ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN: 200 BÀI TOÁN ĐỒ THỊ KHÔNG GIAN CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

TĐKG 01: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng bằng cách xác định vectơ pháp tuyến Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B(–1;1;3) và mặt phẳng (P): . Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P). • (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P)  (Q) có VTPT  . Câu hỏi tương tự: a) Với A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), . ĐS: Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm và song song với đường thẳng . • Ta có , d có VTCP . Gọi là VTPT của (P)   chọn  Phương trình của (P): . Câu 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng và có phương trình: , . Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d ) và . • Chứng tỏ (d1) (d2). (P): x + y – 5z +10 = 0 Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véc tơ , vuông góc với mặt phẳng và tiếp xúc với (S). • (S) có tâm I(1; –3; 2) và bán kính R = 4. VTPT của là .  VTPT của (P) là:  PT của (P) có dạng: . Vì (P) tiếp xúc với (S) nên . Vậy: (P): hoặc (P): . Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; –1; 1) và hai đường thẳng và . Chứng minh rằng điểm cùng nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng đó. • qua và có , qua và có . ,   đồng phẳng. Gọi (P) là mặt phẳng chứa  (P) có VTPT và đi qua M1 nên có phương trình . Kiểm tra thấy điểm .

Trang 1

TĐKG 01: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng bằng cách xác định vectơ pháp tuyến

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B(–1;1;3) và mặt phẳng (P): x–3y2 –5 0z  Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuônggóc với mặt phẳng (P)

 (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi đi qua A, B và vuông góc với (P) qua đi qua A, B và vuông góc với (P) A, đi qua A, B và vuông góc với (P) B đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) vuông đi qua A, B và vuông góc với (P) góc đi qua A, B và vuông góc với (P) với đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ) đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) VTPT đi qua A, B và vuông góc với (P) nn AB P,  (0; 8; 12) 0  

Câu đi qua A, B và vuông góc với (P) hỏi đi qua A, B và vuông góc với (P) tương đi qua A, B và vuông góc với (P) tự:

a) đi qua A, B và vuông góc với (P) Với đi qua A, B và vuông góc với (P) A(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 1; đi qua A, B và vuông góc với (P) 0; đi qua A, B và vuông góc với (P) 1), đi qua A, B và vuông góc với (P) B(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 2; đi qua A, B và vuông góc với (P) 1; đi qua A, B và vuông góc với (P) 2), đi qua A, B và vuông góc với (P) ( ) : P x 2y3z 3 0 ĐS: đi qua A, B và vuông góc với (P) Q x( ) :  2y z  2 0

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm

A(2;1;3), (1; 2;1)B  và song song với đường thẳng

, đi qua A, B và vuông góc với (P) d đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) VTCP đi qua A, B và vuông góc với (P) u (1;2; 2) 

đi qua A, B và vuông góc với (P) Gọi đi qua A, B và vuông góc với (P) n  đi qua A, B và vuông góc với (P) là đi qua A, B và vuông góc với (P) VTPT đi qua A, B và vuông góc với (P) của đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) n BA n u

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Phương đi qua A, B và vuông góc với (P) trình đi qua A, B và vuông góc với (P) của đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P): đi qua A, B và vuông góc với (P) 10x 4y z 19 0 .

Câu 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng ( )d1 và ( )d2 có phương trình:

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Chứng đi qua A, B và vuông góc với (P) tỏ đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) d 1 ) đi qua A, B và vuông góc với (P) // đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) d 2 ) đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P): đi qua A, B và vuông góc với (P) x đi qua A, B và vuông góc với (P) + đi qua A, B và vuông góc với (P) y đi qua A, B và vuông góc với (P) – đi qua A, B và vuông góc với (P) 5z đi qua A, B và vuông góc với (P) +10 đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) 0

Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình:

x2y2z2 2x6y 4z 2 0 Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của

véc tơ v (1;6;2)

, vuông góc với mặt phẳng( ) : x4y z  11 0 và tiếp xúc với (S)

 đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) S) đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) tâm đi qua A, B và vuông góc với (P) I(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 1; đi qua A, B và vuông góc với (P) –3; đi qua A, B và vuông góc với (P) 2) đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) bán đi qua A, B và vuông góc với (P) kính đi qua A, B và vuông góc với (P) R đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) 4 đi qua A, B và vuông góc với (P) VTPT đi qua A, B và vuông góc với (P) của đi qua A, B và vuông góc với (P) ( ) đi qua A, B và vuông góc với (P) là đi qua A, B và vuông góc với (P) n (1;4;1)

.

 đi qua A, B và vuông góc với (P) VTPT đi qua A, B và vuông góc với (P) của đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) là: đi qua A, B và vuông góc với (P) nP n v ,  (2; 1;2)

đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) PT đi qua A, B và vuông góc với (P) của đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) dạng: đi qua A, B và vuông góc với (P) x y2  2z m 0.

Vì đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) tiếp đi qua A, B và vuông góc với (P) xúc đi qua A, B và vuông góc với (P) với đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) S) đi qua A, B và vuông góc với (P) nên đi qua A, B và vuông góc với (P) d I P( ,( )) 4 m

m 321

 

  

Vậy: đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P): đi qua A, B và vuông góc với (P) x y2  2z 3 0 đi qua A, B và vuông góc với (P) hoặc đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P): đi qua A, B và vuông góc với (P) x y2  2z 21 0 .

Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ O xyz, cho điểm M(1; –1; 1) và hai đường thẳng

 đi qua A, B và vuông góc với (P) d1 đi qua A, B và vuông góc với (P) qua đi qua A, B và vuông góc với (P) M1(0; 1;0) đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) u1(1; 2; 3) 

, đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) d2 đi qua A, B và vuông góc với (P) qua đi qua A, B và vuông góc với (P) M2(0;1;4) đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) u2 (1;2;5)

đi qua A, B và vuông góc với (P)

 đi qua A, B và vuông góc với (P) d d1 2, đi qua A, B và vuông góc với (P) đồng đi qua A, B và vuông góc với (P) phẳng.

Gọi đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) là đi qua A, B và vuông góc với (P) mặt đi qua A, B và vuông góc với (P) phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) chứa đi qua A, B và vuông góc với (P) d d1 2, đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) VTPT đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) n (1;2; 1) 

đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) đi đi qua A, B và vuông góc với (P) qua đi qua A, B và vuông góc với (P) M 1 đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) nên đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) phương trình đi qua A, B và vuông góc với (P) x2y z  2 0 đi qua A, B và vuông góc với (P) Kiểm đi qua A, B và vuông góc với (P) tra đi qua A, B và vuông góc với (P) thấy đi qua A, B và vuông góc với (P) điểm đi qua A, B và vuông góc với (P) M(1;–1;1) ( ) P

Trang 2

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu

Câu 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: x 3 y 3 z

  và mặt cầu(S): x2y2z2 2x 2y 4z   Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d và2 0

trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S).

 đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) S) đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) tâm đi qua A, B và vuông góc với (P) I(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 1; đi qua A, B và vuông góc với (P) 1; đi qua A, B và vuông góc với (P) 2), đi qua A, B và vuông góc với (P) bán đi qua A, B và vuông góc với (P) kính đi qua A, B và vuông góc với (P) R đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) 2 đi qua A, B và vuông góc với (P) d đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) VTCP đi qua A, B và vuông góc với (P) u(2;2;1)

(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) // đi qua A, B và vuông góc với (P) d, đi qua A, B và vuông góc với (P) Ox đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) VTPT đi qua A, B và vuông góc với (P) nu i, (0;1; 2)

đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) PT đi qua A, B và vuông góc với (P) của đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) dạng: đi qua A, B và vuông góc với (P) y 2z D 0 (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) tiếp đi qua A, B và vuông góc với (P) xúc đi qua A, B và vuông góc với (P) với đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) S) đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) d I P ( ,( ))  đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) R 1 42 D2 2

 đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P): đi qua A, B và vuông góc với (P) y 2z 3 2 5 0 hoặc đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P): đi qua A, B và vuông góc với (P) y 2z 3 2 5 0

Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2y2z22x 4y 4 0 và

mặt phẳng (P): x z 3 0   Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ) đi qua điểm M(3;1; 1)

vuông góc với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) S)

 đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) S) đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) tâm đi qua A, B và vuông góc với (P) I(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) –1; đi qua A, B và vuông góc với (P) 2; đi qua A, B và vuông góc với (P) 0) đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) bán đi qua A, B và vuông góc với (P) kính đi qua A, B và vuông góc với (P) R đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) 3; đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) VTPT đi qua A, B và vuông góc với (P) nP (1;0;1)

.

PT đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi đi qua A, B và vuông góc với (P) qua đi qua A, B và vuông góc với (P) M đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) dạng: đi qua A, B và vuông góc với (P) A x(  3)B y( 1)C z( 1) 0,  A2B2C2 đi qua A, B và vuông góc với (P) 0

(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ) đi qua A, B và vuông góc với (P) tiếp đi qua A, B và vuông góc với (P) xúc đi qua A, B và vuông góc với (P) với đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) S) đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) d I Q( ,( ))  R 4A B C  3 A2B2C2 đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) *)

Q P

( ) ( )     0   0 

(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) **)

Từ đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) *), đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) **) đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) B 5A 3 2A2B2  8B2 7A210AB  đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) A0 2B  7A4B

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Với đi qua A, B và vuông góc với (P) A2B đi qua A, B và vuông góc với (P) Chọn đi qua A, B và vuông góc với (P) B đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) 1, đi qua A, B và vuông góc với (P) A đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) 2, đi qua A, B và vuông góc với (P) C đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) –2 đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) PT đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ): đi qua A, B và vuông góc với (P) x y2   2z 9 0

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Với đi qua A, B và vuông góc với (P) 7A4B đi qua A, B và vuông góc với (P) Chọn đi qua A, B và vuông góc với (P) B đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) –7, đi qua A, B và vuông góc với (P) A đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) 4, đi qua A, B và vuông góc với (P) C đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) –4 đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) PT đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ): đi qua A, B và vuông góc với (P) x4  7y 4z 9 0

a) đi qua A, B và vuông góc với (P) Với đi qua A, B và vuông góc với (P) ( ) :S x2y2z2 2x4y 4z   , đi qua A, B và vuông góc với (P) P5 0 ( ) : 2x y  6z 5 0, (1;1;2)M

ĐS: đi qua A, B và vuông góc với (P) Q( ) : 2x2y z  6 0 đi qua A, B và vuông góc với (P) hoặc đi qua A, B và vuông góc với (P) Q( ) :11x10y2z 5 0 .

Câu 8. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): x2y2z2–2x4y2 –3 0z 

Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có

bán kính r 3

 đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) S) đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) tâm đi qua A, B và vuông góc với (P) I(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 1; đi qua A, B và vuông góc với (P) –2; đi qua A, B và vuông góc với (P) –1), đi qua A, B và vuông góc với (P) bán đi qua A, B và vuông góc với (P) kính đi qua A, B và vuông góc với (P) R đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) 3 đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) chứa đi qua A, B và vuông góc với (P) Ox đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P): đi qua A, B và vuông góc với (P) ay đi qua A, B và vuông góc với (P) + đi qua A, B và vuông góc với (P) bz đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) 0.

Mặt đi qua A, B và vuông góc với (P) khác đi qua A, B và vuông góc với (P) đường đi qua A, B và vuông góc với (P) tròn đi qua A, B và vuông góc với (P) thiết đi qua A, B và vuông góc với (P) diện đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) bán đi qua A, B và vuông góc với (P) kính đi qua A, B và vuông góc với (P) bằng đi qua A, B và vuông góc với (P) 3 đi qua A, B và vuông góc với (P) cho đi qua A, B và vuông góc với (P) nên đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi đi qua A, B và vuông góc với (P) qua đi qua A, B và vuông góc với (P) tâm đi qua A, B và vuông góc với (P) I.

Suy đi qua A, B và vuông góc với (P) ra: đi qua A, B và vuông góc với (P) –2a đi qua A, B và vuông góc với (P) – đi qua A, B và vuông góc với (P) b đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) 0 đi qua A, B và vuông góc với (P)  b đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) –2a đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) a0) đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P): đi qua A, B và vuông góc với (P) y đi qua A, B và vuông góc với (P) – đi qua A, B và vuông góc với (P) 2z đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) 0.

Câu 9. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): x2y2z22x 2y2 –1 0z 

 đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) S) đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) tâm đi qua A, B và vuông góc với (P) I ( 1;1; 1)  , đi qua A, B và vuông góc với (P) bán đi qua A, B và vuông góc với (P) kính đi qua A, B và vuông góc với (P) R đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) 2 đi qua A, B và vuông góc với (P)

PT đi qua A, B và vuông góc với (P) mặt đi qua A, B và vuông góc với (P) phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) dạng: đi qua A, B và vuông góc với (P) ax by cz d   0 (a2b2c20).

Chọn đi qua A, B và vuông góc với (P) M(2;0; 2), (3;1;0) N d

Trang 3

Ta đi qua A, B và vuông góc với (P) có: đi qua A, B và vuông góc với (P)

d I P R2 r2

( )( )( ,( ))

+ đi qua A, B và vuông góc với (P) Với đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 1) đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P): đi qua A, B và vuông góc với (P) x y z 4 0    + đi qua A, B và vuông góc với (P) Với đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 2) đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P): đi qua A, B và vuông góc với (P) x7  17y5z 4 0

Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng x y z

 đi qua A, B và vuông góc với (P) (P): y z 3 3 2 0    hoặc (P): y z 3 3 2 0   

Câu 11. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình

x2y2z2 2x4y 6 11 0z  và mặt phẳng () có phương trình 2x + 2y – z + 17 = 0 Viết phương trình mặt phẳng () song song với () và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn

có chu vi bằng p 6

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Do đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ) đi qua A, B và vuông góc với (P) // đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ) đi qua A, B và vuông góc với (P) nên đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ) đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) phương đi qua A, B và vuông góc với (P) trình đi qua A, B và vuông góc với (P) 2x đi qua A, B và vuông góc với (P) + đi qua A, B và vuông góc với (P) 2y đi qua A, B và vuông góc với (P) – đi qua A, B và vuông góc với (P) z đi qua A, B và vuông góc với (P) + đi qua A, B và vuông góc với (P) D đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) 0 đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) D17)

(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) S) đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) tâm đi qua A, B và vuông góc với (P) I(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 1; đi qua A, B và vuông góc với (P) –2; đi qua A, B và vuông góc với (P) 3), đi qua A, B và vuông góc với (P) bán đi qua A, B và vuông góc với (P) kính đi qua A, B và vuông góc với (P) R đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) 5 đi qua A, B và vuông góc với (P) Đường đi qua A, B và vuông góc với (P) tròn đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) chu đi qua A, B và vuông góc với (P) vi đi qua A, B và vuông góc với (P) 6 đi qua A, B và vuông góc với (P) nên đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) bán đi qua A, B và vuông góc với (P) kính đi qua A, B và vuông góc với (P) r đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) 3 đi qua A, B và vuông góc với (P) Khoảng đi qua A, B và vuông góc với (P) cách đi qua A, B và vuông góc với (P) từ đi qua A, B và vuông góc với (P) I đi qua A, B và vuông góc với (P) tới đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ) đi qua A, B và vuông góc với (P) là đi qua A, B và vuông góc với (P) h đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) R2 r2  52 32 4

Do đi qua A, B và vuông góc với (P) đó đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) D D

Vậy đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ) đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) phương đi qua A, B và vuông góc với (P) trình đi qua A, B và vuông góc với (P) x2 2 – – 7 0y z  .

a) đi qua A, B và vuông góc với (P) ( ) :S x2y2z2 2 4 6 11 0 x y z  , đi qua A, B và vuông góc với (P) ( ): 2a x y  2 19 0z  , đi qua A, B và vuông góc với (P) p 8 .

