc dù về “trung bình” thì chúng có thể trùng nhau Rõ ràng

không thể giải quyết một vấn đề như vậy trên cơ sở lý thuyết tất định truyền thống Do vậy, phương pháp xác suất đã được đề cập đến, trong đó kích thích và đáp ứng được

mô tả theo các thông số thống kê, chẳng hạn như trung bình bình phương của biên độ dao động Thực tế đã chứng tỏ việc tiếp cận theo hướng xác suất là hiệu quả hơn nhiều

so với lý thuyết tất định (Roberts và Spanos, 1999)

Trong các ứng dụng kỹ thuật, việc sử dụng một mô hình tuyến tính cho hệ thống đang xét cho ta các kết quả khá đơn giản, và thường rất hữu ích Nếu quá trình kích động có phân phối Gauss thì theo lý thuyết phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính, quá trình đáp ứng cũng là quá trình Gauss Điều này cho phép ta tính toán các thống kê của đáp ứng liên quan đến độ tin cậy thông qua các thông số thống kê

Trong thực tế, hầu hết các hệ động lực được mô hình hóa bởi một hoặc nhiều phương trình phi tuyến mà đa số là không thể giải chính xác bằng phương pháp giải tích Do đó, các phương pháp gần đúng đã được phát triển, tuy nhiên, chúng cũng chỉ phù hợp cho lớp các bài toán phi tuyến nào đó Phần lớn, các phương pháp gần đúng dựa trên tính chất Markov của đáp ứng hoặc sự gần đúng của hàm mật độ xác suất của đáp ứng đối với phân phối Gauss Nhiều phương pháp là sự mở rộng tinh tế các phương pháp phân tích phi tuyến tất định sang các bài toán ngẫu nhiên

Ở trong nước, tác giả Nguyễn Tiến Khiêm (1991) đã nghiên cứu các hệ dao động ngẫu nhiên theo các biên độ và pha và đã tìm được nghiệm tổng quát của phương trình FP theo các biến này Các ứng dụng phương pháp phân tích phổ trong phân tích

hệ dao động ngẫu nhiên cũng đã được tiến hành trong các nghiên cứu của Nguyễn Tiến Khiêm (1990), Nguyễn Cao Mệnh (1993) Trong Nguyễn Cao Mệnh (1993),

bằng phương pháp phổ, tác giả đã xác định được mật độ phổ của đáp ứng của hệ ngẫu nhiên nhiều bậc tự do, từ đó tính được các đặc trưng xác suất của đáp ứng Nguyễn Đông Anh và Ninh Quang Hải (2000) đã tìm được các đặc trưng xác suất của đáp ứng bằng cách biểu diễn đáp ứng của hệ đang xét qua một hàm đa thức của quá trình Gauss kết hợp với sử dụng các phương trình mô men Nguyễn Đông Anh và cs (2012) đã phát triển ý tưởng đối ngẫu để tổng quát hóa tiêu chuẩn bình phương bé nhất trong phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ ngẫu nhiên Với hệ chịu kích động ngẫu nhiên và tuần hoàn, Nguyễn Đông Anh và Nguyễn Như Hiếu (2012) đã nghiên

cứu hệ Duffing chịu kích động tuần hoàn và ngẫu nhiên bằng phương pháp trung bình, thực hiện trực tiếp trên phương trình dao động, và phương pháp tuyến tính hóa tương đương

