CHUYÊN ĐỀ VỀ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH TOÁN ÔN THI ĐẠI HỌC

Chuyên đề: SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH f (x ) = 0 I. Áp dụng Định lí: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn a;b và f(a).f(b) < 0,thì tồn tại ít nhất một điểm c sao cho f(c) = 0. Hay nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn a;b và f(a).f(b) < 0, thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a;b). II. Phương pháp: Để chứng minh f(x) = 0 có nghệm trong khoảng (a;b) ta thực hiện 2 bước sau: + Khẳng định được f(x) liên tục trên đoạn + Chứng tỏ f(a).f(b) < 0 III. Bài tập: 1)Chứng minh các phương trình sau có nghiệm. a b (1) c Giải: a Đặt f(x) = Chọn a = 0 ; b = 1 Ta có f(0).f(1) = 1 < 0 Và f(x) là hàm đa thức xác định trên R nên liên tục trên R => liên tục trên . Do đó f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm Vậy pt có nghiệm.(đpcm). b Đặt f(x) = (1) VT(1) là hàm đa thức xác định trên R nên liên tục trên R. Nếu a0 > 0 xét nên tồn tại x1 < 0 với đủ lớn để ta có f(x1) < 0 xét nên tồn tại x2 > 0 với đủ lớn để ta có f(x2) > 0 Khi đó f(x1). f(x2) < 0 .Do f(x) liên tục trên R nên f(x) liên tục trên Do đó f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm Nếu a0 < 0 ta làm tương tự Vậy pt

Chuyên đề:

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH f (x ) = 0

I Áp dụng Định lí:

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0,thì tồn tại ít nhất một điểm c ( ; )∈ a b sao cho f(c) = 0

Hay nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0,

thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a;b)

II Phương pháp:

Để chứng minh f(x) = 0 có nghệm trong khoảng (a;b) ta thực hiện 2 bước sau:

+ Khẳng định được f(x) liên tục trên đoạn [ ]a b;

+ Chứng tỏ f(a).f(b) < 0

III Bài tập:

1)Chứng minh các phương trình sau có nghiệm.

a/ 4 3x − + =x 1 0

b/a x0 2 1n a x1 2n a x2 2 1 n a x2 a2 1 0(a0 0)

c/(m4+ +m 1)x2011+100x5−3200 0;= ∀m

Giải:

a/ Đặt f(x) = 4 3x − +x 1

Chọn a = 0 ; b = 1

Ta có f(0).f(1) = -1 < 0

Và f(x) là hàm đa thức xác định trên R nên liên tục trên R => liên tục trên 0;1 .

Do đó f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x0∈(0;1)

Vậy pt 4 3x − + =x 1 0 có nghiệm.(đpcm)

b/ Đặt f(x) = a x0 2 1n a x1 2n a x2 2 1 n a x2 a2 1 0(a0 0)

VT(1) là hàm đa thức xác định trên R nên liên tục trên R

Nếu a0 > 0 xét l imf(x) x = −∞

→−∞ nên tồn tại x1 < 0 với 1x đủ lớn để ta có f(x1) < 0 xét limf(x) x = +∞

→+∞ nên tồn tại x2 > 0 với 2x đủ lớn để ta có f(x2) > 0 Khi đó f(x1) f(x2) < 0 Do f(x) liên tục trên R nên f(x) liên tục trên x x1 2; 

Do đó f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x0∈( ;x x1 2)

Nếu a0 < 0 ta làm tương tự

Vậy pt a x0 2 1n a x1 2n a x2 2 1 n a x2 a2 1 0(a0 0)

nghiệm.(đpcm)

c/ (m4+ +m 1)x2011+100x5−3200 0;= ∀m

Đặt f(x) =(m4+ +m 1)x2011+100x5−3200 0;= ∀m

Chọn a = 0 ; b = 2

Ta có f(0) = 3200

f(2) = (m4+ +m 1)22011

Ta chứng minh f(2) > 0 với mọi m

Thật vậy với m ≥ 0 thì f(2) > 0

Với m≤ − ⇒1 f m( )=m m( 3+ + =1) 1 m m( +1)(m2− + + >m 1) 1 0

Với − < < ⇒1 m 0 f m( )=m4+(m+ >1) 0

Vậy f(2) > 0 với mọi m nên f(0).f( 2) < 0

và f(x) =(m4+ +m 1)x2011+100x5−3200 là hàm đa thức xác định trên R nên liên tục trên R do đó liên tục trên [ ]0;2 .

Do đó pt luôn có nghiệm với mọi m ( đpcm)

2)Chứng minh phương trình sau đây có ít nhất hai nghiệm.

