NỘI DUNG SÁNG KIẾN A. Lời nói đầu. Phương trình lượng giác là kiến thức rất quan trọng trong bộ môn toán nói chung và môn toán 11 nói riêng. Tuy nhiên khi giải phương trình lượng giác thì học sinh thường lúng túng không biết nên giải như thế nào hay dùng phương pháp nào để giải. Vì vậy Tôi viết sáng kiến “ MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC VÀ CÁCH GIẢI” nhằm củng cố và giải tôt bài toán PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC. B. Nội dung: Vấn đề 1: Phương trình lượng giác cơ bản. 1. Phương trình Nếu thì phương trình vô nghiệm. Nếu thì Đặc biệt: 2. Phương trình Nếu thì phương trình vô nghiệm. Nếu thì Đặc biệt: 3. Phương trình 4. Phương trình • Các giá trị đặc biệt cần nhớ: . Bài tập áp dụng: 1. Giải các phương trình sau: a) b) c) d)
Trang 1BÁO CÁO TÓM TẮT SÁNG KIẾN
1 Người thực hiện:
- Họ và tên: Cao Văn Sóc
- Năm sinh: 25/09/1982
- Đơn vị công tác: Trường THPT Trà Cú
- Chức vụ hiện tại: Giáo viên dạy lớp
- Trình độ chuyên môn: ĐHSP TOÁN TIN
2 Tên sáng kiến: MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC VÀ CÁCH GIẢI
3 Nội dung sáng kiến: gồm 7 phần chính
+ Thứ I: Phương trình lượng giác cơ bản.
+ Thứ II: Phương trình bậc 2 hay bậc cao đối với một số hàm số lượng giác.
+ Thứ III: Phương trình có mũ cao và chẵn đối với hàm số sinx và cosx.
+ Thứ IV: Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
+ Thứ V: Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx.
+ Thứ VI: Phương trình dạng f (sinx±cos ,sin cosx x x)=0
+ Thứ VII: Biến đối phương trình về dạng tích.
4 Thời gian thực hiện sáng kiến: từ tháng ……/… đến tháng ………/năm.
5 Phạm vi áp dụng: áp dụng tại lớp 11A1 Trường THPT Trà Cú
6 Hiệu quả: Học sinh dễ tiếp thu, tính toán thành thạo, đạt hiệu quả cao.
Thời gian Giỏi Khá Trungbình Yếu Kém Trước khi áp dụng %
Sau khi áp dụng
Trang 2
NỘI DUNG SÁNG KIẾN
A Lời nói đầu.
Phương trình lượng giác là kiến thức rất quan trọng trong bộ môn toán nói chung và môn toán 11 nói riêng Tuy nhiên khi giải phương trình lượng giác thì học sinh thường lúng túng không biết nên giải như thế nào hay dùng phương pháp nào để giải
Vì vậy Tôi viết sáng kiến “ MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC VÀ CÁCH GIẢI” nhằm củng cố và giải tôt bài toán PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.
B Nội dung:
Vấn đề 1: Phương trình lượng giác cơ bản.
1 Phương trình cos x m=
* Nếu m >1 thì phương trình vô nghiệm.
* Nếu m ≤1 thì cosx m= ⇔ = ±x arccosm k+ 2 , π k∈¢
Đặc biệt: cosx= cosα ⇔ = ± +x α k2π
2 Phương trình sin x m=
* Nếu m >1 thì phương trình vô nghiệm.
* Nếu m ≤1 thì sinx m= ⇔ = −x ( )1 arcsink m k+ π, k∈¢
arcsin 2
arcsin 2
π
Đặc biệt: sinx=sinα ⇔ = −x ( )1 kα +kπ
2 ;
2
k
= +
3 Phương trình tan x m=
* tanx m= ⇔ =x arctanm k+ π, k∈¢
* tanx=tanα ⇔ = +x α kπ, k∈¢
4 Phương trình cot x m=
* cotx m= ⇔ =x arc cotm k+ π, k∈¢
* cotx=cotα ⇔ = +x α kπ, k∈¢
• Các giá trị đặc biệt cần nhớ:
cos 0
2
x= ⇔ = +x π kπ
cosx= ⇔ = 1 x k2π cosx= − ⇔1 (2k+1)π sinx= ⇔ = 0 x kπ sin 1 2
2
2
x= − ⇔ = − +x π k π
tan 1
4
x= ⇔ = +x π kπ
tan 1
4
x= − ⇔ = − +x π kπ
Bài tập áp dụng:
1 Giải các phương trình sau:
a) 2cosx+ = 1 0 b) 2sin 3 0
4
x π
c) sinx+cosx=0 d) tan 5x=tan 3x
Trang 3
2 Giải các phương trình sau:
a) sin 4 1
cos 6
x
x= b) 1 tan tan 3
1 tan
x
x x
− c) tan 2 tan 7x x=1 d)
sin 6 8cos cos 2 cos 4
sin
x
x
=
Vấn đề 2: Phương trình bậc hai hay bậc cao đối với một hàm số lượng giác.