Ở nước ngoài, có thể kể đến các công trình nghiên cứu giải tích liên quan đến

hệ dao động chịu kích động ngẫu nhiên và tuần hoàn như Dimentberg (1976, 1982),

Mitropolski và cs (1992), Robert và Spanos (1986), Nguyễn Đông Anh (1986),

Nayfeh và Serhan (1990), Manohar và Iyengar (1991), Haiwu và cs (2001) Chẳng hạn, trong nghiên cứu của mình, Dimentberg (1982) đã sử dụng phương pháp trung bình ngẫu nhiên trong tọa độ Đề-các để phân tích một lớp hệ dao động phi tuyến chịu kích động tuần hoàn và ngẫu nhiên Manohar và Iyengar (1991) đề xuất dùng phương pháp trung bình ngẫu nhiên trong tọa độ Đề-các và phương pháp phi tuyến tương đương để nghiên cứu ứng xử của hệ Van Der Pol chịu kích động cả tuần hoàn và ngẫu nhiên Bên cạnh đó, các phương pháp số cũng được phát triển cho hệ dạng này như trong các nghiên cứu của Yu và Lin (2004), Xie và cs (2006) và Narayanan và Kumar (2012) Narayanan và Kumar (2012) đã phát triển phương pháp tích phân đường cho

hệ phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên và tuần hoàn

1.2 Các phương pháp nghiên cứu hệ dao động ngẫu nhiên phi tuyến

Cũng giống như trong lý thuyết dao động tất định, phương trình vi phân ngẫu nhiên phi tuyến tính khó giải hơn nhiều so với phương trình tuyến tính Trong mục này, tác giả điểm qua một số phương pháp đã được phát triển trong thời gian vừa qua, gần với hướng tiếp cận của luận án, cho hệ dao động một bậc tự do chịu kích động ồn trắng Gauss có dạng như sau

Đây là phương trình dao

cứu, và có nhiều ứng dụng trong th

của gió như trong Hình 1.1a Với các gi

đó mô hình một bậc tự do tương đương v

1.1b Sử dụng định luật Newton cho mô hình

chuyển động như sau:

z = , q t( )=Q t

Phương trình (1.3) được xem là d

(Roberts và Spanos, 1999;Lutes và Sarkani, 2004

a)

Hình 1.1 Hệ một bậc tự do a) K

Phương pháp quá trình Markov

Phương pháp này dựa trên lý thuy

quá trình khuếch tán Từ khi phát hi

nhiều trường hợp, đáp ứng của các h

ình dao động được nhiều nhà khoa học trên thế giới nghiên

ng trong thực tiễn Chẳng hạn, xét toà nhà 1 tầng chịu tác đ

i các giả thiết để việc xây dựng mô hình đơn gi

do tương đương với toà nhà 1 tầng sẽ được xác định như

t Newton cho mô hình ở Hình 1.1b ta được phương tr

( )

mx cx kx Q t&& &+ + =mái, c (Ns/m) là hệ số cản, k (N/m) là độ cứng lò xo,

ng ngoài Nếu ta chia phương trình trên cho m thì ta thu

( )

22

thể được mô hình chính xác theo các thành phần của các quá trình Markov nhiều chiều Hàm xác suất chuyển trạng thái cho một quá trình như vậy được cho bởi một phương trình vi phân đạo hàm riêng, được gọi là phương trình Fokker -Planck (FP), hoặc phương trình khuếch tán tiến (Arnold, 1974) Ngoài hạn chế của mô hình, chủ yếu liên quan đến xấp xỉ các quá trình kích động thực tế như ồn trắng, về nguyên tắc,

lý thuyết quá trình Markov cho ta phương pháp trực tiếp để thu được lời giải chính xác của các bài toán ngẫu nhiên phi tuyến

Để có phương trình FP tương ứng với phương trình (1.1), trước hết ta viết phương trình (1.1) dưới dạng hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên Ito như sau:

với W t là quá trình Wiener đơn vị Khi đó hàm mật độ xác suất ( ) p= p x x t( , ,& của )

phương trình (1.4) thỏa mãn phương trình FP sau:

2

1, ,

Có thể thấy là phương trình (1.5) là phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp 2 rất khó giải Mặc dù gần đây đã có một số phát triển về mặt lý thuyết, nhưng ta chỉ có thể tìm được chính xác hàm mật độ xác suất dừng cho một lớp nhỏ các bài toán dao động ngẫu nhiên phi tuyến (xem Dimentberg, 1982; Nguyễn Đông Anh, 1986;Lutes

và Sarkani, 2004; Socha, 2008) Các phương pháp tìm nghiệm dạng giải tích cho phương trình FP với hàm mật độ xác suất dừng ở đây được gọi là các phương pháp thế năng (the potential method) (Socha, 2008, tr 50) Ta cũng có thể giải số phương trình