Giải:

Đặt f(x) = m x( −1) (3 2x − +4) x4−3

Chọn a = 1; b = 2

Ta có f(1) = - 2; f(2) = 13

Ta có f(1).f(2) = -26 < 0

Và f(x) là hàm đa thức xác định trên R nên liên tục trên R => liên tục trên [ ]1;2 .

Do đó f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x0∈(1;2)

Vậy pt m x( −1) (3 2x − +4) x4− =3 0; có nghiệm m∀ (đpcm)

3)Chứng minh phương trình 2x3−6x+ =1 0 có ba nghiệm ∈ − 2;2

Giải:

Đặt f(x) = 2x3−6x+1 là hàm đa thức xác định trên R nên liên tục trên R do đó liên tục trên [−2;2].

Chọn a = -2 ; b = 0; c = 1, d = 2

Và f(-2) = -3; f(0) = 1 ; f(1) = -1 ; f(2) = 5

nên f(-2) f(0) < 0 và f(0) f(1) < 0 ; f(1) f(2) < 0 do đó f(x) = 0 có ít nhất một nghiệmx1∈ −( 2;0) ; x2∈(0;1); x2∈(1;2)

Vậy pt 2x3−6x+ =1 0 có ba nghiệm.(đpcm).

4)Cho phương trình 4x − − =x 2 0 Chứng minh pt có nghiệm

( )1;2 78

x ∈ va x >

Giải:

Đặt f(x) = 4x − −x 2 là hàm đa thức xác định trên R nên liên tục trên R

Ta có f(1).f(2) = - 24 < 0

Và f(x) là hàm đa thức liên tục trên R do đó liên tục trên [ ]1;2

nên f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x0∈(1;2)

Chứng minh: x0>7 8

Vì x0∈(1;2) và x0 là nghiệm của f(x) = 0 nên

04 0 2 0 04 0 2 4 2 .2 8 8 78

Dấu = xảy ra khi x0 = 2 ;2 (1;2)∉ nên x0>7 8

Vậy phương trình 4x − − =x 2 0 có nghiệm x0∈( )1;2 va x0>78

5)Chứng minh phương trình sau đây có ít nhất một nghiệm∈0;1

3x +4x =9x

Giải:

b/ Đặt f(x) = 3x +4x −9xlà hàm đa thức xác định trên R nên liên tục trên

R do đó liên tục trên [ ]0;1 .

Ta có: f(0) = 1 , f(1) = -2 nên f(0) f(1) < 0 vậy phương trình có ít nhất một nghiệm∈0;1 (đpcm)

IV Bài tập tự luyện:

1) Chứng minh các phương trình sau có nghiệm

a/ 3x −6x2+9x+ =10 0

b/ - x + sinx + 1 = 0 c/ cos x + m.cos2x = 0 , ∀m

d/ m x( −1) (3 x + +2) 2x + = ∀3 0; m

e/ (1−m2)(x +1)3+x2− − = ∀x 3 0; m

f/ (2 cosm x− 2) 2sin5= x+ ∀1; m

2) Chứng minh các phương trình sau đây có ít nhất hai nghiệm.

a/ 3x4−4x3−6x2+12x−20 0=

b/2x3−10x − =7 0

d/ 4x +ax3+bx2+ − = ∀cx 1 0; a b c, ,

3) Chứng minh phương trình

a/ 2x3−6x+ =1 0 có ba nghiệm ∈ − 2;2

b/ 3 3x − + =x 1 0 Có 3 nghiệm phân biệt

c/ 5x −3x4+ − =5x 2 0 có ít nhất 3 nghiệm ∈ −( 2;5)

4) Chứng minh các phương trình sau đây có nghiệm dương

a/ (m2+ +m 1)x5+x3− = ∀27 0; m

b/ (m2+ +m 1)x4+2x − = ∀2 0; m

c/ x3 6 1 2 0+ x+ − =

5) Chứng minh các phương trình sau đây có ít nhất một nghiệm

a/ 33x +2x− =2 0

b/ (x a x b− )( − +) 2x2−a2−b2=0 với 0 < a < b

6) Chứng minh các phương trình sau đây có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn -1

a/ 3x + + =x 1 0

7) Chứng minh phương trình sau đây có ít nhất một nghiệm dương bé hơn ;

2 m

π ∀

2(2cos 1) 2sin 1

8) Chứng minh phương trình sau đây có ít nhất một nghiệm âm

2 2013 (2−m x) − − = ∀5x 2 0; m

9) Chứng minh các phương trình sau đây có ít nhất một nghiệm∈0;1

3 5x + − =x 3 0

10) Chứng minh các phương trình sau đây có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc ( 1;1)−

a/ 2x4+4x2+ − =x 3 0

b/ 4x4+2x2− − =x 3 0

Huế,ngày 20/02/2014

Hồ Thị Nga