ĐS: đi qua A, B và vuông góc với (P) ( ) : 2b x y  2 1 0z 

Trang 4

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách

Câu 12. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông góc với mặt phẳng (Q): x y z 0   và cách điểm M(1; 2; –1) một khoảng bằng 2

 đi qua A, B và vuông góc với (P) PT đi qua A, B và vuông góc với (P) mặt đi qua A, B và vuông góc với (P) phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) qua đi qua A, B và vuông góc với (P) O đi qua A, B và vuông góc với (P) nên đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) dạng: đi qua A, B và vuông góc với (P) AxBy Cz 0  đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) với đi qua A, B và vuông góc với (P) A2B2C2 ).0

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Vì đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ) đi qua A, B và vuông góc với (P) nên: đi qua A, B và vuông góc với (P) 1.A1.B1.C0 đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) CA B (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 1)

 đi qua A, B và vuông góc với (P) d M P( ,( )) 2 đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) A B C

đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) (A2B C )2 2(A2B2C2) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 2)

Từ đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 1) đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 2) đi qua A, B và vuông góc với (P) ta đi qua A, B và vuông góc với (P) được: đi qua A, B và vuông góc với (P) AB8 5B2 đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) 0 B

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Từ đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 3): đi qua A, B và vuông góc với (P) B đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) 0 đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) C đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) –A đi qua A, B và vuông góc với (P) Chọn đi qua A, B và vuông góc với (P) A đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) 1, đi qua A, B và vuông góc với (P) C đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) –1 đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P): đi qua A, B và vuông góc với (P) x z 0 

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Từ đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 4): đi qua A, B và vuông góc với (P) 8A đi qua A, B và vuông góc với (P) + đi qua A, B và vuông góc với (P) 5B đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) 0 đi qua A, B và vuông góc với (P) Chọn đi qua A, B và vuông góc với (P) A đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) 5, đi qua A, B và vuông góc với (P) B đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) –8 đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) C đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) 3 đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P): đi qua A, B và vuông góc với (P) x5  8y3z0.

Câu 13. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  : x 1 y 3 z

điểm M(0; –2; 0) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M, song song với đường

thẳng , đồng thời khoảng cách d đi qua A, B và vuông góc với (P) giữa đường thẳng  và mặt phẳng (P) bằng 4.

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Phương đi qua A, B và vuông góc với (P) trình đi qua A, B và vuông góc với (P) mp đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi đi qua A, B và vuông góc với (P) qua đi qua A, B và vuông góc với (P) M(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 0; đi qua A, B và vuông góc với (P) –2; đi qua A, B và vuông góc với (P) 0) đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) dạng: đi qua A, B và vuông góc với (P) axby cz  b0 đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) a2b2c2 )0

 đi qua A, B và vuông góc với (P) đi đi qua A, B và vuông góc với (P) qua đi qua A, B và vuông góc với (P) điểm đi qua A, B và vuông góc với (P) A(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 1; đi qua A, B và vuông góc với (P) 3; đi qua A, B và vuông góc với (P) 0) đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) một đi qua A, B và vuông góc với (P) VTCP đi qua A, B và vuông góc với (P) u(1;1;4)

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Với đi qua A, B và vuông góc với (P) a4c đi qua A, B và vuông góc với (P) Chọn đi qua A, B và vuông góc với (P) a4,c 1 b   đi qua A, B và vuông góc với (P) Phương đi qua A, B và vuông góc với (P) trình đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P): đi qua A, B và vuông góc với (P) x8 4  8y z  16 0 .

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Với đi qua A, B và vuông góc với (P) a2c đi qua A, B và vuông góc với (P) Chọn đi qua A, B và vuông góc với (P) a2,c 1 b2 đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) Phương đi qua A, B và vuông góc với (P) trình đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P): đi qua A, B và vuông góc với (P) x2 2y z  4 0.

a) đi qua A, B và vuông góc với (P) Với đi qua A, B và vuông góc với (P) : x y z 1; (0;3; 2),M d 3

ĐS: đi qua A, B và vuông góc với (P) P( ) : 2x2y z  8 0 đi qua A, B và vuông góc với (P) hoặc đi qua A, B và vuông góc với (P) P( ) : 4x 8y z 26 0 .

Câu 14. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng

 đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) d) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi đi qua A, B và vuông góc với (P) qua đi qua A, B và vuông góc với (P) điểm đi qua A, B và vuông góc với (P) M(0; 1;1) đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) VTCT đi qua A, B và vuông góc với (P) u (1;2;0)

đi qua A, B và vuông góc với (P) Gọi đi qua A, B và vuông góc với (P) n( ; ; )a b c

đi qua A, B và vuông góc với (P) với đi qua A, B và vuông góc với (P) a2b2c2 0

là đi qua A, B và vuông góc với (P) VTPT đi qua A, B và vuông góc với (P) của đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P)

PT đi qua A, B và vuông góc với (P) mặt đi qua A, B và vuông góc với (P) phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P): đi qua A, B và vuông góc với (P) a x(  0)b y( 1)c z( 1) 0   ax by cz b c    0 đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 1).

Do đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) chứa đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) d) đi qua A, B và vuông góc với (P) nên: đi qua A, B và vuông góc với (P) u n   0 a2b 0 a2b

(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 2)

         (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 3)

Từ đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 2) đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 3), đi qua A, B và vuông góc với (P) chọn đi qua A, B và vuông góc với (P) b1 đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) a2,c2 đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) PT đi qua A, B và vuông góc với (P) mặt đi qua A, B và vuông góc với (P) phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P): đi qua A, B và vuông góc với (P) x y2   2 1 0z  .

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm M( 1;1;0), (0;0; 2), (1;1;1)N I Viết

Trang 5

phương trình mặt phẳng (P) qua A và B, đồng thời khoảng cách từ I đến (P) bằng 3

 đi qua A, B và vuông góc với (P) PT đi qua A, B và vuông góc với (P) mặt đi qua A, B và vuông góc với (P) phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) dạng: đi qua A, B và vuông góc với (P) ax by cz d   0 (a2b2c20).

d I P

( )( )( ,( )) 3

+ đi qua A, B và vuông góc với (P) Với đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 1) đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) PT đi qua A, B và vuông góc với (P) mặt đi qua A, B và vuông góc với (P) phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P): đi qua A, B và vuông góc với (P) x y z 2 0   

+ đi qua A, B và vuông góc với (P) Với đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 2) đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) PT đi qua A, B và vuông góc với (P) mặt đi qua A, B và vuông góc với (P) phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P): đi qua A, B và vuông góc với (P) x7 5y z  2 0.

Câu 16. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; 1;2) , B(1;3;0) , C( 3;4;1) , D(1;2;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ

C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P)

 đi qua A, B và vuông góc với (P) PT đi qua A, B và vuông góc với (P) mặt đi qua A, B và vuông góc với (P) phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) dạng: đi qua A, B và vuông góc với (P) ax by cz d   0 (a2b2c2 0).

d C P d D P

( )( )( ,( )) ( ,( ))

 đi qua A, B và vuông góc với (P) b a c a d a

c 2 ,2 ,a b a d4 ,, 47a



+ đi qua A, B và vuông góc với (P) Với đi qua A, B và vuông góc với (P) b2 ,a c4 ,a d7a đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P): đi qua A, B và vuông góc với (P) x2y4z 7 0 .

+ đi qua A, B và vuông góc với (P) Với đi qua A, B và vuông góc với (P) c2 ,a b a d , 4a đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P): đi qua A, B và vuông góc với (P) x y 2z 4 0 .

a) đi qua A, B và vuông góc với (P) Với đi qua A, B và vuông góc với (P) A(1;2;1), ( 2;1;3), (2; 1;1), (0;3;1)B  C  D

ĐS: đi qua A, B và vuông góc với (P) P( ) : 4x2y7 15 0z  đi qua A, B và vuông góc với (P) hoặc đi qua A, B và vuông góc với (P) P( ) : 2x3z 5 0 .

Câu 17. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm A(1;2;3) , B(0; 1;2) ,

C(1;1;1) Viết phương trình mặt phẳng P( ) đi qua A và gốc tọa độ O sao cho khoảng cách

từ B đến P( ) bằng khoảng cách từ C đến P( )

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Vì đi qua A, B và vuông góc với (P) O đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) nên đi qua A, B và vuông góc với (P) P( ) :ax by cz  0, đi qua A, B và vuông góc với (P) với đi qua A, B và vuông góc với (P) a2b2c2 đi qua A, B và vuông góc với (P) 0

Do đi qua A, B và vuông góc với (P) A đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) a2b3c0 (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 1) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) d B P( ,( ))d C P( ,( )) b2c   a b c đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 2)

Từ đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 1) đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 2) đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) b 0 đi qua A, B và vuông góc với (P) hoặc đi qua A, B và vuông góc với (P) c 0 .

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Với đi qua A, B và vuông góc với (P) b 0 thì đi qua A, B và vuông góc với (P) a3c đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) P( ) : 3x z   đi qua A, B và vuông góc với (P) Với đi qua A, B và vuông góc với (P) 0 c 0 đi qua A, B và vuông góc với (P) thì đi qua A, B và vuông góc với (P) a2b đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) P( ) : 2x y 0

a) đi qua A, B và vuông góc với (P) Với đi qua A, B và vuông góc với (P) A (1;2;0), (0;4;0), (0;0;3) B C ĐS: đi qua A, B và vuông góc với (P) 6x3y4z0 đi qua A, B và vuông góc với (P) hoặc đi qua A, B và vuông góc với (P) x6  3y4z0.

Câu 18. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1;1; 1) , B(1;1;2) , C( 1;2; 2)  và mặt phẳng (P): x 2y2 1 0z  Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua

A, vuông góc với mặt phẳng (P), cắt đường thẳng BC tại I sao cho IB2IC

 đi qua A, B và vuông góc với (P) PT đi qua A, B và vuông góc với (P) ( ) có đi qua A, B và vuông góc với (P) dạng: đi qua A, B và vuông góc với (P) ax by cz d 0    , đi qua A, B và vuông góc với (P) với đi qua A, B và vuông góc với (P) a2b2c20

Do đi qua A, B và vuông góc với (P) A(1;1; 1) ( )   nên: đi qua A, B và vuông góc với (P) a b c d 0    đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 1); ( ) ( )  P đi qua A, B và vuông góc với (P) nên đi qua A, B và vuông góc với (P) a 2b2c0 đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 2)

IB2IC d B( ,( )) 2 ( ;( ))  d C  đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) a b c d a b c d

Trang 6

Từ đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 1), đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 2), đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 3) đi qua A, B và vuông góc với (P) ta đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) 2 đi qua A, B và vuông góc với (P) trường đi qua A, B và vuông góc với (P) hợp đi qua A, B và vuông góc với (P) sau đi qua A, B và vuông góc với (P) : đi qua A, B và vuông góc với (P)

TH1 đi qua A, B và vuông góc với (P) : đi qua A, B và vuông góc với (P)

Chọn đi qua A, B và vuông góc với (P) a 2 b3;c2;d   đi qua A, B và vuông góc với (P) ( )3  : đi qua A, B và vuông góc với (P) x2 3y2z 3 0

Vậy: đi qua A, B và vuông góc với (P) ( ) : đi qua A, B và vuông góc với (P) x y2   2z 3 0 hoặc đi qua A, B và vuông góc với (P) ( ) : đi qua A, B và vuông góc với (P) x2 3y2z 3 0

Câu 19. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d d1 2, lần lượt có phương

đều hai đường thẳng d d1 2,

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Ta đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) d1 đi qua A, B và vuông góc với (P) đi đi qua A, B và vuông góc với (P) qua đi qua A, B và vuông góc với (P) A(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 2;2;3) đi qua A, B và vuông góc với (P) , đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) ud1(2;1;3)

, đi qua A, B và vuông góc với (P) d2 đi qua A, B và vuông góc với (P) đi đi qua A, B và vuông góc với (P) qua đi qua A, B và vuông góc với (P) B(1;2;1) đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) ud2(2; 1;4)

.

Do đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) cách đi qua A, B và vuông góc với (P) đều đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) d d1 2, đi qua A, B và vuông góc với (P) nên đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) song đi qua A, B và vuông góc với (P) song đi qua A, B và vuông góc với (P) với đi qua A, B và vuông góc với (P) d d1 2, đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) nP u ud1,d2 (7; 2; 4) 

 đi qua A, B và vuông góc với (P) PT đi qua A, B và vuông góc với (P) mặt đi qua A, B và vuông góc với (P) phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) dạng: đi qua A, B và vuông góc với (P) x7  2y 4z d 0

Do đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) cách đi qua A, B và vuông góc với (P) đều đi qua A, B và vuông góc với (P) d d1 2, suy đi qua A, B và vuông góc với (P) ra đi qua A, B và vuông góc với (P) d A P( ,( ))d B P( ,( )) đi qua A, B và vuông góc với (P)

 đi qua A, B và vuông góc với (P) 7.2 2.2 4.3 d 7.1 2.2 4.1 d

2

      đi qua A, B và vuông góc với (P)

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Phương đi qua A, B và vuông góc với (P) trình đi qua A, B và vuông góc với (P) mặt đi qua A, B và vuông góc với (P) phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P): đi qua A, B và vuông góc với (P) 14x 4y 8z 3 0

Câu 20. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d d1 2, lần lượt có phươngtrình

 Viết phương trình mặt phẳng (P) song song

với d1 và d2, sao cho khoảng cách từ d1 đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ d2 đến (P)

 đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) Ta đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) : đi qua A, B và vuông góc với (P) d1 đi qua A, B và vuông góc với (P) đi đi qua A, B và vuông góc với (P) qua đi qua A, B và vuông góc với (P) A(1;2;1) đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) VTCP đi qua A, B và vuông góc với (P) u1(1; 1;0)

đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) d2 đi qua A, B và vuông góc với (P) đi đi qua A, B và vuông góc với (P) qua đi qua A, B và vuông góc với (P) B(2;1; 1) đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) VTCP đi qua A, B và vuông góc với (P) là đi qua A, B và vuông góc với (P) u2(1; 2;2)

Gọi đi qua A, B và vuông góc với (P) n  đi qua A, B và vuông góc với (P) là đi qua A, B và vuông góc với (P) VTPT đi qua A, B và vuông góc với (P) của đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P), đi qua A, B và vuông góc với (P) vì đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) song đi qua A, B và vuông góc với (P) song đi qua A, B và vuông góc với (P) với đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) d1 đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) d2 đi qua A, B và vuông góc với (P) nên đi qua A, B và vuông góc với (P) nu u 1 2,   ( 2; 2; 1) 

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Phương đi qua A, B và vuông góc với (P) trìnht đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P): đi qua A, B và vuông góc với (P) x2 2y z m  0.