FP Nhiều tác giả đã phát triển các phương pháp số để giải các phương trình FP khi chúng không có lời giải giải tích, chẳng hạn như sử dụng phương pháp tích phân đường (Xie và cs., 2006;Narayanan và Kumar, 2012), phương pháp Galerkin toàn cục (Muscolino và cs., 1997), phương pháp phần tử hữu hạn (Kumar và Narayanan, 2006), phương pháp sai phân hữu hạn (Kumar và Narayanan, 2010), và phương pháp phần tử hữu hạn nhiều tọa độ (Masud và Bergman, 2005), nhưng thường sẽ gặp khối lượng tính toán lớn và những thách thức như được chỉ ra trong Narayanan và Kumar (2012)

Phương pháp trung bình ngẫu nhiên

Phương pháp trung bình ngẫu nhiên lần đầu tiên được đề xuất bởi Stratonovich (1967), được phát triển từ phương pháp trung bình cho hệ tất định do các nhà khoa học người Nga Krylov và Bogoliubov (1937) phát minh Phương pháp này được sử dụng rộng rãi để phân tích gần đúng các hệ dao động có cản yếu chịu kích động ngẫu nhiên dải rộng (Roberts và Spanos, 1986) Phương pháp này cho phép thay thế các quá trình Markov hai chiều cơ bản cho đáp ứng bằng một quá trình Markov một chiều cho quá trình biên độ a t của đáp ứng Phương trình FP tương ứng cho ( ) a t có thể được giải ( )

giải tích dễ dàng cho ta biểu thức đơn giản của phân bố xác suất dừng của quá trình biên độ Bằng cách xem xét quá trình pha tương ứng, ta có thể có được biểu thức giải tích gần đúng cho phân phối đồng thời của dịch chuyển và vận tốc của đáp ứng, từ đó

có thể tính được các số liệu thống kê liên quan

Trong phương pháp này, đáp ứng của hệ có cản yếu chịu kích động dải rộng được xấp xỉ bởi một quá trình khuếch tán Các hệ số của phương trình FP tương ứng được tính toán dựa trên một phép lấy trung bình thích hợp các phương trình chuyển động Điểm mạnh của phương pháp này nằm ở chỗ nó thường làm giảm số chiều của bài toán và làm đơn giản các tính toán tìm nghiệm Với các ưu điểm này, phương pháp trung bình cũng được áp dụng cho các hệ trong đó các đáp ứng đã là Markov Phương pháp trung bình được sử dụng rộng rãi trong các vấn đề dự đoán đáp ứng, phân tích ổn định… (Roberts và Spanos, 1986; Roberts, 1986; Zhu, 1988)

Kết hợp phương pháp trung bình ngẫu nhiên với các phương pháp khác

Phương pháp ngẫu nhiên trung bình cũng đã được sử dụng kết hợp với các phương pháp khác trong phân tích dao động ngẫu nhiên Việc kết hợp các phương pháp được thực hiện theo nhiều cách khác nhau Iwan và Spanos (1978) đề xuất kết hợp phương pháp tuyến tính hóa tương đương và phương pháp trung bình ngẫu nhiên

để phân tích hệ với độ cứng phi tuyến Đối với dao động Duffing chịu kích động ồn trắng, phương pháp cải thiện kết quả thu được bằng cách sử dụng trung bình của biên

độ đáp ứng nhưng không dẫn đến lời giải chính xác (Manohar, 1995) Stratonovich (1967) đã sử dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương để giải phương trình được

