đồ án kỹ thuật điện điện tử Ứng dụng của chuẩn hợp nhất trong việc xác định giá trị của luật hợp thành trong điều khiển mờ.

t-Nội dung chính của luật văn là tôi tìm hiểu toán tử chuẩn hợp nhất, ứng dụngcủa nó trong việc xây dựng phép kéo theo và phần tiếp theo tôi mạnh dạn đề xuất « mang tính chất định hướng

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 : CHUẨN HỢP NHẤT 3

1.1 Tập mờ, Logic mờ 3

1.1.1 Khái niệm tập mờ 3

1.1.2 Logic mờ và một số phép toán cơ bản của logic mờ 6

1.1.3 Hàm chuyển 18

1.2 Chuẩn hợp nhất 19

1.2.1 Chuẩn hợp nhất 19

1.2.2 Tính chất của toán tử hợp chuẩn nhất: 20

1.2.3 Chuẩn hợp nhất Umax , Umin 22

1.2.4 Chuẩn hợp nhất lũy đẳng 25

1.2.4 Chuẩn hợp nhất biểu diễn 31

CHƯƠNG 2: PHÉP KÉO THEO 35

2.1 Phép kéo theo 35

2.1.1 Định nghĩa phép kéo theo 35

2.1.2 Các dạng hàm kéo theo định nghĩa bằng các hàm t-chuẩn, t-đối chuẩn và phủ định : 35

2.2 Phép kéo theo (U,N) 36

2.3 Phép kéo theo RU 38

2.4 Phép kéo theo QL 42

2.5 Phép kéo theo D 48

CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG CỦA CHUẨN HỢP NHẤT TRONG ĐIỀU KHIỂN MỜ 51

3.1 Chuẩn hợp nhất lũy đẳng 51

3.2 Quá trình điều khiển với yếu tố mờ, không chắc chắn 52

3.3 Biến ngôn ngữ 54

3.4 Cấu trúc cơ bản 55

3.5 Cơ sở luật 56

3.6 Khâu mờ hóa 56

3.7 Mô tơ suy diễn 58

3.7.1 Xác định giá trị của các luật: 58

3.7.2 Xác định giá trị luật hợp thành: 59

3.8 Khâu giải mờ 60

KẾT LUẬN 62

TÀI LIỆU THAM KHẢO 63

MỞ ĐẦU

Từ nhiều năm trở lại đây, lí thuyết tập mờ và logic mờ phát triển rất nhanh và

đa dạng Công nghệ mờ và công nghệ mạng nơ-ron đã cung cấp nhiều công nghệmới cho các ngành công nghiệp làm ra nhiều sản phẩm thông minh, đáp ứng nhucầu thị trường cần có bộ điều khiển linh hoạt hơn, những thiết bị biết làm việc vớinhững bài toán khó, phải xử lí nhiều loại thông tin mập mờ, chưa đầy đủ và thiếuchính xác Logic mờ đã đóng góp rất cơ bản cho lập luận xấp xỉ trong những tìnhhuống mới phức tạp như là tình huống thông tin thiếu chính xác, chưa đầy đủ

Trong lôgic mờ khái niệm t-chuẩn và t-đối chuẩn đóng vai trò quan trọng

trong việc tổng quát hóa các toán tử kết hợp and và or Các toán tử này được xác

định trong đoạn [0,1] nhưng khác nhau ở phần tử trung hòa của chúng Đối với chuẩn phần tử đơn vị là 1 còn đối với t- đối chuẩn phần tử đơn vị l bằng 0 Hợpnhất và tổng quát hóa các toán tử này bằng cách gán phần tử đơn vị là một số nằmtrong một khoảng đơn vị Ta gọi cách tổng quát hóa lớp các toán tử này là toán tửchuẩn hợp nhất

t-Nội dung chính của luật văn là tôi tìm hiểu toán tử chuẩn hợp nhất, ứng dụngcủa nó trong việc xây dựng phép kéo theo và phần tiếp theo tôi mạnh dạn đề xuất

« mang tính chất định hướng » : ứng dụng của chuẩn hợp nhất trong việc xác địnhgiá trị của luật hợp thành trong điều khiển mờ

Luận văn gồm 3 chương:

Chương 1, Toán tử Chuẩn hợp nhất Trong luận văn này, tôi chỉ đề cấp

đến các lớp chuẩn hợp nhất phổ biến sau đây và các tính chất của nó:

+ Lớp chuẩn hợp nhất dạng Umin, Umax

+ Lớp chuẩn hợp nhất lũy đẳng

+ Lớp chuẩn hợp nhất biểu diễn và Lớp chuẩn hợp nhất liên tục

Chương 2, Phép kéo theo Nội chính là ứng dụng của toán tử chuẩn hợp

nhất trong việc xậy các phép kéo theo sau :

+ Phép kéo theo (U,N)

+ Phép keo theo RU

+ Phép kéo theo QL

+ Phép kéo theo

Chương 3, Ứng dụng của chuẩn hợp nhất trong Điều khiển mờ : Nội

dung chính là : ứng dụng của chuẩn hợp nhất trong việc xác định giá trị của luật hợpthành trong điều khiển mờ

Do thời gian có hạn và khả năng còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏinhững thiếu sót Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến từ các thầy cô giáo đểhoàn thiện hơn bản luận văn của mình

Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán-Cơ-Tinhọc đã hướng dẫn chúng em trong thời gian học tập tại trường Em xin cảm ơnPGS.TSKH Bùi Công Cường đã tận tình hướng dẫn em hoàn thành bài luận văn này

CHƯƠNG 1 CHUẨN HỢP NHẤT1.1 Tập mờ, Logic mờ

 gọi là hàm thuộc (membership function).

A( )x là độ thuộc của x vào tập mờ A

Tập A được gọi là tập rỗng nếu nó không có phần tử nào Kí hiệu là: A 

+ Ví dụ 1.1.2 : Vết vân tay của tội phạm trên hiện trường là một ví dụ về tập mờ

được cho trong hình sau:

b Các phép toán đại số trên tập mờ :

* Định nghĩa 1.1.2: Cho A , B là hai tập mờ trên không gian nền X, có các

hàm thuộc là A,B Khi đó phép hợp A B , phép giao A B và phần bù A C

là các tập mờ trên X với các hàm thuộc cho bởi:

( ) ax{ ( ), ( )}, x X( ) in{ ( ), ( )}, x X

* Định nghĩa 1.3: Cho A B F X,  ( ) Ta nói:

AB nếu A( )x B( )x với mọi x X

AB nếu A( )x B( )x với mọi x X

Do đó:

A B nếu A( )x B( )x với mọi x X

Với các tập mờ thì nhiều tính chất của tập rõ vẫn còn đúng Mệnh đề sau sẽminh họa điều đó

A( ) 1x1  A( ) 0.7x2 

Chứng minh:(Ở đây ta chứng minh một vài đẳng thức để minh họa)

+ Chứng minh đẳng thức của tính chất phân phối:

c b a  b a a a

1.1.2 Logic mờ và một số phép toán cơ bản của logic mờ.

Trong những suy luận đời thường cũng như trong các suy luận khoa học chặtchẽ, logic toán học đã đóng vai trò rất quan trọng

Nhưng đáng tiếc, chiếc áo logic toán học cổ điển đã quá chật hẹp đối vớinhững ai mong muốn tìm kiếm những cơ sở vững chắc cho những suy luận phù hợphơn với những bài toán nảy sinh từ nghiên cứu và thiết kế những hệ thống phức tạp,đặc biệt là những cố gắng đưa những suy luận giống như cách con người vẫn thường

sử dụng vào các lĩnh vực trí tuệ nhân tạo (chẳng hạn trong các hệ chuyên gia, các hệ hỗtrợ quyết định, các bộ phần mềm lớn,…) hay vào trong công việc thiết kế và điềukhiển, vận hành các hệ thống lớn, phức tạp sao cho kịp thời và hiệu quả

Trong sự phát triển đa dạng của các hệ mờ, dựa trên cách tiếp cận mới của líthuyết tập mờ, logic mờ giữ một vai trò cơ bản.Trong chương này, ta sẽ hiểu logic

mờ theo nghĩa đủ “hẹp” – đó là phần trực tiếp suy rộng logic mệnh đề cổ điển thôngqua việc trình bày một số công cụ củ chốt của logic mờ: các liên kết logic cơ bản

1.1.2.1 Logic mệnh đề cổ điển:

Ta kí hiệu P là tập hợp các mệnh đề và P, P 1 , Q, Q 1 …là những mệnh đề

Với mỗi mệnh đề P P , ta gán một giá trị v(P) là giá trị chân lí của mệnh đề Logic cổ điển đề nghị v(P) =1 nếu P là đúng, v(P) = 0 nếu P là sai.