Trang 7

 đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) S) đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) tâm đi qua A, B và vuông góc với (P) I (1;2; 1) , đi qua A, B và vuông góc với (P) bán đi qua A, B và vuông góc với (P) kính đi qua A, B và vuông góc với (P) R 2.

PT đi qua A, B và vuông góc với (P) mặt đi qua A, B và vuông góc với (P) phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) dạng: đi qua A, B và vuông góc với (P) ax by cz d   0 (a2b2c2 0)

d I P R

( )( )( ,( ))

+ đi qua A, B và vuông góc với (P) Với đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 1) đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) Phương đi qua A, B và vuông góc với (P) trình đi qua A, B và vuông góc với (P) của đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P): đi qua A, B và vuông góc với (P) x y 1 0  

+ đi qua A, B và vuông góc với (P) Với đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 2) đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) Phương đi qua A, B và vuông góc với (P) trình đi qua A, B và vuông góc với (P) của đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P): đi qua A, B và vuông góc với (P) x8  3y 5z 7 0

Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 1;1) Viết phương trình mặtphẳng (P) đi qua điểm A và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Ta đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) d O P( ,( )) OA đi qua A, B và vuông góc với (P) Do đi qua A, B và vuông góc với (P) đó đi qua A, B và vuông góc với (P) d O P( ,( ))max OA đi qua A, B và vuông góc với (P) xảy đi qua A, B và vuông góc với (P) ra đi qua A, B và vuông góc với (P)  OA( )P nên đi qua A, B và vuông góc với (P) mặt đi qua A, B và vuông góc với (P) phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) cần đi qua A, B và vuông góc với (P) tìm đi qua A, B và vuông góc với (P) là đi qua A, B và vuông góc với (P) mặt đi qua A, B và vuông góc với (P) phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) đi đi qua A, B và vuông góc với (P) qua đi qua A, B và vuông góc với (P) A đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) vuông đi qua A, B và vuông góc với (P) góc đi qua A, B và vuông góc với (P) với đi qua A, B và vuông góc với (P) OA đi qua A, B và vuông góc với (P) Ta đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) OA (2; 1;1) 

Vậy đi qua A, B và vuông góc với (P) phương đi qua A, B và vuông góc với (P) trình đi qua A, B và vuông góc với (P) mặt đi qua A, B và vuông góc với (P) phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P): đi qua A, B và vuông góc với (P) x y z2    6 0

Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(10; 2; –1) và đường thẳng d có

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Gọi đi qua A, B và vuông góc với (P) H đi qua A, B và vuông góc với (P) là đi qua A, B và vuông góc với (P) hình đi qua A, B và vuông góc với (P) chiếu đi qua A, B và vuông góc với (P) của đi qua A, B và vuông góc với (P) A đi qua A, B và vuông góc với (P) trên đi qua A, B và vuông góc với (P) d đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) d(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) d, đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P)) đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) d(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) H, đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P)) đi qua A, B và vuông góc với (P) Giả đi qua A, B và vuông góc với (P) sử đi qua A, B và vuông góc với (P) điểm đi qua A, B và vuông góc với (P) I đi qua A, B và vuông góc với (P) là đi qua A, B và vuông góc với (P) hình đi qua A, B và vuông góc với (P) chiếu đi qua A, B và vuông góc với (P) của

H đi qua A, B và vuông góc với (P) lên đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P), đi qua A, B và vuông góc với (P) ta đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) AH HI  đi qua A, B và vuông góc với (P) HI đi qua A, B và vuông góc với (P) lớn đi qua A, B và vuông góc với (P) nhất đi qua A, B và vuông góc với (P) khi đi qua A, B và vuông góc với (P) A I đi qua A, B và vuông góc với (P) Vậy đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) cần đi qua A, B và vuông góc với (P) tìm đi qua A, B và vuông góc với (P) là đi qua A, B và vuông góc với (P) mặt đi qua A, B và vuông góc với (P) phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) đi đi qua A, B và vuông góc với (P) qua đi qua A, B và vuông góc với (P) A đi qua A, B và vuông góc với (P) và nhận đi qua A, B và vuông góc với (P) AH  đi qua A, B và vuông góc với (P) làm đi qua A, B và vuông góc với (P) VTPT đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P): đi qua A, B và vuông góc với (P) x y7   5z 77 0 .

Câu 24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình tham số

x 2 ;t y2 ;t z 2 2t Gọi  là đường thẳng qua điểm A(4;0;–1) song song với (d)

và I(–2;0;2) là hình chiếu vuông góc của A trên (d) Viết phương trình của mặt phẳng chứa

Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x 1 y z 2

 đi qua A, B và vuông góc với (P) PT đi qua A, B và vuông góc với (P) mặt đi qua A, B và vuông góc với (P) phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) dạng: đi qua A, B và vuông góc với (P) ax by cz d   0 (a2b2c20) đi qua A, B và vuông góc với (P)

(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) VTPT đi qua A, B và vuông góc với (P) n( ; ; )a b c

, đi qua A, B và vuông góc với (P) d đi qua A, B và vuông góc với (P) đi đi qua A, B và vuông góc với (P) qua đi qua A, B và vuông góc với (P) điểm đi qua A, B và vuông góc với (P) M(1;0;2) đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) VTCP đi qua A, B và vuông góc với (P) u (2;1;2)

 đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) Xét đi qua A, B và vuông góc với (P) 2 đi qua A, B và vuông góc với (P) trường đi qua A, B và vuông góc với (P) hợp:

TH1: đi qua A, B và vuông góc với (P) Nếu đi qua A, B và vuông góc với (P) b đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) 0 đi qua A, B và vuông góc với (P) thì đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P): đi qua A, B và vuông góc với (P) x z 1 0   đi qua A, B và vuông góc với (P) Khi đi qua A, B và vuông góc với (P) đó: đi qua A, B và vuông góc với (P) d A P( ,( )) 0 .

TH2: đi qua A, B và vuông góc với (P) Nếu đi qua A, B và vuông góc với (P) b đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) 0 đi qua A, B và vuông góc với (P) Chọn đi qua A, B và vuông góc với (P) b 1 đi qua A, B và vuông góc với (P) ta đi qua A, B và vuông góc với (P) được đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P): đi qua A, B và vuông góc với (P) ax2 2y (2a1)z2a 2 0.

Trang 8

Khi đi qua A, B và vuông góc với (P) đó: đi qua A, B và vuông góc với (P) d A P

  ĐS: đi qua A, B và vuông góc với (P) P( ) : 2x y z   1 0

b) đi qua A, B và vuông góc với (P) d:x 1 y 2 z, (1;4;2)A

 ĐS: đi qua A, B và vuông góc với (P) P( ) : 5x13y 4z21 0

Câu 26. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(0; 1;2) và N( 1;1;3) Viết phương

trình mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ điểm K(0;0;2) đến mặt phẳng (P)

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Nếu đi qua A, B và vuông góc với (P) B đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) 0 đi qua A, B và vuông góc với (P) thì đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) d(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) K, đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P)) đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) 0 đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) loại)

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Nếu đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) B 0 thì đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P)

Dấu đi qua A, B và vuông góc với (P) “=” đi qua A, B và vuông góc với (P) xảy đi qua A, B và vuông góc với (P) ra đi qua A, B và vuông góc với (P) khi đi qua A, B và vuông góc với (P) B đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) –C đi qua A, B và vuông góc với (P) Chọn đi qua A, B và vuông góc với (P) C đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) 1 đi qua A, B và vuông góc với (P) Khi đi qua A, B và vuông góc với (P) đó đi qua A, B và vuông góc với (P) PT đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P): đi qua A, B và vuông góc với (P) x y z –  3 0.

Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc

Câu 27. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng () chứa đường thẳng ():

Trang 9

điểm M của mặt phẳng () với trục Oz

 đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ) đi qua A, B và vuông góc với (P) qua đi qua A, B và vuông góc với (P) điểm đi qua A, B và vuông góc với (P) A(1; 0; 0) đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) VTCP đi qua A, B và vuông góc với (P) u(1; 1; 2) 

đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) VTPT đi qua A, B và vuông góc với (P) n (2; 2; 1)  Giao đi qua A, B và vuông góc với (P) điểm đi qua A, B và vuông góc với (P) M (0;0; ) đi qua A, B và vuông góc với (P) cho đi qua A, B và vuông góc với (P) AM m  ( 1;0; )m

(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ) đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P): đi qua A, B và vuông góc với (P) x2  2y z  1 0 đi qua A, B và vuông góc với (P) tạo đi qua A, B và vuông góc với (P) thành đi qua A, B và vuông góc với (P) góc đi qua A, B và vuông góc với (P) 60 0 đi qua A, B và vuông góc với (P) nên đi qua A, B và vuông góc với (P) :

đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) n n  m m

2 2

 đi qua A, B và vuông góc với (P) m 2  2 hay đi qua A, B và vuông góc với (P) m 2  2

Kết đi qua A, B và vuông góc với (P) luận đi qua A, B và vuông góc với (P) : đi qua A, B và vuông góc với (P) M(0;0;2 2) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) hay đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) M(0;0;2 2)

Câu 28. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua giao

tuyến d của hai mặt phẳng ( ) : 2 – –1 0a x y  , đi qua A, B và vuông góc với (P) ( ) : 2 – x z0 đi qua A, B và vuông góc với (P) và tạo với mặt phẳng

( ) : –2 2 –1 0 một góc  mà cos 2 2

9

 

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Lấy đi qua A, B và vuông góc với (P) A (0;1;0), (1;3;2) đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) qua đi qua A, B và vuông góc với (P) A đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) PT đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) dạng: đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) Ax By Cz B B d   – 0.

đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) qua đi qua A, B và vuông góc với (P) B đi qua A, B và vuông góc với (P) nên: đi qua A, B và vuông góc với (P) A3B2 –C B0 đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) A(2B2 )C

 đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) P( ) : (2 B2 )C x By Cz B  – 0 đi qua A, B và vuông góc với (P)

đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) B C B C

   đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) B13 28BC–5C2  đi qua A, B và vuông góc với (P) 0

Chọn đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) C 1 B 1; B 5

13

đi qua A, B và vuông góc với (P) + đi qua A, B và vuông góc với (P) Với đi qua A, B và vuông góc với (P) B C 1  đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) P( ) : 4 x y z  –1 0

đi qua A, B và vuông góc với (P) + đi qua A, B và vuông góc với (P) Với đi qua A, B và vuông góc với (P) B 5 , 1C

13

  đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) P( ) : 23 x5y13 –5 0z  .

Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A( 1;2; 3), (2; 1; 6)  B   và mặt

phẳng P x( ) : 2y z  3 0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa AB và tạo với mặtphẳng (P) một góc  thoả mãn cos 3

6

 

 đi qua A, B và vuông góc với (P) PT đi qua A, B và vuông góc với (P) mặt đi qua A, B và vuông góc với (P) phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ) đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) dạng: đi qua A, B và vuông góc với (P) ax by cz d   0 (a2b2c20).

A Q

B ( )( )Q

3cos

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Phương đi qua A, B và vuông góc với (P) trình đi qua A, B và vuông góc với (P) mp(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ): đi qua A, B và vuông góc với (P) x4  y3 15 0z  đi qua A, B và vuông góc với (P) hoặc đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ): đi qua A, B và vuông góc với (P) x y 3 0   .

a) đi qua A, B và vuông góc với (P) A (0;0;1), (1;1;0), đi qua A, B và vuông góc với (P) P B ( ) (Oxy),cos 1

6



ĐS: đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ): đi qua A, B và vuông góc với (P) x y z2   1 0 đi qua A, B và vuông góc với (P) hoặc đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ): đi qua A, B và vuông góc với (P) x 2y z  1 0.

Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d x y z

Trang 10

Câu 31. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng P( ) : 5x 2y5 1 0z  và

( ) :  4  8 12 0  Lập phương trình mặt phẳng R( ) đi qua điểm M trùng với gốc tọa

độ O, vuông góc với mặt phẳng (P) và tạo với mặt phẳng (Q) một góc a 450

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Giả đi qua A, B và vuông góc với (P) sử đi qua A, B và vuông góc với (P) PT đi qua A, B và vuông góc với (P) mặt đi qua A, B và vuông góc với (P) phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) R): đi qua A, B và vuông góc với (P) ax by cz d   0 (a2b2c2 0).

Ta đi qua A, B và vuông góc với (P) có: đi qua A, B và vuông góc với (P) R( ) ( ) P  5a 2b5c0 đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 1);

đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 2)

Từ đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 1) đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 2) đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) a ac c a c

7 6    0  7



 đi qua A, B và vuông góc với (P) Với đi qua A, B và vuông góc với (P) ac : đi qua A, B và vuông góc với (P) chọn đi qua A, B và vuông góc với (P) a1,b0,c1 đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) PT đi qua A, B và vuông góc với (P) mặt đi qua A, B và vuông góc với (P) phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) R x z( ) :  0

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Với đi qua A, B và vuông góc với (P) c7a : đi qua A, B và vuông góc với (P) chọn đi qua A, B và vuông góc với (P) a1,b20,c7 đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) PT đi qua A, B và vuông góc với (P) mặt đi qua A, B và vuông góc với (P) phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) R x( ) : 20y7z0

a) đi qua A, B và vuông góc với (P) Với đi qua A, B và vuông góc với (P) ( ) :P x y  2z0,( ) (Q Oyz M), (2; 3;1), a 450.