đơn giản bằng phương pháp trung bình ngẫu nhiên Bruckner và Lin (1987b) đã tận dụng dạng phức của phương pháp trung bình ngẫu nhiên giúp dễ dàng sử dụng kỹ thuật khép kín không Gauss cho phương trình được đơn giản hóa và đặc biệt hữu ích trong việc phân tích hệ phi tuyến nhiều bậc tự do Trong nghiên cứu các hệ phi tuyến chịu kích động bởi lực tuần hoàn và kích thích ngẫu nhiên hoặc khi tính trung bình một bậc cao trong tọa độ Đề-các, các phương trình đơn giản hóa thu được không được tách cặp, và, nói chung là không giải được nếu chỉ sử dụng lý thuyết quá trình Markov Trong tình huống như vậy Manohar và Iyengar (1991) đã đề xuất kết hợp phương pháp trung bình và phương pháp phi tuyến tương đương Kỹ thuật kết hợp này cho kết quả khá tốt đối với trường hợp hệ dao động Van der Pol chịu các kích động tuần hoàn và

ồn trắng

Phương pháp tuyến tính hóa tương đương

Nhìn chung, phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên là cách tiếp cận rất phổ biến đối với bài toán dao động ngẫu nhiên phi tuyến Phương pháp này là

sự mở rộng phương pháp tuyến tính hóa điều hòa nổi tiếng sang các bài toán ngẫu nhiên và được áp dụng cho các hệ một bậc tự do và hệ nhiều bậc tự do chịu kích động đầu vào dừng hoặc không dừng Ý tưởng cơ bản của phương pháp này là xấp xỉ thành phần phi tuyến trong hệ ban đầu bằng các mô hình tuyến tính sao cho hệ tuyến tính tương đương giải được Để đánh giá các thông số trong hệ tương đương, người ta giả thiết thêm là các đáp ứng phải là các quá trình Gauss và sử dụng một tiêu chuẩn tối ưu nào đó, chẳng hạn như tiêu chuẩn bình phương sai số bé nhất Phương pháp này được phát triển trong năm 1950 cho các bài toán dao động ngẫu nhiên (xemKazakov, 1954;Caughey, 1963 và các tham khảo trước đó) và tiếp tục được phát triển cho đến những năm gần đây (Roberts và Spanos, 1999; Socha, 2008; Nguyễn Đông Anh và cs., 2012)

Phương pháp tuyến tính hóa tương đương không nhất thiết cho nghiệm duy nhất vì nó phụ thuộc vào tiêu chuẩn tương đương mà ta sử dụng Bên cạnh tiêu chuẩn bình phương sai số bé nhất thường được sử dụng, các tiêu chuẩn khác cũng được phát triển (Casciati và cs., 1993; Nguyễn Đông Anh và cs., 2012) Tuy nhiên, trong các bài toán dao động ngẫu nhiên, các thống kê liên quan đến đáp ứng dừng là duy nhất, vì nghiệm dừng của phương trình FP tương ứng là duy nhất (Fuller, 1969) Phương pháp

này sau đó đã được mở rộng cho các hệ dao động ngẫu nhiên nhiều bậc tự do, chẳng hạn, xem các nghiên cứu của Atalik và Utku (1976)

Phương pháp phi tuyến hóa tương đương

Phương pháp này dựa trên ý tưởng tương tự như phương pháp tuyến tính hóa tương đương và có thể được xem như một phương pháp cho ước lượng các đáp ứng không là quá trình Gauss Phương pháp này được đề xuất bởi Caughey (1986) Ý tưởng chính của phương pháp này là thay thế hệ phi tuyến đang xét bởi một hệ phi tuyến tương đương thuộc các lớp bài toán có thể giải được chính xác Phương pháp này liên quan đến lớp các phương trình FP có thể giải được chính xác và do đó chỉ áp dụng được cho các hệ với đầu vào là ồn trắng Tiêu chuẩn của việc thay thế vẫn là phương pháp bình phương sai số bé nhất Phương pháp cho phép ta tính hàm mật độ xác suất của đáp ứng dừng không phải là quá trình Gauss và dự báo một cách chính xác đáp ứng ngẫu nhiên của hệ mà trong trường hợp này phương pháp tuyến tính hóa tương đương không thực hiện được (Manohar, 1995) Cai và Lin (1988) đã phát triển một kỹ thuật tương tự và đã áp dụng cho hệ với kích động tham số Ở đây, dao động thay thế thuộc về các lớp các hệ có thế năng dừng và được lựa chọn trên cơ sở năng lượng tiêu tán trung bình không thay đổi Đối với một hệ cụ thể, nghiệm thu được bằng phương pháp này được chứng minh là tốt hơn nghiệm thu được bằng phương pháp trung bình ngẫu nhiên Phương pháp phi tuyến hóa tương đương cũng được áp dụng để nghiên cứu đặc tính dao động của hệ Van der Pol chịu kích động cả tuần hoàn

và ngẫu nhiên (Manohar và Iyengar, 1991)