Trên P chúng ta xác định trước tiên 3 phép toán cơ bản và rất trực quan:

- Phép tuyển: P OR Q, kí hiệu là P Q , đó là mệnh đề “hoặc P hoặc Q”

- Phép hội: P AND Q, kí hiệu là P Q , đó là mệnh đề “vừa P vừa Q”

- Phép phủ định: NOT P , kí hiệu là P , đó là mệnh đề “không P”.

Dựa vào 3 phép toán logic cơ bản này, người ta đã định nghĩa nhiều phép toán

khác, nhưng quan trọng nhất là phép kéo theo (implication), kí hiệu là P Q

Từ bảng chân lí trên ta có điều phải chứng minh.

* Mệnh đề 1.1.3: Luật Modus tollens: ((P Q) Q) P luôn đúng tronglogic cổ điển

Chứng minh: Ta chỉ cần tính giá trị chân lí của ((P Q) Q) P

Từ bảng chân lí trên ta có điều phải chứng minh

Ta có thể lí giải luật modus ponens làm ví dụ Luật này có thể giải thích như sau:

Nếu mệnh đề P là đúng và định lí “ P kéo theo Q “ đúng thì mệnh đề Q cũng đúng.

Tương tự ta có thể lí giải cho các luật khác

1.1.2.2 Một số phép toán cơ bản của logic mờ

Năm 1973, L.Zadeh đã chính thức định nghĩa và làm việc với các liên kết logic

mờ cơ bản, đồng thời với việc đưa ra khái niệm biến ngôn ngữ đã bước đầu ứngdụng vào suy diễn mờ Đây là bước khởi đầu rất quan trọng tính toán các suy diễndùng logic mờ trong các hệ mờ

Thật tự nhiên để có thể tiến hành mô hình hóa các hệ thống có nhiều thông tinbất định và nhiều tri thức còn mập mờ và tìm cách biểu diễn các quy luật vận hànhtrong các hệ thống này, chúng ta cần suy rộng các phép liên kết logic cơ bản với

các mệnh đề có giá trị chân lí v(P) nhận trong đoạn [0,1],( thay cho quy định v(P)

chỉ nhận giá trị 1 hoặc 0 như trước đây)

Ta đưa vào các phép toán cơ bản của logic mờ qua con đường tiên đề hóa Cho

các mệnh đề P, P 1 , Q …, giá trị chân lí v(P),v(P 1 ),v(Q) … sẽ nhận trong đoạn [0, 1].

Sau đây là bốn phép liên kết cơ bản nhất:

Định nghĩa phần bù của một tập mờ: Cho  là không gian nền, một tập mờ A

trên  tương ứng với hàm thuộc A:   [0,1]

* Định nghĩa 1.1.7: Cho n là hàm phủ định , phần bù A C của tập mờ A là một

tập mờ với hàm thuộc cho bởi A a C( )n A a( ( )), với mỗi a  

Rõ ràng định nghĩa phần bù cho trong phần 1.1.1 là trường hợp riêng khi n(x)

là hàm phủ định thường dùng

b Phép hội

Phép hội( conjunction) là một trong mấy phép toán logic cơ bản nhất Thôngthường ta xét mấy tiên đề sau:

TĐ 1: v(P1 AND P2) chỉ phụ thuộc vào v(P1), v(P2)

TĐ 2: Nếu v(P1) = 1 thì v(P1 AND P2) = v(P2), với mọi mệnh đề P2

TĐ 3: Giao hoán: v(P1 AND P2) = v(P2 AND P1)

TĐ 4: Nếu v P( )1 v P( )2 thì v(P1 AND P3)  v(P2 AND P3), với mọi mệnh đề P3

TĐ5: Kết hợp: v(P1 AND (P2 AND P3)) = v((P1 AND P2 )AND P3)

* Định nghĩa 1.1.8: Hàm T: [0, 1]2  [0, 1] là một t-chuẩn (t-norm) nếu thỏamãn các điều kiện sau:

a) T(1, x) = x , với mọi 0  x 1

b) T có tính chất giao hoán, tức là T(x, y) = T(y, x), với mọi 0x y, 1

c) T không giảm theo nghĩa T x y( , )T u v( , ), với mọi x u y v , 

d) T có tính kết hợp: T(x,T(y, z)) = T(T(x, y), z), với mọi 0x y z, , 1

Từ những tiên đề trên ta suy ra ngay T(0,x) Hơn nữa, tiên đề d) đảm bảo tính

thác triển duy nhất cho hàm nhiều biến.