ĐS: đi qua A, B và vuông góc với (P) R x y( ) :   1 0 đi qua A, B và vuông góc với (P) hoặc đi qua A, B và vuông góc với (P) R( ) : 5x 3y4z 23 0

Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình:

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Đáp đi qua A, B và vuông góc với (P) số: đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P): x5 11y2z 4 0 đi qua A, B và vuông góc với (P) hoặc đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P): đi qua A, B và vuông góc với (P) x y z2    2 0 .

a) đi qua A, B và vuông góc với (P) Với đi qua A, B và vuông góc với (P) x y z

 , đi qua A, B và vuông góc với (P) a 300.

ĐS: đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P): đi qua A, B và vuông góc với (P) (18 114)x21y(15 2 114) z (3 114) 0

hoặc đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P): đi qua A, B và vuông góc với (P) (18 114)x21y(15 2 114) z (3 114) 0

Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3) và tạo với các trục Ox, Oy các góc tương ứng là 45 , 30 0 0

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Gọi đi qua A, B và vuông góc với (P) n( ; ; )a b c

đi qua A, B và vuông góc với (P) là đi qua A, B và vuông góc với (P) VTPT đi qua A, B và vuông góc với (P) của đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) Các đi qua A, B và vuông góc với (P) VTCP đi qua A, B và vuông góc với (P) của đi qua A, B và vuông góc với (P) trục đi qua A, B và vuông góc với (P) Ox, đi qua A, B và vuông góc với (P) Oy đi qua A, B và vuông góc với (P) là đi qua A, B và vuông góc với (P) i(1;0;0),j (0;1;0)

.

Ta đi qua A, B và vuông góc với (P) có: đi qua A, B và vuông góc với (P) Ox P

Oy P

2sin( ,( ))

21sin( ,( ))

PT đi qua A, B và vuông góc với (P) mặt đi qua A, B và vuông góc với (P) phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P): đi qua A, B và vuông góc với (P) 2(x1) ( y 2) ( z 3) 0 đi qua A, B và vuông góc với (P) hoặc đi qua A, B và vuông góc với (P)  2(x 1) ( y 2) ( z 3) 0

Câu 34. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x2y z  5 0 và đườngthẳng d:x 1 y 1 z 3

  Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo

với mặt phẳng (Q) một góc nhỏ nhất

Trang 11

 đi qua A, B và vuông góc với (P) PT đi qua A, B và vuông góc với (P) mặt đi qua A, B và vuông góc với (P) phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) dạng: đi qua A, B và vuông góc với (P) ax by cz d   0 (a2b2c20) đi qua A, B và vuông góc với (P) Gọi đi qua A, B và vuông góc với (P) a (( ),( ))P Q Chọn đi qua A, B và vuông góc với (P) hai đi qua A, B và vuông góc với (P) điểm đi qua A, B và vuông góc với (P) M( 1; 1;3), (1;0;4)  N d đi qua A, B và vuông góc với (P) Ta đi qua A, B và vuông góc với (P) có: đi qua A, B và vuông góc với (P) M P c a b

   đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) a 300.

TH2: đi qua A, B và vuông góc với (P) Nếu đi qua A, B và vuông góc với (P) a đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) 0 đi qua A, B và vuông góc với (P) thì đi qua A, B và vuông góc với (P)

b a

2

13

 đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) f x( ) cos  2

Xét đi qua A, B và vuông góc với (P) hàm đi qua A, B và vuông góc với (P) số đi qua A, B và vuông góc với (P) f x x x

Do đi qua A, B và vuông góc với (P) đó đi qua A, B và vuông góc với (P) chỉ đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) trường đi qua A, B và vuông góc với (P) hợp đi qua A, B và vuông góc với (P) 1 đi qua A, B và vuông góc với (P) thoả đi qua A, B và vuông góc với (P) mãn, đi qua A, B và vuông góc với (P) tức đi qua A, B và vuông góc với (P) a đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) 0 đi qua A, B và vuông góc với (P) Khi đi qua A, B và vuông góc với (P) đó đi qua A, B và vuông góc với (P) chọn đi qua A, B và vuông góc với (P) b1,c1,d 4.

Vậy: đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P): đi qua A, B và vuông góc với (P) y z 4 0   .

a) đi qua A, B và vuông góc với (P) Với đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ): đi qua A, B và vuông góc với (P) x2y2 –3 0z  , đi qua A, B và vuông góc với (P) d:x 1 y 2 z

ĐS: đi qua A, B và vuông góc với (P) P x y z( ) :    3 0 .

Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M( 1; 1;3), (1;0;4)  N và mặt phẳng

(Q): x2y z  5 0 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, N và tạo với (Q) một gócnhỏ nhất

 đi qua A, B và vuông góc với (P) ĐS: đi qua A, B và vuông góc với (P) P( ) :y z  4 0.

a) đi qua A, B và vuông góc với (P) M(1;2; 1), ( 1;1;2),( ) ( N  Q Oxy) đi qua A, B và vuông góc với (P) ĐS: đi qua A, B và vuông góc với (P) P( ) : 6x3y5z 7 0 .

Câu 36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với trục Oy một góc lớn nhất.

 đi qua A, B và vuông góc với (P) PT đi qua A, B và vuông góc với (P) mặt đi qua A, B và vuông góc với (P) phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) dạng: đi qua A, B và vuông góc với (P) ax by cz d   0 (a2b2c20) đi qua A, B và vuông góc với (P) Gọi đi qua A, B và vuông góc với (P) a (( ), ) P Oy Chọn đi qua A, B và vuông góc với (P) hai đi qua A, B và vuông góc với (P) điểm đi qua A, B và vuông góc với (P) M(1; 2;0), (0; 1;2) N  d đi qua A, B và vuông góc với (P) Ta đi qua A, B và vuông góc với (P) có: đi qua A, B và vuông góc với (P) M P c a b

  đi qua A, B và vuông góc với (P)

 đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P): đi qua A, B và vuông góc với (P) ax by a b z a b 0

Trang 12

TH2: đi qua A, B và vuông góc với (P) Nếu đi qua A, B và vuông góc với (P) b đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) 0 đi qua A, B và vuông góc với (P) thì đi qua A, B và vuông góc với (P) a a

2

2sin

 đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) f x( ) sin 2a

Xét đi qua A, B và vuông góc với (P) hàm đi qua A, B và vuông góc với (P) số đi qua A, B và vuông góc với (P) f x

x2 x

4( )



  đi qua A, B và vuông góc với (P) Dựa đi qua A, B và vuông góc với (P) vào đi qua A, B và vuông góc với (P) BBT, đi qua A, B và vuông góc với (P) ta đi qua A, B và vuông góc với (P) được đi qua A, B và vuông góc với (P) max ( )f x 5 x 1

   đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) a 00.

Vậy đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) lớn đi qua A, B và vuông góc với (P) nhất đi qua A, B và vuông góc với (P) khi đi qua A, B và vuông góc với (P) a

b

15

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Chọn đi qua A, B và vuông góc với (P) a1,b5,c2,d 9 đi qua A, B và vuông góc với (P)  (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P): đi qua A, B và vuông góc với (P) x5y 2z 9 0.

Câu 37. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d x y z

 đi qua A, B và vuông góc với (P) d1 đi qua A, B và vuông góc với (P) đi đi qua A, B và vuông góc với (P) qua đi qua A, B và vuông góc với (P) M(1; 2;0) đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) VTCP đi qua A, B và vuông góc với (P) u (1;2; 1) 

.Vì đi qua A, B và vuông góc với (P) d1( )P đi qua A, B và vuông góc với (P) nên đi qua A, B và vuông góc với (P) M( )P

PT đi qua A, B và vuông góc với (P) mặt đi qua A, B và vuông góc với (P) phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) dạng: đi qua A, B và vuông góc với (P) A x( 1)B y( 2)Cz0 đi qua A, B và vuông góc với (P) (A2B2C20)

Ta đi qua A, B và vuông góc với (P) có: đi qua A, B và vuông góc với (P) d( )P  u n   0 C A 2B

Gọi đi qua A, B và vuông góc với (P) a (( ), ) P d2 đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) A B A B

(4 3)( )

 đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) Phương đi qua A, B và vuông góc với (P) trình đi qua A, B và vuông góc với (P) mặt đi qua A, B và vuông góc với (P) phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) : đi qua A, B và vuông góc với (P) x7  y5 9 0 z  .

Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:x 1 y 2 z 1

 đi qua A, B và vuông góc với (P) ĐS: đi qua A, B và vuông góc với (P) P( ) :x y 2 1 0z  .

Câu 39. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x y z2    2 0 và điểm

A(1;1; 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A, vuông góc với mặt phẳng (Q) và

tạo với trục Oy một góc lớn nhất.

 đi qua A, B và vuông góc với (P) ĐS: đi qua A, B và vuông góc với (P) P( ) :y z 0 đi qua A, B và vuông góc với (P) hoặc đi qua A, B và vuông góc với (P) P( ) : 2x5y z  6 0 .

Trang 13

Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến tam giác

Câu 40. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4; 5; 6) Viết phương trình mặt

phẳng (P) qua A, cắt các trục tọa độ lần lượt tại I, J, K mà A là trực tâm của tam giác IJK

a) đi qua A, B và vuông góc với (P) Với đi qua A, B và vuông góc với (P) A(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) –1; đi qua A, B và vuông góc với (P) 1; đi qua A, B và vuông góc với (P) 1) ĐS: đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P): đi qua A, B và vuông góc với (P) x y z 3 0   

Câu 41. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(2; 0; 0) M(1; 1; 1) Mặt phẳng (P) thay đổi qua AM cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B(0; b; 0), C(0; 0; c) (b > 0, c > 0) Chứng minh

rằng: b c bc

2

  Từ đó, tìm b, đi qua A, B và vuông góc với (P) c để diện tích tam giác ABC nhỏ nhất.

 đi qua A, B và vuông góc với (P) PT đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) mp đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) dạng: đi qua A, B và vuông góc với (P) x y z

b c 1.

2   đi qua A, B và vuông góc với (P) Vì đi qua A, B và vuông góc với (P) M( )P đi qua A, B và vuông góc với (P) nên đi qua A, B và vuông góc với (P) 1 1 1 1b c

2   đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P)

đi qua A, B và vuông góc với (P) Khi đi qua A, B và vuông góc với (P) đó đi qua A, B và vuông góc với (P) S b2c2(b c )2 .

Vì đi qua A, B và vuông góc với (P) b2c2 2 ; (bc b c )24bc đi qua A, B và vuông góc với (P) nên đi qua A, B và vuông góc với (P) S 6bc

Mà đi qua A, B và vuông góc với (P) bc2(b c ) 4 bc bc16 đi qua A, B và vuông góc với (P) Do đi qua A, B và vuông góc với (P) đó đi qua A, B và vuông góc với (P) S 96 đi qua A, B và vuông góc với (P) Dấu đi qua A, B và vuông góc với (P) "=" đi qua A, B và vuông góc với (P) xảy đi qua A, B và vuông góc với (P) ra đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) b c 4  .

Vậy: đi qua A, B và vuông góc với (P) minS 96 đi qua A, B và vuông góc với (P) khi đi qua A, B và vuông góc với (P) b c 4  .

Câu 42. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;2;4) và mặt phẳng P ( ) : x y z 4 0    Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và (Q) cắt hai tia Ox, Oy tại 2 điểm B,

C sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 6

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Vì đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ) đi qua A, B và vuông góc với (P) // đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) nên đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ): đi qua A, B và vuông góc với (P) x  y z d 0 (d 4) đi qua A, B và vuông góc với (P) Giả đi qua A, B và vuông góc với (P) sử đi qua A, B và vuông góc với (P) B( )Q Ox C, ( )Q Oy đi qua A, B và vuông góc với (P)

 đi qua A, B và vuông góc với (P) B( ;0;0), (0; ;0) (d C d d0) đi qua A, B và vuông góc với (P) S ABC 1 AB AC, 6

 

đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) d 2 đi qua A, B và vuông góc với (P)

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Q( ) :x y z   2 0 .

Câu 43. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho các điểm A(3;0;0), (1;2;1) Viết phương trình mặtB phẳng (P) qua A, B và cắt trục Oz tại M sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 9

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Giá đi qua A, B và vuông góc với (P) sử đi qua A, B và vuông góc với (P) A a( ;0;0)Ox B b, (0; ;0)Oy C, (0;0; )c Oz đi qua A, B và vuông góc với (P) a b c( , , 0).

Khi đi qua A, B và vuông góc với (P) đó đi qua A, B và vuông góc với (P) PT đi qua A, B và vuông góc với (P) mặt đi qua A, B và vuông góc với (P) phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) dạng: đi qua A, B và vuông góc với (P) x y z

a b c  1.

Trang 14

Ta đi qua A, B và vuông góc với (P) có: đi qua A, B và vuông góc với (P) M(9;1;1) ( ) P đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P)

a b c

279

a) đi qua A, B và vuông góc với (P) Với đi qua A, B và vuông góc với (P) M(1;2;4) ĐS: đi qua A, B và vuông góc với (P) ( ) :P x y z 1

 đi qua A, B và vuông góc với (P) ĐS: đi qua A, B và vuông góc với (P) P( ) :x2y3 14 0z  .

Câu 46. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2;5;3), cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho biểu thức OA OB OC  có giá trị nhỏnhất

 đi qua A, B và vuông góc với (P) ĐS: đi qua A, B và vuông góc với (P) ( ) :P x y z 1

2 6 10 5  10 15 3  6 15  .