Phương pháp nhiễu

Phương pháp này được mở rộng trực tiếp phương pháp được sử dụng trong bài toán tất định Phương pháp này được áp dụng khi các phương trình chuyển động chứa tham số nhỏ đặc trưng cho tính phi tuyến trong hệ Nghiệm được khai triển thành chuỗi lũy thừa theo tham số bé dẫn đến một tập các phương trình vi phân tuyến tính có thể được giải tuần tự Phương pháp này được áp dụng cho cả hệ một bậc tự do và nhiều bậc tự do dưới mọi dạng kích động đầu vào ngẫu nhiên dừng hoặc không dừng Phương pháp nhiễu được sử dụng lần đầu tiên bởi Crandall (1963) để đánh giá mô

men đáp ứng của các hệ một bậc tự do và nhiều bậc tự do với độ cứng phi tuyến chịu kích động của quá trình Gauss dừng

Phương pháp nhiễu phù hợp cho hệ có phần phi tuyến là đa thức và rất hữu ích trong tính toán các mô men của đáp ứng Tuy nhiên, không thể xác định hàm mật độ xác suất của đáp ứng bằng cách sử dụng phương pháp này vì các thành phần bậc cao hơn không phải là các quá trình Gauss Hơn nữa, việc tính toán các thành phần bậc từ hai trở lên khá cồng kềnh và không thực tế, và độ chính xác tệ đi đáng kể khi tăng giá trị của tham số phi tuyến

1.3 Hệ dao động chịu kích động tuần hoàn và ngẫu nhiên

Trong thực tế, các hệ kỹ thuật thường chịu cả hai loại kích động tuần hoàn và ngẫu nhiên, và lời giải chính xác của chúng chỉ tìm được trong một số ít trường hợp Trong nghiên cứu các hệ phi tuyến chịu kích động tuần hoàn và ngẫu nhiên hoặc khi tính trung bình bậc cao, các phương trình đơn giản hóa không tách cặp được, và nói chung là không giải được trong khuôn khổ của lý thuyết quá trình Markov Do vậy, việc kết hợp các phương pháp với nhau đóng vai trò rất quan trọng trong việc tìm đáp ứng của các hệ dạng này Một số phương pháp/kỹ thuật đã được sử dụng để phân tích

hệ dạng này như:

- Phương pháp trung bình: Trong nghiên cứu của mình, Dimentberg (1982) đã sử dụng phương pháp trung bình ngẫu nhiên trong tọa độ Đề-các để phân tích các hệ chịu kích động tuần hoàn và ngẫu nhiên Các hệ được xét trong nghiên cứu này ở dạng đặc biệt mà các phương trình FP tương ứng với các phương trình trung bình có thể giải được chính xác

- Phương pháp trung bình và phương pháp hàm bổ trợ giải phương trình FP: Trong các nghiên cứu này, tác giả Nguyễn Đông Anh và cs (1986, 1995)đã xây dựng được điều kiện tích phân được phương trình FP, từ đó đối với nhiều bài toán ta có thể tìm được hàm mật độ xác suất dừng của chuyển động (xem thêm trong Mitropolskii và cs.,

1992)

- Phương pháp nhiều tọa độ (multiple scales) và phương pháp khép kín bậc hai (second-order closure method): Nayfeh và Serhan (1990) sử dụng phương pháp khép

kín bậc hai để xác định đáp ứng của hệ phi tuyến chịu kích động là tổng của thành phần điều hòa tất định và thành phần ngẫu nhiên