5) t-chuẩn Lukasiewicz: T L (x, y) = max{x+y-1,0}

6) t-chuẩn yếu nhất: ( , ) min( , ) ax(x, y) =1

+ Mệnh đề 1.1.5: Với mỗi t- chuẩn T thì:

Z x y( , )T x y( , )T x y1( , ) min( , ) x y với mọi 0x y, 1

- Nếu max(x, y) < 1, Z(x, y) = 0 < T(x, y).

Giả sử y = min(x, y), khi đó T(x, y) < T(1, y) = y = T 1 (x, y).

Tương tự nếu x = min(x, y).

* Định nghĩa 1.1.9:

a) Một t-chuẩn T gọi là liên tục nếu T là hàm liên tục trên [0, 1]2

b) Hàm T gọi là Archimed nếu T(x, x)< x với mọi 0  x 1

c) Hàm T gọi là chặt nếu T tăng chặt trên (0,1)2

Vậy T 4 (a,a) < a với mọi a (0,1).

1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0

0.5 1

y x

Hàm TL(x, y) = max{x+y-1,0}:

0 0.2 0.4 0.6 0.8

1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0

0.5 1

y x

c Phép tuyển

Cũng như phép hội, phép tuyển hay toán tử logic OR (disjunction) thông

thường thỏa mãn các tiên đề sau:

* Định nghĩa 1.1.10: Hàm S: [0, 1]2  [0, 1] gọi là một phép tuyển (OR suy

a) S(0, x) = x , với mọi 0  x 1

b) S có tính chất giao hoán, tức là S(x, y) = S(y, x), với mọi 0x y, 1

c) S không giảm theo nghĩa S x y( , )S u v( , ), với mọi 0  x u 1, 0  y v 1

d) S có tính kết hợp: S(x,S(y, z)) = S(S(x, y), z), với mọi 0x y z, , 1

ax( , ) min( , ) 0( , )

* Đồ thị của một số hàm t-đối chuẩn:

S0(x,y)=max(x,y)

0 0.2 0.4 0.6 0.8

1 00.2 0.4 0.6 0.8 1 0

0.5 1

y x

0 0.2 0.4 0.6 0.8

1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0

0.5 1

y x

* Tính chất của t-đối chuẩn:

+ Định lí 1.1.1: Với S là một t-đối chuẩn bất kì thì bất đẳng thức sau luôn

đúng với mọi x y , [0,1]:

a S x y) 0( , )S x y( , )S x y4( , )

b S) 0 S1S2 S4

Chứng minh:

a) Khi x = 1, ta có: S(1,y) = 1, S 0 (1,y) = max(1,y) =1 = S 4 (x,y).

Khi y = 1, tương tự: S 0 (x,1) = S(x,1) = S 4 (x,y).

Khi x = 0, tương tự ta cũng có: S 0 (0,y) = S(0,y) = S 4 (0,y).

Do đó x y, [0,1] luôn có S x y1( , )S x y2( , ).

- Chứng minh S2S4:

+ Xét x = 0 x y 1, do đó S 3 (x,y) = max(x,y).

Lại do x = 0 suy ra min(x,y) = 0  S x y4( , )max(x,y) = S ( , )3 x y

+ Tương tự xét y = 0 ta cũng có kết quả trên.

+ Xét tiếp với x0, y0 Khi đó S 4 (x,y) = 1.

Khi x+y <1  S x y3( , )max(x,y) 1=S ( , ) 4 x y

Khi x+y >1  S x y3( , ) 1=S ( , ) 4 x y

Vậy, x y, [0,1] luôn có S x y2( , )S x y4( , )

Từ các kết quả trên ta được: S x y0( , )S x y1( , )S x y2( , )S x y4( , )

* Định nghĩa 1.1.11: Cho S là t-đối chuẩn Khi ấy:

a) S gọi là liên tục nếu S là hàm liên tục trên [0, 1]2

b) Hàm S gọi là Archimed nếu S(x,x) > x với mọi 0< x< 1 c) S gọi là chặt nếu S tăng chặt trên (0,1)2

S 2 (x,y) = min{1,x+y} là Archimed vì S 2 (x,x) = min{1,x+x} = min{1,2x} > x.

* Một số toán tử có liên quan: Phép toán giao, hợp của hai tập mờ suy rộng.

