TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ Dạng 1: Đổi biến số dạng 1 Câu 1. • + + Câu 2. • . + . Đặt t= = + = = Vậy: Câu 3. • Đặt . I = . Câu 4. • Đặt . Câu 5. • Đặt: . Câu 6. • Đặt . I = = = . Câu 7.
Trang 1TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ Dạng 1: Đổi biến số dạng 1
=
∫
• I x dx x x x dx x dx x x dx
+ I1=∫3x dx x2 = 3+C1 + I2 =∫x 9x2−1dx x d x x C
3
2
⇒ I x x C
3
1 (9 1)
27
x x
2
1
+
=
+
∫
• x x dx
x x
2
1
+
+
2
x x
2 1
1
=
+
∫ Đặt t= 1+x x ⇔ − =t2 1 x x ⇔x3=(t2−1)2 x dx2 4 ( 1)t t2 dt
3
⇒ 4(t2 1)dt 4t3 4t C
x x
2
1
=
+
x x
+ +
Vậy: I 4 1( x x)3 C
9
x
4
0
+
=
+ +
t
3 2 1
2 ln 2
6
=
+ + +
∫ • Đặt t= 4x+1 I ln3 1
2 12
= −
Câu 5. I 1x3 x dx2
0
1
=∫ − • Đặt: t = 1−x2 ⇒ I 1(t2 t dt4)
0
2 15
=∫ − = .
x
1
0
1 1
+
=
+
∫
• Đặt t= x ⇒ dx =2 t dt I = t tdt
t
1 3 0
2 1
+ +
t
1 2 0
2
1
− + −
−
=
+ + +
∫
Trang 2• Đặt t= x+ ⇒1 2tdu dx= ⇒ I t t dt t dt dt
t
2
1
3 2
−
+ + +
2
= − +
Câu 8. I 0 x x3 dx
1
−
= ∫ +
• Đặt t 3x t3 x dx t dt2 I 1 t3 dt t7 t4 1
0 0
9
= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ = − = − ÷ = −
∫
x x
5 2
1
1
+
=
+
∫
• Đặt t 3x 1 dx 2 tdt
3
t
tdt I
2 2 4 2 2
3 1
3
−
+
÷
÷
=
−
2
2
2 ( 1) 2
−
t
t t
t
= − ÷ + = +
+
x
3 2
0
1
+ −
=
+
∫
• Đặt x+ = ⇔ = −1 t x t2 1 ⇒ dx=2tdt
t
2
1
− + − −
0
2
=
+ +
∫
• Đặt t= x+ ⇒ = + ⇒1 t2 x 1 2tdt dx=
t
2 2
3
1
⇒ = = − ÷ = − − ÷ =
Câu 12.
x
x
4
2 0
1
+
=
+ +
∫
x
1 2
= + + ⇒ = ⇒ = −
2
−
=
t
− + − = − + − = − + −
t
2
2 2
− + +
1 2ln2
4
−
x
8 2 3
1 1
−
=
+
∫
Trang 3• I x dx
8
3
1
= − ÷÷
8
3
+ − + +
Câu 14. I 1 x 3 x x dx2
0
=∫ − −
• I 1 x 3 x x dx2 1 x2 x x x x2 dx
15
= − .
2 0
1
− +
=
− +
∫
• I x x x dx
2 2
2 0
1
=
− +
3 2 1
4
3
⇒ = ∫ − = .
Câu 16. I x dx
x
2 3
0 4
=
+
∫
• Đặt t =34+x2 ⇒x2 = − ⇒t3 4 2xdx =3t dt2 ⇒ I t t dt
3
2
4
= − = − + ÷
∫
1
2
−
=
+ + +
∫
x
2
+ − +
= + ÷ −
x
1
1
1
= + ÷ = + =
∫
x
2
1
1 2
−
+
= ∫ Đặt t= 1+x2 ⇒ = +t2 1 x2⇒2tdt=2xdx⇒ I 2 = t dt
t
2 2 2 2
0 2( −1)=
∫
Vậy: I 1= .
Cách 2: Đặt t x= + x2+1.