- Phương pháp trung bình và phương pháp phi tuyến tương đương: Manohar và Iyengar (1991) đề xuất dùng phương pháp trung bình ngẫu nhiên trong tọa độ Đề-các

và phương pháp phi tuyến tương đương để nghiên cứu ứng xử của hệ Van der Pol chịu kích động cả tuần hoàn và ngẫu nhiên Tuy nhiên, phương pháp này không thể áp dụng cho các hệ phi tuyến khác, chẳng hạn như hệ dao động Duffing Các hạn chế trong nghiên cứu của Dimentberg (1982) và của Manohar và Iyengar (1991) là do lớp các phương trình FP giải được và các khó khăn trong việc chọn các hệ phi tuyến tương đương với hệ ban đầu

- Phương pháp cân bằng điều hòa và phương pháp trung bình ngẫu nhiên được

Haiwu và cs (2001) sử dụng để nghiên cứu đáp ứng của dao động Duffing chịu kích động điều hòa và ngẫu nhiên Các tác giả sử dụng phương pháp cân bằng điều hòa và phương pháp trung bình ngẫu nhiên để xác định đáp ứng của hệ Nghiên cứu cho thấy dưới một số điều kiện, hệ có thể có hai nghiệm dừng và hiện tượng nhảy có thể tồn tại

- Phương pháp trung bình và phương pháp tuyến tính hóa được Nguyễn Đông Anh

và Nguyễn Như Hiếu (2012) đề xuất để nghiên cứu hệ Duffing chịu kích động tuần hoàn và ngẫu nhiên bằng phương pháp trung bình và phương pháp tuyến tính hóa trực tiếp trên phương trình dao động Ý tưởng thú vị trong nghiên cứu này là tìm cách tách phương trình dao động ngẫu nhiên thành hai phương trình, trong đó mỗi phương trình chỉ chịu thuần kích động tuần hoàn hoặc ngẫu nhiên Nhưng “sự phân tích có thể sẽ không đầy đủ khi các tác giả thay thế một số số hạng bằng trung bình của nó” (Nguyễn Đông Anh và Nguyễn Như Hiếu, 2012)

Có thể thấy là trong hơn 50 năm nghiên cứu hệ dao động chịu cả hai loại kích động tuần hoàn và kích động ngẫu nhiên, nhiều phương pháp và kỹ thuật đã được phát triển để nghiên cứu hệ dạng này Tuy nhiên, như đã trình bày ở trên, các phương pháp/kỹ thuật được phát triển thường chỉ giải tốt cho một lớp phương trình dao động

và phụ thuộc nhiều vào lớp phương trình FP giải được Do vậy, các phương pháp vẫn cần tiếp tục được phát triển cho các hệ phi tuyến chịu đồng thời kích động tuần hoàn

và ngẫu nhiên

1.4 Mục tiêu của luận án

Luận án nghiên cứu và phát triển một kỹ thuật mới kết hợp hai phương pháp nổi tiếng là phương pháp trung bình và phương pháp tuyến tính hóa để nghiên cứu hệ dao động một bậc tự do phi tuyến yếu chịu kích động tuần hoàn và ngẫu nhiên yếu trong miền cộng hưởng chính với mục tiêu:

- Xây dựng được kỹ thuật tính toán và các biểu thức giải tích cho các đặc trưng xác suất của đáp ứng

- Đánh giá được các ứng xử xác suất của đáp ứng của hệ dao động phi tuyến đang xét

- Trên cơ sở kết quả thu được từ các biểu thức giải tích, so sánh với kết quả

mô phỏng số, khảo sát được ảnh hưởng của các tham số hệ lên đáp ứng Không mất tính tổng quát, kỹ thuật phân tích trong luận án này được trình bày qua việc phân tích dao động các hệ dao động kinh điển, có nhiều ứng dụng trong thực

tế như hệ dao động Van der Pol, Duffing, Mathieu Bên cạnh đó, luận án cũng trình bày áp dụng kỹ thuật phân tích dao động cho đáp ứng thứ điều hòa bậc 1/3 của hệ Duffing như một định hướng phát triển của nghiên cứu các hệ dao động chịu kích động ngẫu nhiên và tuần hoàn