Bộ ba De Morgan:

+ Phép giao của hai tập mờ:

Định nghĩa 1.1.12: Cho hai tập mờ A, B trên cùng không gian nền X với hàm thuộc tương ứng là A(x), B(x) Cho T là một t-chuẩn.

Ứng với t-chuẩn T, tập giao của hai tập mờ A và B là một tập mờ AT B trên X

với hàm thuộc cho bởi: (AT B x)( )T A x B x( ( ), ( )),  x X

Việc lựa chọn phép giao, tương ứng với t_chuẩn T nào tùy thuộc bài toán ta quan tâm

* Ví dụ 1.1.9: Cho U là không gian nền, U=[0,120] là thời gian sống.

A={Những người ở tuổi trung niên}; B={Những người ở tuổi thang niên} ; Khi đó hợp của hai tập A, B với T(x,y)=min(x,y) và T(x,y)=xy Chúng ta biểudiễn trên hình vẽ như sau:

+ Phép hợp của hai tập mờ:

Định nghĩa 1.1.13: Cho hai tập mờ A, B trên cùng không gian nền X với hàm thuộc tương ứng là A(x), B(x) Cho S là một t-đối chuẩn.

Ứng với t-đối chuẩn S, phép hợp của hai tập mờ A và B là một tập mờ AS B

trên X với hàm thuộc cho bởi: ( AS B x)( )S A x B x( ( ), ( )),  x X

Việc lựa chọn phép hợp, tương ứng với t_đối chuẩn S nào tùy thuộc bài toán taquan tâm

* Ví dụ 1.1.10:Cho U là không gian nền, U=[0,120] là thời gian sống.

A={Những người ở tuổi trung niên}; B={Những người ở tuổi thang niên} ; Khi đó hợp của hai tập A,B với S(x,y)=max(x,y) và S(x,y)=min(1,x+y) Chúng

ta biểu diễn trên hình vẽ như sau:

- Định nghĩa 1.1.14: Cho T là một t-chuẩn, S là một t-đối chuẩn, n là một phép

phủ định mạnh Ta nói bộ ba (T, S, n) là một bộ ba De Morgan nếu thỏa mãn mộttrong hai đẳng thức sau:

Hay T(x,y) = n(S(n(x),n(y))

Khi ấy ta nói T và S đối ngẫu với nhau

- Định lí 1.1.2 (Quan hệ đối ngẫu giữa t-chuẩn và t-đối chuẩn) :

Cho n là một phép phủ định mạnh Khi đó :

a) S(x,y) là một t-đối chuẩn và T(x,y) cho bởi : T(x,y) = n(S(n(x),n(y)) với mọi

x,y [0,1] Khi đó T(x,y) là một t-chuẩn

b) Đối ngẫu, cho T(x,y) là một t-chuẩn và S(x,y) cho bởi : S(x,y)=

n(T(n(x),n(y)) với mọi x,y [0,1] Khi đó S(x,y) là một t-đối chuẩn

Chứng minh :Ta chứng minh trường hợp a).

Để chứng minh T(x,y) là một t-chuẩn ta dùng định nghĩa :

+)Trước hết ta chứng minh T(1,x) = x

Thật vậy, ta có : T(1,x) = n(S(n(1),n(x))) = n(S(0,n(x))) = n(n(x) = x(do n là phủđịnh mạnh)

+) CM : T(x,y) = T(y,x)

Ta có : T(x,y) = n(S(n(x),n(y)) = n(S(n(y),n(x)) = T(y,x).

+) CM :T(x,y) T(u,v) với x u y v ; 

Thật vậy, vì x u y v ;  nên ta có n x( )n u( ); ( )n y n v( )

Do đó theo định nghĩa của t-đối chuẩn thì ta sẽ có : S(n(u),n(v))  S(n(x),n(y)

Từ đó suy ra n(S(n(x),n(y) ) n(S(n(u),n(v)

Hay T(x,y) T(u,v) với x u y v ; 

Bổ đề 1.1.1: Giả sử ánh xạ  : [a,b]  [ 0 , 1 ] là một đẳng cấu tăng; F: [0,1]2 

[0,1] là toán tử hai ngôi Toán tử F : [a,b]2  [a,b] được xác định bởi côngthức: F (x,y)=  -1(F( (x),  (y))) Ta có: F có các tính : giao hoán, tăng theotừng biến, kết hợp khi và chỉ khi F cũng có các tính giao hoán, tăng theo từngbiến, kết hợp