Trang 15

TĐKG 02: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng bằng cách xác định vectơ chỉ phương

Câu 47. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:x 1 y 1 z 2

phẳng P : x y z 1 0    Viết phương trình đường thẳng  đi qua A(1;1; 2) , song song

với mặt phẳng P( ) và vuông góc với đường thẳng d

 đi qua A, B và vuông góc với (P) uu n d; P(2;5; 3)

Câu 48. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình: { xt;

y 1 2t; z 2 t(t R ) và mặt phẳng (P): x y2   2z 3 0 Viết phương trình tham

số của đường thẳng  nằm trên (P), cắt và vuông góc với (d)

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Gọi đi qua A, B và vuông góc với (P) A đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) d đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) A(1; 3;1) đi qua A, B và vuông góc với (P)

Phương đi qua A, B và vuông góc với (P) trình đi qua A, B và vuông góc với (P) mp(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ) đi qua A, B và vuông góc với (P) qua đi qua A, B và vuông góc với (P) A đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) vuông đi qua A, B và vuông góc với (P) góc đi qua A, B và vuông góc với (P) với đi qua A, B và vuông góc với (P) d: đi qua A, B và vuông góc với (P) x 2y z  6 0

 đi qua A, B và vuông góc với (P) là đi qua A, B và vuông góc với (P) giao đi qua A, B và vuông góc với (P) tuyến đi qua A, B và vuông góc với (P) của đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ) đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) : đi qua A, B và vuông góc với (P)  x 1 ;t y3;z 1 t

Câu 49. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) và đường thẳng :

 đi qua A, B và vuông góc với (P) u (2;1; 1)

đi qua A, B và vuông góc với (P) Gọi đi qua A, B và vuông góc với (P) H đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) d đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) Giả đi qua A, B và vuông góc với (P) sử đi qua A, B và vuông góc với (P) H(1 2 ; 1 ; ) t   t t đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) MH (2 1;t t 2; )t

Câu 50. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 1 = 0 và hai

điểm A(1;7; –1), B(4;2;0) Lập phương trình đường thẳng (D) là hình chiếu vuông góc củađường thẳng AB trên (P)

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Gọi đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ) đi qua A, B và vuông góc với (P) là đi qua A, B và vuông góc với (P) mặt đi qua A, B và vuông góc với (P) phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) qua đi qua A, B và vuông góc với (P) A, đi qua A, B và vuông góc với (P) B đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) vuông đi qua A, B và vuông góc với (P) góc đi qua A, B và vuông góc với (P) với đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ): đi qua A, B và vuông góc với (P) 8x đi qua A, B và vuông góc với (P) + đi qua A, B và vuông góc với (P) 7x đi qua A, B và vuông góc với (P) + đi qua A, B và vuông góc với (P) 11z đi qua A, B và vuông góc với (P) – đi qua A, B và vuông góc với (P) 46 đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) 0 đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) D) đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P)(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ) đi qua A, B và vuông góc với (P) suy đi qua A, B và vuông góc với (P) ra đi qua A, B và vuông góc với (P) phương đi qua A, B và vuông góc với (P) trình đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) D).

Câu 51. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình hình chiếu vuông góc của

Trang 16

Gọi đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) là đi qua A, B và vuông góc với (P) hình đi qua A, B và vuông góc với (P) chiếu đi qua A, B và vuông góc với (P) vuông đi qua A, B và vuông góc với (P) góc đi qua A, B và vuông góc với (P) của đi qua A, B và vuông góc với (P) d đi qua A, B và vuông góc với (P) trên đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) đi đi qua A, B và vuông góc với (P) qua đi qua A, B và vuông góc với (P) A đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) H đi qua A, B và vuông góc với (P)

 đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) VTCP đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) u3HA(16;13;10)

a) đi qua A, B và vuông góc với (P) Với đi qua A, B và vuông góc với (P) d:x 1 y 1 z 2

Câu 52. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi A, đi qua A, B và vuông góc với (P) B, đi qua A, B và vuông góc với (P) C lần lượt giao điểm của mặt phẳng

 P : 6x2y3z 6 0 với Ox, đi qua A, B và vuông góc với (P) Oy, đi qua A, B và vuông góc với (P) Oz Lập phương trình đường thẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) d đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đồng thời vuông góc với mặt phẳng (P).

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Ta đi qua A, B và vuông góc với (P) có: đi qua A, B và vuông góc với (P) P( )Ox A (1;0;0); ( )P Oy B (0;3;0); ( )P Oz C (0;0;2)

Gọi đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) là đi qua A, B và vuông góc với (P) đường đi qua A, B và vuông góc với (P) thẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) vuông đi qua A, B và vuông góc với (P) góc đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) OAB) đi qua A, B và vuông góc với (P) tại đi qua A, B và vuông góc với (P) trung đi qua A, B và vuông góc với (P) điểm đi qua A, B và vuông góc với (P) M đi qua A, B và vuông góc với (P) của đi qua A, B và vuông góc với (P) AB; đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ) đi qua A, B và vuông góc với (P) là đi qua A, B và vuông góc với (P) mặt đi qua A, B và vuông góc với (P) phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) trung trực đi qua A, B và vuông góc với (P) cạnh đi qua A, B và vuông góc với (P) OC; đi qua A, B và vuông góc với (P) I đi qua A, B và vuông góc với (P) tâm đi qua A, B và vuông góc với (P) mặt đi qua A, B và vuông góc với (P) cầu đi qua A, B và vuông góc với (P) ngoại đi qua A, B và vuông góc với (P) tiếp đi qua A, B và vuông góc với (P) tứ đi qua A, B và vuông góc với (P) diện đi qua A, B và vuông góc với (P) OABC đi qua A, B và vuông góc với (P) Ta đi qua A, B và vuông góc với (P) có: đi qua A, B và vuông góc với (P) I   ( )a đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) I 1 3; ;1

3 22

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Ta đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) AB               (1; 1;2),               AC ( 1; 1;3)                            AB AC,   ( 1; 5; 2) 

 đi qua A, B và vuông góc với (P) phương đi qua A, B và vuông góc với (P) trình đi qua A, B và vuông góc với (P) mặt đi qua A, B và vuông góc với (P) phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ABC): đi qua A, B và vuông góc với (P) x5y2z 9 0

Gọi đi qua A, B và vuông góc với (P) trực đi qua A, B và vuông góc với (P) tâm đi qua A, B và vuông góc với (P) của đi qua A, B và vuông góc với (P) tam đi qua A, B và vuông góc với (P) giác đi qua A, B và vuông góc với (P) ABC đi qua A, B và vuông góc với (P) là đi qua A, B và vuông góc với (P) H a b c ( ; ; ) , đi qua A, B và vuông góc với (P) khi đi qua A, B và vuông góc với (P) đó đi qua A, B và vuông góc với (P) ta đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) hệ:

  đi qua A, B và vuông góc với (P)

Vậy đi qua A, B và vuông góc với (P) phương đi qua A, B và vuông góc với (P) trình đi qua A, B và vuông góc với (P) đường đi qua A, B và vuông góc với (P) thẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) :x 2 y 1 z 1

 đi qua A, B và vuông góc với (P)

Trang 17

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến một đường thẳng khác

Câu 54. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) và đường thẳng d có phương

trình d: x 1 y 1 z

 Viết phương trình của đường thẳng  đi qua điểm M, cắt và

vuông góc với đường thẳng d và tìm toạ độ điểm M đối xứng với M qua d.

 đi qua A, B và vuông góc với (P) PTTS đi qua A, B và vuông góc với (P) của đi qua A, B và vuông góc với (P) d: đi qua A, B và vuông góc với (P)

z t

1 21

đi qua A, B và vuông góc với (P) d đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) VTCP đi qua A, B và vuông góc với (P) u (2;1; 1) 

đi qua A, B và vuông góc với (P) Gọi đi qua A, B và vuông góc với (P) H đi qua A, B và vuông góc với (P) là đi qua A, B và vuông góc với (P) hình đi qua A, B và vuông góc với (P) chiếu đi qua A, B và vuông góc với (P) của đi qua A, B và vuông góc với (P) M đi qua A, B và vuông góc với (P) trên đi qua A, B và vuông góc với (P) d đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) H(1 2 ; 1 ; ) t   t t đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) MH (2 1; 2 ; )t   t t

a) đi qua A, B và vuông góc với (P) M( 4; 2;4); :d x 3 y 1 z 1

Câu 55. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: x y 1 z 1

1  2  1 và hai điểm A(1;1; 2) ,

B( 1;0;2) Viết phương trình đường thẳng  qua A, vuông góc với d sao cho khoảng cách

từ B tới  là nhỏ nhất.

 đi qua A, B và vuông góc với (P) d đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) VTCP đi qua A, B và vuông góc với (P) ud (1;2; 1)

đi qua A, B và vuông góc với (P) Gọi đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) là đi qua A, B và vuông góc với (P) mặt đi qua A, B và vuông góc với (P) phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) đi đi qua A, B và vuông góc với (P) qua đi qua A, B và vuông góc với (P) A đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) vuông đi qua A, B và vuông góc với (P) góc đi qua A, B và vuông góc với (P) với đi qua A, B và vuông góc với (P) d đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) Gọi đi qua A, B và vuông góc với (P) H đi qua A, B và vuông góc với (P) là hình đi qua A, B và vuông góc với (P) chiếu đi qua A, B và vuông góc với (P) vuông đi qua A, B và vuông góc với (P) góc đi qua A, B và vuông góc với (P) của đi qua A, B và vuông góc với (P) B đi qua A, B và vuông góc với (P) lên đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) khi đi qua A, B và vuông góc với (P) đó đi qua A, B và vuông góc với (P) đường đi qua A, B và vuông góc với (P) thẳng đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) đi đi qua A, B và vuông góc với (P) qua đi qua A, B và vuông góc với (P) A đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) H đi qua A, B và vuông góc với (P) thỏa đi qua A, B và vuông góc với (P) YCBT.

Ta đi qua A, B và vuông góc với (P) có: đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P): đi qua A, B và vuông góc với (P) x2y z  5 0 đi qua A, B và vuông góc với (P) Giả đi qua A, B và vuông góc với (P) sử đi qua A, B và vuông góc với (P) H x y z ( ; ; ) đi qua A, B và vuông góc với (P)

d

BH u cuøng phöông

( ),

  đi qua A, B và vuông góc với (P)

 đi qua A, B và vuông góc với (P) u 3AH ( 2;5;8)

A(1;2; 1), B(3; 1; 5)  Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và cắt đường thẳng

 sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d là lớn nhất

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Giả đi qua A, B và vuông góc với (P) sử đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) d đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) cắt đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) tại đi qua A, B và vuông góc với (P) M đi qua A, B và vuông góc với (P)  M( 1 2 ;3 ; 1 )  t t   t , đi qua A, B và vuông góc với (P) AM  ( 2 2 ;3 2; ),t t t AB(2; 3; 4) 

Trang 18

Câu 57. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) và đường

thẳng :x 1 y 1 z

 Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm B và cắt đường

thẳng  tại điểm C sao cho diện tích tam giác ABC có giá trị nhỏ nhất

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Phương đi qua A, B và vuông góc với (P) trình đi qua A, B và vuông góc với (P) tham đi qua A, B và vuông góc với (P) số đi qua A, B và vuông góc với (P) của đi qua A, B và vuông góc với (P) : đi qua A, B và vuông góc với (P)

z t

1 212

đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) 18( 1) 198t 2 đi qua A, B và vuông góc với (P) ≥ đi qua A, B và vuông góc với (P) 198

Vậy đi qua A, B và vuông góc với (P) Min đi qua A, B và vuông góc với (P) S đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) 198 đi qua A, B và vuông góc với (P) khi đi qua A, B và vuông góc với (P) t 1 đi qua A, B và vuông góc với (P) hay đi qua A, B và vuông góc với (P) C(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 1; đi qua A, B và vuông góc với (P) 0; đi qua A, B và vuông góc với (P) 2) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) Phương đi qua A, B và vuông góc với (P) trình đi qua A, B và vuông góc với (P) BC: đi qua A, B và vuông góc với (P) x 3 y 3 z 6

a) đi qua A, B và vuông góc với (P) d:x y 1 z 2

Câu 59. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 3 x 2y z  29 0 và hai

điểm A(4;4;6) B, (2;9;3) Gọi E F, là hình chiếu của A và B trên ( ) Tính độ dài đoạn

EF Tìm phương trình đường thẳng  nằm trong mặt phẳng ( ) đồng thời  đi qua giaođiểm của AB với ( ) và  vuông góc với AB.

 đi qua A, B và vuông góc với (P) AB   ( 2;5; 3), n (3; 2;1)

a , đi qua A, B và vuông góc với (P) sin(AB,( )) cos(AB n, ) 19

532

 a

Trang 19

Câu 60. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 mặt phẳng (P), (Q) và đường thẳng (d) lần

PTTS đi qua A, B và vuông góc với (P) của đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) d): đi qua A, B và vuông góc với (P) x  1 2 ,t y t z,  1 t đi qua A, B và vuông góc với (P) Gọi đi qua A, B và vuông góc với (P) A đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) d) đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ) đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) A(1 2 ; ;1 ) t t t đi qua A, B và vuông góc với (P)

đi qua A, B và vuông góc với (P) Do đi qua A, B và vuông góc với (P) A đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) nên: đi qua A, B và vuông góc với (P) 1 2 2 1 t t   t 0 t2 đi qua A, B và vuông góc với (P) A( 3; 2; 1)  

Theo đi qua A, B và vuông góc với (P) giả đi qua A, B và vuông góc với (P) thiết đi qua A, B và vuông góc với (P) ta đi qua A, B và vuông góc với (P) có: đi qua A, B và vuông góc với (P) P P Q

 Lập phương trình đường thẳng  đi qua trực tâm của

tam giác ABC, nằm trong mặt phẳng (ABC) và vuông góc với đường thẳng (d).

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Ta đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P)               AB(1; 1;2),               AC ( 1; 1;3)                             AB AC,   ( 1; 5; 2) 

 đi qua A, B và vuông góc với (P) phương đi qua A, B và vuông góc với (P) trình đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ABC): đi qua A, B và vuông góc với (P) x5y2z 9 0

Gọi đi qua A, B và vuông góc với (P) trực đi qua A, B và vuông góc với (P) tâm đi qua A, B và vuông góc với (P) của đi qua A, B và vuông góc với (P) ABC đi qua A, B và vuông góc với (P) là đi qua A, B và vuông góc với (P) H a b c( ; ; )

  và điểm A( 2;3;4) Viết phương trình đường thẳng  nằm

trên (P), đi qua giao điểm của d và (P), đồng thời vuông góc với d Tìm điểm M trên  sao

  đi qua A, B và vuông góc với (P)

Do đi qua A, B và vuông góc với (P) đó đi qua A, B và vuông góc với (P) ta đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) thể đi qua A, B và vuông góc với (P) chọn đi qua A, B và vuông góc với (P) u 1 n u P d, (1; 1; 1)

Trang 20

a) đi qua A, B và vuông góc với (P) P( ) : 2x y  2z 9 0, đi qua A, B và vuông góc với (P)

    , mặt phẳng P x y z( ) : –   5 0 Viết phương trình của đường thẳng d đi

qua điểm A , nằm trong ( P) và hợp với đường thẳng  một góc 45 0

 đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) Gọi đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) u u d,  đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) lần đi qua A, B và vuông góc với (P) lươt đi qua A, B và vuông góc với (P) là đi qua A, B và vuông góc với (P) các đi qua A, B và vuông góc với (P) VTCP đi qua A, B và vuông góc với (P) của đi qua A, B và vuông góc với (P) d đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P)  ; đi qua A, B và vuông góc với (P) n là đi qua A, B và vuông góc với (P) VTPT đi qua A, B và vuông góc với (P) của đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) P

Đặt đi qua A, B và vuông góc với (P) ud ( ; ; ), (a b c a2b2c20)

đi qua A, B và vuông góc với (P) Vì đi qua A, B và vuông góc với (P) d đi qua A, B và vuông góc với (P) nằm đi qua A, B và vuông góc với (P) trong đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) nên đi qua A, B và vuông góc với (P) ta đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) : đi qua A, B và vuông góc với (P) nP ud

đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P)

 đi qua A, B và vuông góc với (P) a b c–  0 đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) b a c   (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) 1 đi qua A, B và vuông góc với (P) ).