Câu 18. (x x )
x
1
3 3 1
4 1
3
−
1
1 3
= − ÷
x1 12
= − ⇒ I 6= .
x
1
4−
=∫
• Ta có: I x xdx
x
2 1
4−
=∫ Đặt t = 4−x2 ⇒ = −t2 4 x2⇒tdt= −xdx
t
0
3
2
+ ÷
+
Trang 4Câu 20. I x dx
2 5
=
t
5 2 3
1 15ln
4
−
27
3 2 1
2
−
=
+
∫
t
−
π
= − + ÷−
1
2 0
1 1
=
+ +
∫
• Đặt t x= + x2+ + ⇒x 1 I dt t
t
1 1
+
∫
0(1 1 ) (2 1 )
=
+ + + +
∫
• Đặt 2+ 1+ = ⇒x t I t dt
t t
4
2 3
3
= − + − ÷ = − +
∫
=
+ + + + +
∫
• Đặt t= x 1+ ⇒ I t t dt t dt
t t
2 2
( 1)
−
+
1
= − =
x
3
4 1
2011
− +
= ∫
3
1 1
2011
−
x
x
3
3 1
1 1−
= ∫ Đặt t= 3 x1 12 − ⇒ M t dt
3 7
3 2
3 0
−
= − ∫ = −
2 2
3
16 2
⇒ I 14077 21 73
1
3
0(1 ) 1
=
∫
• Đặt t =31+x3⇒ I t dt dt
Trang 5dt dt t dt
t t
t t
t t
2 3
4
2 3
3 3
1 1 1
−
−
÷
− −
÷
÷
1
= − ⇒ = ⇒ I u du u du u u
1
1
3
0
1
3
−
÷
÷
÷
Câu 27.
x
x
2
=
− +
÷
∫
• Đặt t = x2+1
⇒ I t dt
t
2 2
2
−
=
−
2
− ÷
Dạng 2: Đổi biến số dạng 2
x
1
0
1
+
∫
• Tính H x dx
x
1 0
1 1
−
= +
∫ Đặt x cos ;t t 0;
2
π
= ∈ ⇒ H 2
2
π
= −
• Tính K 1 x x dx
0
2 ln(1 )
dv xdx
ln(1 ) 2
= +
=
⇒ K 1
2
=
Câu 29. I 2 x5 x2 x dx2
2
−
= ∫ + −
• I = 2 x5 x2 x dx2
2
−
2
4
−
−
∫ + 2 x2 x dx2
2
4
−
−
+ Tính A = 2 x5 x dx2
2
4
−
−
∫ Đặt t= −x Tính được: A = 0.
+ Tính B = 2 x2 x dx2
2
4
−
−
∫ Đặt x=2sint Tính được: B = 2π Vậy: I 2= π.
Trang 6Câu 30. I ( x dx)
x
4 1
2
− −
=∫
−
+ Tính I1= dx
x
2 4 1
3 2
∫ = 2x dx4
1
2∫ − =16.
x
1
4 2
−
=∫ Đặt x=2sint⇒dx=2costdt .
2
Vậy: I 1 7 2 3( )
16
Câu 31. I x dx
x
1 2
6
0 4
=
−
∫
• Đặt t x= 3⇒ =dt 3x dx2 ⇒ I dt
t
1
2 0
1
=
−
Đặt t 2sin ,u u 0; dt 2cosudu
2
π
= ∈ ⇒ =
⇒ I 6dt
0
1
π π
= ∫ = .
x
2
0
2 2
−
=
+
∫ • Đặt x=2 cost⇒dx= −2sintdt ⇒ I 2 2 t dt
0
2
π
π
= ∫ = − .
x x
2
0 3 2
=
+ −
∫
• Ta có: I x dx
x
0 2 ( 1)
=
− −
∫ Đặt x− =1 2cost
t
2 2
2 2
3
(1 2cos ) 2sin
4 (2cos )
π
π
+
= −
−
2 3
2
π π
π + −
1
2
2 0
1 2 1− −
0
3 1 (cos sin )cos
π
π
Trang 7Dạng 3: Tích phân từng phần
Câu 35. I 3 x2 dx
2
1
= ∫ −
• Đặt
x
x
2
2
1
1
= − ⇒
=
=
x
dx
x
2
2
1
−
∫ ∫ =5 2− −I ln x+ x2−1 32
⇒ I 5 2 ln 2 1( ) 1ln2
Chú ý: Không được dùng phép đổi biến x
t
1 cos
= vì 2;3 ∉ − [ 1;1]