Hàm  như vậy được gọi là hàm chuyển của hàm F

Bổ đề 1.1.2: Với :[0,1][0,1] là một đẳng cấu tăng Nếu toán tử:[0,1] [0,1]

N  là hàm phủ định mạnh thì toán tử N:[0,1][0,1] được xác địnhbởi công thức sau: N(x)=-1(N((x))) cũng là hàm phủ định mạnh

Ví dụ 1.2.12: N(x)=1-x với mọi x [0,1] là hàm phủ định mạnh vậy N(x)= 

-1(1-(x))(2) với mọi x [0,1] cũng là hàm phủ định mạnh

- Hai toán tử này chỉ khác nhau tính chất thứ 4 :

+ t_ chuẩn có tính chất : T( x,1)=x (có phần tử trung hòa là 1)+ t_đối chuẩn có tính chất : S(x,0)=x (có phần tử trung hòa là 0)

- Vậy chúng ta có thể gộp 2 toán tử hai ngôi này để xây dựng toán toán tử haingôi kết hợp Toán tử hai ngôi kết hợp mới này gọi là chuẩn hợp nhất có 3 tính chấtđầu giống như 3 tính của t_chuẩn và t_đối chuẩn và có phần tử trung hòa là e [0,1]

Định nghĩa 1.2.1: Một chuẩn hợp nhất là một ánh xạ U: [0,1]x[0,1] [0,1] cócác tính chất sau: với mọi x,y,z [0,1]

(1) U(x,y)=U(y,x) (Tính chất giao hoán)

(2) Nếu x1 ≤ x2, y1 ≤ y2 thì U(x1,y1) ≤ U(x2,y2) (Tính đơn điệu theo từng biến) (3) U(x,U(y,z))=U(U(x,y),z) (Tính kết hợp)

(4) Tồn tại e[0,1] sao cho: U(x,e)=x, e được gọi là phần tử trung hòa

là chuẩn hợp nhất có phần tử trung hòa là e

1.2.2 Tính chất của toán tử hợp chuẩn nhất:

+ Tính chất 1.2.1: Khi e = 1 thì U là t_chuẩn, e=0 thì U là t_đối chuẩn.

+ Tính chất 1.2.2: Tồn tại một luật Morgan đối ngẫu cho toán tử chuẩn hợp nhất

Tức là:

Giả sử U là một chuẩn hợp nhất với phần tử trung hòa e Khi đó toán tử U’

được xác định: U x y'( , ) 1  U x y( , ) trong đó x N x  ( ) 1   x cũng là một chuẩnhợp nhất với phần tử trung hòa là e   1 e

Chứng minh

- Tính giao hoán: Điều này suy trực tiếp từ tính giao hoán của U.

- Tính đơn điệu theo từng biến:

+ Giả sử x x ' khi đó vì x '  x nên

- Phần tử trung hòa: Vì U x e '( , ) 1   U x e ( , ) 1   x x  Do đó e là phần

tử trung hòa

+ Tính chất 1.2.3:

Giả sử U là một chuẩn hợp nhất với phần tử trung hòa e Khi đó:

1.Với x bất kì và mọi y> e ta có : U x y ( , )  x

2 Với bất kì và mọi y < e ta có : U x y( , )x

Chứng minh :

Từ tính chất của phần tử trung hòa ta nhận được : U(x,e) = y Xét U(x,y) :

- Nếu y > e thì từ tính chất đơn điệu ta có: U x y U x e ( , )  ( , )  x

-Tương tự nếu y<e thì lại từ tính chất đơn điệu ta có:

Thật vậy: Giả sử U(0,1)=x

+ Nếu x≤e thì: U(0,1)=U(U(0,0),1)=U(0,U(0,1))=U(0,x)=0 suy ra :U(0,1)=0

+ Nếu x>e thì U(0,1)=U(0,U(1,1))=U(U(0,1),1)=U(x,1)=1 suy ra U(0,1)=1

Định nghĩa 1.2.2: Cho hợp chuẩn nhất U: [0,1]2→[0,1]

+ U(0,1)=1 thì U được gọi là chuẩn hợp nhất dạng hội

+ U(0,1)=0 thì U được gọi là chuẩn hợp nhất dạng tuyển

1.2.3 Chuẩn hợp nhất Umax , Umin

Định lý 1.2.1: Cho hai đẳng cấu tăng  e: [0,e]  [0,1],  e : [e,1]  [0,1] vàToán tử hai ngôi U U là chuẩn hợp nhất với phần tử trung hòa e (0,1) nếu và chỉnếu tồn tại một t-chuẩn T và t-đối chuẩn S sao cho U được cho bởi:

Gia sử chuẩn hợp nhất U với phần tử trung hòa e [0,1] :

- Xét trên miền [0,e]2: ánh xạ  e: [0,e]  [0,1] là đẳng cấu tăng Đặt( , ) ( , )

- Xét trên hai miền [0,e]x[e,1] và [e,1]x[0,e]:

+ Với mọi điểm (x,y) ϵ[0,e]x[e,1] : U(x,y)≥U(x,e)=x, U(x,y)≤U(e,y)=y.+ Với mọi điểm (x,y) ϵ[e,1]x[0,e] : U(x,y)≥U(e,y)=y, U(x,y)≤U(x,e)=x.Vậy với toán tử chuẩn hợp nhất U bấy kỳ có phần tử trung hòa e thì :

+ Với (x,y) [0,e]2 tính chất của U giống như tính chất của t_chuẩn.+ Với (x,y) [e,1]2 tính chất của U giống như tính chất của t_đối chuẩn.+ Các trường hợp còn lại thì: min(x,y) ≤ U(x,y) ≤ max(x,y)Ngược lại U là toán tử hai ngôi thỏa mãn công thức (1.1) rõ ràng U là hợp chuẩn

nhất có phần tử trung hòa là e.

Cho hai đẳng cấu tăng sau:

+  e: [0,e]  [0,1] với e(x) e x :  e(0)=0,  e(e)=1

e

ey ex U y x U

  e(e)=0,  e(1)=1

e

e y e e

x e e

U y x U y x

Hệ quả 1.2.1: Một toán tử nhị phân U là chuẩn hợp nhất bất kỳ với phần tử

trung hòa e (0,1) nếu và chỉ nếu tồn tại một t-chuẩn T và t-đối chuẩn S sao cho Uđược cho bởi:

Ví dụ 1.2.2:

max{x+y-1,0} min{x+y,1} min{x+y-e,0} max{x+y-e,1}

Định ngĩa 1.2.3: Một toán tử U: [0,1]2→[0,1] gọi là chuẩn hợp nhất dạngmin với phần tử trung hòa e (0,1) nếu tồn tại t-chuẩn T và t-đối chuẩn S sao cho

U được cho bởi công thức sau:

Ký hiệu lớp các hợp chuẩn nhất có công thức (1.3) là umin

Định ngĩa 1.2.4: Một toán tử U: [0,1]2→[0,1] gọi là chuẩn hợp nhất dạngmax với phần tử trung hòa e (0,1) nếu tồn tại t-chuẩn T và t-đối chuẩn S sao cho

U được cho bởi công thức sau:

Định nghĩa 1.2.5: Chuẩn hợp nhất U được gọi là chuẩn hợp nhất lũy đẳng nếu

U(x,x) = x với mọi x  [0,1]

Định lý 1.2.2: U là chuẩn hợp nhất lũy đẳng với phần tử trung hòa e  (0,1) nếu vàchỉ nếu có một hàm giảm g: [0,1]  [0,1] với g(e)=e sao cho:

giao hoán trên tập { (x,y) | y=g(x) với x=g(g(x)) }

Hàm g mô tả như trên được gọi là hàm liên kết của U Ký hiệu chuẩn hợp nhấtlũy đẳng với phần tử trung hòa e  (0,1) là U=(e,g)

Chứng minh

* Giả sử U là hợp chuẩn nhất lũy đẳng với phần tử trung hòa là e.Với mọi (x,y)

[0,1]2 ta có :

Chứng minh min(x,y) ≤ U(x,y) ≤ max(x,y): Nếu x≤y: x=U(x,x)≤ U(x,y)

≤U(y,y)=y Ngược lại nếu x≥y ta cung có y≤ U(x,y) ≤x Suy ra min(x,y) ≤ U(x,y) ≤max(x,y)

Chứng minh U(x,y) = min(x,y) hoặc U(x,y)=max(x,y):