Theo đi qua A, B và vuông góc với (P) gt: đi qua A, B và vuông góc với (P) ( , ) 45d   0 đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) a b c a b c a b c

đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 2) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P)

đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) Thay đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 1) đi qua A, B và vuông góc với (P) vào đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) 2) đi qua A, B và vuông góc với (P) ta đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) : đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) 14c2 30ac 0 c 0;c 15a

(P): x y z 2 0    Gọi M là giao điểm của d và (P) Viết phương trình đường thẳng 

nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với d đồng thời khoảng cách từ M tới  bằng 42

 đi qua A, B và vuông góc với (P) PTTS đi qua A, B và vuông góc với (P) d: đi qua A, B và vuông góc với (P)

3 221

đi qua A, B và vuông góc với (P)  M(1; 3;0) đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) VTPT đi qua A, B và vuông góc với (P) nP (1;1;1)

, đi qua A, B và vuông góc với (P) d đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) VTCP đi qua A, B và vuông góc với (P) ud (2;1; 1)

Vì đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) nằm đi qua A, B và vuông góc với (P) trong đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) vuông đi qua A, B và vuông góc với (P) góc đi qua A, B và vuông góc với (P) với đi qua A, B và vuông góc với (P) d đi qua A, B và vuông góc với (P) nên đi qua A, B và vuông góc với (P) VTCP đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) u u n d, P (2; 3;1)

Gọi đi qua A, B và vuông góc với (P) N(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) x; đi qua A, B và vuông góc với (P) y; đi qua A, B và vuông góc với (P) z) đi qua A, B và vuông góc với (P) là đi qua A, B và vuông góc với (P) hình đi qua A, B và vuông góc với (P) chiếu đi qua A, B và vuông góc với (P) vuông đi qua A, B và vuông góc với (P) góc đi qua A, B và vuông góc với (P) của đi qua A, B và vuông góc với (P) M đi qua A, B và vuông góc với (P) trên đi qua A, B và vuông góc với (P) , đi qua A, B và vuông góc với (P) khi đi qua A, B và vuông góc với (P) đó MN (x 1;y3; )z

đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) N(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 5; đi qua A, B và vuông góc với (P) –2; đi qua A, B và vuông góc với (P) –5) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) hoặc đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) N(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) –3; đi qua A, B và vuông góc với (P) – đi qua A, B và vuông góc với (P) 4; đi qua A, B và vuông góc với (P) 5)

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Với đi qua A, B và vuông góc với (P) N(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 5; đi qua A, B và vuông góc với (P) –2; đi qua A, B và vuông góc với (P) –5) đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) Phương đi qua A, B và vuông góc với (P) trình đi qua A, B và vuông góc với (P) của đi qua A, B và vuông góc với (P) :x 5 y 2 z 5

Trang 21

mặt phẳng ( ) và cắt (); (d) và () chéo nhau mà khoảng cách giữa chúng bằng 6

2 .

 đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ) đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) VTPT đi qua A, B và vuông góc với (P) n(1;1; 1)

, đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ) đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) VTCP đi qua A, B và vuông góc với (P) u  ( 1; 1;1)

đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ) đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ).

Gọi đi qua A, B và vuông góc với (P) A ( ) ( )   a đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) A(0;0; 1) ; đi qua A, B và vuông góc với (P) B ( ) ( )   a đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) B(1;0;0) đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) AB (1;0;1)

Vì đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) d) đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ) đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) d) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) cắt đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ) đi qua A, B và vuông góc với (P) nên đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) d) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi đi qua A, B và vuông góc với (P) qua đi qua A, B và vuông góc với (P) A đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ) đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ) đi qua A, B và vuông góc với (P) nên đi qua A, B và vuông góc với (P) mọi đi qua A, B và vuông góc với (P) đường đi qua A, B và vuông góc với (P) thẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) nằm đi qua A, B và vuông góc với (P) trong đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ) đi qua A, B và vuông góc với (P) và không đi qua A, B và vuông góc với (P) đi đi qua A, B và vuông góc với (P) qua đi qua A, B và vuông góc với (P) B đi qua A, B và vuông góc với (P) đều đi qua A, B và vuông góc với (P) chéo đi qua A, B và vuông góc với (P) với đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ) đi qua A, B và vuông góc với (P)

Gọi đi qua A, B và vuông góc với (P) ud ( ; ; )a b c

đi qua A, B và vuông góc với (P) là đi qua A, B và vuông góc với (P) VTCP đi qua A, B và vuông góc với (P) của đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) d) đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) u n a b c d    0

đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 1) đi qua A, B và vuông góc với (P)

và đi qua A, B và vuông góc với (P) u đi qua A, B và vuông góc với (P) không đi qua A, B và vuông góc với (P) cùng đi qua A, B và vuông góc với (P) phương đi qua A, B và vuông góc với (P) với đi qua A, B và vuông góc với (P) AB d  đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 2)

Ta đi qua A, B và vuông góc với (P) có: đi qua A, B và vuông góc với (P) d d( , ) d B d( , ) đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) d

d

AB u u

đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 3)

Từ đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 1) đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 3) đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) ac 0 đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) a

c 00

 

 

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Với đi qua A, B và vuông góc với (P) a 0 đi qua A, B và vuông góc với (P) Chọn đi qua A, B và vuông góc với (P) b c 1  đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) ud (0;1;1)

đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P)

x

d y t

0:

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Với đi qua A, B và vuông góc với (P) c 0 đi qua A, B và vuông góc với (P) Chọn đi qua A, B và vuông góc với (P) ab 1 đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) ud (1; 1;0)

đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P)

Trang 22

Câu 66. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường vuông góc chung của hai

Gọi đi qua A, B và vuông góc với (P) M đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) N đi qua A, B và vuông góc với (P) lần đi qua A, B và vuông góc với (P) lượt đi qua A, B và vuông góc với (P) là đi qua A, B và vuông góc với (P) giao đi qua A, B và vuông góc với (P) điểm đi qua A, B và vuông góc với (P) của đi qua A, B và vuông góc với (P) đường đi qua A, B và vuông góc với (P) vuông đi qua A, B và vuông góc với (P) góc đi qua A, B và vuông góc với (P) chung đi qua A, B và vuông góc với (P) với đi qua A, B và vuông góc với (P)  1 đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P)  2

 đi qua A, B và vuông góc với (P) M(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 7 đi qua A, B và vuông góc với (P) + đi qua A, B và vuông góc với (P) t;3 đi qua A, B và vuông góc với (P) + đi qua A, B và vuông góc với (P) 2t;9 đi qua A, B và vuông góc với (P) – đi qua A, B và vuông góc với (P) t) đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) N(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 3 đi qua A, B và vuông góc với (P) –7t;1 đi qua A, B và vuông góc với (P) + đi qua A, B và vuông góc với (P) 2t;1 đi qua A, B và vuông góc với (P) + đi qua A, B và vuông góc với (P) 3t) đi qua A, B và vuông góc với (P)

đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) VTCP đi qua A, B và vuông góc với (P) lần đi qua A, B và vuông góc với (P) lượt đi qua A, B và vuông góc với (P) của đi qua A, B và vuông góc với (P)  1 đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P)  2 đi qua A, B và vuông góc với (P) là đi qua A, B và vuông góc với (P) a đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 1; đi qua A, B và vuông góc với (P) 2; đi qua A, B và vuông góc với (P) –1) đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) b đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) –7;2;3)

đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) Ta đi qua A, B và vuông góc với (P) có: đi qua A, B và vuông góc với (P) MN a MN a

    đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) Từ đi qua A, B và vuông góc với (P) đây đi qua A, B và vuông góc với (P) tìm đi qua A, B và vuông góc với (P) được đi qua A, B và vuông góc với (P) t đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) t đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) Toạ đi qua A, B và vuông góc với (P) độ đi qua A, B và vuông góc với (P) của đi qua A, B và vuông góc với (P) M, đi qua A, B và vuông góc với (P) N.

đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) Đường đi qua A, B và vuông góc với (P) vuông đi qua A, B và vuông góc với (P) góc đi qua A, B và vuông góc với (P) chung đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) chính đi qua A, B và vuông góc với (P) là đi qua A, B và vuông góc với (P) đường đi qua A, B và vuông góc với (P) thẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) MN.

a) đi qua A, B và vuông góc với (P) Với đi qua A, B và vuông góc với (P)

ĐS: đi qua A, B và vuông góc với (P)

b) đi qua A, B và vuông góc với (P) M(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 3; đi qua A, B và vuông góc với (P) 10; đi qua A, B và vuông góc với (P) 1) đi qua A, B và vuông góc với (P) , đi qua A, B và vuông góc với (P) d x y z

Trang 23

đi qua A, B và vuông góc với (P) Gọi đi qua A, B và vuông góc với (P) d đi qua A, B và vuông góc với (P) là đi qua A, B và vuông góc với (P) đường đi qua A, B và vuông góc với (P) thẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) qua đi qua A, B và vuông góc với (P) A đi qua A, B và vuông góc với (P) cắt đi qua A, B và vuông góc với (P) 2 đi qua A, B và vuông góc với (P) tại

B(1 ; 1 ; 2 2 )    t t t đi qua A, B và vuông góc với (P)               AB( ;t t 3;2 1);t d Oy                             AB j 0 t 3              AB(3;0;5)

Đường đi qua A, B và vuông góc với (P) thẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) d đi qua A, B và vuông góc với (P) đi đi qua A, B và vuông góc với (P) qua đi qua A, B và vuông góc với (P) A đi qua A, B và vuông góc với (P) nhận đi qua A, B và vuông góc với (P) AB (3;0;5)

là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): x y2 – –1 0 và (Q): x y2  2 –5 0z  Gọi I là giao

điểm của d d1 2, Viết phương trình đường thẳng d3 qua điểm A(2; 3; 1), đồng thời cắt hai

đường thẳng d d1 2, lần lượt tại B và C sao cho tam giác BIC cân đỉnh I

 đi qua A, B và vuông góc với (P) PTTS đi qua A, B và vuông góc với (P) của đi qua A, B và vuông góc với (P) d2: x t y ';  1 2 ';t z 3 2 't đi qua A, B và vuông góc với (P) I d1d2 đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) I(1;1;1)

Giả đi qua A, B và vuông góc với (P) sử: đi qua A, B và vuông góc với (P) B(1 ;1 2 ;1 2 )t  t  t d C t1, ( '; 1 2 ';3 2 ')  t  t d t2 ( 0, ' 1)t 

BIC đi qua A, B và vuông góc với (P) cân đi qua A, B và vuông góc với (P) đỉnh đi qua A, B và vuông góc với (P) I đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) IB IC

  đi qua A, B và vuông góc với (P) Phương đi qua A, B và vuông góc với (P) trình đi qua A, B và vuông góc với (P) d3: x2;y3;z 1 2t

Câu 70. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x4 –3y11z0 và haiđường thẳng d1: x

1

 = y 3

2

 = z 1

3

 , x 4

1

 = y

1 =

z 3

2

 Chứng minh rằng d1 và d2 chéonhau Viết phương trình đường thẳng  nằm trên (P), đồng thời  cắt cả d1 và d2

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Toạ đi qua A, B và vuông góc với (P) độ đi qua A, B và vuông góc với (P) giao đi qua A, B và vuông góc với (P) điểm đi qua A, B và vuông góc với (P) của đi qua A, B và vuông góc với (P) d 1 đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P): đi qua A, B và vuông góc với (P) A(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) –2;7;5) đi qua A, B và vuông góc với (P) Toạ đi qua A, B và vuông góc với (P) độ đi qua A, B và vuông góc với (P) giao đi qua A, B và vuông góc với (P) điểm đi qua A, B và vuông góc với (P) của đi qua A, B và vuông góc với (P) d 2 đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P): đi qua A, B và vuông góc với (P) B(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 3;–1;1) Phương đi qua A, B và vuông góc với (P) trình đi qua A, B và vuông góc với (P) đường đi qua A, B và vuông góc với (P) thẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) : đi qua A, B và vuông góc với (P) x 2 y 7 z 5

 đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) VTPT đi qua A, B và vuông góc với (P) nP (1; 4; 1)

, đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ) đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) pháp đi qua A, B và vuông góc với (P) vectơ đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) nQ (3; 4; 9)

(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) d 1 ) đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) VTCP đi qua A, B và vuông góc với (P) u1(2; 4; 3)

, đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) d 2 ) đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) VTCP đi qua A, B và vuông góc với (P) u2 ( 2; 3; 4)

Trang 24

Gọi: đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P)

đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ) đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P 1 ) đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 1 ) đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ) đi qua A, B và vuông góc với (P) // đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P)  1 )

(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ) đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) vectơ đi qua A, B và vuông góc với (P) chỉ đi qua A, B và vuông góc với (P) phương đi qua A, B và vuông góc với (P) u 1 [ ; ] (8; 3; 4)n n P Q

4

(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P 1 ) đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) cặp đi qua A, B và vuông góc với (P) VTCP đi qua A, B và vuông góc với (P) u1 đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) u  đi qua A, B và vuông góc với (P) nên đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) VTPT: đi qua A, B và vuông góc với (P) nP1[ ; ] (25; 32; 26)u u 1 

Phương đi qua A, B và vuông góc với (P) trình đi qua A, B và vuông góc với (P) mp đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P 1 ): đi qua A, B và vuông góc với (P) 25(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) x đi qua A, B và vuông góc với (P) + đi qua A, B và vuông góc với (P) 5) đi qua A, B và vuông góc với (P) + đi qua A, B và vuông góc với (P) 32(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) y đi qua A, B và vuông góc với (P) – đi qua A, B và vuông góc với (P) 3) đi qua A, B và vuông góc với (P) + đi qua A, B và vuông góc với (P) 26(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) z đi qua A, B và vuông góc với (P) + đi qua A, B và vuông góc với (P) 1) đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) 0 đi qua A, B và vuông góc với (P) 25x32y26z55 0

(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 1 ) đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) cặp đi qua A, B và vuông góc với (P) VTCP đi qua A, B và vuông góc với (P) u2 đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) u  đi qua A, B và vuông góc với (P) nên đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) VTPT: đi qua A, B và vuông góc với (P) nQ1[ ; ] (0; 24; 18)u u 2  

Phương đi qua A, B và vuông góc với (P) trình đi qua A, B và vuông góc với (P) mp đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 1 ): đi qua A, B và vuông góc với (P) x0(  3) 24( y1) 18( z 2) 0 đi qua A, B và vuông góc với (P)  4y 3x10 0

Ta đi qua A, B và vuông góc với (P) có: đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) ( ) ( ) ( )  P1  Q1 đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) phương đi qua A, B và vuông góc với (P) trình đi qua A, B và vuông góc với (P) đường đi qua A, B và vuông góc với (P) thẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ) đi qua A, B và vuông góc với (P) : đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) x y z

Câu 72. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x y2 – 2 –3 0z  và hai

đường thẳng (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) d 1 ), đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) d 2 ) lần lượt có phương trình x 4 y 1 z

  Viết phương trình đường

thẳng  song song với (P), vuông góc với d1 và cắt d2 tại điểm E có hoành độ bằng 3

 đi qua A, B và vuông góc với (P) d1 đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) VTCP đi qua A, B và vuông góc với (P) u1(2;1;3)

, đi qua A, B và vuông góc với (P) d2 đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) VTCP đi qua A, B và vuông góc với (P) u2 (2;3;2)

, đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) VTPT đi qua A, B và vuông góc với (P) n (2; 1;1) 

Giả đi qua A, B và vuông góc với (P) sử đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) VTCP đi qua A, B và vuông góc với (P) u( ; ; )a b c

, đi qua A, B và vuông góc với (P) E d 2 đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) x E 3 đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) E(3; 1;6) .