Ví dụ: Giải phương trình
a) 2cos2x−cosx− =1 0 b) 3tan3x−tan2 x−tanx− =1 0
Giải:
1) 2
2 cos 1
2 cos
3 2
x k x
x
π
=
=
¢
2) 3 2
3tan x−tan x−tanx− =1 0
Đặt tan x t= , ta có pt:
( ) ( )
Pt⇔ t − − − = ⇔ −t t t t + + =t
2 ( )
1 0
1
3 2 1 0
t
t
− =
⇔ =
Vậy: tan 1 , k
4
x= ⇔ = +x π kπ ∈¢
Bài tập áp dụng:
1) Giải các phương trình:
cos x−cos 2x+2sin x=0
2) Giải các phương trình:
a) 8 8 17 2
sin cos cos 2
16
x+ x= x b) tanx− 2 cotx+ = 1 0
Vấn đề 3: Phương trình có số mũ cao và chẵn đối với hai hàm số sin x và cos x
Cách giải: Người ta thường dùng phương pháp hạ bậc để giải các phương trình loại này Công thức
hạ bậc
x
+
Ví dụ: Giải phương trình: sin2x+sin 22 x=sin 32 x+sin 42 x (1)
Giải:
sin sin 2 sin 3 sin 4
⇔cos 2x+cos 4x=cos 6x+cos8x⇔2 3 cosco x x=2cos 7 cosx x
⇔cosx(cos 7x−cos3x) =0
2 cos 0
,
2
k x
π π
= +
=
=
=
¢
Vậy: phương trình có các họ nghiệm: ; ,
k
x= +π kπ x= π k∈¢
Trang 4
Bài tập áp dụng:
Giải các phương trình sau:
a) sin 22 x+sin 32 x+sin 42 x+sin 52 x=2
b) 6 6 5( 4 4 )
6
x+ x= x+ x
c) 8 8 1 cos sin
8
x+ x= d) sin4x+cos4 x a= (a là tham số)
sin sin 2 sin 3
2
x− x+ x= f)
6 6
2 2
.tan 2
x
−
Vấn đề 4: Phương trình bậc nhất đối sin x và cos x.
Dạng: a.sinx b+ cosx c= (*) với a, b, c là các hằng số và a2+b2 ≠0
Cách giải:
(*) 2a 2 sinx 2b 2 cosx 2c 2
Ta thấy:
2a 2 2b 2 1
a b = α a b = α
(*) sin cosx cos sinx 2c 2
a b
+ sin(x ) 2c 2
a b
α
Vậy ta đã biến (*) về dạng phương trình lượng giác cơ bản đã biết cách giải
2c 2 1 a b c
a b
+ (*) vô nghiệm 2 2 2
a b c
⇔ + <
Ghi nhớ:
• Chia 2 vế pt cho 2 2
a +b
• Pt (*) có nghiệm ⇔a2+ ≥b2 c2
Bài tập áp dụng:
1) Giải các phương trình sau:
2) Cho pt: sinx m+ cosx= 1 (1)
a Giải pt với m= − 3
b Định m để mọi nghiệm của pt (1) cũng là nghiệm của pt msinx+cosx m= 2
3) Giải và biện luận theo tham số m phương trình:
a (2m−1 cos) x m+ sinx=3m−1
b mcos 2x− sin 2x= − 1 m
4) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
a cos 2sin
2 sin
y
x
−
=
−
Trang 5
b 2cos sin 1
2 cos sin
x x y
x x
=
5) Chứng minh ∀ ∈x ¡ , ta có:
Vấn đề 5: Phương trình đẳng cấp đối với sin x và cos x
Dạng:
sin sin cos cos 0
a x b+ x x c+ x=
a x b+ x x c+ x x d+ x=
a x b+ x x c+ x x d+ x x e+ x=
… (a b c d e, , , , là các hằng số) Các phương trình trên được gọi là các phương trình đẳng cấp bậc hai, bậc ba, bậc bốn, … đối với
sin x và cos x
Mọi số hạng trong phương trình đẳng cấp bậc k đều phải có tính chất: tổng số bậc của sin x và cos x
đều bằng k
Cách giải:
• Xét xem cos 0
2
x= ⇔ = +x π kπ
có phải là nghiệm của phương trình hay không ? Chú ý
2
cosx= ⇒0 sin x=1
• Sau đó chia hai vế của phương trình cho cos x2 (đối với phương trình đẳng cấp bậc hai) hay cos x3
(đối với phương trình đẳng cấp bậc ba) …để đưa về dạng phương trình bậc hai, bậc ba, … đối với
tan x
Chú ý:
Cũng có thể xét riêng trường hợp sinx= ⇒ = 0 x kπ, rồi chia 2 vế cho 2
sin x hay 3
sin x, … để được phương trình bậc hai, bậc ba, … đối với cot x
Ví dụ: Giải phương trình 2sin2 x+3sin cosx x+3cos2 x=2 (1)
Giải:
• Khi cosx= 0, ta có VT (1) = VP (1) = 2 do đó pt (1) có họ nghiệm ,
2
x= +π kπ k∈¢
• Khi cosx≠ 0, chia 2 vế cho cos x2 , ta được:
(1) ⇔2 tan2x+3 tanx+ =3 2 1 tan( + 2 x)
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm: ; arctan 1 ;
x= +π kπ x= − +kπ k∈
Bài tập áp dụng:
1) Giải các phương trình:
a sin2 x+2sin 2x+3cos2x=0
b 3 sin2 x+ −(1 3 sin cos) x x−cos2 x+ −1 3 0=
c 2sin3x+4sin2xcosx+sin cosx 2x+2cos3x=0
2) Xác định m để các phương trình sau đây có nghiệm
Trang 6
Nhận xét:
• Ta có thể giải và biện luận phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin x và cos x cách dung công
thức hạ bậc và công thức nhân đôi để đưa về dạng: Asin 2x B+ cos 2x C=
• Bằng phương pháp tương tự như trên còn giúp ta tìm GTLN, GTNN của hàm số có dạng:
sin sin cos cos
y a= x b+ x x c+ x d+ hoctoancapba.com
Vấn đề 6: Phương trình dạng: f (sinx±cos ,sin cosx x x) =0.
Bằng cách biến đổi biến số ta có thể chuyển phương trình này về dạng phương trình đại số hữu tỉ
• Xét phương trình f (sinx±cos ,sin cosx x x) =0
Đặt sin cos 2 cos
4
t= x+ x= x−π
2 à 1 2sin cos sin cos
2
t
t ≤ v t = + x x⇒ x x= − Thay vào phương trình đã cho, ta được phượng trình hữu tỉ theo t
• Phương trình a(sinx+cosx)+bsinx c+ =0 được gọi là phương trình đối xứng của sin à cosx v x Phương trình này là trường hợp đặc biệt của phương trình trên
Ví dụ: Giải phương trình: sin 2x−12 sin( x−cosx)+ =12 0
Giải:
( )
sin 2x−12 sinx−cosx + =12 0
Đặt sin cos 2 sin
4
t= x− x= x−π
Vậy
2
2 à 1 sin 2
t ≤ v t = − x Thay vào phương trình đã
cho, ta có:
13
t
=
Vậy 2 sin 1 sin 1 sin 2 2 ;
2
= +
¢
Bài tập áp dụng:
1 Giải các phương trình sau
a sin3x+cos3x=2 sin( x+cosx)−1
b 4sin cosx x−2 sin( x+cosx)+ =1 0
sin cos
2
x+ x=
2 Giải các phương trình sau
sin cos 1 sin 2
2
x+ x= − x
b sin cosx x=6 sin( x−cosx−1)
c 5 sin( x+cosx)+sin 3x−cos3x=2 2 2 sin 2( + x)
Trang 7
d ( )3 ( )
sinx+cosx − 2 1 sin 2+ x +sinx+cosx− 2 0=
e 2 sin( x+cosx) =tanx+cotx
3 Giải các phương trình sau
a cos 1 sin 1 10
b
3 2
3
1 cos tan
1 sin
x x
x
−
=
−
4 Cho phương trình: sinx+cosx m= 1 sin cos+ x x
a Định m để phương trình có nghiệm
b Giải phương trình khi 2
3
m= .
Vấn đề 7: Biến đổi về phương trình dạng tích.
• Nếu phương trình f x( ) =0 được biến đổi về dạng f x f x1( ) ( )2 f x n( ) =0 thì tập nghiệm của
phương trình f x( ) =0 là tập hợp các nghiệm của phương trình f x1( ) =0; f x2( ) =0; … f x n( ) =0
• Để biến đổi phương trình về dạng tích ta chú ý các vấn đề sau: hoctoan capba.com
- Dạng: asinx b+ sin 2x c+ sin 3x= ⇔0 sinx(−4sinx+2cosx a+ +3c) =0.