- Giả sử x≤y và U(x,y)=z

+ Nếu z≤e thì: U(x,y)=U(U(x,x),y)=U(x,U(x,y))=U(x,z)≤U(x,e)=xsuy ra U(x,y)=x

+ Nếu z>e thì: U(x,y)=U(x,U(y,y))=U(U(x,y),y)=U(z,y)≥U(e,y)=ysuy ra U(x,y)=y

Ngươc lại y≤x ta cung có U(x,y)=y hoặc U(x,y)=x

Vậy ta có: U(x,y) = min(x,y) hoặc U(x,y)=max(x,y)Với mỗi x, Vì hàm U(x,y) là hàm tăng theo từng biến ta có: tồn tại y0  [0,1]sao cho: U(x,y)=min(x,y) với mọi y≤y0 và U(x,y)=max(x,y) với mọi y>y0 hoặcx,y)=min(x,y) với mọi y<y0 và U(x,y)=max(x,y) với mọi y≥y0

Đặt g(x)=sup{y| U(x,y)=min(x,y) }:

+ Do U(x,y) là hàm tăng theo từng biến ta có g(x) là hàm giảm

+ Vì U(e,e)=e suy ra g(e)=e

Như vậy với mọi điểm (x,y) mà y<g(x) ta có U(x,y)=min(x,y) Và với mọiđiểm (x,y) mà y>g(x) ta có U(x,y)=max(x,y) Vậy hàm g(x) chia [0,1]2 thành 2miền:

- Mọi (x,y)  miền(I): U(x,y)=min(x,y)

- Mọi (x,y)miền(II): U(x,y) =max(x,y)

- Với điểm (x,y) mà y=g(x) (điểm (x,y) nằm trên đường cong y=g(x)):

+ Nếu g2(x)<x tức (y,x)miền(I), do tính chất giao hoán U(x,y)=U(y,x)=min(x,y).+ Nếu g2(x)>x tức (y,x)miền(II), do tính chất giao hoán U(x,y)=U(y,x)=max(x,y).+ Nếu g2(x)=x, U(x,y)=min(x,y) hoặc U(x,y)=max(x,y) Do tính chất giaohoán của Chuẩn hợp nhất nên U(x,y) phải có tính chất giao hoán trên các điểm này.Ngược lại:

Ví dụ 1.2.4: Hàm chuẩn hợp nhất lũy đẳng

1ax( , ) ê ,

1ái3

Ví dụ 1.2.5: Hàm chuẩn hợp nhất lũy đẳng

1min( , ) ê ,

Ví dụ 1.2.7: Hai toán tử sau:

min( , ) êu y<1-x

Ví dụ 1.2.8: Toán tử hai ngôi

2ax( , ) ê ( , ) [0.5,1]

ax( , ) êu (0.25 0.5) à ( 1 )ax( , ) êu (0.25 0.5) à ( 1 )( , )

min( , )

ax( , ) ê (0.25 0.75) à 1min( , ) ái

giao hoán trên

tập {(x,y)[0.25,0.75]2| y=1-x} là hàm chuẩn hợp nhất lũy với phần tử trung hòa

e=0.5 có Với hàm chuyển

1.2.4 Chuẩn hợp nhất biểu diễn

Định nghĩa 1.2.6: Một chuẩn hợp nhất với phần tử trung hòa e  (0,1) gọi là biểndiễn nếu có một ánh xạ liên tục và tăng ngặt h: [0,1]  [-,+] với h(0)= -,h(e)=0 và h(1)=+ (gọi là hàm sinh cộng tính - additive generator của U) sao cho:

+ Với mọi (x,y)[0,1]2\{(0,1),(1,0)} thì U(x,y)=h-1(h(x)+h(y)) (1.8)

+Với (x,y){(0,1),(1,0)} thì U(x,y)=0 hoặc U(x,y)=1

Chú ý: + Cho hợp chuẩn nhất biểu diễn U thì U(x,1)=1 với mọi x >0 và U(x,0)=0

với mọi x<1 Vậy U là hợp chuẩn nhất dạng hội thì hàm U(x,1) không liên tục tạiđiểm x=0 và U là hợp chuẩn nhất dạng tuyển thì U(x,0) không liên tục tại điểm x=1

+ Nếu U là hợp chuẩn nhất biểu diễn thì:

U(x,x)=h-1(h(x)+h(x))=h-1(2h(x)) ≠ x với mọi x[0,1]\{e} vậy U không làhợp chuẩn nhất lũy đẳng

+ Với x [0,e) thì U(x,x)= h-1(h(x)+h(x)) < h-1(h(e)+h(x)) = h-1(h(x))=x

Min(x,y)

Max(x,y)1

0.25

Hàm chuẩn hợp nhất lũy đẳng ở Ví dụ 1.2.8