Ta đi qua A, B và vuông góc với (P) có: đi qua A, B và vuông góc với (P) P u n

 đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) Chọn đi qua A, B và vuông góc với (P) u (1;1; 1) 

 đi qua A, B và vuông góc với (P) PT đi qua A, B và vuông góc với (P) đường đi qua A, B và vuông góc với (P) thẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) : đi qua A, B và vuông góc với (P) x 3 ;t y 1 ;t z 6 t

Câu 74. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d( ),( ) và mặt phẳng (P) có phương1 d2

Trang 25

Do đi qua A, B và vuông góc với (P) AB đi qua A, B và vuông góc với (P) // đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) nên: đi qua A, B và vuông góc với (P) AB n P (1;1; 2)  b a  4

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Giả đi qua A, B và vuông góc với (P) sử: đi qua A, B và vuông góc với (P) A( 8 2 ;6  t1 t1;10 t1) đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) d 1 , đi qua A, B và vuông góc với (P) B t( ;22  t2; 4 2 )  t2 đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) d 2

 đi qua A, B và vuông góc với (P) AB(t2 2t18;t2 t1 4);2t2t1 14)

 





 đi qua A, B và vuông góc với (P)

 đi qua A, B và vuông góc với (P) A( 52; 16;32), (18; 16;32)  B  .

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Phương đi qua A, B và vuông góc với (P) trình đi qua A, B và vuông góc với (P) đường đi qua A, B và vuông góc với (P) thẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) d: đi qua A, B và vuông góc với (P) x52 ;t y16; z32.

Câu 76. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng: (d 1):

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Giả đi qua A, B và vuông góc với (P) sử đi qua A, B và vuông góc với (P) A( 23 8 ; 10 4 ; )  t1   t t1 1 đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) d 1 , đi qua A, B và vuông góc với (P) B(3 2 ; 2 2 ; ) t2   t t2 2 đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) d 2

 đi qua A, B và vuông góc với (P) AB(2t2 8t126; 2 t2 4t18;t2 t1)

1 2

17653

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Phương đi qua A, B và vuông góc với (P) trình đi qua A, B và vuông góc với (P) mặt đi qua A, B và vuông góc với (P) phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ) đi qua A, B và vuông góc với (P) chứa đi qua A, B và vuông góc với (P) AB đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) song đi qua A, B và vuông góc với (P) song đi qua A, B và vuông góc với (P) d: đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ): đi qua A, B và vuông góc với (P) 6x đi qua A, B và vuông góc với (P) + đi qua A, B và vuông góc với (P) 3y đi qua A, B và vuông góc với (P) + đi qua A, B và vuông góc với (P) 2z đi qua A, B và vuông góc với (P) – đi qua A, B và vuông góc với (P) 12 đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) 0

Phương đi qua A, B và vuông góc với (P) trình đi qua A, B và vuông góc với (P) mặt đi qua A, B và vuông góc với (P) phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ) đi qua A, B và vuông góc với (P) chứa đi qua A, B và vuông góc với (P) OC đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) song đi qua A, B và vuông góc với (P) song đi qua A, B và vuông góc với (P) d: đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ): đi qua A, B và vuông góc với (P) 3x đi qua A, B và vuông góc với (P) – đi qua A, B và vuông góc với (P) 3y đi qua A, B và vuông góc với (P) + đi qua A, B và vuông góc với (P) z đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) 0

 đi qua A, B và vuông góc với (P) là đi qua A, B và vuông góc với (P) giao đi qua A, B và vuông góc với (P) tuyến đi qua A, B và vuông góc với (P) của đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ) đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ) đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) : đi qua A, B và vuông góc với (P) x y z

Trang 26

Câu 78. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(4;5;6); B(0;0;1); C(0;2;0);

D(3;0;0) Chứng minh các đường thẳng AB và CD chéo nhau Viết phương trình đườngthẳng (D) vuông góc với mặt phẳng Oxy và cắt các đường thẳng AB, CD

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Gọi đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) là đi qua A, B và vuông góc với (P) mặt đi qua A, B và vuông góc với (P) phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) qua đi qua A, B và vuông góc với (P) AB đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) Oxy) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P): đi qua A, B và vuông góc với (P) 5x đi qua A, B và vuông góc với (P) – đi qua A, B và vuông góc với (P) 4y đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) 0 đi qua A, B và vuông góc với (P)

đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ) đi qua A, B và vuông góc với (P) là đi qua A, B và vuông góc với (P) mặt đi qua A, B và vuông góc với (P) phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) qua đi qua A, B và vuông góc với (P) CD đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ) đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) Oxy) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ): đi qua A, B và vuông góc với (P) 2x đi qua A, B và vuông góc với (P) + đi qua A, B và vuông góc với (P) 3y đi qua A, B và vuông góc với (P) – đi qua A, B và vuông góc với (P) 6 đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) 0

Ta đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) D) đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P)(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ) đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) Phương đi qua A, B và vuông góc với (P) trình đi qua A, B và vuông góc với (P) của đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) D)

Câu 79. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình:

1 1 2  Xét vị trí tương đối của d1 và d2 Viết phương trình

đường thẳng d qua M trùng với gốc toạ độ O, cắt d1 và vuông góc với d2

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Đường đi qua A, B và vuông góc với (P) thẳng đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) cần đi qua A, B và vuông góc với (P) tìm đi qua A, B và vuông góc với (P) cắt đi qua A, B và vuông góc với (P) d 1 đi qua A, B và vuông góc với (P) tại đi qua A, B và vuông góc với (P) A(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) –1–2t; đi qua A, B và vuông góc với (P) t; đi qua A, B và vuông góc với (P) 1+t) đi qua A, B và vuông góc với (P)  OA

= đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) –1–2t; đi qua A, B và vuông góc với (P) t; đi qua A, B và vuông góc với (P) 1+t)

d d 2 OA u 2    0 t 1 A(1; 1;0)

 

đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) PTTS đi qua A, B và vuông góc với (P) của đi qua A, B và vuông góc với (P) d x t y: ; t z; 0

a) đi qua A, B và vuông góc với (P) Với đi qua A, B và vuông góc với (P) M(1;1;1) , đi qua A, B và vuông góc với (P) d x y z

 đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) d 1 ) đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) VTCP đi qua A, B và vuông góc với (P) u1(1; 1; 2)

; đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) d 2 ) đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) VTCP đi qua A, B và vuông góc với (P) u2(1; 3; 1)

  ; (d2) là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P): x 1 0  và (Q):

x y z 2 0    Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vuông góc (d1) và cắt (d2)

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Phương đi qua A, B và vuông góc với (P) trình đi qua A, B và vuông góc với (P) mặt đi qua A, B và vuông góc với (P) phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi đi qua A, B và vuông góc với (P) qua đi qua A, B và vuông góc với (P) M(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 0;1;1) đi qua A, B và vuông góc với (P) vuông đi qua A, B và vuông góc với (P) góc đi qua A, B và vuông góc với (P) với đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) d 1 ): đi qua A, B và vuông góc với (P) x3 2y z  3 0 .

A đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) d 2 ) đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ) đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P)

Trang 27

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Phương đi qua A, B và vuông góc với (P) trình đi qua A, B và vuông góc với (P) AM: đi qua A, B và vuông góc với (P) x y 1 z 1

 Viết phương trình đường thẳng ( )

nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với đường thẳng (d) và cắt đường thẳng (d').

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Ta đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) nP (2; 1;2), ud (1;3;2)

đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) PTTS đi qua A, B và vuông góc với (P) của đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) d'): đi qua A, B và vuông góc với (P)

z t

1 22

Gọi đi qua A, B và vuông góc với (P) A đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) d') đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) A(1 2 ;2 ; ) t t t đi qua A, B và vuông góc với (P)

Do đi qua A, B và vuông góc với (P) A đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) nên: đi qua A, B và vuông góc với (P) 2(1 2 ) 2 t   t 2t   0 t 0 A(1;2;0)

Mặt đi qua A, B và vuông góc với (P) khác đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ) đi qua A, B và vuông góc với (P) nằm đi qua A, B và vuông góc với (P) trong đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P), đi qua A, B và vuông góc với (P) vuông đi qua A, B và vuông góc với (P) góc đi qua A, B và vuông góc với (P) với đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) d) đi qua A, B và vuông góc với (P) nên đi qua A, B và vuông góc với (P) u đi qua A, B và vuông góc với (P) vuông đi qua A, B và vuông góc với (P) góc đi qua A, B và vuông góc với (P) với đi qua A, B và vuông góc với (P) n uP, d đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) ta đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) thể

chọn đi qua A, B và vuông góc với (P) u n u P d,   ( 8; 2;7)

đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) Phương đi qua A, B và vuông góc với (P) trình đi qua A, B và vuông góc với (P) :x 1 y 2 z

 đi qua A, B và vuông góc với (P) E đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) d 2 ) đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) E(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 3; đi qua A, B và vuông góc với (P) 7; đi qua A, B và vuông góc với (P) 6) đi qua A, B và vuông góc với (P) P P d

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Giao đi qua A, B và vuông góc với (P) điểm đi qua A, B và vuông góc với (P) của đi qua A, B và vuông góc với (P) đường đi qua A, B và vuông góc với (P) thẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) AB đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) là: đi qua A, B và vuông góc với (P) C(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 2;0;–1)

Đường đi qua A, B và vuông góc với (P) thẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) d đi qua A, B và vuông góc với (P) đi đi qua A, B và vuông góc với (P) qua đi qua A, B và vuông góc với (P) C đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) VTCP đi qua A, B và vuông góc với (P) là đi qua A, B và vuông góc với (P) AB n, P

  và mặt phẳng (P): x y  2z 3 0 Viết phương trình đường thẳng

 nằm trên mặt phẳng (P) và cắt hai đường thẳng d1 , d2

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Gọi đi qua A, B và vuông góc với (P) A đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) d 1 đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) , đi qua A, B và vuông góc với (P) B đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) d 2 đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) Vì đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) nên đi qua A, B và vuông góc với (P) A đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) d 1 đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P), đi qua A, B và vuông góc với (P) B đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) d 2 đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P)

 đi qua A, B và vuông góc với (P) A(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 1; đi qua A, B và vuông góc với (P) 0; đi qua A, B và vuông góc với (P) 2), đi qua A, B và vuông góc với (P) B(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 2; đi qua A, B và vuông góc với (P) 3; đi qua A, B và vuông góc với (P) 1)

 đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) chính đi qua A, B và vuông góc với (P) là đi qua A, B và vuông góc với (P) đường đi qua A, B và vuông góc với (P) thẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) AB đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) Phương đi qua A, B và vuông góc với (P) trình đi qua A, B và vuông góc với (P) : đi qua A, B và vuông góc với (P) x 1 y z 2

Trang 28

 



, với t R

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Lấy đi qua A, B và vuông góc với (P) M d1 đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) M1 2 ; 1 t1   t t1 1; ; đi qua A, B và vuông góc với (P) N d2 đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) N  1 ; 1;t t

đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) Suy đi qua A, B và vuông góc với (P) ra đi qua A, B và vuông góc với (P) MN  t 2t1 2; ;t t t1   1

a) đi qua A, B và vuông góc với (P) Với đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P): đi qua A, B và vuông góc với (P) x y2  5z 3 0, đi qua A, B và vuông góc với (P) d x y z

  Viết phương trình đường

thẳng , biết  cắt ba đường thẳng d d d1, 2, 3 lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho

AB BC

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Xét đi qua A, B và vuông góc với (P) ba đi qua A, B và vuông góc với (P) điểm đi qua A, B và vuông góc với (P) A, đi qua A, B và vuông góc với (P) B, đi qua A, B và vuông góc với (P) C đi qua A, B và vuông góc với (P) lần đi qua A, B và vuông góc với (P) lượt đi qua A, B và vuông góc với (P) nằm đi qua A, B và vuông góc với (P) trên đi qua A, B và vuông góc với (P) ba đi qua A, B và vuông góc với (P) đường đi qua A, B và vuông góc với (P) thẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) d d d1, 2, 3.

Giả đi qua A, B và vuông góc với (P) sử đi qua A, B và vuông góc với (P) A t( ;4 – ; 1 2 ), ( ;2 –3 ; 3 ), ( 1 5 ;1 2 ; 1t   t B u u  u C   v  v  v).

Trang 29

đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) A(1;3;1), (0;2;0), ( 1;1; 1) B C   .