- Để đặt thừa số chung cần chú ý :
a) sin 2 ; sin 3 ; tan ; tan 3 ; tan 2x x x x x có nhân tử chung là sin x b) sin 2 ; cos3 ; tan 2 ; cot 3 ; cotx x x x x có nhân tử chung là cos x
cos ; cot ; sin ; tan
x x có nhân tử là 1 cos x+ d) sin2 ; tan2 ; sin ; tan2 2
x x có nhân tử là 1 cos x− e) cos 2 ; cot 2 ; 1 sin 2 ; 1 tan ; 1 cot ; tanx x + x + x + x x−cotx có nhân tử chung là sinx+ cosx f) cos 2 ; cot 2 ; 1 sin 2 ; 1 tan ; 1 cot ; tanx x − x − x − x x−cotx có nhân tử chung là cosx− sinx
Ví dụ: Giải phương trình ( ) ( ) 2
2sinx−1 2sin 2x+ = −1 3 4cos x (1)
Giải:
3 4cos− x= −3 4 1 sin− x =4sin x− =1 2sinx−1 2sinx+1
( ) (1 ⇔ 2sinx−1 2sin) ( x+ −1) (2sinx−1 2sin) ( x+ =1) 0
⇔(2sinx−1) ( 2sinx+ −1) (2sinx+1)=0
⇔(2sinx−1 2sin 2) ( x−2sinx)=0
⇔2sinx(2sinx−1 2cos) ( x− =1) 0
Trang 8
6 1
6 1
cos
3
x k
x
π
=
¢
Bài tập áp dụng:
1 Giải các phương trình:
a) cos 2x−cos8x+cos 6x=1 b) sin 4x−4sinx−(cos 4x−4cosx) =1.
c) 3sinx+ 2cosx= + 2 3 tanx
d) 2cos3x+cos 2x+sinx=0
2 Giải các phương trình:
a) 4cosx− 2 cos 2x− cos 4x= 1 b) sin sin 2 sin 3 3 cos cos 2 cos3
c) cos cos 2 cos3 1
2
x− x+ x= d) 1 sin+ x+cosx+sin 2x+cos 2x=0
Vấn đề 8: Phương pháp đặt ẩn phụ.
Một số phương trình lượng giác có thể giải bằng cách quy về phương trình đại số qua phép đặt ẩn phụ
Các phép đặt ẩn phụ thường gặp:
• Đặt t=sin ; x t=cos thì x t ≤1
• Đặt t=tan ; x t=cot thì tx ∈¡
sin cos thì
t a= x b+ x t ≤ a +b
• Đặt t=tanx+cot thì x t ≥2 …
Ví dụ: Giải phương trình 2 6
cos 2x+4sin x=8cos x
Giải:
Đặt t=cos 2 ; x t ≤1 Ta có: 2 1 cos 2 2 1 2
sin
x= − = −
3 3
cos
x= + = +
Pt trở thành: ( ) (2 )3
t+ −t = +t
3 2
t t t
t t t
0
t
⇔ =
x= ⇔ x= +π kπ ⇔ = +x π kπ k∈¢
Bài tập áp dụng:
Trang 9
1 Giải các phương trình sau:
a) 2 cos 2 tan
2
x x
b) (1 tan− x) (1 sin 2+ x) = +1 tanx
c) 2
2
d) 2 2
2 Giải các phương trình sau:
2
cos x+ x−2 x+ x = =
3cos 4sin 1
c) 9sin3x−5sinx+2cos3x=0
d) tan 2x+cotx=8cos2x
C Lời kết: hoctoancapba.com
Mục đích của chuyên đề này giúp học sinh giải “ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC” tốt hơn; tuy nhiên
do thời gian có hạn nên chắc chắn chuyên đề còn nhiều thiếu sót, mong quý Thầy cô trong Tổ góp ý Xin chân thành cám ơn
ĐƠN VỊ: TRƯỜNG THPT TRÀ CÚ CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
PHIẾU NHẬN XÉT, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Tên đề tài: MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC VÀ CÁCH GIẢI Thời gian thực hiện: Từ tháng …….đến tháng…
Tác giả: Cao Văn Sóc
Chức vụ: Giáo viên
Bộ phận công tác: Tổ Toán- Trường THPT Trà Cú.
TỔ CHUYÊN MÔN
Nhận xét:
………
HỘI ĐỒNG KHGD TRƯỜNG
Nhận xét:
………
Trang 10
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
Xếp loại (Đạt, không đạt)…………
Ngày… tháng… năm ………
Tổ trưởng ………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
Xếp loại (Đạt, không đạt)…………
Ngày… tháng… năm ………
Hiệu trưởng
10