CHƯƠNG 2

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

2.1 Các khái niệm cơ bản trong giải tích ngẫu nhiên

Mục này trình bày các kiến thức cơ bản về lý thuyết xác suất, quá trình ngẫu nhiên và phương trình vi phân ngẫu nhiên mà tác giả có sử dụng trong luận án này (Stratonovich ,1967; Arnold, 1974; Lutes và Sarkani, 2004; Oksendal, 2000)

2.1.1 Sơ lược về lý thuyết xác suất

2.1.1.1 Không gian xác suất

Định nghĩa 2.1 Cho F là tập các tập con của W F gọi là s - đại số các tập con của tập W nếu thoả mãn các tính chất sau:

k k

k k

Định nghĩa 2.3 Bộ ba (W,F, P) được gọi là không gian xác suất với W là tập bất kỳ, F là s -đại số trên W và P là độ đo xác suất trên W

(ii) P A( ) gọi là xác suất của biến cố A

(iii) Khi một hiện tượng xảy ra chỉ trừ một tập có xác suất bằng không thì ta nói

2.1.1.2 Biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 2.5 Biến ngẫu nhiên là một hàm thực X :W ®¡ đo được với độ

Định nghĩa 2.8 Nếu X là biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất

(W,F, P) thì giá trị kỳ vọng (hay giá trị trung bình) của nó được định nghĩa là

Định nghĩa 2.12 Hàm phân phối xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên n

chiều X=(X X1, 2, ,K X n) được định nghĩa là

( 1, , ,2 n) ( { / 1( ) 1, 2( ) 2, n( ) n} )

F x x K x =P wÎ W X w <x X w < x KX w < x (2.10) Nếu

( 1, , ,2 n) ( ) ( ) ( )1 2 n

thì ta nói các biến ngẫu nhiên X X1, 2, ,K X n là độc lập

Định nghĩa 2.13 Hàm mật độ xác suất đồng thời của các biến X X1, 2, ,K X n

được cho bởi

( ) ( 1 2 )

1 2

1 2

, , ,, , ,

n

n n

u g v

g v v

g u u

L

được gọi là định thức Jacobi của phép biến đổi Y g X= ( )

Định nghĩa 2.14 Hàm hiệp phương sai của hai biến ngẫu nhiên X và 1 X 2

được cho bởi

Định nghĩa 2.15 Dãy biến ngẫu nhiên {X n( )w được gọi là hội tụ hầu chắc }

chắn đến biến X( )w nếu như

Định nghĩa 2.16 Dãy biến ngẫu nhiên {X n( )w được gọi là hội tụ bình }

phương trung bình đến biến X( )w nếu như

( 2)

Định nghĩa 2.17 Dãy biến ngẫu nhiên {X n( )w được gọi là hội tụ xác suất }

đến biến X( )w nếu như

Định lý 2.2 (Định lý giới hạn trung tâm)

Cho X X1, 2, ,X n, là dãy các biến ngẫu nhiên thực, độc lập, có cùng phân phối, và được xác định trên cùng một không gian xác suất với E X( )i = , m

22

b n

2.1.2 Quá trình ngẫu nhiên

2.1.2.1 Định nghĩa

Định nghĩa 2.18 Quá trình ngẫu nhiên là một họ các biến ngẫu nhiên X t( ),w

nhận giá trị thực, phụ thuộc vào hai biến t TÎ và wÎ W trong một không gian xác suất tổng quát sao cho nếu cố định t thì X t( ),w là P- đo được

Tham số t thường chọn là thời gian

( ),

X t là biến ngẫu nhiên trên không gian xác suất W

( ).,

X w gọi là đường mẫu hay quĩ đạo của quá trình ngẫu nhiên

Vì X t( ), là biến ngẫu nhiên nên ta cũng có các khái niệm hàm mật độ xác

suất, kỳ vọng, phương sai, các mô men và hàm hiệp phương sai cho quá trình ngẫu nhiên