Đường đi qua A, B và vuông góc với (P) thẳng đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) đi đi qua A, B và vuông góc với (P) qua đi qua A, B và vuông góc với (P) A, đi qua A, B và vuông góc với (P) B, đi qua A, B và vuông góc với (P) C đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) phương đi qua A, B và vuông góc với (P) trình: đi qua A, B và vuông góc với (P) x y 2 z



Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách

Câu 89. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d):

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Chọn đi qua A, B và vuông góc với (P) A(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 2;3; 3), đi qua A, B và vuông góc với (P) B(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 6;5; 2)(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) d), đi qua A, B và vuông góc với (P) mà đi qua A, B và vuông góc với (P) A, đi qua A, B và vuông góc với (P) B đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) nên đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) d) đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P)

Gọi đi qua A, B và vuông góc với (P) u  đi qua A, B và vuông góc với (P) là đi qua A, B và vuông góc với (P) VTCP đi qua A, B và vuông góc với (P) của đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) d1) đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P), đi qua A, B và vuông góc với (P) qua đi qua A, B và vuông góc với (P) A đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) vuông đi qua A, B và vuông góc với (P) góc đi qua A, B và vuông góc với (P) với đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) d) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) thì đi qua A, B và vuông góc với (P) d

nên đi qua A, B và vuông góc với (P) ta đi qua A, B và vuông góc với (P) chọn đi qua A, B và vuông góc với (P) u[ , ] (3; 9;6)u u d P  

đi qua A, B và vuông góc với (P) Phương đi qua A, B và vuông góc với (P) trình đi qua A, B và vuông góc với (P) của đi qua A, B và vuông góc với (P) đường đi qua A, B và vuông góc với (P) thẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) d1) đi qua A, B và vuông góc với (P) :

đi qua A, B và vuông góc với (P) Lấy đi qua A, B và vuông góc với (P) M(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 2+3t; đi qua A, B và vuông góc với (P) 3 9t; đi qua A, B và vuông góc với (P)  3+6t) đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) d1) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ) đi qua A, B và vuông góc với (P) là đi qua A, B và vuông góc với (P) đường đi qua A, B và vuông góc với (P) thẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) qua đi qua A, B và vuông góc với (P) M đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) song đi qua A, B và vuông góc với (P) song đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) với đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) d) đi qua A, B và vuông góc với (P)

đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) Theo đi qua A, B và vuông góc với (P) đề đi qua A, B và vuông góc với (P) : đi qua A, B và vuông góc với (P) AM 14 9t2 81t2 36t2 14 t2 1 t 1

đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) t đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) 1

3  M(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 3;0; 1) đi qua A, B và vuông góc với (P)

Trang 30

 đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) VTPT đi qua A, B và vuông góc với (P) nP (1;1; 1)

đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) d đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) VTCP đi qua A, B và vuông góc với (P) u (1; 1; 3)  

đi qua A, B và vuông góc với (P) I  d ( )P  I(1;2;4)

Vì đi qua A, B và vuông góc với (P) ( );P d  đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) véc đi qua A, B và vuông góc với (P) tơ đi qua A, B và vuông góc với (P) chỉ đi qua A, B và vuông góc với (P) phương đi qua A, B và vuông góc với (P) u n u P,   ( 4;2; 2)

Gọi đi qua A, B và vuông góc với (P) H đi qua A, B và vuông góc với (P) là đi qua A, B và vuông góc với (P) hình đi qua A, B và vuông góc với (P) chiếu đi qua A, B và vuông góc với (P) của đi qua A, B và vuông góc với (P) I đi qua A, B và vuông góc với (P) trên đi qua A, B và vuông góc với (P)   H mp Q ( )qua đi qua A, B và vuông góc với (P) I đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) vuông đi qua A, B và vuông góc với (P) góc đi qua A, B và vuông góc với (P) 

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Phương đi qua A, B và vuông góc với (P) trình đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ): đi qua A, B và vuông góc với (P) 2(x 1) ( y 2) ( z 4) 0  2x y z   4 0

Gọi đi qua A, B và vuông góc với (P) d1( ) ( )P  Q  d1có đi qua A, B và vuông góc với (P) VTCP đi qua A, B và vuông góc với (P) n n P Q;   (0;3;3) 3(0;1;1)

đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) d1 đi qua A, B và vuông góc với (P) qua đi qua A, B và vuông góc với (P) I đi qua A, B và vuông góc với (P)

a) đi qua A, B và vuông góc với (P) P x y z( ) :    2 0, đi qua A, B và vuông góc với (P) d:x 3 y 2 z 1

 Viết phương trình đường thẳng  vuông góc với (P) và cắt d

tại một điểm M cách (P) một khoảng bằng 2

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Vì đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) nên đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) nhận đi qua A, B và vuông góc với (P) nP (2;1; 2)

đi qua A, B và vuông góc với (P) làm đi qua A, B và vuông góc với (P) VTCP.

Giả đi qua A, B và vuông góc với (P) sử đi qua A, B và vuông góc với (P) M t( 1;7 1;3 ) t  t d đi qua A, B và vuông góc với (P) Ta đi qua A, B và vuông góc với (P) có: đi qua A, B và vuông góc với (P) d M P( ,( )) 2 đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) 11 2 6t  đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P)

t t

811411

Câu 92. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng P x( ) : 3y z  1 0 và các

điểm A(1;0;0) ; B(0; 2;3) Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) đi qua A và cách

B một khoảng lớn nhất (nhỏ nhất)

 đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) Ta đi qua A, B và vuông góc với (P) có: đi qua A, B và vuông góc với (P) A(1;0;0) ( ) P Gọi đi qua A, B và vuông góc với (P) VTCP đi qua A, B và vuông góc với (P) của đi qua A, B và vuông góc với (P) đường đi qua A, B và vuông góc với (P) thẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) d đi qua A, B và vuông góc với (P) là: đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) u( ; ; ),a b c a2b2c20 đi qua A, B và vuông góc với (P)

đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) Ta đi qua A, B và vuông góc với (P) có: đi qua A, B và vuông góc với (P) d( )P  u n  P  0 c a 2b

đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) AB ( 1;2; 3)  



đi qua A, B và vuông góc với (P) ; đi qua A, B và vuông góc với (P) u AB d,    ( 2a 7 ;2b a 2 ;2b a b )

 

Trang 31

 đi qua A, B và vuông góc với (P) d B d u AB a ab b

+ đi qua A, B và vuông góc với (P) TH1: đi qua A, B và vuông góc với (P) Nếu đi qua A, B và vuông góc với (P) b đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) 0 đi qua A, B và vuông góc với (P) thì đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) d B d( , ) 6 đi qua A, B và vuông góc với (P)

+ đi qua A, B và vuông góc với (P) TH2: đi qua A, B và vuông góc với (P) Nếu đi qua A, B và vuông góc với (P) b 0 đi qua A, B và vuông góc với (P) Đặt đi qua A, B và vuông góc với (P) t a

b

  đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) d B d t t f t

2 2

đi qua A, B và vuông góc với (P) ta đi qua A, B và vuông góc với (P) suy đi qua A, B và vuông góc với (P) ra đi qua A, B và vuông góc với (P) được đi qua A, B và vuông góc với (P) 6d B d( , )f t( ) 14

So đi qua A, B và vuông góc với (P) sánh đi qua A, B và vuông góc với (P) TH1 đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) TH2 đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) 6d B d( , ) 14

Do đi qua A, B và vuông góc với (P) đó:

a) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) min( ( , ))d B d  6  b  đi qua A, B và vuông góc với (P) Chọn đi qua A, B và vuông góc với (P) a đi qua A, B và vuông góc với (P) =1 đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) c= đi qua A, B và vuông góc với (P) 1 đi qua A, B và vuông góc với (P) 0

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Phương đi qua A, B và vuông góc với (P) trình đi qua A, B và vuông góc với (P) đường đi qua A, B và vuông góc với (P) thẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) d: đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P)

y

z t

10

b) đi qua A, B và vuông góc với (P) max( ( , ))d B d  14  a  đi qua A, B và vuông góc với (P) Chọn đi qua A, B và vuông góc với (P) b đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) –1 đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) a đi qua A, B và vuông góc với (P) =1 đi qua A, B và vuông góc với (P) , đi qua A, B và vuông góc với (P) c đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) –1 đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) b

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Phương đi qua A, B và vuông góc với (P) trình đi qua A, B và vuông góc với (P) đường đi qua A, B và vuông góc với (P) thẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) d: đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P)

Câu 93. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng P x( ) :  2y2z 5 0 và các

điểm A( 3;0;1) ; B(1; 1;3) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, song song với (P) và

 đi qua A, B và vuông góc với (P)

Câu 94. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng :x 1 y z 2

 đi qua A, B và vuông góc với (P) 1 d B d( , ) 18

11   đi qua A, B và vuông góc với (P)

a) đi qua A, B và vuông góc với (P) min( ( , ))d B d 1 t 2

Trang 32

b) đi qua A, B và vuông góc với (P) max( ( , ))d B d  18    đi qua A, B và vuông góc với (P) Phương đi qua A, B và vuông góc với (P) trình đi qua A, B và vuông góc với (P) đường đi qua A, B và vuông góc với (P) thẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) d: đi qua A, B và vuông góc với (P) t 0

a) đi qua A, B và vuông góc với (P) x y z A B

x y z 1 0

: 1 0, (2;1; 1), ( 1;2;0)

   

 đi qua A, B và vuông góc với (P)

ĐS: đi qua A, B và vuông góc với (P) d max x d x y

y z1 0 min y z2 3 0:  2 0; :  2 0

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Ta đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) VTCP đi qua A, B và vuông góc với (P) của đi qua A, B và vuông góc với (P) d đi qua A, B và vuông góc với (P) là: đi qua A, B và vuông góc với (P) ud (2;1;1)

đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P)  AB (1;0;1)

Gọi đi qua A, B và vuông góc với (P) H đi qua A, B và vuông góc với (P) là đi qua A, B và vuông góc với (P) hình đi qua A, B và vuông góc với (P) chiếu đi qua A, B và vuông góc với (P) của đi qua A, B và vuông góc với (P) B đi qua A, B và vuông góc với (P) lên đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) ta đi qua A, B và vuông góc với (P) có: d B( , ) BH AB đi qua A, B và vuông góc với (P) Do đi qua A, B và vuông góc với (P) đó đi qua A, B và vuông góc với (P) khoảng đi qua A, B và vuông góc với (P) cách đi qua A, B và vuông góc với (P) từ đi qua A, B và vuông góc với (P) B đi qua A, B và vuông góc với (P) đến đi qua A, B và vuông góc với (P)  lớn đi qua A, B và vuông góc với (P) nhất đi qua A, B và vuông góc với (P) khi đi qua A, B và vuông góc với (P) H A đi qua A, B và vuông góc với (P) Khi đi qua A, B và vuông góc với (P) đó đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) là đi qua A, B và vuông góc với (P) đường đi qua A, B và vuông góc với (P) thẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) đi đi qua A, B và vuông góc với (P) qua đi qua A, B và vuông góc với (P) A đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) vuông đi qua A, B và vuông góc với (P) góc đi qua A, B và vuông góc với (P) với đi qua A, B và vuông góc với (P) AB đi qua A, B và vuông góc với (P)

Ta đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) d

 đi qua A, B và vuông góc với (P) đi đi qua A, B và vuông góc với (P) qua đi qua A, B và vuông góc với (P) N(5;0;0) đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) VTCP đi qua A, B và vuông góc với (P) v (2; 2;1)

; đi qua A, B và vuông góc với (P) AN (5;1; 2) 



; đi qua A, B và vuông góc với (P) v u ; d   ( 1;4 1;6 )t t t

đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) d

(2 )( )

Trang 33

a) đi qua A, B và vuông góc với (P) A x y z x y z

Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc

Câu 98. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; –1; 1), đường thẳng :



  và mặt phẳng (P): x y z 5 0    Viết phương trình tham số của đường

thẳng d đi qua A, nằm trong (P) và hợp với đường thẳng  một góc 45 0

 đi qua A, B và vuông góc với (P) Gọi đi qua A, B và vuông góc với (P) u u n  d, , P đi qua A, B và vuông góc với (P) lần đi qua A, B và vuông góc với (P) lượt đi qua A, B và vuông góc với (P) là đi qua A, B và vuông góc với (P) các đi qua A, B và vuông góc với (P) VTCP đi qua A, B và vuông góc với (P) của đi qua A, B và vuông góc với (P) d, đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) VTPT đi qua A, B và vuông góc với (P) của đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P).

Giả đi qua A, B và vuông góc với (P) sử đi qua A, B và vuông góc với (P) ud ( ; ; ) (a b c a2b2c2 0)

+ đi qua A, B và vuông góc với (P) Vì đi qua A, B và vuông góc với (P) d đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) P) đi qua A, B và vuông góc với (P) nên đi qua A, B và vuông góc với (P) ud nP

đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) a b c 0   đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) b a c  (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 1) + đi qua A, B và vuông góc với (P) d,  450 đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) a b c

a2 b2 c2

23



đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) 2(a2b c )29(a2b2c2) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 2)

Từ đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 1) đi qua A, B và vuông góc với (P) và đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) 2) đi qua A, B và vuông góc với (P) ta đi qua A, B và vuông góc với (P) được: 14c230ac  đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) 0 c

+ đi qua A, B và vuông góc với (P) Với đi qua A, B và vuông góc với (P) c đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) 0: đi qua A, B và vuông góc với (P) chọn đi qua A, B và vuông góc với (P) a đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) b đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) 1 đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) PTTS đi qua A, B và vuông góc với (P) của đi qua A, B và vuông góc với (P) d: đi qua A, B và vuông góc với (P) x 3 ;t y 1 ;t z1

+ đi qua A, B và vuông góc với (P) Với đi qua A, B và vuông góc với (P) 15a đi qua A, B và vuông góc với (P) + đi qua A, B và vuông góc với (P) 7c đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) 0: đi qua A, B và vuông góc với (P) chọn đi qua A, B và vuông góc với (P) a đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) 7, đi qua A, B và vuông góc với (P) c đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) –15, đi qua A, B và vuông góc với (P) b đi qua A, B và vuông góc với (P) = đi qua A, B và vuông góc với (P) –8 đi qua A, B và vuông góc với (P)

 đi qua A, B và vuông góc với (P) PTTS đi qua A, B và vuông góc với (P) của đi qua A, B và vuông góc với (P) d: đi qua A, B và vuông góc với (P) x 3 7 ;t y 1 8 ;t z 1 15t

Câu 99. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng  nằm trong mặt phẳng P x y z( ) :  –  1 0, đi qua A, B và vuông góc với (P) cắt các đường thẳng

đi qua A, B và vuông góc với (P) là đi qua A, B và vuông góc với (P) đi qua A, B và vuông góc với (P) VTCP đi qua A, B và vuông góc với (P) của đi qua A, B và vuông góc với (P) 

Ta đi qua A, B và vuông góc với (P) có đi qua A, B và vuông góc với (P) cos( , ) cos30 d1  0 đi qua A, B và vuông góc với (P) t

Định dạng
Số trang	67
Dung lượng	5,71 MB