Định nghĩa 2.19 Hai quá trình ngẫu nhiên X t( ),w và Y t( ),w gọi là tương đương nếu như X t( ), =Y t( ), hầu chắc chắn với mọi t³0

Ghi chú: Để đơn giản cách trình bày trong chương này, từ bây giờ ta viết X t( )

(hay X t) thay cho X t( ),w

Định nghĩa 2.20 Quá trình ngẫu nhiên X t( ) gọi là liên tục ngẫu nhiên tại t

nếu như với ,t t h+ ³ ta có 0

2.1.2.2 Một số quá trình ngẫu nhiên thường gặp

Quá trình Gauss

· Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Gauss, hay phân phối chuẩn, với

trung bình m và phương sai s2, được ký hiêu là N(m s , nếu như hàm mật , 2)

độ của nó có dạng

( ) 1 exp ( 2)2

22

x

s ps

X t a

(iii) Với 0= < < < , các số gia t0 t1 t n W t( )1 -W t( )0 , ,W t( )n -W t( )n-1 độc lập

Có thể thấy ngay các điều sau:

Chuyển động Brown (theo tên nhà vật lý R Brown -1927) là thuật ngữ dùng để

mô tả sự chuyển động không theo qui luật của các phần tử hạt phấn hoa trong môi trường nước Nhà khoa học thiết lập mô hình toán cho hiện tượng này là N Wiener Quĩ đạo của chuyển động Brown là một đường liên tục nhưng không khả vi tại bất kỳ điểm nào (Hình 2.1)

Hình 2.1 Một quĩ đạo của chuyển động Brown (quá trình Wiener)

Quá trình ồn trắng

Quá trình ồn trắng hay còn gọi là quá trình ồn trắng Gauss, là một quá trình Gauss với trung bình 0 và mật độ phổ hằng Nó còn được hiểu như là đạo hàm của quá trình Wiener theo thời gian theo nghĩa hình thức vì quá trình Wiener không đâu khả vi (Arnold, 1974) Theo đó, nếu ký hiệu quá trình ồn trắng là x( )t thì ta có cách viết:

Định nghĩa 2.24 Cho quá trình X t( ) và tập thời điểm {t1< <t2 L<t n} bất kỳ Quá trình X t( ) gọi là quá trình Markov nếu như

với R1 là tập các giá trị có thể có của X

Hàm xác suất chuyển và hàm mật độ xác suất của quá trình Markov được định nghĩa là

Định nghĩa 2.26 Quá trình Markov X t( ) được gọi là quá trình khuếch tán nếu tồn tại hàm a s x( ), (hàm chuyển dịch) và b s x( ), >0 (hàm khuếch tán) sao cho hàm xác suất chuyển thoả mãn

X t -X s tại thời điểm s ở vị trí x của quá trình X t( )

Định lý quan trọng sau cho biết cấu trúc xác suất của quá trình khuếch tán được xác định thông qua phương trình đạo hàm riêng tất định

Định lý 2.3 (Định lý Fokker-Planck Kolmogorov) Nếu X t( ) là quá trình Markov khuếch tán và có các đạo hàm liên tục thì hàm mật độ xác suất p s x t y( , ; , ) sẽ

là nghiệm của phương trình Fokker-Planck (còn gọi là phương trình Kolmogorov tiến) sau

2.1.3 Tích phân ngẫu nhiên

=ïî

&

(2.43)

với F:¡n®¡n cho trước Ta biết nghiệm của (2.43) là quĩ đạo x( )× : 0,[ ¥ ®) ¡ n

Hình 2.2 Quĩ đạo của phương trình vi phân thường

Tuy nhiên, trong nhiều ứng dụng, ta gặp các quĩ đạo X t( ) mà phương trình vi phân thường không thể biểu diễn được, chẳng hạn như hình dưới

Hình 2.3 Quĩ đạo của một quá trình ngẫu nhiên

Một cách tự nhiên, một cách để xây dựng mô hình toán học mô tả quĩ đạo trên

là

( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) 0

=ïî

( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) 0

0

x

x(t)